- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 357 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/08(日) 21:07:45.02 ]
- a,b,cをa+b+c=0を満たす実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
frac{a(a+2)}{2a^2+1}+\frac{b(b+2)}{2b^2+1}+frac{c(c+2)}{2ｃ^2+1}≧0
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/09(月) 02:53:53.07 ]
- >>325
対称式なので、いつものように a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて通分する。
(左辺) = {(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) + [(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}／{(a+b)(b+c)(c+a)}
= {(s^2 -2t)t + (t^2 -2su)}／(st-u)
= {2(s^2 -2t)t/3 + (s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su)}／(st-u)
≧ {2(s^2 -2t)t/3 + (9/32t)(st-u)^2}／(st-u) (←補題)
≧ {(√3)/2}√(s^2 -2t) (←相加･相乗平均)
= (右辺),
〔補題〕
(s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su) ≧ (9/32t)(st-u)^2,
(略証)
(左辺) - (右辺) = (1/3)(t^2 -3su) + (7/144)s(st-9u) + (1/288t){(st)^2 -81u^2} ≧0,
しかし、基本対称式を使うやり方は、どうもマンドクセ.....
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/09(月) 04:48:30.04 ]
- >>358
ありがとうございます、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
公式一発ではムリポだったので、基本対称式を使うしかないと思って、
ゴリゴリ計算はしていたのですが、私には辿りつけませんでした…orz
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/09(月) 23:53:25.24 ]
- >>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/09(月) 23:56:19.96 ]
- >>360
{(a^3+b^3+c^3)/3}^(1/3) (r=3)
≧ {(a^2+b^2)/(a+b) + (b^2+c^2)/(b+c) + c^2/(c+a)}/3 (r〜5/2)
≧ √{(a^2 + b^2 + c^2)/3} RMS(r=2)
≧ {(√2)/6}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)} (r〜3/2)
≧ (a+b+c)/3 相加平均(r=1)
≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) (r〜3/4)
≧ √{(ab+bc+ca)/3} (r〜1/2)
≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 (r〜1/4)
≧ (abc)^(1/3) 相乗平均(r→0)
≧ 3abc/(ab+bc+ca), 調和平均(r=-1)
〔rの意味〕
a,b,c が近いときは
{(a^r + b^r + c^r)/3}^(1/r) 〜 (abc)^(1/3) + (r/18)*{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2},
となる。
- 362 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/10(火) 02:46:58.18 ]
- ひどい自演見た
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/10(火) 06:41:22.70 ]
- >>362
2ch初心者は黙ってろ！
- 364 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/10(火) 11:08:11.69 ]
- >>354
a,b,c≧0 のとき
(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3)
By AM-GM, frac{a+b+c}{3}=\frac 13(frac{a+b}{2}+frac{b+c}{2}+frac{c+a}{2})≧(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)
By AM-GM, (a+b)(b+c)(c+a)≧8abc⇒(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)≧(abc)^(1/3)≧(frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)
by Newton's Inequality.
By QM-AM, (frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)≧frac{√ab+√bc+√ca}{3}≧(abc)^(1/3) Done!
- 365 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/11(水) 16:25:20.69 ]
- 360:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:53:25.24
>>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？
361:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:56:19.96
>>360
この間約３分
- 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/11(水) 23:56:28.85 ]
- >>365
別に珍しくなかろう
俺なんか起きている間はずっと2ch見てるから
その気になれば直ぐに返事できるぜ
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/11(水) 23:57:33.38 ]
- >>365
それより不等式の話をしろ
嫌なら消えろ！
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/11(水) 23:59:32.17 ]
- うるせえ
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/12(木) 00:03:06.74 ]
-
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>368
- 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/12(木) 00:05:48.10 ]
- くせえ
- 371 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/12(木) 02:19:08.02 ]
- 3分でsageでついたレスをチェックして計算を書き上げるのかー
さすがに苦しいだろｗ
- 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/12(木) 07:00:03.07 ]
- 俺も自演しながら荒らしてます！
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
- 373 名前：必ずレスくるよ！ ◆jK4/cZFJQ0Q6 mailto:sage [2011/05/12(木) 17:02:29.89 ]
- >>372
気持ち悪いぞ！キチガイ！
バカオツ（＾∇＾）！
キチガイはたくさんだな！
パクリ乙（ーー；）警！
キチガイ丸出し！
偽物オツピーオツピー♪バカオツケー♪
頑張れ！偽物！
- 374 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/14(土) 13:31:11.56 ]
- Challenge!
