- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 19:39:19.09 ]
- (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を四平方の和で表せ
＿＿＿
.／ ≧ ＼ 上のほうで平方和に変形するのがあったような希ガス！
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● | ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
- 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:01:06.57 ]
- >>841
g_n = (1 +1/n)^(n +1/2) より
log(g_n) = (n +1/2)･log(1 +1/n)
= 1 + Σ[k=1,∞) 1／{(2k+1)(2n+1)^k}
= 1 + 1/{12(n +1/2)^2} + 1/{80(n +1/2)^4} + 1/{448(n +1/2)^6} + …
= 1 +δ -(6/5)δ^2 +(72/35)δ^3 -(144/35)δ^4 + …
よって
g_n = {1 + δ -(7/10)δ^2 +(43/42)δ^3 -(7961/4200)δ^4 + …}e,
ここに、δ=1/[12n(n+1)],
- 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:25:17.98 ]
- >>844
オイラに聞き給え、オイラに。オイラこそ汝らすべての四なれば…
en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_four-square_identity
mathworld.wolfram.com/EulerFour-SquareIdentity.html
sites.google.com/site/tpiezas/005b/
- 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:47:22.19 ]
- 自演自重汁
- 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:52:43.00 ]
- (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を七平方の和で表せ
>>842
呼ばない...
- 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 01:26:35.21 ]
- >>846
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
- 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 01:50:06.06 ]
- >>848
どうやって７つに？
>>844
行列式で証明するのが線形代数の問題集に載っていたような
- 851 名前：( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ mailto:sage [2011/12/24(土) 02:49:48.95 ]
- A548
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en
A545、546
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en
B4376、4378
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201109&t=mat&l=en
A536、B4364、B4370、B4371
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201105&t=mat&l=en
A534、B4355
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201104&t=mat&l=en
B4342
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201103&t=mat&l=en
B4340
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201102&t=mat&l=en
B4321
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201012&t=mat&l=en
B4303、B4306、B4310
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201011&t=mat&l=en
B4296、B4297
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201010&t=mat&l=en
B4291
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201009&t=mat&l=en
- 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 03:11:41.99 ]
- >>824 別解(?)
(n+1)^(n+1)／(n^n) - (n^n)／(n-1)^(n-1)
= {1 + 1/(n-1)}^n * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n - (n-1)}
= b[n-1] * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n -(n-1)},
ここで↓を使う。
〔補題〕
(n-1)/n < (1 - 1/n^2)^n < n/(n+1),
(略証)
(1+x)^n > 1 + nx （下に凸）より
(1 - 1/n^2)^n > 1 - 1/n = (n-1)/n,
{1 + 1/(n^2 -1)}^n > 1 + n/(n^2 -1) > (n+1)/n,
- 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 04:10:10.46 ]
- >>850
コーシーの証明に出て来る「ラグランジュの恒等式」
>>1 まとめWiki → まとめページ → よく使う不等式 → コーシーの不等式 → 証明
mathworld.wolfram.com/LagrangesIdentity.html
- 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:32:59.66 ]
- Problem A.
A.534.
三角形の３辺が a,b and c で、対応する中線（medians）の長さはそれぞれ sa, sb and sc とする。
このとき次を示せ。 sa･sb/(a^2+b^2) + sb･sc/(b^2+c^2) + sc･sa/(c^2+a^2) ≧ 9/8.
A.536.
正の実数 a,b,c,d が a+b+c+d = abc+abd+acd+bcd を満たす。次を証せ。 >>477 >>507
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)}.
A.545.
Prove that whenever a>b>1 are integers such that a+b divides ab+1 and a+b and a-b divides ab-1,
then a < b√3.
A.546.
次を示せ。
1/{sin[π/(4k+2)]}^2 + 1/{sin[3π/(4k+2)]}^2 + …… + 1/{sin[(2k-1)π/(4k+2)]}^2 = 2k(k+1),
（k=3: B.4371.を参照。)
A.548.
Prove that
Π[i=1,n] {1 + 1/(x1+…+xi)} + Π[j=1,n] {1 + 1/(xi+…+xn)} ≦ n+1,
holds for arbitrary real numbers x1,……,xn ≧1.
- 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:34:53.93 ]
- B.4291.
すべての正数 a,b,c について、a^b･b^c･c^a ≦ a^a･b^b･c^c,
B.4296.
m_a、m_b は 三角形の辺a、辺b から見た高さを表わす。
a>b ならば a^2010 + (m_a)^2010 ≧ b^2010 + (m_b)^2010 を示せ。
B.4297.
