- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/29(土) 13:14:41.54 ]
- [問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
選んで中を見ると10000円だった。
他方の封筒の金額の期待値は？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。
このような問題を他スレで話題にしたりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くよう誘導お願いします。
派生元
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
過去スレ
２つの封筒問題スレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267847049
２つの封筒問題スレ 2
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272010151
２封筒問題スレ その３
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286091715/
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:47:04.83 ]
- >>262
未だに気づいていないようなので、指摘しておくが
「1/2だと判断は出来ない」は、
1/2という値を否定したものではなく、「判断できる」を否定したもの
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:52:10.62 ]
- >>267
スレ検索しても 「1/2だと判断は出来ない」 というのは見つからないんだけど。
「1/2とは出来るはずがない、『判断できない』が正答」
というのはみつかったけど、ずいぶんニュアンスが違うので他の人のようだよ。
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:00:36.07 ]
- >>266
なんかよくわからんが、貴方がそういう流儀なのは分かった。
仮定をした上で論じることを禁止るるものでないことも分かった。
サイコロとディーラーが異なるのは、ディーラーの行動が構成的でないからなのかな？
ディーラーが不在で、自動的に金額を決める手段が提供されていれば
恣意的に確率を支配することはできなくなるので、サイコロと同様に考えても良い
ということでいいのかな？
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:11:15.92 ]
- >>266
俺の知っている理由不十分の原理とはずいぶん異なるものを
そう呼んでいるようんなんだが、その理由不十分の原理では
出る面に偏りがあって、投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは解っているが
どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコインを１度投げた場合に表が出る確率
には、その「理由不十分の原理」は適応して1/2ふだということはできるの？
原理は仮定ではないということなので、もし適応できるなら1/2以外になることは
できないということなの？
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:13:40.37 ]
- 誤字が多いので書きなおす
その「理由不十分の原理」を適用して1/2だということはできるの？
また、原理は仮定ではないということなので、もし適用できるなら
逆に適用させずに1/2以外になることはできないということなの？
もし、適用させたりさせなかったりが自由にできるということなら
それは仮定と何が違うの？
- 272 名前：263 mailto:sage [2011/11/05(土) 03:17:24.19 ]
- >>266
＞ 普通の問題では仮定などしない。きちんと問題に書かれている値を使うだけ。
それは、サイコロやカードを使う問題で、問題文に各面や各カードが出る確率の
値が書かれていない問題は普通では無いという意味？
そういう問題はわりとよく見かけるけど。
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:23:04.34 ]
- >>266
「恣意的」とか「確率を支配」とか、意味がどうとでもとれる単語ではなく
もうすこし数学的に言ってくれないかな。 かえってわかりにくくなっている。
サイコロが等確率なのは、慣習ではなく原理で決まっている。
一方、(5000-10000)なのか(10000-20000)なのかは、金額を決める手段が確定的でないから
原理が適応できない。
という主張ということでよろしいか？
- 274 名前：273 mailto:sage [2011/11/05(土) 03:25:58.71 ]
- すまん。 >>269が既に同じ事を言ってるな。273は無視してくれてい。
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 04:01:00.07 ]
- >266の人気に嫉妬
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 04:53:25.25 ]
- ＞ 普通の問題では仮定などしない。きちんと問題に書かれている値を使うだけ。
そういう問題しか見たことないのかな？
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 08:55:21.81 ]
- おまえら、なんでそんなに意地悪してんの？
２封筒問題で1/2を仮定できないのは
もっと積極的な理由があるだろうよ。