a+b+c=0を満たすすべての実数に対して,
frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+2)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0
が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
- 375 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/14(土) 13:34:04.62 ]
- 問題, 打ち間違えました。正しくは, こちらです。
a+b+c=0を満たすすべての実数a,b,cに対して,
frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+p)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0
が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/14(土) 13:36:23.44 ]
- 何で最後のcだけ全角
- 377 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/14(土) 23:15:41.41 ]
- えっ, どの部分ですか？
- 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/15(日) 01:13:00.72 ]
- バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
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バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
- 379 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/15(日) 06:13:34.94 ]
- ここの不等式のレベルは, タイトルの割には, レベル, 低すぎ。
海外では, 中学生レベルにしか値しない。
さっさと, 店じまいしろ。378は, 精神年齢, 低すぎ！
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/15(日) 06:32:31.69 ]
- バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/15(日) 08:08:29.47 ]
-
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>379
- 382 名前：偽物発生中 ◆jK4/cZFJQ0Q6 mailto:sage [2011/05/15(日) 08:41:56.70 ]
- >>378
偽物注意！！！！！
頑張れよ！偽物キチガイ！
パクリ乙（ーー；）バカオツ（ーー；）
ニートは数学勉強だ！
>>380
パクリ乙！！！！！
さすがキチガイ！！！！！
悔しいのか？？？www
頑張れよ！偽物カスカスニート！
- 383 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/21(土) 21:32:59.16 ]
- 〔問題〕
a,b,cは実数、ab+bc+ca =t とおくとき、次を示せ。(じゅー)
(1) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ 9t + (8/9)(t-3)^2,
等号成立は a=b=c=±1, t=3 のとき。
(2) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ t^2 +(13/4)t +8,
等号成立は a=b=c=±√(3/2), t=9/2 のとき。
- 384 名前：猫は海賊 ◆4c5pft6zx. mailto:sage [2011/05/21(土) 21:36:53.45 ]
- 猫
- 385 名前：猫は海賊 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/05/21(土) 21:48:52.94 ]
- 猫
- 386 名前：猫は海賊 ◆4c5pft6zx. mailto:sage [2011/05/21(土) 21:59:32.00 ]
- 猫
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/24(火) 21:43:11.36 ]
- >>383
(3) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
を 3つの対称式の平方和で表わせ。
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/25(水) 01:33:08.93 ]
- >>387
(p^2 + q^2)(r^2 + s^2) = (pr + qs)^2 + (ps - qr)^2 … Lagrangeの恒等式
を繰り返し用いると、
(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
= { (ab + 2)^2 + (a√2 - b√2)^2 }*(c^2 +2)
= { (ab + 2)c + (a√2 - b√2)√2 }^2 + { (ab + 2)√2 + (a√2 - b√2)c }^2
= { (ab + 2)c + 4(a-b) }^2 + 2{ (ab + 2) + (a - b)c }^2
= (abc + 2c + 4a -4b)^2 + 2(ab + 2 + ac - bc)^2
失敗でござるよ、 ドンマイ ( ﾟ∀ﾟ)ノ
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/25(水) 02:20:45.94 ]
- >>388
(a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
だと２つになるし･････
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/28(土) 10:38:16.63 ]
- >>389
p=q=r=√2 を入れて
{abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,
- 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/10(金) 17:58:19.78 ]
- 2(x-1)/(x^2-2x+2) の最小値と最大値は？ (-1≦x≦3)
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/10(金) 20:45:14.10 ]
- -1と1
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/10(金) 20:49:20.27 ]
- >>391
分子を２にして、場合分けしてAM-GM
AM-GMを使うときは、正でないと使えないぞ！
∴-1 ≦ 2(x-1)/(x^2-2x+2) ≦ 1
宿題は質問スレに逝け！
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/11(土) 02:05:20.80 ]
- >>391
x-1 = X とおくと、
y = 2X/(1+X^2),
1±y = 1 ± 2X/(1+X^2) = (1±X)^2 /(1+X^2) ≧ 0,
でもいい？
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/11(土) 04:24:49.92 ]
- ｲｲﾖｲｲﾖｰ！
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/11(土) 05:50:22.01 ]
- a、b、c、d、e、f ＞ 0 に対して、
ab/(a+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f) ≦ abcdef/(a+b+c+d+e+f)
( ﾟ∀ﾟ)わけがわからないよ
- 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/12(日) 19:09:15.01 ]
- >>396
なんか変じゃない ( ﾟ∀ﾟ)？
www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=410926
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/12(日) 19:50:00.19 ]
- a=b=c=d=e=f.