すべての実数x,yに対して -1/2 ≦ (x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≦ 1/2 を証せ。
B.4303.
長方形（正方形でない）をその対角線に沿って２つに折る。
結果として生じる５角形の周長は、元の長方形の周長より短いことを証せ。
B.4306.
方程式 16^(x^2 +y) + 16^(y^2 +x) = 1 を解け。
B.4310.
a0,a1,…,an は正の数で、a(k+1) - ak ≧ 1 （k=0,1,…,n-1）とする。次を示せ。
1 + (1/a0){1 +1/(a1-a0)}…{1 +1/(an-a0)} ≦ (1+1/a0)(1+1/a1)…(1+1/an),
B.4321.
どんな三角形でも、次の不等式が成り立つことを証せ。
b／sin(γ + α/3) + c／sin(β + α/3) > (2/3)a／sin(α/3),
- 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:36:05.65 ]
- B.4340.
すべての正数 a1,a2,…,an に対して次の不等式が成り立つことを証せ。
{a1/(a2+…+an)}^2 + {a2/(a3+･･･+a1)}^2 + …… + {an/(a1+…+a(n-1))}^2 ≧ n/(n-1)^2,
B.4343.
a,b は正の数を表わし、a^3 + b^3 =1 とする。a^2 +ab +b^2 -a-b >0 を示せ。
B.4355.
正数 x,y,z の積が1ならば、次式を証せ。
(z^3 +y^3)/(x^2 +xy +y^2) + (x^3 +y^3)/(y^2 +yz +z^2) + (y^3 +z^3)/(z^2 +zx +z^2) ≧ 2,
B.4370.
頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w), >>477 >>480
B.4371.
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。（A.536を参照。） >>492
B.4376.
x,y は負でない数ならば、次式を証せ。
x^4 + y^3 + x^2 + y + 1 > (9/2)xy,
B.4378.
pは正の素数とする。
方程式 x^3･y^3 + x^3･y^2 - x^2･y^3 + x^2･y^2 -x +y = p+2 を解け。
- 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 08:31:18.57 ]
- B.4297.
(1+x^2)(1+y^2) = (x+y)^2 + (1-xy)^2 ≧ 2|(x+y)(1-xy)|,
B.4306.
x = y = -1/2,
B.4343.
a^2 +ab +b^2 -a -b = (a^3 + b^3)/(a+b) +2ab -a -b
= {1/(a+b) +(a+b) -2} + 2(1-a)(1-b) > 0,
B.4376.
相加・相乗平均で。
x^4 + x^2 + 1 ≧ 3x^2,
y^3 + y ≧ 2y^2,
(左辺) ≧ 3x^2 + 2y^2 ≧ (2√6)xy > (9/2)xy,
- 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 08:57:05.85 ]
- >>853
成程そのまんまでしたね （恥…
|
8 ＜ｻﾝｸｽ
'`
￣
- 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 16:06:27.63 ]
- B4303
三角不等式より。
長方形をABCDとし
BCで折るとする。AD,BCの交点をEとする
AB+BC+CD+DA
=AB+CD+AE+CE+(BE+DE)
＞AB+CD+AE+CE+BC
- 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 16:52:29.17 ]
- B.4355.
チェビシェフより
(左辺) ≧ (x^3 +y^3)/(x^2 +xy+y^2) + (y^3 +z^3)/(y^2 +yz+z^2) + (z^3 +x^3)/(z^2 +zx+z^2)
≧ (x+y)/3 + (y+z)/3 + (z+x)/3 (← *)
= 2{(x+y+z)/3},
以下、相加･相乗平均で簡単。
*) x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy +y^2) -2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2),
- 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 22:36:08.92 ]
- B.4310.
nについての帰納法による。
n=0 のときは等号成立。
n≧1 のとき
a_k - a_0 ≧ k, (← 題意)
左辺を A_n とおくと、
A_n = 1 + (1/a0)Π[k=1,n] {1 + 1/(a_k - a_0)}
≦ 1 + (1/a0)Π[k=1,n] (1 + 1/k)
= 1 + (n+1)/a0,
よって
A_{n+1} = 1 + (A_n - 1){1 + 1/(a(n+1) - a0)}
= A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{a_(n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)}
≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{1 + (n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)}
≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}),
- 862 名前：859 mailto:sage [2011/12/25(日) 11:06:38.95 ]
- BCで折るんじゃなくてBDで折るんだった;;;
- 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 16:31:30.91 ]
- B.4297
↑a=(1,x),↑b=(1,-y)とし
↑a,↑bのなす角度をθとすると
(x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)}=sinθ･cosθ
- 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 16:45:47.03 ]
- >>863
\vec{a}・\vec{b} / |\vec{a}|・|\vec{b}| = cosθで、あとの奴らは何でござる蟹？
- 865 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/26(月) 21:43:19.42 ]
- Letx, y, z>0 with xyz=1.