- 278 名前：196 mailto:sage [2011/11/05(土) 10:19:36.28 ]
- 「積極的な理由」は散々既出だし、それをあらためて>>266に説明しても理解出来るとは限らないしね。
ところで>>266の主張では
「ディーラーがサイコロを振りました。」と書かれていればその原理とやらを適用可能だが、
「ディーラーが１から６までの自然数のどれかを選びました」と書かれている場合には適用出来ない。
ということだよね？
まぁ、>>266がそういう立場をとるとしてもそれは哲学の話だからそれはそれで別に良いんだけど。。。
ただ二封筒問題の本質的な部分とはあまりにもかけ離れているけど。
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 10:54:42.83 ]
- >>270 137で引用した物を再掲する
>> 統計学上の原理で，種々の場合が同様に確からしく起こるということに，反対理由
>> が見いだされない場合には，やはり同様に確からしく起こるという原理．
ttp://kotobank.jp/word/%E4%B8%8D%E5%8D%81%E5%88%86%E7%90%86%E7%94%B1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
偏りがある事が判っているコインは、「偏りがある」という「反対理由」を見いだせるため
この原理を用いることはできない。
>>273 「原理で決まっている」ではない。「原理」からその値を使う。理由が原理の適用だと言っている。
>>269
>>ディーラーが不在で、自動的に金額を決める手段が提供されていれば
>>恣意的に確率を支配することはできなくなるので、サイコロと同様に考えても良い
「自動的に金額を決める手段」を決める時に、確率を決めることが出来る。感情の有無が問題なのではない。
偶然「だけ」が支配するものではない。確率を自由に決めることが可能であることが、決定的に違う。
サイコロやコインなどは、(1/候補数)がそのままそれぞれの確率(原理由来の確率)になるが、金額が
決まった封筒は、(5000を選択する確率)/((5000を選択する確率)+(10000を選択する確率))等という条件付
き確率になる。サイコロやコインのように、「原理」の適用から直接的に求まる物ではない事も異なる。
「選んだ封筒が高額側か低額側か」というのと、「10000が入った封筒が高額側か低額側か」は明確に区別できる。
>>278 ディーラーが金額を決める手段が予め決まっていると言うことは、分布が決まっていること。別の問題だ。
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 12:29:52.07 ]
- >>279
>>278 は 手段が決まっている話なんかしていないと思うなあ。
書かれていない手段を勝手に仮定したら別の問題になるんじゃななかったの？
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 12:34:08.76 ]
- >>278
これだけ書延々と書き続ける暇があるにもかかわらず
そこいらにいくらでも転がってるものを読む暇はないなんてことは考えにくい。
そんなことはとっくにみんなわかってて
「俺は釣られてるんじゃない釣ってる方だ合戦」を延々続けてるんだろう。
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 13:12:46.17 ]
- １つ目の封筒をAと固定して、２つ目の封筒は 2Aか 1/2Aが 1/2の確率になる
という前提で考えているからおかしくなるんでしょう。
A, 2A が入っている２つの封筒がある。
１つ目に Aを引けば２つ目は100%の確率で2A
１つ目に 2Aを引けば２つ目は100%の確率でA
つまり、１つ目の期待値は3/2A、２つ目も3/2A
１つ目が1000で、２つ目が2000または500というのは
A=500, 2A=1000
A=1000, 2A=2000
ということであり、
A=1000, 1/2A=500
A=1000, 2A=2000
として計算しているからおかしいのでは？
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 13:32:30.86 ]
- >>282
＞ １つ目に Aを引けば２つ目は100%の確率で2A
＞ １つ目に 2Aを引けば２つ目は100%の確率でA
＞ つまり、１つ目の期待値は3/2A、２つ目も3/2A
１行目のAと２行目のAの値が異なるので、３行目を結論できない。
最初に出てきた金額が１００００だったとき
１行目は １００％の確率で２A つまり２００００円
２行目は １００％の確率でA つまり５０００円
と言っている。
そこで、３行目の3/2A とは１万５千円なのか７千５００円なのか？
それともまた異なる値か？
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 14:06:50.05 ]
- >>279
＞ 「自動的に金額を決める手段」を決める時に、確率を決めることが出来る。感情の有無が問題なのではない。
そこで1/2になるように決めたらどうなの？
サイコロだってわざわざ１～６の目が1/6になるように、目の振り方を決めているわけでしょ。
その気になれば１は1/3ででるが６は出ないサイコロだって作れるのに。
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 14:07:39.06 ]
- >>281 ちょ、おま
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 14:13:26.89 ]
- >>283
１行目のAと２行目のAは同じで考えてくれ。
A=10000のパターン
１つ目が10000なら、２つ目は20000(*1)