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/15(水) 02:11:04.50 ]
- >>397
〔補題〕
a1 + a2 = A,
b1 + b2 = B,
とおくと
a1･b1/(a1+b1) + a2･b2/(a2+b2) ≦ A･B/(A+B),
(略証)
(右辺) - (左辺) = (a1･b2-a2･b1)^2／{(a1+b1)(a2+b2)(A+B)} ≧ 0,
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 05:51:38.00 ]
- 〔補題〕
a_ij>0, (i=1,2,･････,n)(j=1,2,････,m)
Σ[j=1,m] a_ij = A_i, とおくとき
Σ[j=1,m] 1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ 1／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
(by kuing, Nov.20, 2009, 5:47 am) m=2
(by Mavropnevma, Jun.10, 2011, 2:25 pm) m=2
- 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 05:54:25.60 ]
- >>400
(略証)
右辺を S とおく。1/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = 1/S^2,
よって
1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ {Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･S^2,
j=1,2,･････,m についてたす。
(左辺) ≦ (1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･S^2 = S,
(proof by Vn2009, Nov.20, 2009, 8:21 am) m=2
(proof by tang zy, Nov.21, 2009, 2:50 am) m=2
(proof by hendrata01, Nov.23, 2009, 4:23 pm) m=2
(note by spanferkel, Nov.21, 2009, 3:30 am) m=3, etc.
www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=313265
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 06:11:46.69 ]
- >>400 と同じだが････
〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,m] x_ij)／m, (i=1,2,････,n)
H_j = n／(Σ[i=1,n] 1/x_ij), (j=1,2,････,m)
とおくと、
(H1 + H2 + ････ + Hm)／m ≦ n／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 07:48:50.29 ]
- >>402 念のため...
(略証)
右辺を S とおく。n/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(Σ[i=1,n] 1/x_ij) ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = (n/S)^2,
よって
H_j ≦ n･{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(S/n)^2,
j=1,2,･････,m について相加平均する。
(左辺) ≦ n(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･(S/n)^2 = S,
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/29(水) 17:33:48.88 ]
- 問A-2
www.math.kindai.ac.jp/~mathcon/mathcon13/mathcon13thmondai.pdf
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/01(金) 12:35:17.26 ]
- >>350
abc = u とおく。
(上式)^3 = (a+b)/2･(b+c)/2･(c+a)/2
= {ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +2u}/8
≧ (1/27){2ab(a+b) +2bc(b+c) +2ca(c+a) +15u} ← ※
= (1/27){ab(a+b)/2 +bc(b+c)/2 +ca(c+a)/2
+3(aab+u)/2 +3(abb+u)/2 +3(bbc+u)/2 +3(bcc+u)/2 +3(cca+u)/2 +3(caa+u)/2 +6u}
≧ (1/27){ab√(ab) +bc√(bc) +ca√(ca)
+3ab√(ca) +3ab√(bc) +3bc√(ab) +3bc√(ac) +3ca√(bc) + 3ca√(ab) +6u}
= (1/27){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^3
= (右辺)^3
※のところが、どうやって見つけたのか分かりませぬ…
ところで、√a、√b、√c の基本対称式 s、t、u を使って、