Prove that x^3+y^3+z^3+6≧(x+y+z)^2
- 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 21:56:48.42 ]
- >>864
x = tanξ, y = tanη とおくと、
θ = ξ + η,
tanθ = tan(ξ+η) = (x+y)/(1-xy), (加法公式)
そこで
cosθ = cosξ･cosη - sinξ･sinη
= (1-xy)･cosξ･cosη,
sinθ = sinξ･cosη + cosξ･sinη
= (x+y)･cosξ･cosη,
を辺々掛けて右辺に
(cosξ)^2 = 1/{1 + (tanξ)^2} = 1/(1+x^2),
(cosη)^2 = 1/{1 + (tanη)^2} = 1/(1+y^2),
を使ったでご猿。
- 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 22:16:26.36 ]
- >>866
なんと！そんなやり方が…
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ ナルホドナー！
ヽ::::... .ワ.....ノ
( つ旦O ,.-、 ,.-、 ,.-、
と＿)_) (,,■) (,,■) (,,■)
- 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/27(火) 00:09:48.53 ]
- >865
僕の考えてたこととは違ってたりして勉強になりますた。
ありがとうございます。m(__)m
863の者ですが、
A(1,x),B(1,-y)とすると
x+y=2△OAB (Oは原点)
となります。
2△OAB=|↑a||↑b|sinθ
ってことを考えてました。
- 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/27(火) 04:40:53.32 ]
- 蟹、猿、おにぎり…、なるほどな
- 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/28(水) 23:56:03.00 ]
- >>498
0 < a,b ≦ c,d としても一般性を失わない。
題意により ab ≦ 1 ≦ cd,
また、a+b+c+d ≧ 2√(ab) +c+d ≧ 2√(ab) + 2/√(ab) ≡ t とおくと t ≧ 4,
左辺を g(a,b,c,d) とおくと
g(a,b,c,d) - g(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(t^2)}
≧ (√a - √b)^2･(1 - 9/16) ≧ 0, >>508
∴ a=b の場合を考えれば十分。以下、数セミ（2012/01）と同様。
s ≡ a+b+c+d ≧ 2a + 2√(cd) = 2a + 2/a ≡ t とおくと t≧4,
(左辺) = 2/a + (c+d)/cd + 9/s
= 2/a + (a^2)(s-2a) + 9/s
= 2/a -2a^3 + (a^2･s + 9/s) ≡ f(s),
sの変域は [t,∞) で、極小となるのは s = 3/a のとき。
(i) a ≧ 1/√2 のとき、t≧3/a,
f(s) ≦ f(t) = t + 9/t
= 25/4 + (t-4)(t - 9/4)/t
≧ 25/4,
(ii) a ≦ 1/√2 のとき、t≦3/a,
f(s) ≧ f(3/a) = 2/a +6a -2a^3 (aについて単調減少)
= 9/√2 + (1/√2 - a) + (2/a)(1/√2 - a)^2･{2 -(√2)a -a^2},
≧ 9/√2 > 25/4,
- 871 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/29(木) 18:30:34.49 ]
- > 789 (790, 800, 801,
次の命題の(2)のn=2の場合と, (1)でm=n=1の場合を合わせると得られます.
命題. m, n は非負整数, r は2以上の整数,
x,y,z≧0 とするとき, 以下の不等式が成立する.
(1) x^(m+n) + y^(m+n) + z^(m+n) ≧ x^m y^n + y^m z^n + z^m x^n
(2) x^(n+2) y + y^(n+2) z + z^(n+2) x ≧ xyz(x^n + y^n + z^n)
(3) x^(n+r) y^r + y^(n+r) z^r + z^(n+r) x^r
≧ xyz(x^(n+r-2) y^(r-1) + y^(n+r-2) z^(r-1) + z^(n+r2) x^(r-1))
証明は, 並べ替え不等式や, 重み付きAM-GM不等式を使うだけです.
斉次交代不等式は, 斉次対称不等式と異なり, Muirheadの不等式等が
使えなくて, 時々, 不等式の形が弱くなります.
