- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 18:25:13.74 ]
- 〔問題〕
正の数 x、y が x+y=1 をみたすとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 21:26:23.94 ]
- >>447
正解！
- 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 23:35:36.28 ]
- >>448
x^x-y^xとx^y-y^yは正負が一致するかともに0かなので
(x^x-y^x)(x^y-y^y)≧0
x^(x+y)+y^(x+y)≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
左辺=x+y=1より
1≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 00:29:09.54 ]
- >>450
神すぎる…
- 452 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 09:53:30.81 ]
- Soient a,b tels que 0<a≦1, 0<b≦1.
Prouver que : a^{b-a}+b^{a-b}≦2.
- 453 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:21:14.26 ]
- >>448
By the Weighted AM-GM, x^xy^y≦x^2+y^2, x^yy^x≦2xy
∴x^xy^y+x^yy^x≦(x+y)^2=1 Done!
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 10:23:42.09 ]
- >>452
難しい (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
ところで a^{b-a}+b^{a-b} の下限はいくらになるのですか？ ０にいくらでも近づく？
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 10:27:42.91 ]
- >>454
下限というか最小値は１かな？
- 456 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:43:07.23 ]
- >>453
Sorry, my proof was wrong. I thought that x, y are positive integers.
- 457 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:59:00.10 ]
- No, your proof is CORRECT!
- 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 20:29:14.21 ]
- >>453 の weighted AM-GM というのは
p,q,x,y>0, p+q=1 ⇒ x^p･y^q ≦ px + qy,
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/22(金) 04:35:26.03 ]
- 重み付き相加相乗って懐かしいな
すっかり忘れていた…
- 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/22(金) 04:35:52.11 ]
- >>453, >>458
凸不等式から出る。別名 ベルヌーイの式。
数セミ、2010/08月号 NOTE (大塚氏) も参照。
- 461 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/30(土) 15:16:53.93 ]
- x≧0, y≧0, x+y=1 のとき, 自然数m,nに対して
( 1-x^m )^n + ( 1-y^n )^m ≧1
- 462 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/30(土) 17:25:09.46 ]
- >>859
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>859
- 463 名前：コピペキチガイ必死w ◆osMsTqWzXY mailto:sage [2011/07/30(土) 17:25:21.59 ]
- >>462
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>462
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 18:00:36.44 ]
- >>461
むむむ…、分からん
- 465 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/30(土) 21:48:35.22 ]
- どうみても二項定理だろアホｗ
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 22:10:33.54 ]
- >>465
証明してみろ！
- 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 22:49:10.99 ]
- >>461
(略証)
g(x) = 1 - (1-x)^n とおくと (左辺) = 1 -g(x^m) + {g(x)}^m.
g(x) の逆函数を f(z) と書くと、 f(0)=0, f(1)=1 かつ
f(z) = 1 - (1-z)^(1/n) = (1/n)z + (1/2n)(1-1/n)z^2 + (1/3n)(1-1/n)(1-1/2n)z^3 + ……
a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)n}･a_{k-1} > 0.
∴ f(z) は下記の【命題268】の条件をみたす。
∴ f(z^m) ≧ {f(z)}^m,
∴ z^m ≧ g({f(z)}^m),
∴ {g(x)}^m ≧ g(x^m),
[初代スレ.563(7), 973]
[第２章.21, 346-347, 353]
- 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 22:51:17.31 ]
- >>467 の続き
【命題268】
f(x) は |x|≦1 で正則な解析函数で、f(0)=0, f(1)=1 かつ
マクローリン展開の係数がすべて非負実数とする。
このとき, 0≦x≦1 において
r>1 ⇒ f(x^r) ≧ {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ f(x^r) ≦ {f(x)}^r.
(math_board_watcherによる)
(略証)
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k), a_k ≧ 0.
Σ[k=1,∞) a_k = f(1) = 1.
Jensenの定理より（収束について適当な条件のもとで）
r>1 ⇒ x^r は下に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r > {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ x^r は上に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r < {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
Yahoo! - 科学板 - 数学カテ - 出題(不等式)トピ - 268,272
- 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/31(日) 05:50:42.62 ]
-
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ /
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/31(日) 12:49:57.13 ]
- [前スレ.608] の小改良....