１つ目が20000なら、２つ目は10000
期待値は、１つ目も２つ目も15000
A=5000のパターンは
１つ目が5000なら、２つ目は10000
１つ目が10000なら、２つ目は5000(*2)
期待値は、１つ目も２つ目も7500
実際には期待値は、２つとも見た時点でしか計算できない。
10000を引いても、それがA=5000なのか、A=10000なのかはわからない。
Aの値が違うにもかかわらずこの２つのパターン(*1と*2)を無理矢理足しているから
交換した方が1.25倍得というおかしな結果になるのではないか。
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 14:21:59.61 ]
- >>286
＞ 期待値は、１つ目も２つ目も15000
＞ 期待値は、１つ目も２つ目も7500
どういう期待値だそれは？
ふたつの封筒の平均金額が、交換前と交換後で変わらないかどうかを考えてるのかな？
- 288 名前：282 286 mailto:sage [2011/11/05(土) 16:17:35.47 ]
- 思いつきで書いてしまったので、なんか違っていたようですまん。
有限個の組み合わせを考える。小数が出ないようにすべて2の倍数のみ考える。
2,4
4,8
8,16
の３つの封筒の組み合わせがあるとする。
それぞれ１つ目,２つ目 に引く可能性があるのは以下の６通り
2,4
4,2
4,8
8,4
8,16
16,8
この場合、１つ目が4または8なら確かに1.25倍期待値が上がる。
2,4(2倍になる) と 16,8(1/2倍になる) のパターンを考えていないので、
必ず1.25倍になるわけではない。
つまり、大多数の場合は1.25倍になるのだが、大損するパターンがあるので、
トータルとしては１つ目も２つ目も期待値は変わらない。
(ちょっと得するパターンがたくさんと大損するパターンが１つある。)
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 22:16:57.32 ]
- 楽しむも何も授業でやったことを
ちょっと意識して忘れないようにすることが
なんでそんなに苦痛なのかわからん
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 23:04:38.62 ]
- 2つの封筒の金額の比はA：2A、もしくはA：A/2
2つの封筒のうち、金額Aの封筒を選ぶ確率はa、もう一方の封筒を選ぶ確率は1-a
もう一方の封筒の金額がAの倍額である確率はb、半額である確率は1-b
(最初に選ぶ封筒の金額,他方の封筒の金額)【確率】は
(A,2A)【ab】
(A,A/2)【a(1-b)】
(2A,A)【(1-a)b】
(A/2,A)【(1-a)(1-b)】
の4通り
最初に選ぶ封筒の期待値は、A(1+a+3b-3ab)/2
他方の封筒の期待値は、A(2-a+3ab)/2
封筒を選ぶ条件が同じ場合
a=1/2で期待値はどちらも同じA(3/2+3b/2)/2になる
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 01:12:32.67 ]
- 213 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/11/05(土) 10:11:10.69
封筒の問題だけどさ、最初に選ぶ期待値は
(1/2)*A+(1/4)*(A/2+2A)=9A/8
で、見た後の残りの封筒の期待値は
先に見たのがAの時、(1/2)*(1/2)*(A/2+2A)=5A/8
A/2の時、(1/4)*A=A/4
2Aの時、(1/4)*A=A/4
で足すと9A/8になって一緒なんじゃねーの？
先に見たのがA/2か2Aなら中身はAの可能性だけなのに、
それをBとおいて残りの封筒が2BとB/2が1/2ずつってするのはおかしい
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 04:42:58.05 ]
- 既出かどうか分からないけど
この問題と逆の問題を考えたらいいんじゃないかと思っています。
Q
同じように封筒を２枚用意。
重さや見た目では高額や低額の封筒は判別出来ない。
片方の封筒はもう片方の封筒の倍額入ってる。
２枚のうち１枚を選ぶ。
今回は選ばなかったほうの封筒を開ける。
１万円入ってます。この１万円と選んだ封筒を交換できます。
交換したほうが得でしょうか？
A
自分の持ってる封筒は５千円か２万円の可能性がある。
高額な封筒を見極めることは出来ない。
高額を選ぶ確率も低額を選ぶ確率も1/2だから、
期待値を計算すると12500円。
交換すると期待値の4/5倍しかもらえなくなるので交換しないほうが得。
これならB君を入れて相手の金額を知った上で相互交換しても
両方4/5倍の期待値になるので互いに交換しないほうが得。
元の問題の5/4倍の期待値との釣り合いも取れそうな気がします。
- 293 名前：196 mailto:sage [2011/11/06(日) 08:38:11.96 ]
- >>279
>>278の疑問文は（二封筒に限らず）一般的に君の主張によればこういうことになるよね？という質問
もちろん君の答えはYesだよね？以下も一般論として
「裏表の出方に偏りがあるコイン」にはその原理は適用出来ない。
「裏表の出方に偏りが無いコイン」は、原理を適用するまでもなく、裏表が出る確率は等しい。
「裏表の選び方に偏りのあるディラー」にはその原理は適用出来ない。
「裏表の選び方に偏りが無いディラー」は、原理を適用するまでもなく、裏表選ぶ確率が等しい。
ここまでは誰もが認めると思う。
なんの説明も無く「コイン」とだけ言われた場合>>279によると原理を適用出来る。
なんの説明も無く「ディラーが裏表選ぶ」とだけ言われた場合>>279によると原理を適用出来ない。
この違いは何だ？「ディラーが選ぶ手段」が問題なのであれば、
「コインがどのような状態からどのような初速、回転数で投げられるか」はなぜ問題とならないのか？
