- 295 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/19(火) 22:42:50 ]
- 補題
f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を正定値(>>293)の２次形式とする。
(u, v) を 直積 Z × Z の元とすれば f(u, v) ≧ 0 であり、
f(u, v) = 0 となるのは (u, v) = (0, 0) のときに限る。
証明
f(x, y) の判別式を D とする。
f(x, y) は正定値だから D ＜ 0 かつ a ＞ 0 である(>>293)。
af(x, y) = a^2x^2 + abxy + acy^2
= (ax + by/2)^2 + acy^2 - (b^2/4)y^2
= (ax + by/2)^2 + (4ac - b^2)y^2/4
= (ax + by/2)^2 + |D|y^2/4
これから補題の主張は直に出る。
証明終
