- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/29(土) 13:14:41.54 ]
- [問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
選んで中を見ると10000円だった。
他方の封筒の金額の期待値は？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。
このような問題を他スレで話題にしたりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くよう誘導お願いします。
派生元
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
過去スレ
２つの封筒問題スレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267847049
２つの封筒問題スレ 2
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272010151
２封筒問題スレ その３
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286091715/
- 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 18:26:17.75 ]
- そんなことはわかってるよ。
サイコロでは安易に仮定することができて
封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 18:57:44.69 ]
- >>231 やっぱり君は判ってない。
サイコロも、封筒も「原理」により、それぞれの確率は同確率だ。
この様な場合は、「封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」ではなく、
「『中身を確認した』封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」と聞かなければ、
この『中身を確認した』が肝なのだから、それを省略することなどあり得ない。
そのような対応だから、こちらの話を理解した上での発言とは受け取れなくなる。
逆に聞くが、サイコロでは各目が出る確率は同じと仮定して良い理由は何？
それと同じ理由を、(5000-10000)というペアを選択したか、(10000-20000)というペアを選択したかに
適用できるか？
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 19:01:23.70 ]
- 訂正
誤：「『中身を確認した』封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」と聞かなければ、
正：「『中身を確認した』封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」と聞かなければならない
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 19:16:03.43 ]
- 二つある封筒のうち、左側を選んで、これが高額であるか低額であるかのどちらかである。
「これはカードの裏表の様なもので、同様に確からしいから、原理が適用でき、1/2ずつだ。」・・・（Ａ）
これまでの情報からディーラーが用意したペアは(5000-10000)か(10000-20000)かのどちらかである。
「これはカードの裏表の様なもので、同様に確からしいから、原理が適用でき、1/2ずつだ。」・・・（Ｂ）
（Ａ）の判断はだれも疑わない。
（Ｂ）のような判断を君はするのか？
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 19:40:56.50 ]
- >>232
だからさ、国語の問題じゃないんだからそんなところに突っかかるなよ。
問題にしてるのは封筒の場合、２封筒の選択ではなくてそこなのはとっくに了解済みだろう。
２封筒の選択がおかしいといった書き込みがひとつでもあったかい？
サイコロを仮定して良いのは、そのように仮定しても矛盾が起きないからだ。
同じ理由で、もう一方の封筒についても仮定できる。
同じだと仮定しても矛盾は起きないんだよ。
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 19:43:39.64 ]
- >>234
＞ 「これはカードの裏表の様なもので、同様に確からしいから、原理が適用でき、1/2ずつだ。」・・・（Ａ）
「同様に確からしいから原理が適用でき」
同様に確からしいなら、原理など適用しなくても1/2だろ。
なにか誤解してないか？
(A)の判断を誰も疑わないなんて考えてるので、おかしな考えに陥るんだよ。
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 19:50:42.97 ]
- たぶん234はBの立場からAやCに反論していると思っているんじゃないかな？
他の人は、Dの立場からEやFに反論されていると考えているから、いつまでも話がまとまらない。
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 19:52:11.66 ]
- DEFの違いがわかってないのかも
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 19:52:54.67 ]
- >>235>>236>>237
>>231の疑問に答えただけなのだが、どうやら、話をそらしてゴワサンにしたいようだな。
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 20:09:13.20 ]
- おそらく＞＞234の勘違いは↓のあたり
・絶対に 同様に確からしくはないと 解っていることでも他になにも情報がなければ、1/2とする事ができる。
（不正コインの例は有名）
・原理を適用するのはあくまでも仮定なので
その仮定がたとえ（他の心理学や哲学社会学的な数学以外の理由で）間違っていたとしても
数学としての結論が否定できるような性質のものではない。
・もちろん仮定を採用しない（それも仮定）こともできる。それが数学的に間違いっているということもない。