力任せに (左辺)^3-(右辺)^3 を計算しても出来ますか？
差をとって分母払った式は 27s^2t^2 - 54s^3u -62t^3 +108stu -27u^2 で、
これが0以上になるかが示せない…
- 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/01(金) 22:16:20.04 ]
- >>404
[問題A-2]
n個の実数値函数 u_1(x),u_2(x) 〜 u_n(x) (a≦x≦b) を考える。このとき、次の不等式を示せ。
√{Σ[i=1,n] （∫[a,b] u_i(x)dx）^2 } ≦ ∫[a,b] √([i=1,n] u_i(x)^2) dx,
(略証)
√{Σ[i=1,n] u_i(x)^2} = U(x) ≧ 0 とおく。
コーシーより
Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) ≦ U(x)･U(y),
よって
(左辺)^2 = ∫[a,b] ∫[a,b] Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) dxdy
≦ ∫[a,b] U(x)dx・∫[a,b] U(y)dy
= (右辺)^2,
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/01(金) 23:13:10.37 ]
- >>405
s^2 → (s^2 -3t) + 3t,
t^2 → (t^2 -3su) + 3su,
のように分解すると
27(s^2 -3t)(t^2 -2su) + 19t(t^2 -3su) + 3(st-9u)u ≧ 0,
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/04(月) 20:26:12.66 ]
- >>402-403 の続き
〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,n] x_ij)／n, (i=1,2,････,m)
G_j = (Π[i=1,m] x_ij)^(1/m), (j=1,2,････,n)
H_i = n／(Σ[j=1,n] 1/x_ij), (i=1,2,････,m)
とおくと、
(1) (A1･A2････Am)^(1/m) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)／n,
(2) (H1･H2････Hm)^(1/m) ≦ n／(1/G1 + 1/G2 + ･････ + 1/Gn),
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/04(月) 20:33:17.08 ]
- >>408
ヘルダーの不等式。
たとえば、まとめWiki を参照 >>1
(1) p_i → m, |a_ij|^m → x_ij, b_i = n･A_i, とおく。
(2) p_i → m, |a_ij|^m → 1/xij, b_i = n/H_i, とおいて、逆数をとる。
- 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/14(木) 04:04:48.39 ]
- 外出だったらｽﾏｿ.
〔問題〕
abc=1, a,b,c>0 のとき
(a^2 +b^2)/(c^2 +a +b) + (b^2 +c^2)/(a^2 +b +c) + (c^2 +a^2)/(b^2 +c +a) ≧ 2,
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/14(木) 11:52:16.90 ]
- >>410
分母の次数を２次の項だけに変えたいけど、うまくいかん…
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/15(金) 21:09:37.12 ]
- これ前にもやったっけ？
〔問題〕
正の数 a、b、c、d に対して、
{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}^(1/2) ≧ {(abc+abd+acd+bcd)/4}^(1/3)
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 03:40:25.36 ]
- >>412
[初代スレ.455-456]
(略解)
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), とおく。
f(x)=0 は重根を含めて4個の正の根をもつ。
f '(x)=0 も重根を含めて3個の正の根 α,β,γ をもつ。
f '(x) = 4(x-α)(x-β)(x-γ),
xの係数より 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) = 4(αβ + βγ + γα),
定数項より -(abc+abd+acd+bcd) = -4αβγ,
これを用いて 示すべき不等式を α,β,γ で表わすと
√{(αβ+βγ+γα)/3} ≧ (αβγ)^(1/3),
となる。これは相加･相乗平均の関係だから不等式は示された。
等号成立条件は α=β=γ で、このとき a=b=c=d.
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 03:42:23.82 ]
- >>298
[初代スレ.465]
- 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 06:55:35.88 ]
- >>2
まとめサイトの参考文献[9]の後に
[10] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180...
