- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/29(土) 13:14:41.54 ]
- [問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
選んで中を見ると10000円だった。
他方の封筒の金額の期待値は？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。
このような問題を他スレで話題にしたりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くよう誘導お願いします。
派生元
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
過去スレ
２つの封筒問題スレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267847049
２つの封筒問題スレ 2
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272010151
２封筒問題スレ その３
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286091715/
- 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 13:52:02.49 ]
- >>48
具体的にいうと1枚目をあけて１００００円だったときにあけてないほうが１２５００円になるということ
- 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 13:53:08.36 ]
- >>47
>ただし、封筒を開けた時の金額がいかなる場合でも、自分が持っている封筒が
多い方の封筒なのか、少ない封筒なのかが常に1/2という分布は存在しない。
これっておかしくない？
どちらを選ぶかは自由なんだから1/2だと思うんだけど
- 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 14:01:22.81 ]
- コマ大から流れてきたから数学の専門的なことはわからないよ
封筒２つの組が２組あって
それぞれ（５０００円、１万円）と（１万円、２万円）の組み合わせしかない時は
１万円の封筒引いたとき交換したほうがお得だよね？
でも問題のようになるとお得ではなくなる？
- 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 14:34:23.95 ]
- >>49
そのときＢが中身を見て5000円だったら、Ｂの交換期待値は6250円になるということか？
- 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 14:36:24.50 ]
- >>52
俺はおかしいと思うけど、
このコマ大の解答ならそうなるんじゃない？
- 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 14:37:31.84 ]
- >>49
それは「期待値が上がる」のではなく、現在の金額より「交換後の期待値のほうが高い」だね。
期待値のほうが高くない（低いまたは同じ）とする理由は？
- 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 14:38:57.89 ]
- >>50
＞ どちらを選ぶかは自由なんだから1/2だと思うんだけど
それは封筒を開け金額を確かめる前なら、そのとおり。
金額を確かめたら、そうではない。
- 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 14:41:09.51 ]
- 誰かコマ大の問題を、正しく再掲載してくれないか？
- 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 14:48:33.60 ]
- >>54
たしかにそうだね
確定した金額と期待値を比べているのもおかしいと思うけど、
コマ大の解答は交換したほうがいいって書いてあるよね
金額をたしかめるということによって変わるのがおかしいと思う
見たふりして見なかったらどうなるの？
二人ひと組みで一人だけ見たらどうなるの？？
- 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 14:49:32.28 ]
- >>55
それも理解できない
確かめたあとでも
高い方を引いてるか低い方を引いてるかは半々じゃない？
- 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 14:57:16.24 ]
- >>56
書こうかと思ったけど、本にのってる文章はどうでもいいこといっぱい書いてあるからすごい長い
- 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:02:05.21 ]
- 箱がある。箱には、「◇□」というものと、「□☆」というものがたくさん入っている（※）。
箱の中から一つの「？？」を取り出し、「？？」の中からさらに一つを選んだら、
「□」がでてきた。「？？」の中のもう一方が、「◇」である確率と、「☆」である確率は？
こんな問題、計算できるはずがない。出来るはずのない問題に対し、あれこれ言っているのが２封筒問題だ。
例えば、(※)が
・箱には、５０個の「◇□」というものと、５０個の「□☆」というものが入っている。
・箱には、９９個の「◇□」というものと、１個の「□☆」というものが入っている。
・箱には、１個の「◇□」というものと、９９個の「□☆」というものが入っている。
の様になっていれば、きちんと計算できる。そして、それぞれに対応して、☆の確率は50%、1%、99%となる。