そもそも>>279にとっての「コイン」の定義は何だ？（もちろん現実のコインは裏表に偏りが有る）
ディラーの選び方に対しては
>偶然「だけ」が支配するものではない。
と考えているようだが、コインに対しては「偶然「だけ」が支配する」と言えるのか？
>>281
延々と？私はこのスレでは>>196と>>278しか書いていない。
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 18:21:35.96 ]
- >>291
＞ 封筒の問題だけどさ、最初に選ぶ期待値は
＞ (1/2)*A+(1/4)*(A/2+2A)=9A/8
何を言っているのかわからない。
Aってなんだ？
- 295 名前：281 mailto:sage [2011/11/06(日) 18:26:35.57 ]
- >>293
そんなに理解しにくい書き込みだったかな？ >>281は>>278の↓にレスしたもので
＞ 「積極的な理由」は散々既出だし、それをあらためて>>266に説明しても理解出来るとは限らないしね。
なにも>>728がそうだと言っているわけではないよ。
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 23:18:45.93 ]
- もともと、一つめを開ける前は
期待値なんか無い
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 23:22:29.16 ]
- 封筒二つで100倍なら、
平均の期待値なら、換えたほうが
高くなるし。
それだけじゃん
- 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 01:30:55.70 ]
- >>297
馬鹿の来る所ではありません。 巣に帰りなさい。
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 02:36:01.69 ]
- 入っている金額の比が１：２の封筒の一方の中身を見ると10000円だったので
2つの封筒の中身は
①(10000,20000)
②(10000,5000)
の2パターン
①と②の起こる比はm：n
他方の封筒の金額の期待値は
20000m/(m+n)+5000n/(m+n)=10000(4m+n)/2(m+n)
交換して得になる確率はm/(m+n)
他方の封筒の金額はどちらかで固定なので、
m>nならば交換するべき
他方の封筒が20000円もしくは5000円がm：nの比率で入った物になる時、
10000(4m+n)/2(m+n)>10000ならば交換するべき
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 03:24:41.39 ]
- >>299
＞ m>nならば交換するべき
m > n/2 ならば 交換するべき
の間違いじゃね？
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 03:53:31.26 ]
- おもしろい問題だな
黄金比関係あるね
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 04:38:06.40 ]
- ないない
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 07:49:40.18 ]
- 100倍なら封筒100個?
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 08:06:09.76 ]
- 封筒の価値は金額に含めませんよ
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 08:27:56.20 ]
- 最初に選んだ封筒を開けて出てくる金額をa円としたら封筒ペアは、
（a/2、a)、（a、2a)のどちらか。
このうち低額（a/2、a)のほうのペアである確率がpであるとしたら
3a（2-p）/4 なので、 これをpが0～1の区間で積分すると9a/8になる。
つまりは本来、期待値9a/8であったところが実際に引いてみると
a円しか出て来なかったのである。 これは期待値よりもa/8も少ない。
となると、残った封筒には9a/8よりもa/8多い5a/4入っていて然るべきである。
さて、問題文の通り封筒を開けてみると10000円入っていたとしよう。
のこった封筒には5a/4= 12500円入っていることが期待されて当然ではないか。
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 08:33:14.25 ]
- >>305では、勝手な分布の仮定は一切していない。
問題では分布が与えられていないので、期待値は計算できないと言う諸氏の
ご意見を拝聴したい。
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 08:37:07.16 ]
- いやもう釣りはいいから
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 09:17:34.64 ]
- >>300
それは最後の行を整理するとそうなる
引いた金額(10000円)に対して新たにどちらかが用意されるなら
m>n/2ならば交換するべき
m=nとする時、
期待値は12500、得になる確率は1/2、m>n/2なので交換するべき
問題の場合は金額は①②のどちらかを選んで固定されてるから、
m>nならば交換するべき（①である可能性が高い）
m=nとする時
期待値は12500、得になる確率は1/2、交換するべきかどうかは同じ
m：nの比が不明だったら交換するべきかは不明
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 12:57:29.42 ]
- >>306