・選択した仮定に（数学的に）間違いがあるということもないわけではない。 背理法などはその例。
しかしそれも、選択した仮定が矛盾を含むことを言うだけで、その過程から導いた結論そのものは正しい。
- 241 名前：231 mailto:sage [2011/11/04(金) 20:10:39.63 ]
- >>239
うまい落とし所を見つけたな
話を逸らしてるのはどっちなのやら。
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 20:11:33.61 ]
- >>239
で、 1/2だと仮定することは、どこに矛盾を含むの？
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 20:19:47.99 ]
- >>239
・ディラーは不正をしない封筒
・ディーラーが不正をしないサイコロ
の違いをさんざん聞かれているのに
答えないでおいてなんなのそれ？
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 20:21:06.29 ]
- はいはい、開き直ったやつの相手はしないでくださいね。 荒らしと同じですよ。
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 20:55:41.04 ]
- 質問をして回答を得たら、それに即して何らかの反応をするべき。
質問者でないのなら、茶々は入れなくて良い。反応できない質問者養護とみなされる。
不正サイコロ、不正コインなどの話は論外。そのような物を登場させる場合は、
それに触れればよい。触れてなければ、不正のないサイコロ、コインという前提の下に
話が進んでいる。あえて、そのような物を持ち出そうとするのは、話を混沌へと持って
いきたい意図があると見なされても仕方ない。
正当なサイコロ、裏表の区別のつかないカード、全く見分けのつかない２枚の封筒、
フェアなディーラーであればよい。
フェアなディーラーであっても、彼が用意する（した）ペアが、(5000-10000)という
ペアか(10000-20000)というペアかはということについては、サイコロの出目、カード
の裏表なんかと同じような議論で、同じ確率だと判断することは出来ない。
質が異なる事象なのだ。
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 21:10:37.33 ]
- >>245
質がどう違うかについてまともな回答がないことが問題なのではないか？
イカサマなんてのは、それを説明するために持ち出されたものなんだがなあ…
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 23:50:18.65 ]
- >>245
そういうのがやりたいなら、どっかの非匿名コミュでやったほうがいいんじゃないか？
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 00:21:48.44 ]
- >>245
違うと言い続けるだけで何が違うのかが説明できないてことは、お前 >>234だろ
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 00:45:46.40 ]
- コインの裏表、サイコロの出目、見分けのつかない二つ封筒から一つの選択
どちらになるのかは偶然だけが支配するもの。
可能性は６つとか、２つとか有限の中の物からひとつが選ばれる。どの候補も同様に
確からしいと考えるのが妥当で、（１／候補数）という確率が与えられる。
ディーラーは無限の可能性のある数値の中から、一つの数値を選び、その数値と、
その数値の二倍を書く。状況の進展で、選んだ数値は、5000か10000かに絞られたが、
これは、最初から、5000か10000かの二択から何れか一方を選んだのではなく、
無限の可能性の中から一つが選択されたもの。
候補数は無限にあったのだから、（１／候補数）という方法は使えない。
問題の性質から、選択肢が二つに絞られただけ。
（１／候補数）が使えないからと言って、（１／選択肢数）で確率を与えて良いものではない。
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:31:21.95 ]
- また同じ事を飽きもせず延々と。
「無限の可能性がある数値の中から」なんてのも、問題文には書かれていない
かってな仮定なんだということにそろそろ気づけよ。
「有限の候補の中から選択された」という仮定と、何ら変わらない。
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:41:38.90 ]
- >>249
1/2という仮定を否定するためには
1/2と仮定すれば矛盾が起こることを言うしかないんじゃないか？
開封前の任意の金額の時で否定ならまだしも
１００００円出てきてしまったらそれを否定することはできないよ。
現実に、そのような分布は構成可能なのだから。
>>205、212 あたりのEやFの立場を否定するのは、数学の中では無理だと思うよ。
もちろん数学以外ではいくらでも否定できるよ。
仮定に実利がないとか現実に即してないとか
もっと利がある仮定や現実に近いモデルを提示すればいい。
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:44:48.36 ]
- というか、どうしてそうまでして1/2という仮定を否定したいのかがよくわからんわ。
1/2だけでなく2/3も1/4もいかなる過程も否定したいのか、それとも1/2だけが気に入らないのか
そもそもそのような確率を考えること事態を否定したいのか
言ってる内容からも、そのあたりは見えてこない。 ただ1/2はダメだと言うだけ。
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:46:09.86 ]
- >>250 じゃ、5000が選ばれた確率は(1/有限数)で、10000が選ばれた確率も(1/有限数)
同じ物同士だから、5000も10000も等しく1/2ずつという考えなんだな
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:46:54.66 ]
- × 事態を否定
○ 自体を否定
もとのままでもたいして変わらんか。
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:49:45.38 ]