> 770 に3変数3～5次斉次対称不等式の話を書いたけど,
3変数6～8次斉次対称不等式についても似たような定理(もっとステートメントが
長い)があって, 大体それで解決できてしまいますが,
5次以上の3変数斉次交代不等式のほうは, あまり強力な一般論がありません.
- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 19:47:35.43 ]
- ｷｬｽﾌｨ高校数学板
不等式ｽﾚより
743 じゅー [2011/12/29(木) 16:01:06]
出題です��
実数 a,b,c,d,e,f が��
ae + bf + cd + af + bd + ce =0��
ad + be + cf + de + ef + fd = 0��
a^2 + b^2 + c^2 = 1��
d^2 + e^2 + f^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2��
を満たすとき��
|ae + bf + cd - af - bd - ce|��
の最大値を求めて下さい。��
考え方もよければお願いします。��
- 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 19:51:21.65 ]
- スマホの2ch mateとかゆーので書き込むと
文字化け(？)するのか...
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 04:48:34.62 ]
- >>871 (3)
・並べ替え（チェビシェフ）:
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) より
x{x^(n+r-1)･y^r} + y{y^(n+r-1)･z^r} + z{z^(n+r-1)･x^r} ≧ {x^(n+r-1)･y^r}z + {y^(n+r-1)･z^r}x + {z^(n+r-1)･x^r}y,
・ x^(n+r)･y^r を{(n^2+nr+r^2) -r-n}個、y^(n+r)･z^r をr個、z^(n+r)･x^r をn個でAM-GM。
- 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 05:00:25.30 ]
- >>823 >>825
Problem 372. の Solution を貼っておこう....
abc=1 ゆえ、例によって a=z/y, b=x/z, c=y/x とおく。
(左辺) = y^2／[z(z+y) +x(x+y)] + z^2／[x(x+z) +y(y+z)] + x^2／[y(y+x) +z(z+x)]
≧ (x^2 +y^2 +z^2)^2／{y^2･[z(z+y) +x(x+y)] + cyclic} （← コーシー または 重み付きAM-HM)
= (x^2 +y^2 +z^2)^2／{xy(x+y)^2 +yz(y+z)^2 +zx(z+x)^2}
= {(1/2)(x^2 -y^2)^2 +3(xy)^2 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic}
= 3/4 + {(5/16)(x^2 -y^2)^2 + (3/16)(x-y)^4 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic},
≧ 3/4,
*)
(x^2 -y^2)^2 = (x+y)^2･(x-y)^2 = 4xy(x-y)^2 + (x-y)^4,
(xy)^2 = (1/4)xy(x+y)^2 -(1/4)xy(x-y)^2,
- 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 05:24:30.98 ]
- >>791-794
www.youtube.com/watch?v=k45IJSI_BLA
Bunchin師匠の独演会
- 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 06:22:02.22 ]
- >>823
Problem 377.
nは正の整数とする。
i=1,2,･･･,n に対して z_i および w_i は複素数で、次を満たす:
ε1, ε2,････,εn = ±1 のすべて（2^n とおり）の組合せについて、
| Σ[i=1,n] εi･z_i | ≦ | Σ[j=1,n] εj･w_j |,
が成り立つ。次式を証せ。
Σ[i=1,n] |z_i|^2 ≦ Σ[j=1,n] |w_j|^2,
- 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/31(土) 06:13:08.99 ]
- >>877
条件式は (両辺) ≧0 だから、2乗しても成り立つ。すなわち、
{Σ[i=1,n] εi･zi}{Σ[j=1,n] εj･(zj)~} ≦ {Σ[i=1,n] εi･wi}{Σ[j=1,n] εj･(w_j)~},
Σ[j=1,n] εj･(wj)~},
Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･zi･(zj)~ ≦ Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･wi･(wj)~,
εのすべて(2^nとおり）の組合せについて加えると、
εi･εj → 2^n (i=j)
→ 0 (i≠j) （±1が同数あるから）
となり、i=j だけが残る。よって
Σ[i=1,n] zi･zi~ ≦ Σ[j=1,n] wj･wj~,
- 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/01(日) 04:29:42.89 ]
-
C.1043. (201009)
f(x) = (x+a)^2 /{(a-b)(a-c)} + (x+b)^2 /{(b-c)(b-a)} + (x+c)^2 /{(c-a)(c-b)},
の値を求めよ。ここに a,b,c は相異なる実数である。
K.266. (201011)
bd > 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
bd < 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の外側にある。
- 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/01(日) 04:39:55.40 ]
- 年明け早々 簡単すぎた .... orz
(略解)
C.1043.
f(x) ={(c-b)(x+a)^2 + (a-c)(x+b)^2 + (b-a)(x+c)^2} /{(a-b)(b-c)(c-a)} = 1,
または f(-a) = (b-a)/(b-c) + (c-a)/(c-b) = 1, f(-b) = 1, f(-c) = 1, から。
K.266.