aを決める確率分布を知っているとすると、そういう計算は間違っていることになる。
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 13:00:52.66 ]
- >>14
おいこらお前、その分布にした根拠を述べろよ。
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 16:59:08.89 ]
- >>309
＞ aを決める確率分布を知っているとすると、
知らないでやってるんじゃないの？
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 17:01:09.29 ]
- >>308
＞ ①と②の起こる比はm：n だったとき
＞ 他方の封筒が20000円もしくは5000円がm：nの比率で入った物になる時
両者は同じなのになぜ結果が異なるんだ？
- 313 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 17:53:38.80 ]
- >>311
「知らない」と言う意味が分からない。
- 314 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 18:00:30.65 ]
- >>311
私が袋に赤だまを何個か、白だまを何個か入れます。
個数はあなたには教えません。
ここから無作為に1つとったときの赤球をとる確率を求めなさい。
2色の球の材質などは同じとします。
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 23:22:08.63 ]
- >>312
比は全て同じとして(X,2X)で行った時に、
Xを引いた時2XかX/2、
2Xを引いた時4XかXの入った封筒が交換対象
こういうルールなら交換した方がいい
問題の場合は、
Xを引いた時2X、
2Xを引いた時Xの入った封筒が交換対象
最初に選ぶのはX,2Xのどちらか、交換するのは残りのどちらか
最初にどちらを選ぶかが1/2なら残りも1/2で同じ
- 316 名前：QED mailto:sage [2011/11/08(火) 01:27:43.89 ]
- 封筒に、X円か、2X円が入っている。
どちらかの封筒を開いて Z円だったとき
(A) Z = X であれば
. 交換 すると 2X円 ...(1)
. そのままだと X円 ...(2)
(B) Z = 2X であれば
. 交換 すると X円 ...(3)
. そのままだと 2X円 ...(4)
よって、交換するとき (1),(3) より
(X + 2X) /2 = 1.5X 円 ...(5)
交換しないとき (2),(4) より
(2X + X) /2 = 1.5X 円 ...(6)
ただし、Zをひいたとき、それが X か 2X かの区別はつかない。■
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 02:15:21.44 ]
- y=X/√2として、やってみそ
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 02:35:16.29 ]
- 翻訳コード：X円→安い方、2X円→高い方 に通すと
(Ａ)封筒を開いて、安い方であれば
.交換すると高い方...(1)
.そのままだと安い方...(2)
(Ｂ)封筒を開いて、高い方であれば
.交換すると安い方...(3)
.そのままだと高い方...(4)
よって、交換するとき、(1),(3)より、{(安い方)+(高い方)}/2...(5)
交換しないとき、(2),(4)より、{(高い方)+(安い方)}/2...(6)
ただし、封筒を引いた時、それが安い方か高い方かは区別はつかない。■
- 319 名前：QED mailto:sage [2011/11/08(火) 03:22:50.66 ]
- で、増えるパターン
Z -> 2Z (Z増えた)
減るパターン
Z -> (1/2)Z ( (1/2)Z減った)
で、「Z 増える」か、「(1/2)Z減る」か、の二択に見えるけど、
増えるパターンと減るパターンでは、
そもそもZがちがう[(A)ならZ=X (B)ならZ=2X]から、比較にならない。
- 320 名前：QED mailto:sage [2011/11/08(火) 03:32:00.00 ]
- そもそも、最初にひいた Z円は、
(X + 2X)/2 = 1.5X 円 の期待値。
1.5X -> 2X となるか、
1.5X -> 1X となるか、であって、
その平均は (2X + 1X)/2 =1.5X
交換しても
増えたり減ったりしない。
- 321 名前：196 mailto:sage [2011/11/08(火) 08:59:34.48 ]
- もしこの問題を理解したいと真剣に考えている人が居るなら
英語版wikipediaを読むといいよ。
en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
（ただし>>1の問題と一般的に二封筒問題と知られている問題は少しニュアンスが違うけど。）
>>295
了解
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 09:56:54.30 ]
- >>313
知ってる、の補集合ですよ
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 10:03:34.83 ]
- >>314
こういうこと？
私は２つの封筒にある金額を入れますが、それぞれどんな金額を入れるかはあなたには教えません。
どちらかの封筒を選んで金額を確かめたら封筒を交換することもできます。
最初に開けた封筒が１００００円でした。封筒を交換したときの期待値はいくらでしょうか。
- 324 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 12:06:43.79 ]