以上の評価から
(1/2){(1+t)^(1-t) +(1-t)^(1+t)} ≦ 1 -t^2 +(3/4)t^4,
(1/2){(1+t)^(1-t) -(1-t)^(1+t)} ≦ t -(1/2)t^3,
log(2) = a とおくと
cosh(a/2) = 3/(2√2) = 1.06066017,
sinh(a/2) = 1/(2√2) = 0.35355339,
McLaurin展開係数がすべて正だから、t^2 について下に凸
cosh(at) ≦ 1 +(3√2 -4)t^2, (0<t<1/2)
sinh(at) ≦ at +(2√2 -4a)t^3, (0<t<1/2)
以上から
x^(2y) + y^(2x)
= {(1-t)/2}^(1+t) + {(1+t)/2}^(1-t)
≦ {1 -t^2 +(3/4)t^4}･{1 +(3√2 -4)t^2}
+ {t -(1/2)t^3}･{at +(2√2 -4a)t^3}
= 1 -(5-a-3√2)t^2 +{19/4 -(9/2)a -√2)t^4 +{-3 +2a +(5/4)√2}t^6
≦ 1 -(5-a-3√2)t^2 +{4-4a-(11/16)√2}t^4
≦ 1 -{4-(181/64)√2}t^2
= 1 -0.000427268･t^2, (0<t<1/2)
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/31(日) 13:28:12.30 ]
- >>461
mn個の放射性核種を、m行n列の長方形状に並べる。どの核種も1分以内に確率xで崩壊するとする。
二つの事象を考える：
[a] 1分後、第1列～第n列のうち、m個すべてが崩壊している列が少なくとも1列ある。
[b] 1分後、第1行～第m行のすべての行で、少なくとも1個が崩壊している。
[a]の確率は 1 - (1-x^m)^n ・・・(1)
[b]の確率は (1-y^n)^m ・・・(2)
事象の包含関係から (2)≧(1) 。
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/01(月) 23:36:30.55 ]
- >>470
4 > (181/64)√2 の証明
128√2 > 181
2(128^2) - 181^2 = 7 > 0,
2X^2 - Y^2 = 7,
(X_0, Y_0) = (2, -1)
漸化式
X_{n+1} = 3X_n + 2Y_n,
Y_{n+1} = 4X_n + 3Y_n,
より
X_n = {1 - 1/(2√2)}(1+√2)^(2n) + {1 + 1/(2√2)}(1-√2)^(2n),
Y_n = {√2 -(1/2)}(1+√2)^(2n) + {-√2 -(1/2)}(1-√2)^(2n),
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/03(水) 10:28:00.18 ]
- x+y+z=1を満たす実数x,y,zに対して、次の不等式が成立することを示せ
(x^2+y^2+z^2)^2*(1/x+1/y+1/z)≧1
- 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/03(水) 12:00:02.32 ]
- ｘ＝３。
ｙ＝－１。
ｚ＝－１。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/03(水) 14:18:15.05 ]
- >>473
胡散臭い不等式やと思うたら案の定か！
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 01:50:12.86 ]
- >>461 の類題
(1-x^m)^n + n･(1-x^m)^(n-1)･x^m + {1-y^n -nx･y^(n-1)}^m ≧ 1,
(1-x^m)^n + n･x^m･(1-x^m)^(n-1) + {n(n-1)/2!}x^(2m)･(1-x^m)^(n-2)
+ {1 -y^n -nx･y^(n-1) -[n(n-1)/2!]x^2･y^(n-2)}^m ≧ 1,
つまらねぇ....
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 02:03:18.01 ]
- しょうがないなあ
A536, B4364, B4370
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201105&t=mat&l=en
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 10:10:52.07 ]
- a+b+c+d≧4(abcd)^(1/4)=p
abc+abd+acd+bcd≧4(abcd)^(3/4)=q
a+b+c+d=abc+abd+acd+bcdよりp=q
∴abcd=1
(左辺)
=2(ac+bd)+ab+bc+cd+da
≧2(ac+bd)+4(acbd)^(1/2)
=2{(1+ac)+(1+bd)}
≧2*2{(1+ac)(1+bd)}^(1/2)
=(右辺)
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 10:12:41.91 ]
- ↑
>>477
A536
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 00:04:44.11 ]
- >>477
[B4370.]
頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w),
（略解)
a>b ⇔ BC > CA ⇔ ∠BAC > ∠ABC ⇔ ∠BAI > ∠ABI ⇔ BI > AI ⇔ v > u,
∴ {a,b,c} と {1/u,1/v,1/w} とは同順
あとはチェビシェフに任した…
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 00:36:05.93 ]
- 質問スレに張られてた奴
a,b,c>0, abc=1のとき
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b))≧3/2
を示せ
- 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 02:51:33.91 ]
- >>481
コーシーより、
(左辺) ≧ (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)}
= (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {2abc(1/a + 1/b + 1/c)}
= (1/a + 1/b + 1/c) / (2abc)
≧ 3/{2(abc)^(4/3)} (相加･相乗平均)
= 3/2,
※ a=1/x, b=1/y, c=1/z, xyz=1 とおく方法もある。
- 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 07:12:31.74 ]
- >>482
成程な～
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 11:26:48.95 ]
- >>482
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ ちょ～っと待ったあ！！
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式ヲタ参上！
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
>>483の証明で、CS と AM-GM を用いて
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b)) ≧ 3/{2(abc)^(4/3)} …①
が示された。等号成立条件は a=b=c=1/3。 ここまでは見事ですが
だが、ここで abc=1より、①≧3/2 としていいのか？
①が成り立つのは a=b=c=1/3 のときであって、このとき abc = 1/27 なのだから、
①の右辺に abc=1 を代入してはダメじゃないの？
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 12:53:39.49 ]
- >>484
出直してこい
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 13:39:40.36 ]
- >>477
B4364
a+b≧2c
(a^2-b^2)/c≧2(a-b)…(1)
2a≧b+c
2(b-c)≧(b^2-c^2)/a
(c^2-b^2)/a≧2(c-b)…(2)
a+c＞b
(a^2-c^2)/b≧a-c…(3)
(1)(2)(3)を足して
(a^2-b^2)/c+(c^2-b^2)/a+(a^2-c^2)/b≧3a-4b+c
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 13:42:38.09 ]
- ダメじゃないの。
- 488 名前：482 mailto:sage [2011/08/06(土) 14:17:02.81 ]
- >>484
等号成立条件は a=b=c=1。
が抜けてたな.....
ぬるぽ
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 14:20:07.02 ]
- すまん、積でしたな
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 14:40:31.10 ]
- >>477
[B4364.]
a ≧ b ≧ c > 0 のとき 次を示せ。
(a^2 - b^2)/c - (b^2 - c^2)/a + (a^2 - c^2)/b ≧ 3a-4b+c,
(略解)
(左辺) ≧ (a^2 - b^2)/b - (b^2 - c^2)/b + (a^2 - c^2)/b
= 2(a^2 - b^2)/b
= {2(a+b)/b}(a-b)
≧ 4(a-b),
以下簡単。
- 491 名前：486 mailto:sage [2011/08/06(土) 18:26:09.37 ]
- >>490
うまい…
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 22:05:29.24 ]
- >>477
[B4371.]
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{cos(5π/7)}^2 = 24,
を示せ。
(略解)
(左辺) = 1/{cos(3π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(π/7)}^2
= 1/{cos(4π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(6π/7)}^2
= Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2,
{1 - T_7(x)}/(1-x) = 1 +7x -56x^3 +112x^5 -64x^7
= (1-x)(1 +4x -4x^2 -8x^3)^2,
cos(2kπ/7) (k=1,2,3) は 1 +4x -4x^2 -8x^3 = 0 の根。
1/cos(2kπ/7) (k=1,2,3) は y^3 +4y^2 -4y -8 = 0 の根。
Σ[k=1,2,3] 1/cos(2kπ/7) = -4,
Σ[k<L] 1/{cos(2kπ/7)cos(2Lπ/7)} = -4,
よって
Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2 = 4^2 -(-4)*2 = 24,
- 493 名前：492 mailto:sage [2011/08/06(土) 22:11:32.65 ]
- >>492 訂正
[B4371.]