これが判って初めて、交換してもしなくても同じか、しない方がよいか、した方がよいか決定できる。
逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。
「交換した方が常に得？」←勝手な思いこみを根拠としている間違った判断以外の何物でもない。
- 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:05:18.25 ]
- >>57
＞ コマ大の解答は交換したほうがいいって書いてあるよね
すまん、コマ大は放送を見ただけで、
「確かめた金額よりも交換後の期待値のほうが大きいので交換する」
という趣旨の回答だったことはおぼえているんだが
一字一句正確な問題文や、回答文はおぼえていない。
＞ 金額をたしかめるということによって変わるのがおかしいと思う
これはどうして？
＞見たふりして見なかったらどうなるの？
見なかった時と同じ。
＞二人ひと組みで一人だけ見たらどうなるの？？
見た方の期待値だけが変わる。 見ていない人は変わらない。
（ただし、中身を確かめるまえの期待値が計算できるかどうかは
番組の問題文からはわからないはず、おそらく分布は与えられていなかったと記憶している。）
>>58
＞ 高い方を引いてるか低い方を引いてるかは半々じゃない？
ちがう。 封筒に入っている金額の分布によって変わる。
開けるまでは、封筒に入っている金額がわからないので
２つの封筒のどちらが高いか低いかは1/2。
しかし金額がわかった後で、いかなる金額でも1/2になるような分布はない。
（何か特定の金額で1/2になるような分布はある、おそらく番組で扱ったのはこのケース）
- 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:06:23.25 ]
- >>60
じゃあコマ大の解答が間違えているってこと？
その例ならどんなばらつきだとしても
◇は□より大
□は☆より大とか条件つければ
選んだ１つが大である確率は５０パーだと思う
その例自体が不適切なんじゃない？
- 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:09:27.48 ]
- >>61
つまり
見たあとだと期待値は１２５００円になるから交換したほうがよい
見たあとでは残りが５０００円の確率と１００００円の確率は等しくない
この２つが同時に成り立つってこと？
上と下は同時に成り立たないと思うんだけど
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:13:13.29 ]
- >>60
＞ 逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。
具体的な数値はわからなくても、答えを思考することはできる。
任意に取り出したものが「◇□」である確率をPとすれば
「□☆」を取り出す確率は1-P。
このPを使って、Pがどのような値なら交換後の期待値が大きくなるのかを考えれば良い。
番組では、Pが1/2と仮定した場合についての答を出していたが、他のいろいろな値でも考慮すればいい。
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:18:11.94 ]
- >>63
微妙に異なる。
1) 見た後では、選んだ封筒が高いほうか低いほうか1/2とは限らない。（1/2になることもある）
２） 見た後に、選んだ封筒が高いほうか低いほうか1/2の仮定の下では期待値は１２５００円になる。
１）と２）は同時に成立する。
交換したほうが良いかどうかは、価値観の問題なので数学とは異なる。
- 66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:20:25.00 ]
- >>65
それならたしかに矛盾しないが
それだとコマ大の解答の期待値は１２５００円になるから〜
ってのは仮定を勝手に作ってるということ？
その仮定が成り立つ場合と成り立たない場合がよくわからない
- 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:27:58.59 ]
- >>62
おれはコマ大なるものを知らない。
設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに同じ
結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
後半部分に対しては、>>32でも書いたが、「大きい方」等という指定の仕方をすれば、
それは、「○●」で表現できる「大きい方」と「小さい方」の２種類しか現れないが、
「A円」等という指定の仕方をすれば、「◇□☆」で表したように、「A/2」、「A」、「2A」
の三種類を考えなければならない。この違いをきちんと認識した上で問題を捉えているか？
- 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:31:09.21 ]
- >>67
＞ 違いがないのに同じ
＞ 結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
言いたいことはなんとなくわかるが、おそらくこれは書き間違いだよな？
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:31:38.63 ]
- >>67
いや、俺自身も>>32と同じ考えだからそれはわかるよ
期待値として計算できないものを期待値としてるってことでしょ？
1/2ずつじゃないってのはちょっとよくわからないけど
コマ大の解答では同じ問題なのに期待値は見る前はわからないが見たあとは12500円になると書いてあって
それが理解できない
- 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:32:17.10 ]