- まだあったんだ。
X、2Xの場合は、
期待値を相加平均で求めるからいけないんだろ。
相乗平均にすればなんの問題もない。
X、X+α なら
期待値を相加平均にする。
X、f（X）なら
f特有の平均を考える。
これで全て解決。
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 16:06:49.32 ]
- >>324
＞ 期待値を相加平均で求めるからいけないんだろ
相加平均で求めてなにも問題はない。
そもそも期待値とはそういうものだ。
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 16:09:47.30 ]
- >>315
で、交換後の期待値はいくらになるの？
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 16:11:28.86 ]
- >>316
封筒を開けて出た金額が Xと ２Xで異なる場合の
交換後の期待値を合算したり平均をとってはいけない。
- 328 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 17:18:01.16 ]
- >>325
そりゃ問題はないさ。
期待値なんて、ただの根拠のない単なる値だからな。
だが、相乗平均だと計算しても1倍だが、
相加平均は1.5倍になっちまうけどなwwwwww、
- 329 名前：Mr.７４３ [2011/11/08(火) 18:38:26.21 ]
- 手元の封筒の中身が 1000円 と判った時点で、
もうひとつの封筒の中身が 2000円 である確率が 1/2、
500円 である確率が 1/2 というのはホントか？
を反省してみる必要がある。
- 330 名前：Mr.７４３ [2011/11/08(火) 18:39:40.71 ]
- 最初に金額の多い封筒を引くか、少ない封筒を引くかは五分五分だから、
条件付確率は
P(手元1000円｜総額3000円)＝1/2
P(手元1000円｜総額1500円)＝1/2
でよいが、
ベイズの定理より
P(手元1000円｜総額3000円)・P(総額3000円)＝P(総額3000円｜手元1000円)・P(手元1000円)
P(手元1000円｜総額1500円)・P(総額1500円)＝P(総額1500円｜手元1000円)・P(手元1000円)
と、
自明な
P(総額3000円)＋P(総額1500円)＝1
P(総額3000円｜手元1000円)＋P(総額1500円｜手元1000円)＝１
を併せても、
- 331 名前：Mr.７４３ [2011/11/08(火) 18:40:18.58 ]
- 判ることは
P(総額3000円)／{１-P(総額3000円)}＝P(総額3000円｜手元1000円)／{1-P(総額3000円｜手元1000円)}
くらいのもので、
P(総額3000円｜手元1000円) を知るためには、最初の総額が 1000+2000円 だったか、
1000+500円 だったかに関する情報 P(総額3000円) が必要になる。
P(総額3000円) のデータは、この話では与えられていない。
安易に
P(総額3000円｜手元1000円)＝1/2
P(総額1500円｜手元1000円)＝1/2
としたところに混乱の元がある。
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 19:37:55.30 ]
- >>328
＞ 相加平均は1.5倍
なにの1.5倍になるんだ？
もしかして交換前の金額の、だったらならないぞ
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 19:43:39.74 ]
- >>329
スレの現在の話題は、もうその段階ではない。
最初の封筒を開け10000円が出てきたときに
もうひとつの封筒の中身が 20000円 である確率が 1/2、
5000円 である確率が 1/2 と仮定すれば
期待値は12500円となることになにも問題はない。
現在の話題は、その仮定をすることに
何か問題はあるのか、だ。
- 334 名前：Mr.７４３ [2011/11/08(火) 20:49:35.13 ]
- >>333
問題はないが、根拠がないから意味もない。
１：２ではなく１：１０００だった場合を考えてみよう。
「選んだ方をあげる」と言われれば、１０００円を見た時点で
もう一方は１円なんだろうと考える。
P(総額3000円)＝P(総額1500円)=1/2 だと考える根拠は何もない。
- 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 00:36:43.21 ]
- >>334
もう一方が 1000000
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 02:17:20.37 ]
- >>334
数学でないことをやりたいなら、相応しい板へ移動するべき
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 04:26:39.80 ]
- >>333
> 最初の封筒を開け10000円が出てきたときに
> もうひとつの封筒の中身が 20000円 である確率が 1/2、
> 5000円 である確率が 1/2 と仮定すれば
> 期待値は12500円となることになにも問題はない。
>
> 現在の話題は、その仮定をすることに
> 何か問題はあるのか、だ。
結論から言えば問題だらけだ。その間違った仮定をする事が、この問題がパラドキシカルに見える原因だと言って良いと思う。
即ち、そのような仮定をするという事は、この２封筒ゲームのルールを変えているのと同じだ。
封筒の選択の前に２つの封筒それぞれに入れられた金額は固定される。
選択で可能なのは高額のお金の入った封筒を選ぶか低額のを選ぶかだけだ。