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。
- 494 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/07(日) 09:00:49.56 ]
- For real numbers $p,\ q,\ r$, prove that
p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3≧(8/27)(p+q+r)^4
- 495 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/07(日) 15:33:09.16 ]
- p^2+q^2+r^2=x^2
G=p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3-s(p^2+q^2+r^2-x^2)
Gp=(p+q)^3+3p(p+q)^2+3r(r+p)^2-2sp=0
p^3+3p^2q+3pq^2+q^3+3p^3+6p^2q+3pq^2+3r^3+6r^2p+3rp^2-2sp=0
Gq=(q+r)^3+3q(q+r)^2+3p(p+q)^2-2sq=0
Gr=(p+r)^3+3r(p+r)^2+3q(r+q)^2-2sr=0
...
p=q=r=x(1/3)^.5
f=3x^4(8/3^2)=x^4(8/3)
RH=(8/3^3)(3^4x^4/3^2)=x^4(8/3)
- 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/08(月) 00:04:38.81 ]
- >>494
f(x) = x^m は単調増加で下に凸。(m≧1)
{p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)
= {4(p+q+r)^2 + (p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}/{6(p+q+r)}
≧ (2/3)(p+q+r),
Jensen より
(左辺) = p･f(p+q) + q･f(q+r) + r･f(r+p)
≧ (p+q+r)･f({p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)) [下に凸]
≧ (p+q+r)･f((2/3)(p+q+r)) [単調増加]
= (2/3)^m･(p+q+r)^(m+1),
ぢゃね？
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/08(月) 09:27:01.04 ]
- 正じゃない。
- 498 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/08(月) 15:02:45.71 ]
- For positive real numbers a, b, c, d with abcd=1,
Prove that
1/a + 1/b +1/c +1/d + 9/(a + b + c + d) ≧ 25/4
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 00:34:49.08 ]
- a≧b≧c≧dとする。
abcd=1よりa≧1である。
(左辺)
≧1/a+1/a+1/a+1/a+9/(a+a+a+a)
=25/(4a)
≧25/4
- 500 名前：499 mailto:sage [2011/08/11(木) 00:42:47.14 ]
- 間違えたorz
- 501 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/14(日) 14:11:15.95 ]
- あほ
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 14:44:52.56 ]
- >>501
口が悪いな、直したほうがいい
- 503 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/14(日) 17:09:15.69 ]
- >>498 難しくない？
- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 01:09:44.14 ]
- >>494 >>497 難しくない。
19 = 3^2 + 3^2 + 1^2
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 +r^2 +(7/4)pq -(22/4)qr +(11/4)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 -r^2 +(113/28)pq -(131/28)qr +(46/28)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
- 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 01:18:09.31 ]
- なんだ、ただの神か…
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 10:35:43.41 ]
- >>504 の補足
まづ p^4 + q^4 + r^4 の係数を見る。
左辺は1、右辺は 8/27 だから 1 - (8/27) = 19/27,
そこで 19 を３平方の和で表わした。
難しくない。
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 20:13:45.05 ]
- >>477
[A536.]
a,b,c,d は正の実数で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき 次を示せ。
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)},
(略解)
abcd≧1 のとき
(左辺) = (a+c)(b+d) + 2(ac+bd) ≧ 4√(abcd) + 2(ac+bd) ≧ 2(1+ac) + 2(1+bd) ≧ (右辺),
abcd≦1 のとき、補題により
t = (ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧ 6,
(左辺) ≧ 6 + (ac+bd) ≧ 4√{2 + (ac+bd)} ≧ 4√(1+ac+bd+abcd) = (右辺),
〔補題〕
a,b,c,d>0 で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき、
(ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧6,
(略証)
左辺をtとおいて
2{(a+b+c+d)t - 6(abc+bcd+cda+dab)}
= (a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + (a+d)(b-c)^2 + (b+c)(d-a)^2 + (b+d)(c-a)^2 + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ t ≧ 6,
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 05:09:19.68 ]
- >>498
左辺を f(a,b,c,d) とおく。
ab<2 のとき
f(a,b,c,d) - f(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +c +d)^2}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +2/√ab)^2}
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9ab/(4(ab+1)^2)}
= (√a - √b)^2･(2-ab)(2+5ab)/{4ab(ab+1)^2}
≧ 0,
ここで c+d ≧ 2√cd = 2/√ab を使った。
a≧b≧c≧d とすると cd≦1
(a,b,c,d) が最小値ならば c=d に限る。
∴ bc = bd ≦1,
∴ b=c=d≦1,
∴ (a,b,c,d) = (A^3, 1/A, 1/A, 1/A) ただし A≧1.