- >>69
>>32と同じと書いたがほぼ同じというべきだったな
俺は1/2ずつだと思ってるから
- 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:34:16.83 ]
- >>62
≫60の例は、考え方としては間違いの方向にはないだろう
◇＞□＞☆の関係があるとする
【◇□】も【□☆】の組み合わせも同じ量入っているとする
仮に◇10000＞□5000＞☆2500だとして（引いた人はこれを知らない）
開けた封筒が5000円の場合は50%の確率で+5000円、-2500円の損得
10000円を引いて交換すると常に5000円の損
2500円は常に2500円の得である
5000円を引く確率は50%、10000円、2500円を引く確率は25%づつ
5000円→50%+1250円[50%-2500円、50%+5000円]=
10000円→25%-5000円
2500円→25%＋2500円
そうするとこの箱から選んで交換する場合の期待値はプラスマイナス０です。
- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:36:22.85 ]
- >>71
そう結論づけるならわかるよ
つまり交換してもしなくても変わらないってことでしょ？
俺はそうなると思ってるから
- 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:41:54.69 ]
- 71の箱が無限にあり、【□☆】【☆○】も期待値プラマイゼロ71の箱が無限にあり、【◎◇】【◇□】も期待値プラマイゼロと無限に考えれば
【◎◇】【◇□】【□☆】【☆○】の集合でもプラマイゼロと考えられるだろう・・・
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:42:17.85 ]
- >>64
一体、何を書いているんだ？ だからおれは、
>> 逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。
と書く前に、具体的な存在比を仮定して、50%だとか、99%だとか、1%だとか書いただろう。
そして、その数値によって、判断は３つに分かれると。
だから、その判断材料に不可欠な数値が明らかでない以上、判断できないとかいた。
>>具体的な数値はわからなくても、答えを思考することはできる。
すでに、実践して示しる。
- 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:46:13.22 ]
- そして封筒を開けて□5000円が入っていたとして、それが【◎◇】【◇□】の□か、【◇□】【□☆】の□か、【□☆】【☆○】の□かは不明だが
【◎◇】【◇□】【□☆】【☆○】の中の□がプラマイゼロの期待値だから交換期待値は5000円だと思う
よってコマ大の空けて中身を見ると1.25倍の期待値になるというのは間違いだと思う
- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:49:06.46 ]
- >>75
俺も間違えだと思うんだよね
でもあの本が間違えるかな？
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:50:47.67 ]
- >>68 ご指摘の通り 訂正
誤：設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに同じ
結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
正：設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに異なる
結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
ついでに>>74 も訂正
誤：すでに、実践して示しる。
正：すでに、実践して示している。
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:52:25.94 ]
- 補足として、あけて10000円で交換しても期待値が１００００円というのを逆算すると、
残りの封筒に入ってるのは５０００円か２００００円
これの期待値が10000円になるためには、
5000円が2/3、20000円が1/3になる
ということはあけて10000円だった時点でそれが大きいほうだった確率は小さい方だった確率の２倍
10000円という数に意味はないから
無作為に２つの封筒から１つ取ると小さいほうを引く確率が２倍ということになる
？？？？？
これはどこが間違えてる？？
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:53:03.05 ]
- >>74
＞ そして、その数値によって、判断は３つに分かれると。
３つにわかれる？
交換する、しない、以外に何があるんだ？
- 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:54:01.48 ]
- >>76
間違えてもおかしくはないと思うけど・・・こういう時はコマ大チームの出番だと思うけど、
大量に二組の封筒を混ぜた箱から一組選んで1万回くらいやって、変えた場合、変えない場合のトータル金額を出す
大量に二組の封筒を混ぜた箱から選ぶというのが問題の意に反するといわれたどうしようもないが・・・
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:55:37.28 ]
- >>74
＞ すでに、実践して示しる。
先に手にした封筒が高額の方の封筒である確率がどのくらいの範囲ならば
交換後の期待値が高くなるのか等、示されていないと思うが。
実践というのは、そのような具体的な数値を示すことは含まないのか？