- >>252
「1/2という仮定を否定」なんてしてない。
不明だと言っているだけ。コインやサイコロで使えた論理を使って
1/2ずつだと判断することは出来ないと言っているだけ。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:51:58.31 ]
- >>253
その「 確率は(1/有限数)」が同じ物同士というのは
何を言っているのかよくわからないので、それを理由に1/2だということはないが
１００００円が出てきたときに交換後の封筒が高額である確率が1/2である分布は
仮定できることを否定する理由はないよ。
仮定することを認める。 と そう考えるとは異なることはわかってるのかはちょっと不安だけど。
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:52:41.28 ]
- >>255
＞ コインやサイコロで使えた論理
いやそれ、ただの仮定でしょ。 そんな論理はないよ。
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:56:26.70 ]
- 分布が不明と言っているだけ。
いかなる分布だって、仮定して議論したければすればよい。
ただ、数学の問題として捉えた時、期待値という言葉を用いているのに、それに必要な
情報が無いから、不備のある問題だと指摘している。
- 259 名前：257 mailto:sage [2011/11/05(土) 01:57:17.69 ]
- あ、なるほど、もしかして
自分がサイコロやコインを等確率だとしたなんらかの（数学でない）論理があってその仮定を受け入れているが
封筒の場合はその論理が使えないからその仮定は受け入れられないって意味なのかな？
仮定を選ぶ理由に、そんな必要ないんじゃない？
「どうやって決めているのかは解らないが、ディーラーはそのようになる分布で金額を決めている」って論は
受け入れがたいのかな？構成的な決め方なら納得行くのかな？
- 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:59:25.55 ]
- >>258
うん、>>1の問題文のままでは分布は不明だよ。
それはもう>>2に書いてある。
- 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:04:31.85 ]
- >>260 じゃ君は、２封筒問題は分布を仮定することからはじまる問題だとでも言いたいのか？
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:09:41.36 ]
- >>258
1/2にはならないと言っていた人とは別人なのかな？
サイコロの目も特に断りがなければ等確率と考える習慣があるというだけで
なにも書いてなければ分布は不明だよ。
入試問題などでは誤解を避けるために等確率だと但し書きがある場合が多いよね。
他にもコインやカードなども慣例上そのように考えるだけで、とくに定義されていなければ
やはり分布は不明。
ではいったいどこまでが慣習上等確率と考えるのかは、コレといった正解はなく
人によって違うと思うとしかいいようがない。
このあたりは数学ではなく行動心理の範疇かもね。
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:11:47.06 ]
- >>261
「はじまる」 という言い方は なにを言いたいのかよくわからないが
２封筒問題に限らず、確率の問題はみななんらかの分布を仮定すると思うよ。
少なくとも分布を考えないままででは確率も期待値も出せない。
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:15:36.47 ]
- >>258の 「不備のある問題」 というのは、
「正答が一意に定まらない」というような意味ということでいいのかな？
それとも「矛盾を含んでいる問題」というような意味？
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:23:58.40 ]
- 中高の数学のように、試験のための問題ばかりを見慣れていると
>>258のような感想を持つのも仕方が無いと思う。
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:38:08.66 ]
- >>262 1/2である可能性を否定してはいない。不明だと言っているだけ。
不正とかいかさまとかを排除したサイコロやコインは、偶然のみが支配する物。
そのようなものには、「理由不十分の原理」を用いて、「仮定」ではなく、「原理」から
確率を定めることが出来る。もちろん、「仮定」して確率を決めることを否定はしない。
一方(5000-10000)なのか(10000-20000)なのかは、偶然ではない。
「理由不十分の原理」を用いて確率を定めることは出来ない。
ディーラーの意志なり、箱の中のいくつかの封筒セットから一つを選ぶなり、
何らかの方法で決めることが出来る。恣意的に確率を支配することが出来る。
こちらは、「原理」から出された確率ではなく、封筒セットの決め方等で、本来は計算で
求められる物。しかし、２封筒問題ではそれが示されて無く、情報がない。この場合は、「仮定」
して解くことも可能だが、あくまで「仮定」であり、例の「原理」からだされるものではない。
>>263
普通の問題では仮定などしない。きちんと問題に書かれている値を使うだけ。
>>264
必要な情報がないことを不備があると書いた。
情報がないから、解答できない。情報が与えられれば答えられるし、一意に定まる。
矛盾らしきものが現れることもあるが、無限を扱うことに起因する物で矛盾ではない。
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:47:04.83 ]
- >>262
未だに気づいていないようなので、指摘しておくが
「1/2だと判断は出来ない」は、
1/2という値を否定したものではなく、「判断できる」を否定したもの
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:52:10.62 ]
- >>267
スレ検索しても 「1/2だと判断は出来ない」 というのは見つからないんだけど。
「1/2とは出来るはずがない、『判断できない』が正答」