その選択に於いて各封筒を1/2で選ぶというのを仮定する事は、封筒は区別がつかないといった問題文の記述から妥当だろう。
しかし、既に２つの封筒の中身の金額がセットアップで固定されている以上、選択後に選んだ封筒の中身の額をみたところで
残りの封筒の金額は変わらない。
つまり10000円を見た時点で分かる事、現在のプレイ中のゲームに関しては、
（A)もう一つの封筒の中身が20000円の確率が１のゲームであるか、
あるいは
（B)5000円の確率が１のゲームであるか、
そのいずれか以外の金額では有り得ないという事だけ。
もう一つの封筒の中身をどうしたかというのは、現在プレイ中のゲームが始まる前の封筒のセットアップの時点で
決まっており、封筒のセットアップに関する確率分布は問題文で何も規定されていないのだから、
（A)と（B)とが平等の確率1/2でセットアップされると仮定するのは妥当ではない。
この２封筒ゲームを何度もプレイする場合に、封筒を用意する側は常に5000円と10000円の金額で２つの封筒をセットアップする事が
問題文の記述からは何ら禁止されていないからだ。
- 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 07:14:15.24 ]
- なんども同じ事を言わせるな
数学でないことをやりたいのなら他の板でやれ。
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 13:59:03.07 ]
- >>338
> なんども同じ事を言わせるな
> 数学でないことをやりたいのなら他の板でやれ。
ゲームの根幹を変更するような仮定を立てて云々こそ数学でないんだが。
ゲームの根幹のルールを変えるという事は、数学で言えば定理を証明する際に公理を勝手に変更してしまう事だぞ。
> その仮定をすることに
> 何か問題はあるのか、だ。
選択に先立ち封筒の中身の金額は決まっているので、既に書いた通りその仮定はナンセンスだが、
その点に目を瞑っても、正の有理数全ての集合という可算無限集合に対して自然な測度は存在しないので
仮定は成立しない。
- 340 名前：Mr.７４３ [2011/11/09(水) 15:28:01.75 ]
- なんか、読み返したら、>>32 と >>60 で終わってた。
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 15:32:01.89 ]
- >>339
＞ ゲームの根幹のルールを変えるという事は、
＞ 数学で言えば定理を証明する際に公理を勝手に変更してしまう事だぞ。
証明した定理は、変更追加した公理の下での定理であって
もとの公理下の定理ではないから何も問題ない。
公理と定理の関係になにか誤解があるんじゃないか？
- 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 15:33:38.00 ]
- >>340
もっとよく読んでみてくれ。 >>2で終わってるから。
- 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 23:27:03.76 ]
- 存在比は関係無い
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 23:29:21.92 ]
- と、するか、それぞれ1/2 とするかが
曖昧なところ
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 23:33:05.31 ]
- 存在比がわからないから、、、は、
交換後の期待値 1.25 の説明には
全くならない、バカ解答
- 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 04:24:42.84 ]
- >>339
＞ 選択に先立ち封筒の中身の金額は決まっているので、既に書いた通りその仮定はナンセンスだが、
どういう理屈だよ。
プレイヤー視点とディーラー視点を混同してんのか？
- 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 04:25:24.27 ]
- >>345
そんなこと言ってる奴はここにはいないと思うが
比がわからないから答えられない、仮定は無意味 とする立場と
1/2と仮定すれば12500円という立場とを
混同してるんじゃないか？ よく読めよ。
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 04:31:57.70 ]
- >>339
＞ 正の有理数全ての集合という可算無限集合に対して自然な測度は存在しないので仮定は成立しない。
加算無限集合とか自然なとか意味不明。
もしかして封筒を開けたら10000円入っていた時だという
条件付き確率の問題だということを忘れてないか？
あとアンカーくらいちゃんと打てよ。
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 11:02:29.57 ]
- >>348
有理数は可算無限集合じゃないの？
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/10(木) 14:30:08.42 ]
- >>349
有理数全体、または一部の部分集合は加算無限集合だよ。
しかし、この問題で直接扱う金額は、たった２通りなので有限集合だね。
もちろん、それを考えるのに加算無限集合を用いるのは構わない。
なんのためにどう使うのかくらいは説明したほうがいいけどね。
- 351 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/10(木) 15:17:58.74 ]
- >>350
ああ失礼。
ここで議論しているのは、オリジナルの２封筒問題じゃなくて、>>1で規定されてる一方の封筒の金額は10000円だと固定されたゲームなのか。