- 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:55:52.88 ]
- >>80
そういう試行したら絶対変わらないと思うんだよね
見たか見てないかで結果が変わるってのはありえないでしょ
あの番組に出てる数学者の人って一応それなりの人でしょ？
有名問題だし間違えるというのは考え難いなぁ
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:58:36.17 ]
- >>78
うまくいえないけど、
5000円が1/2、20000円が1/2の場合もあるし、5000円が0/1、20000円が1/1の場合もあるし、5000円が1/1、20000円が0/1の場合もある事も考慮に入れないといけない
それを平たくすると5000円が2/3、20000円が1/3となる、しかしこの2/3とか1/3は確率ではなく期待係数みたいなものかな・・
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 15:59:46.74 ]
- >>78
＞ 無作為に２つの封筒から１つ取ると小さいほうを引く確率が２倍ということになる
逆じゃないか？ 大きい方をひく確率が２倍だと言いたいんじゃないの？
もっとも、「交換後の期待値が交換前の金額と一致する」というところは間違い。
それは一致しない。
（たまたま一致することはあるが、するとは限らないと言ったほうがいいか？）
- 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:00:14.22 ]
- >>83
うーん
それがよくわからないな
大と小と書かれた二つの封筒があって
無作為に封筒あけて大きいほうである確率はさすがに1/2だよね？
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:02:01.58 ]
- >>84
そうだ、大きいほうが２倍の間違え
やっぱり確定した金額と期待値を比較するという概念自体が間違えてるということ？
じゃああけて１００００円だった封筒がある
この封筒の期待値っていくら？？
- 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:05:09.51 ]
- >>85
それで間違いないと思う、
この集合には見えない下限と見えない上限が存在するとすると、下限の出現する可能性と上限の出現する可能性は等しい
しかし、下限のときに100%プラスになる金額と上限のとき100％マイナスになる金額の差が膨大
よって長いことこの封筒の交換を行うと交換してもしなくても期待値は同じになる
よって個々の施行の期待値も同じであると考える
- 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:16:33.00 ]
- まとめると、
10000円引いたとき残りの封筒が5000円である確率は0か100%
10000円引いたとき残りの封筒が20000円である確率は0か100%
それを合成して5000円1/2、20000円1/2としているのが間違いなんだろうね
- 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:17:58.28 ]
- >>87
差が膨大ならプラスのほうが大きくなるんじゃないの？
というか言ってることの意味がよくわからない
- 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:19:13.55 ]
- >>88
まぁ、それはそうなんだよね
それが正しいのはわかる
結局もう１枚の期待値も今引いてるほうの期待値も定義できないってことでしょ？
コマ大は間違えてるってことになるけどそれもおk？
- 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:20:54.82 ]
- でもそれだと結局取り替えても変わらないってことでしょ？
それはもう１枚の期待値も１万円ということにはならない？？？
いや、期待値を考えることすらできないんだからならないのか？
- 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:21:21.23 ]
- >>87
書かれている金額にマイナスがあるんならその通りだけど、下限が０なら、上に発散する。
すると、「交換する方が常に得」という状況もあり得るが、無限を仮定した世界ならば、
このような事があっても不思議ではない。
>>88
正しい。面白い切り口だな。
- 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:25:49.35 ]
- >>91
取り替えた方がよいか、取り替えない方がよいか、判断に必要な材料がないのだから
判断できないのであって、変わらないというのとはニュアンスが違う。
期待値が考えられないというのは正しい
- 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:29:11.20 ]
- >>93
つまり、変えても変わらないのでなくて、
変えたら得になるかどうかは期待値の視点からもわからないということ？
- 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:30:34.46 ]
- だとすれば１つ目の封筒を見て替えることと見ないで替えることは
全く同じということでいい？
- 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:32:35.98 ]
- >>90
コマ大間違いはＯＫだと思う、
コマ大の先生は偉いから間違いないというなら、こちらのえらい先生は間違いというパラドックスが生まれてしまう
www.yoshizoe-stat.jp/stat/sinf9307.pdf#search='パラドックス 2つの封筒'