というのはみつかったけど、ずいぶんニュアンスが違うので他の人のようだよ。
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:00:36.07 ]
- >>266
なんかよくわからんが、貴方がそういう流儀なのは分かった。
仮定をした上で論じることを禁止るるものでないことも分かった。
サイコロとディーラーが異なるのは、ディーラーの行動が構成的でないからなのかな？
ディーラーが不在で、自動的に金額を決める手段が提供されていれば
恣意的に確率を支配することはできなくなるので、サイコロと同様に考えても良い
ということでいいのかな？
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:11:15.92 ]
- >>266
俺の知っている理由不十分の原理とはずいぶん異なるものを
そう呼んでいるようんなんだが、その理由不十分の原理では
出る面に偏りがあって、投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは解っているが
どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコインを１度投げた場合に表が出る確率
には、その「理由不十分の原理」は適応して1/2ふだということはできるの？
原理は仮定ではないということなので、もし適応できるなら1/2以外になることは
できないということなの？
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:13:40.37 ]
- 誤字が多いので書きなおす
その「理由不十分の原理」を適用して1/2だということはできるの？
また、原理は仮定ではないということなので、もし適用できるなら
逆に適用させずに1/2以外になることはできないということなの？
もし、適用させたりさせなかったりが自由にできるということなら
それは仮定と何が違うの？
- 272 名前：263 mailto:sage [2011/11/05(土) 03:17:24.19 ]
- >>266
＞ 普通の問題では仮定などしない。きちんと問題に書かれている値を使うだけ。
それは、サイコロやカードを使う問題で、問題文に各面や各カードが出る確率の
値が書かれていない問題は普通では無いという意味？
そういう問題はわりとよく見かけるけど。
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:23:04.34 ]
- >>266
「恣意的」とか「確率を支配」とか、意味がどうとでもとれる単語ではなく
もうすこし数学的に言ってくれないかな。 かえってわかりにくくなっている。
サイコロが等確率なのは、慣習ではなく原理で決まっている。
一方、(5000-10000)なのか(10000-20000)なのかは、金額を決める手段が確定的でないから
原理が適応できない。
という主張ということでよろしいか？
- 274 名前：273 mailto:sage [2011/11/05(土) 03:25:58.71 ]
- すまん。 >>269が既に同じ事を言ってるな。273は無視してくれてい。
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 04:01:00.07 ]
- >266の人気に嫉妬
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 04:53:25.25 ]
- ＞ 普通の問題では仮定などしない。きちんと問題に書かれている値を使うだけ。
そういう問題しか見たことないのかな？
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 08:55:21.81 ]
- おまえら、なんでそんなに意地悪してんの？
２封筒問題で1/2を仮定できないのは
もっと積極的な理由があるだろうよ。
- 278 名前：196 mailto:sage [2011/11/05(土) 10:19:36.28 ]
- 「積極的な理由」は散々既出だし、それをあらためて>>266に説明しても理解出来るとは限らないしね。
ところで>>266の主張では
「ディーラーがサイコロを振りました。」と書かれていればその原理とやらを適用可能だが、
「ディーラーが１から６までの自然数のどれかを選びました」と書かれている場合には適用出来ない。
ということだよね？
まぁ、>>266がそういう立場をとるとしてもそれは哲学の話だからそれはそれで別に良いんだけど。。。
ただ二封筒問題の本質的な部分とはあまりにもかけ離れているけど。
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 10:54:42.83 ]
- >>270 137で引用した物を再掲する
>> 統計学上の原理で，種々の場合が同様に確からしく起こるということに，反対理由
>> が見いだされない場合には，やはり同様に確からしく起こるという原理．
ttp://kotobank.jp/word/%E4%B8%8D%E5%8D%81%E5%88%86%E7%90%86%E7%94%B1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
偏りがある事が判っているコインは、「偏りがある」という「反対理由」を見いだせるため
この原理を用いることはできない。
>>273 「原理で決まっている」ではない。「原理」からその値を使う。理由が原理の適用だと言っている。
>>269
>>ディーラーが不在で、自動的に金額を決める手段が提供されていれば
>>恣意的に確率を支配することはできなくなるので、サイコロと同様に考えても良い
「自動的に金額を決める手段」を決める時に、確率を決めることが出来る。感情の有無が問題なのではない。
偶然「だけ」が支配するものではない。確率を自由に決めることが可能であることが、決定的に違う。
サイコロやコインなどは、(1/候補数)がそのままそれぞれの確率(原理由来の確率)になるが、金額が
決まった封筒は、(5000を選択する確率)/((5000を選択する確率)+(10000を選択する確率))等という条件付
き確率になる。サイコロやコインのように、「原理」の適用から直接的に求まる物ではない事も異なる。
「選んだ封筒が高額側か低額側か」というのと、「10000が入った封筒が高額側か低額側か」は明確に区別できる。