となって
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/6, (A≧1)
に帰着する。
- 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 05:26:39.15 ]
- >>498
次に
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/４, (A≧1)
を示そう。
f(A^3,1/A,1/A,1/A) - 25/4
= 1/A^3 + 3A + 9A/(A^4 +3) - 25/4
= 3(A-1)^2･{A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1}/{A^3(A^4 +3)}
= 3(A-1)^2･g(A)/{A^3(A^4 +3)}
≧ 0,
∵ g(A) = A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1
= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026A^2 +0.657105936A -0.3209864
= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026(A-1)^2 +5.782966457A +2.899049797
> 0.
難しくない。>>503
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 05:33:13.51 ]
- >>508-509
の最後の式の右辺は間違い。
25/４
+5.782966457(A-1)
に訂正。
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 19:20:06.30 ]
- >>509
最小を探すなら、微分使った方が簡単....だな
F(A) = 1/A^3 +3A +9A/(A^4 +3),
F '(A) = -3/A^4 + 3 + 27(1-A^4)/(A^4 +3)^2
= 3(A^4 -1)(A^8 -3A^4 +9)/{(A^4)(A^4 +3)^2},
A^8 -3A^4 + 9 = (A^4 -3)^2 + 3A^4 > 0,
- 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/19(金) 01:38:45.69 ]
- >>509
F(A)≧ 25/4 だけなら、代数使った方が簡単....だな
A^4 + 3 = (4/√3)A^3 + (A-√3)^2 {A^2 +(2/√3)A +1}
≧ (4/√3)A^3
> (9/4) A^3,
より
F(A) - 25/4 = {(1/A^3) +3A -4} + (9/4){4A/(A^4 +3) -1}
= (A-1)^2･(3A^2 +2A+1)/A^3 - (9/4)(A-1)^2･(A^2 +2A+3)/(A^4 +3)
> (A-1)^2･{(3A^2 +2A+1) - (A^2 +2A+3)}/(A^3)
= (A-1)^2･2(A^2 -1)/(A^3)
≧ 0, (A≧1)
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/20(土) 15:12:34.36 ]
- >>512
相加･相乗平均を使わないなら
3^5 = 243 < 256 = 16^2,
より
A^4 + 3 > A^4 + 3(3^5/16^2)^2
= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{A^2 + (9/8)A + (3^5)/(16^2)}
= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{(A + 9/16)^2 + 162/(16^2)}
≧ (9/4)A^3,
どうでもいいけど.....