を追加し、[10]〜[13]を[11]〜[14]にずらしました ( ﾟ∀ﾟ)
証明する際に、三角関数に置き換えるものも含めて、
三角関数がらみの不等式の問題がたくさん載っています
- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 07:00:21.68 ]
- ●刊行予定●
不等式（数学のかんどころシリーズ）、大関清太、共立出版、未定
www.kyoritsu-pub.co.jp/series/kandokoro.html
「不等式への招待」が絶版となったので、超期待！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 07:10:48.41 ]
- 〔問題〕
実数 a、b、c に対して、
(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≧ (ab +bc +ca -1)^2
左辺は良く見かけるけど、これは初めてのような希ガス…
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 15:00:01.26 ]
- （１＋ａｉ）（１＋ｂｉ）（１＋ｃｉ）＝（１−ａｂ−ａｃ−ｂｃ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ−ａｂｃ）ｉ。
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 15:03:45.05 ]
- >>418
なん…だと！
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 15:22:13.62 ]
- >>417
a=tanα, b=tanβ, c=tanγとおく。明らかにcosαcosβcosγ≠0
1≧｜cos(α＋β＋γ)｜=｜cosαcosβcosγ-sinαsinβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ｜
｜1/(cosαcosβcosγ)｜≧｜1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα｜
(cosα)^(-2)*(cosβ)^(-2)*(cosγ)^(-2)≧(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα)^2
{(tanα)^2+1}{(tanβ)^2+1}{(tanγ)^2+1}≧(tanαtanβ+tanβtanγ+tantγtanα-1)^2
より示される
等号成立は
Arctan(a)+Arctan(b)+Arctan(c)=0, ±π
(a,b,c)=(1,-1/2,-1/3)とか(2+√3,√3,1)とか
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 02:08:41.04 ]
- >>420
cos(α+β+γ) = ････
sin(α+β+γ) = cosα･cosβ･sinγ + cosα･sinβ･cosγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ,
を使えば
(左辺) = 1/(cosα･cosβ･cosγ)^2
= (1-tanα･tanβ-tanβ･tanγ-tanγ･tanα)^2 + (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)^2
= (1-ab-bc-ca)^2 + (a+b+c-abc)^2,
- 422 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/17(日) 08:05:05.56 ]
- a,b,cは正の実数とするとき,
a^3/(a+b)^2+b^3/(b+c)^2+c^3/(c+a)^2≧(a+b+c)/4
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 09:15:12.50 ]
- >>422
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)≧0より
4a^3≧(a+b)^2(2a-b)
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4
同様に繰り返して辺々足して与不等式
- 424 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/17(日) 15:20:11.27 ]
- 4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)のideaはどこから？
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 17:50:11.85 ]
- 定石ですよ、定石！
- 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 18:07:58.81 ]
- ならば、不等式の証明に使える定石とやらを列挙してもらおうか？
- 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 21:16:34.07 ]
- >>412 (別法)
P1 = (a+b+c+d)/4,
P2 = (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6,
P3 = (abc+abd+acd+bcd)/4,
P4 = abcd,
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3 ≧ P4,
(略証)
P1^2 - P2 = (1/48){(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(b-c)^2 +(b-d)^2 +(c-d)^2} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = (1/288){(ab-ac)^2 + (ab-ad)^2 + (ab-bc)^2 + (ab-bd)^2 + ････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ac-bd)^2 + 4(ad-bc)^2} ≧ 0,
P1･P3 - P4 ≧ 0, (相加･相乗平均)
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 22:06:41.54 ]
- >>427
n変数のときも同様に、
P1 = (a1 + a2 + ･････ + an)/n,
P2 = {a1･a2 + ･････ + a(n-1)･an}/C[n,2],
P3 = {a1･a2･a3 + ･････ + a(n-2)･a(n-1)･an}/C[n,3],
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3,
(略証)
P1^2 - P2 = {1/[n^2 (n-1)]}{(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(a-e)^2 + ･････} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = {1/[n^2 (n-1)^2 (n-2)]}{(5-n)(ab-ac)^2 + (5-n)(ab-ad)^2 + (5-n)(ab-ae)^2 +････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ab-de)^2 + ･････} ≧ 0,
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
- 429 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 00:06:54.77 ]
- >>425
その変形は,自然に気づかないでしょう？
だれか, もう少し詳しく教えていただきませんか？
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 01:21:39.49 ]
- >>424 >>429
生姜ねぇ....