>>278 ディーラーが金額を決める手段が予め決まっていると言うことは、分布が決まっていること。別の問題だ。
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 12:29:52.07 ]
- >>279
>>278 は 手段が決まっている話なんかしていないと思うなあ。
書かれていない手段を勝手に仮定したら別の問題になるんじゃななかったの？
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 12:34:08.76 ]
- >>278
これだけ書延々と書き続ける暇があるにもかかわらず
そこいらにいくらでも転がってるものを読む暇はないなんてことは考えにくい。
そんなことはとっくにみんなわかってて
「俺は釣られてるんじゃない釣ってる方だ合戦」を延々続けてるんだろう。
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 13:12:46.17 ]
- １つ目の封筒をAと固定して、２つ目の封筒は 2Aか 1/2Aが 1/2の確率になる
という前提で考えているからおかしくなるんでしょう。
A, 2A が入っている２つの封筒がある。
１つ目に Aを引けば２つ目は100%の確率で2A
１つ目に 2Aを引けば２つ目は100%の確率でA
つまり、１つ目の期待値は3/2A、２つ目も3/2A
１つ目が1000で、２つ目が2000または500というのは
A=500, 2A=1000
A=1000, 2A=2000
ということであり、
A=1000, 1/2A=500
A=1000, 2A=2000
として計算しているからおかしいのでは？
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 13:32:30.86 ]
- >>282
＞ １つ目に Aを引けば２つ目は100%の確率で2A
＞ １つ目に 2Aを引けば２つ目は100%の確率でA
＞ つまり、１つ目の期待値は3/2A、２つ目も3/2A
１行目のAと２行目のAの値が異なるので、３行目を結論できない。
最初に出てきた金額が１００００だったとき
１行目は １００％の確率で２A つまり２００００円
２行目は １００％の確率でA つまり５０００円
と言っている。
そこで、３行目の3/2A とは１万５千円なのか７千５００円なのか？
それともまた異なる値か？
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 14:06:50.05 ]
- >>279
＞ 「自動的に金額を決める手段」を決める時に、確率を決めることが出来る。感情の有無が問題なのではない。
そこで1/2になるように決めたらどうなの？
サイコロだってわざわざ１～６の目が1/6になるように、目の振り方を決めているわけでしょ。
その気になれば１は1/3ででるが６は出ないサイコロだって作れるのに。
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 14:07:39.06 ]
- >>281 ちょ、おま
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 14:13:26.89 ]
- >>283
１行目のAと２行目のAは同じで考えてくれ。
A=10000のパターン
１つ目が10000なら、２つ目は20000(*1)
１つ目が20000なら、２つ目は10000
期待値は、１つ目も２つ目も15000
A=5000のパターンは
１つ目が5000なら、２つ目は10000
１つ目が10000なら、２つ目は5000(*2)
期待値は、１つ目も２つ目も7500
実際には期待値は、２つとも見た時点でしか計算できない。
10000を引いても、それがA=5000なのか、A=10000なのかはわからない。
Aの値が違うにもかかわらずこの２つのパターン(*1と*2)を無理矢理足しているから
交換した方が1.25倍得というおかしな結果になるのではないか。
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 14:21:59.61 ]
- >>286
＞ 期待値は、１つ目も２つ目も15000
＞ 期待値は、１つ目も２つ目も7500
どういう期待値だそれは？
ふたつの封筒の平均金額が、交換前と交換後で変わらないかどうかを考えてるのかな？
- 288 名前：282 286 mailto:sage [2011/11/05(土) 16:17:35.47 ]
- 思いつきで書いてしまったので、なんか違っていたようですまん。
有限個の組み合わせを考える。小数が出ないようにすべて2の倍数のみ考える。
2,4
4,8
8,16
の３つの封筒の組み合わせがあるとする。
それぞれ１つ目,２つ目 に引く可能性があるのは以下の６通り
2,4
4,2
4,8
8,4
8,16
16,8
この場合、１つ目が4または8なら確かに1.25倍期待値が上がる。
2,4(2倍になる) と 16,8(1/2倍になる) のパターンを考えていないので、
必ず1.25倍になるわけではない。
つまり、大多数の場合は1.25倍になるのだが、大損するパターンがあるので、
トータルとしては１つ目も２つ目も期待値は変わらない。
(ちょっと得するパターンがたくさんと大損するパターンが１つある。)
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 22:16:57.32 ]
- 楽しむも何も授業でやったことを
ちょっと意識して忘れないようにすることが
なんでそんなに苦痛なのかわからん
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 23:04:38.62 ]
- 2つの封筒の金額の比はA：2A、もしくはA：A/2
2つの封筒のうち、金額Aの封筒を選ぶ確率はa、もう一方の封筒を選ぶ確率は1-a
もう一方の封筒の金額がAの倍額である確率はb、半額である確率は1-b
(最初に選ぶ封筒の金額,他方の封筒の金額)【確率】は
(A,2A)【ab】
(A,A/2)【a(1-b)】
(2A,A)【(1-a)b】
(A/2,A)【(1-a)(1-b)】
の4通り
最初に選ぶ封筒の期待値は、A(1+a+3b-3ab)/2
他方の封筒の期待値は、A(2-a+3ab)/2
封筒を選ぶ条件が同じ場合
a=1/2で期待値はどちらも同じA(3/2+3b/2)/2になる