ならば可算無限は関係なかった。
但し、1で定めているゲームのルールからは、２つ封筒の中身を、5000円と10000円の場合と、10000円と20000円の場合とを、ディーラが如何なる比率でセットアップせねばならないか、という制限が全く導かれない。
従って、それら２つの場合それぞれの確率が>>1にあるゲームのルールから定まらない以上、もう一方の封筒の中身の期待値に関しても5000円以上で20000円以下という事以外には何も言えない。
その期待値に関して、何らかの具体的な金額…例えば12500円…を主張する事は、２つの場合それぞれの確率に対して勝手な仮定を導入しているに等しいので、そんな議論はもはや数学ではないと考える。
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 05:22:35.41 ]
- 自然数とかいうものをかってに仮定しているのも
ユークリッド空間とかいうものをかってに仮定しているのも
まったく数学らしくないよな
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 05:24:27.51 ]
- 排中律もずいぶん勝手な仮定だね。問題文にはそんなことは書いてないよな。
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 09:05:32.12 ]
- >>352
公理系がなきゃ数学がはじまらんだろ。
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 11:39:15.00 ]
- 公理と勝手な仮定をどこで線引きするのか
選択公理や連続体公理は勝手な仮定か
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 13:04:48.78 ]
- 仮定 と 公理は 同じものだということを知らんのだろう
- 357 名前：Mr.７４３ [2011/11/11(金) 15:43:14.56 ]
- 国会かと思うほど、議論が空転しているが、
P(総額30000円｜手元10000円) : P(総額15000円｜手元10000円)
= P(総額30000円) : P(総額15000円) だが
P(総額30000円) も P(総額15000円) も問題で与えられてない
…という点は、一同納得でいいの？
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 19:36:58.00 ]
- 納得も何も、そんなことは>>2に書いてある
- 359 名前：Mr.７４３ [2011/11/11(金) 20:19:54.07 ]
- そこが終わってるとすれば、あとは、
ジャンボ宝くじは１～７等orハズレだから
１等１億円が当たる確率は1/8だ
…と思うか思わないかだけの問題になる。
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 21:00:20.56 ]
- 分布が発表されてるものについてそう考える理由はなんだ？
やはりなにか勘違いしているとしか思えない。
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 22:34:26.45 ]
- 分布が等しかったらで話してるのはこの問題がテレビで扱われて
その条件の中で交換したほうがいいという結論だった事に突っ込む為でしょ
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/11(金) 23:28:25.45 ]
- 数学で言う「わからない」は、
「同様に確からしい」
かと思っていたよ。
- 363 名前：Mr.７４３ [2011/11/12(土) 00:25:42.92 ]
- そう思う人のための ≫359.
- 364 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/12(土) 01:35:43.97 ]
- 宝くじが二枚ある。価値が異なることだけは判っている。
（１等から７等、ハズレの8つ異なる価値のうち、何れか二つ）
どちらか一方をもらえることになっている。
一方を選ぶと７等であることが判った。
今選択した方をもらうことも、他方をもらうことも出来る。
ただし、今、決めなければならない。どうする？
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/12(土) 03:23:32.06 ]
- >>363
宝くじのユニットあたりの分布は発表されている。
「わからない」じゃないんだ。
- 366 名前：QED mailto:sage [2011/11/12(土) 03:24:13.96 ]
- 「ひいてみたら100円だった」からはじめる。
「50-100のセット」の割合 :a
「100-200のセット」の割合：b
a+b=1, a>=0, b>=0
ひいてみたら 100 で、交換したあとの期待値 :Z とおくと、
Z = (50a+200b)/(a+b)
a=0.5, b=0.5 であれば、
Z = (50)(0.5) + (200)(0.5) = 125
で、これが 125 円の根拠。
「ディーラーの匙加減がわからない」じゃなくて、
「期待値は割合による関数として求められる」かな。
Z = 50a + 200b
= 50a + 200(1-a) = 200 -150a
a が 1 (全部 50-100)なら 50
a が 0 (全部 100-200)なら 200
超算数ｗ ■
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/12(土) 03:24:57.39 ]
- >>364
どうするか？ とか どっちが得か？ なんてのは 数学の話ではないことに注意。
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