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/20(土) 15:44:57.93 ]
- 【問題１】
正の数 x、y、z が z≧x+y をみたすとき、
x^2 + y^2 + z^2 ≧ (6/5)*(xy + yz + zx) を示せ
【問題２】
0.160 < ∫[0,1] x^2 e^(-x^2) dx <0.215 を示せ
【問題３】
正の数 a、b、c が a+b+c=1 をみたすとき、
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 ≧ 100/3
www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf
上の上の数ヲタである不等式ヲタの皆さんには、【問題３】など瞬殺でしょうから、
(a + 1/a)^4 + (b + 1/b)^4 + (c + 1/c)^4 ≧ ？
(a + 1/b)^3 + (b + 1/c)^3 + (c + 1/a)^3 ≧ ？
と変えたところで、やはり秒殺でしょう （by スマートブレイン社社長）
- 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 05:37:23.73 ]
- >>514
【問題１】
z = x + y + Z' (Z'≧0) を代入して整理する。
(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)Z' + (Z')^2 ≧ 0,
等号成立は (x,y,z) = (1,1,2) のとき。
【問題２】
(左) e^(-x^2) = (1/e)e^(1-x^2) > (1/e)(2-x^2), より
I > (1/e)∫[0,1] (x^2)(2-x^2)dx
= (1/e) [(2/3)x^3 -(1/5)x^5 ](x=0,1)
= 7/(15e)
= 0.171677
(右) x^2 > x^3 より
I < ∫[0,1] (x^2)e^(-x^3) dx
= (1/3)[ -e^(-x^3) ](x=0,1)
= (1/3)(1 - 1/e)
= 0.210706852
または 相加･相乗平均より
x^2 < (1/3)x + (3/4)x^3,
I < ∫[0,1] {(1/3)x + (3/4)x^3}･e^(-x^2) dx
= [ -(1/24)(13 + 9x^2)e^(-x^2) ](x=0,1)
= (1/24)(13 - 22/e)
= 0.204443845
【問題３】
f(x) = (x + 1/x)^2 は下に凸だから、Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
f(x) = 100/9 - (160/3)(x -1/3) + (x^2 +54x +9)(x -1/3)^2
≧ 100/9 - (160/3)(x -1/3),
f(a) + f(b) + f(c) ≧ 100/3 - (160/3)(a+b+c-1) = 100/3,
でもよい。
- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 05:44:22.87 ]
- 【問題４】
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a - 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≦ 1 を示せ
∧,,∧
(`･ω･´) 詳しく聞こうか？
（ ）
￣￣Φ口U￣￣＼
_ _. ＼
＿（ ）＿＿＿＿.＼
￣┏┳┓）
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 06:18:55.54 ]
- >>514
【追加問題１】
f(x) = (x + 1/x)^n は下に凸だから Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
f(x) ≧ (10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)･(x -1/3),
f(a) + f(b) + f(c) ≧ 3(10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)(a+b+c-1)
= 3(10/3)^n,
としてもよい。
【追加問題２】
(abc)^(1/3) = G とおく。(相乗平均)
相加･相乗平均で
aa/b + bb/c + cc/a ≧ 3G,
a/bb + b/cc + c/aa ≧ 3/G,
3G + 3/G ≧ 6,
より、【１】に帰着する。
3(10/3)^3 = 1000/9
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 06:57:11.66 ]
- >>516
【問題４】
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y},
定義により、-x+y+z, x-y+z, x+y-z の任意の2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
[第3章.481]
- 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 13:58:30.54 ]
- >>515 【問題２】(右)
詳しく聞かれちゃ～生姜ねぇ･･･
∫[0,1] x e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)e^(-t) dt = [ -(1/2)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/(2e) = 0.3166028,
∫[0,1] (x^3)e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)t e^(-t)dt = [ -(1/2)(t+1)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/e = 0.13212056
ここでシュワルツを使えば I < 0.2045232 だな。
- 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 14:13:02.30 ]
- >>515 【問題２】
exp( ) をマクローリン展開して計算すると I = 0.189472345820492
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 23:44:35.95 ]
- 【もんじあ】
実数 x、y、z が (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2 = 1
をみたすとき、|x+y+z| の 最大値を求めよ
- 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 00:31:52.68 ]
- >>521
g(x,y,z) = (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2
= (1/3)(x+y+z)^2 + (8/3)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx)
= (1/3)(x+y+z)^2 + (4/3){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}
≧ (1/3)(x+y+z)^2,
∴ |x+y+z| ≦ √{3g(x,y,z)},
等号成立は x=y=z=±1/√3 のとき。
- 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 01:28:08.98 ]
- g(x,y,z)≡1だから、最大値は√3か
- 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 04:12:25.39 ]
- [B.4355.]
x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
(x^3+y^3)/(x^2+xy+y^2) + (y^3+z^3)/(y^2+yz+z^2) + (z^3+x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201104&t=mat&l=en
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 04:26:02.52 ]
- 三角形ABCの内部の点Pに対して PA+PB < CA+CB が成り立つ。
[B.4339.]
四面体ABCDの内部の点Pに対して PA+PB+PC < DA＋DB+DC が成り立つか？
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201102&t=mat&l=en
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 00:30:57.36 ]
- [B.4355.] (訂正)
x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
(z^3 + y^3)/(x^2+xy+y^2) + (x^3 + z^3)/(y^2+yz+z^2) + (y^3 + x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.