>>89
上限のときは100%-1億円とかになるから、マイナスに触れるの意味
>>91
半分になる確率や倍になる確率は不明でも、期待値は1万円でいいと思う
>>92
かりに無限があるとして、無限の2倍という存在し得ない数字がないと成立しないので上限てきな物は必ずあると考えている。また無限に０に近い数字というのものも考慮する、これは1/2に出来る数字ではない
あくまで期待値を求めるために考慮しないといけない存在・概念の話ですが・・・
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:33:44.77 ]
- >>95
まったく同じだろうね、実際に100万回やって、1.25倍の差は出ないと思う
- 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:35:55.86 ]
- ただ100万回の施行するのにどのような条件の元施行すればいいのか考えるのが大変
- 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:38:57.20 ]
- >>96-97
それだとなんの疑問も無くなってしまうな
ただ、
>半分になる確率や倍になる確率は不明でも、期待値は1万円でいいと思う
この部分はおかしくない？
確率不明で１万円ってことは、ありえる金額は５０００円か２００００円なんだから、
>>78の議論になってしまわない？？
- 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:39:51.38 ]
- >>94
「期待値の視点」というのは「期待値」が計算できて使えるもの
期待値を計算するには、(5000,10000)と(10000,20000)の存在比が不可欠
それが判らないから、期待値は、計算できない。よって、そのような視点は「使えない」
あえて「期待値」について触れれば、「5000より大きく、20000より小さい値の何処か」
にあるとしか言えない。（「7500以上15000以下」ではない)
>>90
コマ大は視聴の対象だけど信仰の対象ではないよ。
- 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:40:54.65 ]
- 参加費１万円で1/2で金額が倍1/2で金額が半分になるゲームがある
これは期待値の考えからいうと参加したほうが得
これは真だよね？
これと混同してしまっているところがパラドクスなわけだよね？
- 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:42:52.53 ]
- >>100
その考えなら最初の自分の考えと同じだからなんの問題もないわ
- 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:43:40.03 ]
- なるほど、なら、
個々の期待値不明だが、ある必要十分以上の試行回数において[Ｘ円ｘ試行回数]の期待値とするのがいいかな
- 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:44:44.84 ]
- >>101
それは真だね、1/2で金額が倍1/2で金額が半分と定義されているので・・・
- 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:45:01.63 ]
- 期待値は不明だけど、
理想的なモデルがあればおそらく、もう１個の封筒の金額も最初に開けた封筒と同じ金額に収束すると考えていいのかな？
- 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:54:18.02 ]
- >>105
そうだと思う、そう考えるとパラドックスが解消される
- 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 16:57:05.86 ]
- >>106
そうだね
そうすると収束するということは期待値も１万円になりそうなものだけどそうならないのが不思議だなー
１枚目も色々金額が変わってその結果x円に収束して、２枚目もx円に収束する
１回ごとは期待値不明、みたいなイメージかな
- 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 17:25:39.85 ]
- これで一回毎の期待値は等価で他に矛盾がなければすっきりするとことなんだが・・・
- 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 17:32:59.42 ]
- >>108
１回ごとの期待値を定義できないんだけど、取り替えても得しないってのがすっきりしないよね
- 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 17:33:46.35 ]
- >>109
得しないんじゃなかった
わからないのが正解か
長い目で見るとおそらく変わらないってことか
- 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 18:15:29.84 ]
- 人の会話が入っている音声テープがある。
所々音声を無音化してしまうと、何を言っているか判らないが、無音部分を電車の騒音の様な雑音に置き換えると、
なぜだか聞こえてしまうと言う現象がある。これは、脳が勝手に雑音部分を補完してしまって起こる現象だ。
経験がもたらした、脳の高度な機能と言える。
>>108>>109
すっきりしないのは当然。
数学の問題として成立させるために必要な情報が欠如しているんだから、答えが導けない問題なのだ。
そんなところに、>>101のような別のゲームの存在を脳は知っている。
冷静に考えれば、全く違う問題だと判るのに、あえて必要な情報を取り除いたことで、