{(a/b) - (a+c)/(b+d)}{(a+c)/(b+d) - (c/d)} = (ad-bc)^2／{bd(b+d)^2},
B.4306.
相加･相乗平均で
(左辺) = 16^(x^2 + y) + 16^(y^2 + x)
≧ 16^{(x^2 + y + y^2 + x)/2 + 1/4}
= 16^{(1/2)(x + 1/2)^2 + (1/2)(y + 1/2)^2}
≧ 16^0
= 1,
等号条件から x = y = -1/2,
B.4340.
a1 + a2 + ･･･ + an = s とおく。
φ(x) = {x/(s-x)}^2 = {s/(s-x) - 1}^2 は x<s で下に凸。
- 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/03(火) 08:06:41.12 ]
- >>865
(x+y+z)/3 = A, (xyz)^(1/3) = G とおく。 A-G ≧ 0,
(左辺) - (右辺) = 9{A^3 + (x-A)(y-A)(z-A)} - 9AAG
= 9AA(A-G) + 9(x-A)(y-A)(z-A)
= 9AA(A-G) + 9{2A^3 -(xy+yz+zx)A +xyz}
= 9AA(A-G)/4 + (9/4)(2A+G)(A-G)^2 + (3/4)F1(x,y,z)
≧ 0,
ここに
F1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
= (x+y+z)^3 -4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz ≧ 0, (Schur)
ぬるぽ
- 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/03(火) 20:12:43.06 ]
- 02-01-0014 安 藤 哲 哉 (千 葉 大 理) ] 3 変数斉次巡回不等式と代数曲面
mathsoc.jp/meeting/shinshu11sept/talklist/talkList_02.pdf#search=
これ気にならん？ ('A`)プケラ
- 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/04(水) 00:09:32.16 ]
- >>882
■射影幾何学における２つの定理
www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/666_p3.htm
「代数曲線・代数曲面入門」新装版 －複素代数幾何の源流－
安藤哲哉（著）
出版社：(有)数学書房 (2011/01)
判型: A5判、496頁、
定価: 7350円
ISBN-10: 490334262X
ISBN-13: 978-4903342627
www.sugakushobo.co.jp/903342_62_mae.html
日本人初のフィールズ賞受賞者小平邦彦先生をはじめ多くの日本人数学者が貢献した複素代数幾何学への入門書。
定義・命題・定理・証明などの修正、および誤植の訂正をして新装版として出版。
「代数曲線・代数曲面入門」－複素代数幾何の源流－
安藤哲哉（著）
出版社: 白揚社 (2007/02)
判型：A5判、478頁、22cm
定価：7350円
ISBN-10: 4826931077
ISBN-13: 978-4826931076
安藤 哲哉
1959年愛知県瀬戸市生まれ。岐阜県(旧)明智町出身。1982年東京大学理学部数学科卒業。同大学院を経て、1986年千葉大学講師。千葉大学理学部情報・数理学科助教授。理学博士(東京大学)、専門は代数幾何学。(BOOK)
- 884 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/06(金) 19:22:20.17 ]
- > 882
その話の内容の2/3は下に書いてあります。
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf
残りの1/3の内容は、暇を見つけてタイプします。
日本語のメモ程度のものはタイプしてありますが、UPするにはどうも。
- 885 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/01/06(金) 19:29:55.16 ]
- >>884
お前は、定職に就くのが、先決だろが！！！！！！！！！！
- 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 05:57:33.72 ]
- 難しい…、ｺﾞｸﾘ
- 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 23:35:14.84 ]
- 〔補題〕
a,b,c が実数のとき
|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ {1/(3√6)}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^(3/2),
- 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 00:36:08.04 ]
- >>887
(略証)
bはaとcの中間にある、としてもよい。
(a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ とおくと
|⊿| ≦ (1/4)(|a-b|+|b-c|)^2 |c-a| = (1/4)|c-a|^3,
ところで、
(c-a)^2 = (1/3){2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 - (a-2b+c)^2} + (2/3)(c-a)^2
≦ (2/3){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
= (4/3)(s^2 -3t),
なお、a,b,c ≧ 0 のときは
|⊿| ≦ 0.227083346211･s(s^2 -3t),
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/744-745 , 527
高校数学 - 不等式
- 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 22:07:10.38 ]
- >>887
⊿^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= (1/54){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^3 - (1/27){(2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)}^2,
= (4/27)(s^2 -3t)^3 - (1/27){(3a-s)(3b-s)(3c-s)}^2,
- 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 22:28:53.84 ]
- 889すげっ。
メモメモ...φ(．．)
- 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 04:08:40.30 ]
- >>887-889
(2a-b-c)/3 = a - s/3 = a ',
(2b-c-a)/3 = b - s/3 = b ',
(2c-a-b)/3 = c - s/3 = c ',
と置くのがいいらしいヨ
casphy - 高校数学 - 不等式 - 749
- 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 23:37:42.81 ]
