- 12 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/24(金) 16:59:03 ]
- 命題
m ≠ 0 を平方因子を持たない有理整数とする。 2次体 Q(√m) の整数環の任意のイデアル I ≠ 0 に 対して、その剰余環は有限環である。 証明 I の元 α ≠ 0 をとる。α のノルム N(α) = αα' は有理整数 である(前スレ3の927)。 a = N(α) とおく。a ≠ 0 で a ∈ I である。 Z[ω]/aZ[ω] はアーベル群として Z/Za と Zω/Z(aω) の直和と 同型であるから |a|^2 個の元からなる。 Z[ω] ⊃ I ⊃ aZ[ω] だから Z[ω]/I は有限環である。 証明終
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