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 01:12:32.67 ]
- 213 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/11/05(土) 10:11:10.69
封筒の問題だけどさ、最初に選ぶ期待値は
(1/2)*A+(1/4)*(A/2+2A)=9A/8
で、見た後の残りの封筒の期待値は
先に見たのがAの時、(1/2)*(1/2)*(A/2+2A)=5A/8
A/2の時、(1/4)*A=A/4
2Aの時、(1/4)*A=A/4
で足すと9A/8になって一緒なんじゃねーの？
先に見たのがA/2か2Aなら中身はAの可能性だけなのに、
それをBとおいて残りの封筒が2BとB/2が1/2ずつってするのはおかしい
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 04:42:58.05 ]
- 既出かどうか分からないけど
この問題と逆の問題を考えたらいいんじゃないかと思っています。
Q
同じように封筒を２枚用意。
重さや見た目では高額や低額の封筒は判別出来ない。
片方の封筒はもう片方の封筒の倍額入ってる。
２枚のうち１枚を選ぶ。
今回は選ばなかったほうの封筒を開ける。
１万円入ってます。この１万円と選んだ封筒を交換できます。
交換したほうが得でしょうか？
A
自分の持ってる封筒は５千円か２万円の可能性がある。
高額な封筒を見極めることは出来ない。
高額を選ぶ確率も低額を選ぶ確率も1/2だから、
期待値を計算すると12500円。
交換すると期待値の4/5倍しかもらえなくなるので交換しないほうが得。
これならB君を入れて相手の金額を知った上で相互交換しても
両方4/5倍の期待値になるので互いに交換しないほうが得。
元の問題の5/4倍の期待値との釣り合いも取れそうな気がします。
- 293 名前：196 mailto:sage [2011/11/06(日) 08:38:11.96 ]
- >>279
>>278の疑問文は（二封筒に限らず）一般的に君の主張によればこういうことになるよね？という質問
もちろん君の答えはYesだよね？以下も一般論として
「裏表の出方に偏りがあるコイン」にはその原理は適用出来ない。
「裏表の出方に偏りが無いコイン」は、原理を適用するまでもなく、裏表が出る確率は等しい。
「裏表の選び方に偏りのあるディラー」にはその原理は適用出来ない。
「裏表の選び方に偏りが無いディラー」は、原理を適用するまでもなく、裏表選ぶ確率が等しい。
ここまでは誰もが認めると思う。
なんの説明も無く「コイン」とだけ言われた場合>>279によると原理を適用出来る。
なんの説明も無く「ディラーが裏表選ぶ」とだけ言われた場合>>279によると原理を適用出来ない。
この違いは何だ？「ディラーが選ぶ手段」が問題なのであれば、
「コインがどのような状態からどのような初速、回転数で投げられるか」はなぜ問題とならないのか？
そもそも>>279にとっての「コイン」の定義は何だ？（もちろん現実のコインは裏表に偏りが有る）
ディラーの選び方に対しては
>偶然「だけ」が支配するものではない。
と考えているようだが、コインに対しては「偶然「だけ」が支配する」と言えるのか？
>>281
延々と？私はこのスレでは>>196と>>278しか書いていない。
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 18:21:35.96 ]
- >>291
＞ 封筒の問題だけどさ、最初に選ぶ期待値は
＞ (1/2)*A+(1/4)*(A/2+2A)=9A/8
何を言っているのかわからない。
Aってなんだ？
- 295 名前：281 mailto:sage [2011/11/06(日) 18:26:35.57 ]
- >>293
そんなに理解しにくい書き込みだったかな？ >>281は>>278の↓にレスしたもので
＞ 「積極的な理由」は散々既出だし、それをあらためて>>266に説明しても理解出来るとは限らないしね。
なにも>>728がそうだと言っているわけではないよ。
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 23:18:45.93 ]
- もともと、一つめを開ける前は
期待値なんか無い
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 23:22:29.16 ]
- 封筒二つで100倍なら、
平均の期待値なら、換えたほうが
高くなるし。
それだけじゃん
- 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 01:30:55.70 ]
- >>297
馬鹿の来る所ではありません。 巣に帰りなさい。
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 02:36:01.69 ]
- 入っている金額の比が１：２の封筒の一方の中身を見ると10000円だったので
2つの封筒の中身は
①(10000,20000)
②(10000,5000)
の2パターン
①と②の起こる比はm：n
他方の封筒の金額の期待値は
20000m/(m+n)+5000n/(m+n)=10000(4m+n)/2(m+n)
交換して得になる確率はm/(m+n)
他方の封筒の金額はどちらかで固定なので、
m>nならば交換するべき
他方の封筒が20000円もしくは5000円がm：nの比率で入った物になる時、
10000(4m+n)/2(m+n)>10000ならば交換するべき
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 03:24:41.39 ]
- >>299
＞ m>nならば交換するべき
m > n/2 ならば 交換するべき
の間違いじゃね？
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 03:53:31.26 ]
- おもしろい問題だな
黄金比関係あるね
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 04:38:06.40 ]
- ないない
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 07:49:40.18 ]
- 100倍なら封筒100個?