- おもしろいね
- 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 23:49:34.37 ]
- 〔補題〕
a,b,c ≧ 0
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
のとき
|⊿| ≦ {(a+b+c)^3 -27abc}/(6√3),
casphy - 高校数学 - 不等式 - 748-750
- 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/20(金) 14:45:56.52 ]
- 最近知った不等式と言えば 「小澤の不等式」 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
mainichi.jp/select/science/news/20120116k0000m040090000c.html
- 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/21(土) 03:12:10.06 ]
- >>894
ja.wikipedia.org/wiki/不確定性原理#小澤の不等式
- 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/22(日) 17:12:30.47 ]
- 落ちたのかと思った ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
- 897 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/22(日) 22:36:25.33 ]
- いや落ちてたでしょ
- 898 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/22(日) 22:56:54.51 ]
- a<b<c
rr2r=2r^3
3^3b^3-27(b^2-r^2)b=27r^2b/6*3^.5=4.5r^2b/3^.5
- 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/23(月) 23:53:25.33 ]
- ふたばから
x^y+y^x>1
x,y>1を示せ
対数とか取らずに解いて欲しいですね
- 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/23(月) 23:54:14.95 ]
- 既出
- 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/24(火) 01:34:42.06 ]
- >>899
過去ログを見たまえ
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/24(火) 01:45:26.56 ]
- x=y=1/2
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 00:35:32.84 ]
- a、b、c >0 のとき、a^3/(a+b)^2 + b^3/(b+c)^2 + c^3/(c+a)^2 ≧ (a+b+c)/4
さいきん立読み中に見かけた問題だが、既出な伊予柑 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
- 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 00:42:37.07 ]
- >>899
むしろ対数を取って証明する方法を知りたい
さあ、改造手術の時間です！
a、b >0に対して、 a^a + b^b ≧ a^b + b^a > 1
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
- 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 00:54:02.62 ]
- >>903
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4から示す
- 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 01:40:14.79 ]
- >>905
どこから出てくるん、その発想
- 907 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:15:10.90 ID:AiSkvLuw]
- >>903
ではでは、次はどんな方法で？
a、b、c >0 のとき、a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2
一般化はできますか？ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/？
- 908 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:17:38.49 ID:AiSkvLuw]
- 専ブラから書き込めなかったので、落ちたのかと思ったぜ…
IDが出てるし、何が起こったのだ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
- 909 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:30:41.60 ID:xfpFxcpO]
- まじだ
- 910 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:34:49.65 ID:qQ0NhdK4]
- >>907
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n
- 911 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 21:44:24.85 ID:???]
- >>907
a^2/(a+b)≧(3a-b)/4から示す
- 912 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 21:58:49.60 ID:???]
- >>911
どこから捻り出すのか教えて栗々ﾎﾟﾝﾎﾟﾝ ( ﾟ∀ﾟ)！
- 913 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:01:11.43 ID:???]
- そのコツが分かれば、a^4/(a+b)^3 + b^4/(b+c)^3 + c^4/(c+a)^3 でも作れる鴨
- 914 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:32:37.59 ID:???]
- a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n
( ﾟ∀ﾟ) しゅっび どぅっび～
- 915 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:41:55.32 ID:???]
- >>912
a^2/(a+b)≧(xa+(1-x)b)/2
から上手くなってくれるように調整
2a^2≧xa^2+ab+(1-x)b^2
(a-b)((2-x)a+(1-x)b)≧0
からx=3/2だとうまくいくなーと
- 916 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:52:48.88 ID:???]
- >>915
ぐぬぬ…、なるほどな～
そうやって理詰めで作り出すんですね～ ヽ('A`)ノ
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