- 10 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/24(金) 13:00:32 ]
- m 個の元 a_(1,n), ..., a_(m,n) の最大公約数を d_n ≧ 0 とする。
d_n = a_(1,n)b_1 + ... + a_(m,n)b_m となる有理整数 b_1, ..., b_n がある。これ等を具体的に求めるには Euclid の 互除法を使えばよい。 z_n = b_1y_1 + ... + b_my_m とおく。 z_n は N の元で x_1, ..., x_n の一次結合であらわしたとき x_n の係数は d_n である。 d_n = 0 なら a_(1,n) = ... = a_(m,n) = 0 だから N = <y_1, ..., y_m> ⊂ [x_1, ..., x_(n-1)] である。 d_n ≠ 0 と仮定する。 a_(i,n) = d_n q_i とする。 y_i - q_iz_n の x_n の係数は 0 である。 一方、 N = <y_1, ..., y_m> = <y_1, ..., y_m, z_n> = <y_1 - q_iz_n, ..., y_m - q_mz_n, z_n> よって L = <y_1 - q_iz_n, ..., y_m - q_mz_n> とおくと、 N = L + Z(z_n) である。 L は [x_1, ..., x_(n-1)] に含まれる。 この L と [x_1, ..., x_(n-1)] に上記と同様の手続きを行う。 最終的に、N = <z_1, ..., z_n> となる。 z_1, ..., z_n のなかで 0 となるものを省けば N の基底が得られる。
|
|