勘違いあるいは錯覚を誘発させている。これこそが２封筒問題の正体だ。
- 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 18:16:49.37 ]
- 封筒は２つだけど一万円を引く確率は１／３じゃないの
引いた金額が１／２と１と２のどれに該当するかの１／３
その場合替えなかったら期待値11666円
結果でしか計算できないから問題にならないんだと思う
- 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 18:27:59.33 ]
- >>111
>>37の後半のように必定な情報が欠如してないのにもかかわらず矛盾が導ける例が存在する
- 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:25:09.22 ]
- >>113
無限が絡む例では、良くある例。
「無限に潜む不思議な話」に分類すればよいだけ。
- 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:46:25.24 ]
- >>88
＞ 10000円引いたとき残りの封筒が5000円である確率は0か100%
＞ 10000円引いたとき残りの封筒が20000円である確率は0か100%
そんな確率があるか。
- 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:48:14.33 ]
- >>87
どんな分布を仮定して、期待値を考えているんだ？
- 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:54:11.29 ]
- >>101
期待値を、損得の指針にしている所が問題。
期待値は一般には損得の指針にすることはできない。
損得は人間の感情による価値判断が含まれるので数学では扱えない
もしくは、数学的に扱えるような損得を定義する必要がある。
２封筒問題の根本は、それと混同しているところではない。
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:56:46.82 ]
- >>115
「◇□」と「□☆」がたくさん入った物の中から、ひとつの「？？」を選び、
「？？」の中かから一つ選ぶと「□」がでてきた。
もし、選んだ物が「◇□」だったら、残りの一方が「◇」である確率は100%で、「☆」である確率は0%
もし、選んだ物が「□☆」だったら、残りの一方が「◇」である確率は0%で、「☆」である確率は100%
残り一方が「◇」なのか「☆」なのかは、「◇□」と「□☆」の存在比が判らないと計算できない。
- 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:56:58.59 ]
- >>113
矛盾が導ける？ まさか？ どこに？
- 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:57:30.94 ]
- >>112
それ違う問題。
- 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:59:30.17 ]
- >>118
それ、
明日大地震が起きたら、大地震が起きる確率は１００％
明日大地震が起きなかったら、大地震が起きる確率は０％
だから大地震が明日起きるのは、１００％か０％
と、言ってるのとなんかちがうのか？
- 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 20:14:47.67 ]
- 文章の上辺しか読めないかわいそうな人だね。
論理的思考をしっかりと行うために、比較対象が可能なように、当たり前のことを丁寧に書いている。
□がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
考えが出来ないことを丁寧に示している。
他方が◇であるためには、選んだ物が「◇□」でなければならない。
他方が☆であるためには、選んだ物が「□☆」でなければならない。
それならば、他方が◇であるか☆であるかは、選んだ物が「◇□」であるか「□☆」であるに依存する。
その確率は、たくさんあった物のなかの「◇□」と「□☆」の存在比に依存する。
この論理展開の説明の一部分があの中にある。
今日の投稿ぐらい、きちんと読み直してから、書き込みしたら？
- 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 21:12:34.49 ]
- Aを選んでからBにかえるのと
Bを選んでからAにかえるのと
どっちかが高くてどっちかが安いんだから得する確率はどちらかが1でどちらかが0
AもBも事前に確定しているのだから、2回目のケースが枝分かれすることはない
- 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 21:13:14.33 ]
- >>121も「だからといって1/2とは言えない」ことを端的に表しているので
結局は数学的な期待値に影響するような違いではなく
あつかうテーマの違いでしかないということでいいのか？
また
＞ □がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
＞ 考えが出来ないことを丁寧に示している。
これは「理由不十分の原理により1/2」とは適応できないだけの
十分な理由があると言っていると考えていいのか？
レス内容の人格の問題については、ここは数学版なのでわざわざ考慮も反論もしない。
- 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 21:13:58.07 ]
- >>123
＞ 2回目のケースが枝分かれすることはない
詳しく。 何を言っているのか意味不明。
