- 289 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 22:55:11 ]
- 補題
２次形式 f = a^x^2 + bxy + cy^2 の判別式が、ある２次体 Q(√m) の
判別式に等しいなら f は原始的(>>279)である。
証明
２次体 Q(√m) の判別式を D とする。
仮定より、D = b^2 - 4ac である。
f が原始的でないとするとある有理整数 t ＞ 1 があり、
a, b, c はそれぞれ t で割れる。よって D は t^2 で割れる。
D = (t^2)d とする。
m ≡ 1 (mod 4) のときは D = m であるから D は平方因子を含まない。
これは D = (t^2)d に反する。
よって m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) である。
この場合 D = 4m である。
m は平方因子を含まないから 2 で割れるとしても 4 では割れない。
よって t = 2 である。
b = 2e とする。
D = b^2 - 4ac = 4(e^2 - ac)
よって e2 - ac = m である。
ac ≡ 0 (mod 4) だから m ≡ e^2 (mod 4)
よって
m ≡ 0 (mod 4) または m ≡ 1 (mod 4)
である。これは矛盾である。
証明終
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