>>524 なら瞬殺だろうな.... >>514
- 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 04:59:16.48 ]
- (ﾟдﾟ；) ﾄ､ﾄｳｾﾞﾝ ﾃﾞ ｺﾞｻﾞﾙﾖ…
- 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 12:50:44.75 ]
- >>526-527
相加･相乗平均を使えば >>524 と同じ....
(左辺) ≧ 3{f(x,y)f(y,z)f(z,x)}^(1/3),
x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy+y^2) - 2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2), より
f(x,y) = (x^3 + y^3)/(x^2 +xy +y^2)
≧ (1/3)(x^3 + y^3)/(x^2-xy+y^2)
= (1/3)(x+y),
再度、相加･相乗平均より
(左辺) ≧ {(x+y)(y+z)(z+x)}^(1/3)
= {8xyz + x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2}^(1/3)
≧ 2(xyz)^(1/3),
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 16:00:00.77 ]
- ＡＢ＜ＡＣでＢの近くにＤをとり，Ｃの近くにＰをとる。
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 19:51:01.60 ]
- >>524
x,y,z は正数で、x+y+z=3 とする。このとき……
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 21:08:58.13 ]
- >>498
第10回(2011年)中国女子数学オリンピック(CGMO)の問題3
www.imojp.org/
www.imojp.org/challenge/index.html 過去問
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 22:01:55.57 ]
- (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 22:07:45.91 ]
- >>531
中華の問３、どっかで見たような希ガス…
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 05:16:58.00 ]
- C.944
www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 06:57:10.69 ]
- >>238
>>251
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 16:54:26.26 ]
- そういや３年位前に、高校の先生が相加相乗平均の新証明の記事があったけど、
いまさらながら、その論文のリンクを貼っておく
www.emis.de/journals/JIPAM/images/080_08_JIPAM/080_08.pdf
並べ替え不等式を使うのか…
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 23:04:28.49 ]
- >>526
x,y,z は正数で xy+yz+zx = 3 とする。このとき……
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 07:19:11.26 ]
- 0
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 08:57:16.76 ]
- x, y, zは正の実数で x+y+z=11 , x≦2, y≦3 のとき √(xyz) ≦6 .
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 09:07:33.95 ]
- >>539
どうやるん？
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:08:56.28 ]
- >>536
その方法と 全 く 同 じ 方 法 で、
色々な不等式(もちろん相加相乗平均も)を証明した記事が、
数学セミナーに掲載されている。
数学セミナー 2004.2
ttp://www.nippyo.co.jp/magazine/4352.html
＞対称性を有する不等式の統一的証明について 仁平政一 52
↑この記事。2004年だから、例の高校の先生より早い。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:19:33.62 ]
- >>541
なんと！ すごいな
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:21:54.25 ]
- さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題
【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^k * nCr / (x+r) = ？
- 544 名前：訂正 mailto:sage [2011/08/26(金) 13:22:23.41 ]
- 543 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/08/26(金) 13:21:54.25
さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題
【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^r * nCr / (x+r) = ？
- 545 名前：541 mailto:sage [2011/08/26(金) 13:32:26.78 ]
- 記事名をキーワードにググってみたら、
数研通信とかいうサイトに まるごと載ってるじゃねーか(＾o＾)
数研通信 47号2003年8月
不等式の証明の統一的方法（仁平政一）
ttp://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/47/47-5.pdf
>541と若干タイトルが違うが、著者は同じ。で、こっちの方が
さらに年月が古く、2003年8月となっている。
>541のやつは、この記事の加筆修正なのかもしれん(俺の手元に
数セミが無いので、確認できない＾o＾)。
- 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:40:03.23 ]
- >>545
情報サンクス！
数蝉の年２回のNOTEは、コピーしてファイルしてるので見たけど、
数検通信の記事から抜粋したものですな
で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
- 547 名前：541 mailto:sage [2011/08/26(金) 13:57:35.26 ]
- ＞で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
ということは、並べ替え不等式を使う方法は
ずっと昔から知られていたと。
- 548 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/26(金) 21:17:47.93 ]
- 541>所謂, Rearrangememt Inequalityですな。
>>544 int_0^1 x^2 dxは？
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