- 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 21:31:15.28 ]
- 主観確率
ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E8%A6%B3%E7%A2%BA%E7%8E%87
ベイズ確率
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%A2%BA%E7%8E%87
という考え方(哲学的解釈)があるのを知らないのか、あるいはこれを認めない主義なのか？
例えば
偏りがあり、投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは判明しているが
どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコインを１回だけ投げた場合の表が出る確率は
[A]判らない。０以上１以下で、１／２ではないとしか言いようがない
[B]１／２である
という２つの考え方があって、どちらもそれぞれで正しい
(どちらの値に関してもそれぞれ確率論の公理を満たすようにできるから、それぞれ確率と呼べる)。
[A]の考え方(前提)では確かに
> □がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
> 考えが出来ない
となるが、
[B]の考え方(前提)では
他方が◇である確率1/2, 他方が☆である確率1/2 としてよい。
また[B]の考え方の下で矛盾が導かれることはない。
[A]と[B]を混同したり、期待値の計算を間違えたり、損得の定義がいい加減である
と正しい推論ができない。
- 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 21:36:53.25 ]
- >>124
>>32 >>33 >>60 >>67 >>77 >>100辺りに私の意見は書いてある。
1/2とは出来るはずがない理由、「判断できない」が正答だという理由も書かれている。
期待値を求めるのに必要な情報がないからだ。その辺りを読み直して欲しい。
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 22:42:46.15 ]
- >>119
矛盾が導けるってのは言いすぎたかもしれんが
変えた方の期待値の方が高くなるってのは直感には反してると思う
- 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 23:15:37.97 ]
- >>127
＞ 1/2とは出来るはずがない
という結論は
「理由不十分の原理により1/2」とは適応できないだけの
十分な理由があると言っていると考えていいのか？
それとも理由不十分の原理については考慮の外なのか？
- 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 23:20:43.63 ]
- この２封筒問題を始め、最初のカードがダイヤの確率問題などの
一見簡単そうな確率の問題がよく話題になり延々ともめるのは
問題そのものの根本とはあまり関係なく関係なく
数学の用語についての定義もろくに知らないようなのが
自分の主張が伝わらないのは、自分の理解や説明が不足して
いるからはなく相手の頭が悪いからだと考え
相手の人格や能力について批判を始めるところにある。
- 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 23:28:20.22 ]
- >>128
矛盾が導けるものと、直感に反するもののどちらもをパラドクスと呼ぶことがあるが、
それらは一方が他方を含むとか、階層構造を成すというような関係のものではない。
極端な言い方をすれば、非自明な定理はすべてパラドクス（直感とは結果が異なる）とも言えるが
矛盾という意味でのパラドクスは、その定理そのものが矛盾しているのではなく
仮定（公理）が矛盾を含んでいるのである。
- 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 00:01:03.40 ]
- 一言で言うと、2回目の結果は1回目の従属事象なので
1回目が終わった後に独立に計算するのが間違い
- 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 00:19:18.28 ]
- 交換前と交換後を１回目２回目と言ってるのかな？
用語は、他人に伝えるのを目的に選んでほしいなぁ
- 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 00:23:19.82 ]
- >>117
期待値の考えからと限定してるだろ
だから期待値がプラスかどうかを損得に定義してるんだよ
- 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 00:36:46.70 ]
- >>133みたいなバカは理解できなくていいよ
- 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 00:40:41.67 ]
- >>129 他方の封筒が5000なのか、20000なのかは、元々の封筒のペアが(5000,10000)なのか、
(10000,20000)なのかに依存する。
問題文には、その封筒のペアが、(5000,10000)である確率と、（10000,20000）である確率
あるいは、(5000,10000)と（10000,20000）だけの存在比率は確認できない。
確認できるのは、二枚の封筒の一方が他方の二倍だと言うだけ。
高額の方を引く確率と低額の方を引く確率は1/2づつだということははっきりしているが、
10000が高額の方の金額である確率((5000,10000)と言うペアを採用する確率）や
10000が低額の方の金額である確率((10000,20000)と言うペアを採用する確率）について、