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 08:06:09.76 ]
- 封筒の価値は金額に含めませんよ
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 08:27:56.20 ]
- 最初に選んだ封筒を開けて出てくる金額をa円としたら封筒ペアは、
（a/2、a)、（a、2a)のどちらか。
このうち低額（a/2、a)のほうのペアである確率がpであるとしたら
3a（2-p）/4 なので、 これをpが0～1の区間で積分すると9a/8になる。
つまりは本来、期待値9a/8であったところが実際に引いてみると
a円しか出て来なかったのである。 これは期待値よりもa/8も少ない。
となると、残った封筒には9a/8よりもa/8多い5a/4入っていて然るべきである。
さて、問題文の通り封筒を開けてみると10000円入っていたとしよう。
のこった封筒には5a/4= 12500円入っていることが期待されて当然ではないか。
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 08:33:14.25 ]
- >>305では、勝手な分布の仮定は一切していない。
問題では分布が与えられていないので、期待値は計算できないと言う諸氏の
ご意見を拝聴したい。
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 08:37:07.16 ]
- いやもう釣りはいいから
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 09:17:34.64 ]
- >>300
それは最後の行を整理するとそうなる
引いた金額(10000円)に対して新たにどちらかが用意されるなら
m>n/2ならば交換するべき
m=nとする時、
期待値は12500、得になる確率は1/2、m>n/2なので交換するべき
問題の場合は金額は①②のどちらかを選んで固定されてるから、
m>nならば交換するべき（①である可能性が高い）
m=nとする時
期待値は12500、得になる確率は1/2、交換するべきかどうかは同じ
m：nの比が不明だったら交換するべきかは不明
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 12:57:29.42 ]
- >>306
aを決める確率分布を知っているとすると、そういう計算は間違っていることになる。
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 13:00:52.66 ]
- >>14
おいこらお前、その分布にした根拠を述べろよ。
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 16:59:08.89 ]
- >>309
＞ aを決める確率分布を知っているとすると、
知らないでやってるんじゃないの？
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 17:01:09.29 ]
- >>308
＞ ①と②の起こる比はm：n だったとき
＞ 他方の封筒が20000円もしくは5000円がm：nの比率で入った物になる時
両者は同じなのになぜ結果が異なるんだ？
- 313 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 17:53:38.80 ]
- >>311
「知らない」と言う意味が分からない。
- 314 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 18:00:30.65 ]
- >>311
私が袋に赤だまを何個か、白だまを何個か入れます。
個数はあなたには教えません。
ここから無作為に1つとったときの赤球をとる確率を求めなさい。
2色の球の材質などは同じとします。
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 23:22:08.63 ]
- >>312
比は全て同じとして(X,2X)で行った時に、
Xを引いた時2XかX/2、
2Xを引いた時4XかXの入った封筒が交換対象
こういうルールなら交換した方がいい
問題の場合は、
Xを引いた時2X、
2Xを引いた時Xの入った封筒が交換対象
最初に選ぶのはX,2Xのどちらか、交換するのは残りのどちらか
最初にどちらを選ぶかが1/2なら残りも1/2で同じ
- 316 名前：QED mailto:sage [2011/11/08(火) 01:27:43.89 ]
- 封筒に、X円か、2X円が入っている。
どちらかの封筒を開いて Z円だったとき
(A) Z = X であれば
. 交換 すると 2X円 ...(1)
. そのままだと X円 ...(2)
(B) Z = 2X であれば
. 交換 すると X円 ...(3)
. そのままだと 2X円 ...(4)
よって、交換するとき (1),(3) より
(X + 2X) /2 = 1.5X 円 ...(5)
交換しないとき (2),(4) より
(2X + X) /2 = 1.5X 円 ...(6)
ただし、Zをひいたとき、それが X か 2X かの区別はつかない。■
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 02:15:21.44 ]
- y=X/√2として、やってみそ
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 02:35:16.29 ]
- 翻訳コード：X円→安い方、2X円→高い方 に通すと
(Ａ)封筒を開いて、安い方であれば
.交換すると高い方...(1)
.そのままだと安い方...(2)
(Ｂ)封筒を開いて、高い方であれば
.交換すると安い方...(3)