何も情報が与えられていない以上、判断のしようがない。
具体例を出すと、例えばもし、50組の(5000,10000)が入った大袋と、50組の（10000,20000）
が入った大袋、合計100の大袋の中から、一つの大袋を選び、その大袋の中の二つの袋の中
から一つの封筒を選んで10000がでたというのなら、他方の封筒が5000である確率と20000で
ある確率は、両方とも1/2づつになる。
もし、1組の(5000,10000)が入った大袋と、99組の（10000,20000）が入った大袋、合計100の
大袋の中から、一つの大袋を選び、その大袋の中の二つの袋の中から一つの封筒を選んで
10000がでたというのなら、他方の封筒が5000である確率は1/100、20000である確率は99/100となる。
このように、(5000,10000)と（10000,20000）の存在比等がはっきりしていれば、確率は計算
できるが、この問題には、この様な情報がないため、判断のしようがない。
偶然か故意かはともかく、>>111で書いたような効果と相まって、混乱を引き起こす問題となっている。
- 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:07:38.99 ]
- >>129
[理由不十分の原理]と言う言葉は初めて聞いたので、検索したら、
[不十分理由の原理]というものが見つかった。（両方使われているようだ）
>> 統計学上の原理で，種々の場合が同様に確からしく起こるということに，反対理由
>> が見いだされない場合には，やはり同様に確からしく起こるという原理．
ttp://kotobank.jp/word/%E4%B8%8D%E5%8D%81%E5%88%86%E7%90%86%E7%94%B1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
高額の封筒を選ぶか、低額の方の封筒を選ぶかについては、この原理は適用（適応×）でき1/2と出来るが、
10000を引いた時、他方の封筒が5000か、20000かについては、この原理は適用できない。
反対理由がある。
(5000,10000)内で、前者か後者か、あるいは、(10000,20000)内で、前者か後者かは原理に従い1/2だが、
ペアが、(5000,10000)なのか、(10000,20000)なのかは、>>136のような任意性もあるし、作為も出来る。
この原理が適用できる訳がない。
また、(5000,10000)なのか(10000,20000)なのかが同様に確か等という内容も問題文には一切記されていない。
- 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:09:05.38 ]
- えらくわかりづらい内容だな
もうちょっと簡潔に書いてほしいもんだ
- 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:21:47.25 ]
- 頭の悪い人はどう説明しても理解できないだろ
ここまでにまともな説明が既にいくつも出てきてるんだから
- 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:32:14.43 ]
- >>139
まともな説明はどれですか？
- 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:50:08.06 ]
- ざっと読んでわからないのなら
これだと言われて読んでも理解できないだろう
- 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:52:23.63 ]
- >>135
さっそく>>130の実践
- 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:53:13.93 ]
- >>134
＞期待値がプラス
また新しい用語の自分定義か？
- 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 01:55:14.69 ]
- >>143
交換したほうが期待値が高くなるってことね
くだらない揚げ足取りやめてくれる？
- 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:03:28.30 ]
- >>137
＞ この原理が適用できる訳がない。
「他方の封筒が２倍の時と半分の時では等確率でない」と書かれていないことも含め
封筒の金額の分布に関する情報が、問題文には一切無いことには同意しているにもかかわらず
それが等確率ではないという「理由」は何か？
理由不十分の原理が適応できない以上は「等確率ではない」という情報が必要だということは
理解しているか？
それとも、「理由不十分の原理」そのものを認めないという考えなのか？
- 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:10:35.19 ]
- >>144
「期待値が高く【なる】」というのは、期待値が変化するってこと？
- 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:11:16.00 ]
- >>139
>>130
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:11:47.37 ]
- >>146
>>101の例でいうと期待値が10000円より上という意味
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/02(水) 02:45:47.75 ]
- 微妙な問題を扱っているという自覚があるなら
最初から誤解のない言い方にしてほしい。
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