.そのままだと高い方...(4)
よって、交換するとき、(1),(3)より、{(安い方)+(高い方)}/2...(5)
交換しないとき、(2),(4)より、{(高い方)+(安い方)}/2...(6)
ただし、封筒を引いた時、それが安い方か高い方かは区別はつかない。■
- 319 名前：QED mailto:sage [2011/11/08(火) 03:22:50.66 ]
- で、増えるパターン
Z -> 2Z (Z増えた)
減るパターン
Z -> (1/2)Z ( (1/2)Z減った)
で、「Z 増える」か、「(1/2)Z減る」か、の二択に見えるけど、
増えるパターンと減るパターンでは、
そもそもZがちがう[(A)ならZ=X (B)ならZ=2X]から、比較にならない。
- 320 名前：QED mailto:sage [2011/11/08(火) 03:32:00.00 ]
- そもそも、最初にひいた Z円は、
(X + 2X)/2 = 1.5X 円 の期待値。
1.5X -> 2X となるか、
1.5X -> 1X となるか、であって、
その平均は (2X + 1X)/2 =1.5X
交換しても
増えたり減ったりしない。
- 321 名前：196 mailto:sage [2011/11/08(火) 08:59:34.48 ]
- もしこの問題を理解したいと真剣に考えている人が居るなら
英語版wikipediaを読むといいよ。
en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
（ただし>>1の問題と一般的に二封筒問題と知られている問題は少しニュアンスが違うけど。）
>>295
了解
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 09:56:54.30 ]
- >>313
知ってる、の補集合ですよ
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 10:03:34.83 ]
- >>314
こういうこと？
私は２つの封筒にある金額を入れますが、それぞれどんな金額を入れるかはあなたには教えません。
どちらかの封筒を選んで金額を確かめたら封筒を交換することもできます。
最初に開けた封筒が１００００円でした。封筒を交換したときの期待値はいくらでしょうか。
- 324 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 12:06:43.79 ]
- まだあったんだ。
X、2Xの場合は、
期待値を相加平均で求めるからいけないんだろ。
相乗平均にすればなんの問題もない。
X、X+α なら
期待値を相加平均にする。
X、f（X）なら
f特有の平均を考える。
これで全て解決。
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 16:06:49.32 ]
- >>324
＞ 期待値を相加平均で求めるからいけないんだろ
相加平均で求めてなにも問題はない。
そもそも期待値とはそういうものだ。
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 16:09:47.30 ]
- >>315
で、交換後の期待値はいくらになるの？
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 16:11:28.86 ]
- >>316
封筒を開けて出た金額が Xと ２Xで異なる場合の
交換後の期待値を合算したり平均をとってはいけない。
- 328 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 17:18:01.16 ]
- >>325
そりゃ問題はないさ。
期待値なんて、ただの根拠のない単なる値だからな。
だが、相乗平均だと計算しても1倍だが、
相加平均は1.5倍になっちまうけどなwwwwww、
- 329 名前：Mr.７４３ [2011/11/08(火) 18:38:26.21 ]
- 手元の封筒の中身が 1000円 と判った時点で、
もうひとつの封筒の中身が 2000円 である確率が 1/2、
500円 である確率が 1/2 というのはホントか？
を反省してみる必要がある。
- 330 名前：Mr.７４３ [2011/11/08(火) 18:39:40.71 ]
- 最初に金額の多い封筒を引くか、少ない封筒を引くかは五分五分だから、
条件付確率は
P(手元1000円｜総額3000円)＝1/2
P(手元1000円｜総額1500円)＝1/2
でよいが、
ベイズの定理より
P(手元1000円｜総額3000円)・P(総額3000円)＝P(総額3000円｜手元1000円)・P(手元1000円)
P(手元1000円｜総額1500円)・P(総額1500円)＝P(総額1500円｜手元1000円)・P(手元1000円)
と、
自明な
P(総額3000円)＋P(総額1500円)＝1
P(総額3000円｜手元1000円)＋P(総額1500円｜手元1000円)＝１
を併せても、
- 331 名前：Mr.７４３ [2011/11/08(火) 18:40:18.58 ]
- 判ることは
P(総額3000円)／{１-P(総額3000円)}＝P(総額3000円｜手元1000円)／{1-P(総額3000円｜手元1000円)}
くらいのもので、
P(総額3000円｜手元1000円) を知るためには、最初の総額が 1000+2000円 だったか、
1000+500円 だったかに関する情報 P(総額3000円) が必要になる。
P(総額3000円) のデータは、この話では与えられていない。
安易に
P(総額3000円｜手元1000円)＝1/2
P(総額1500円｜手元1000円)＝1/2
としたところに混乱の元がある。
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