a^3 /(a+b)^2 ≧ γ/4,
とおく。
a^3 ≧ {(a+b)/2}{(a+b)/2}γ,
右辺は (a+b)/2, (a+b)/2, γの相乗平均の3乗。
これらの相加平均が a なら、相加･相乗平均で成立。
(a+b)/2 + (a+b)/2 + γ = 3a,
γ = 2a-b,
- 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 01:26:59.25 ]
- うーん、ぬぬぬ…
- 432 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 02:19:45.59 ]
- >>430 やっぱ、AM-GMかあ。これが自然だよな。
あとは, CS, Jensen
これって,今月号の大数にのってたやつじゃねえ？
(1) に4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)があったような。
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 04:27:35.04 ]
- >>431
う〜ん、ぬぬぬるぽ
と言いたかったのだな。
等号成立条件 (a+b)/2 = γ ⇔ a=b にも注意。
- 434 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 11:59:43.81 ]
- 1. Holder Σa^3/(a+b)^2≧(a+b+c)^3/(Σ(a+b))^2
2.AM-GM Σ(4a^3/(a+b)^2+(a+b)/2+(a+b)/2)≧3Σa
3. C.S. (a+b+c)(Σa^3/(a+b)^2)≧(Σa^2/(a+b))^2≧((a+b+c)/2)^2
4. Jensen
- 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 14:17:03.31 ]
- ちぇびちぇび、へるだあ、みんこ、しゅうあ、まじょらい、ぐろんを、並べ替え不等式、…
彼らのことも、たまには思い出してやってください
- 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 15:11:08.55 ]
- AM-GMは中学の時に出会うほど基本的なのに最強だな
- 437 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 15:17:17.77 ]
- Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b++d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
- 438 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 15:18:42.48 ]
- Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 19:05:38.49 ]
- >>410
1/(1-x) ≧ 1+x より
1/(c^2 +a +b) = 1/{a^2 +b^2 +c^2 -(a^2 +b^2 -a-b)}
= 1/{S - (a^2 +b^2 -a-b)]}
≧ 1/S + (a^2 +b^2 -a-b)]/S^2
≧ 1/S + [a^2 +b^2 -(a+b)(a+b+c)/3]/S^2 (←題意)
= 1/S + [2(a-b)^2 +2ab-bc-ca]/(3S^2)
≧ 1/S + (2ab-bc-ca)/(3S^2)，
ここに S = a^2 +b^2 +c^2 とおいた。
(左辺) ≧ 2 + {(a^2 +b^2)(2ab-bc-ca) + cyclic}/(3S^2)
= 2 + {a(b-c)(b^2 -c^2) + cyclic}/(3S^2)
≧ 2,
- 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 22:26:06.82 ]
- 〔問題〕
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a^2+b^2)/(c^2+a+b) + (b^2+c^2)/(a^2+b+c) + (c^2+a^2)/(b^2+c+a) ≧ 2
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 00:21:55.69 ]
- ∩＿＿＿∩三 ー＿ ∩＿＿＿∩
|ノ 三-二 ー二三 ノ ヽ
/ (ﾟ) (ﾟ)三二- ￣ - 三 (ﾟ) (ﾟ) |
| ( _●_) ミ三二 - ー二三 ( _●_) ミ テンション上がってきた！！
彡､ |∪| ､｀￣￣三- 三 彡､ |∪| ミ テンション上がってきた！！
/ ＿＿ ヽノ Y￣) 三 三 (/' ヽノ＿ |
(＿＿＿） ∩＿＿＿∩_ノ ヽ/ (＿＿＿）
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 06:33:56.04 ]
- >>438
まづ 0≦a,b,c,d≦3 を示す。 コーシーより
3(12-a^2) = (1+1+1)(b^2 + c^2 + d^2) ≧ (b+c+d)^2 = (6-a)^2,
0 ≧ 3(a^2 -12) + (6-a)^2 = 4a(a-3),
0≦a≦3,
b,c,d についても同様。
次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
(4x^3 -x^4) - (2x^2 +4x-3) = (x+1)(3-x)(x-1)^2 ≧ 0,
4x^2 - (4x^3 -x^4) = x^2･(2-x)^2 ≧ 0,
x=a,b,c,d について和をとると
2*12 +4*6 -3*4 ≦ 与式 ≦ 4*12,
36 ≦ 与式 ≦ 48,
左等号成立は {3,1,1,1}
右等号成立は {2,2,2,0}
くそ〜、テンション上がっちまった...
- 443 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/19(火) 09:27:04.02 ]
- Nice Solution!
- 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 12:25:03.59 ]
- >>442
> 次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
神！ この不等式をどうやって思いつくのか謎！
- 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 13:20:00.38 ]
- (0<=x<=3)=>(f(x)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c<=0).
f(1)=0.
f(3)=0.
f(x)=(x-1)^2(x-3)(x-d)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c.
d=-1.
f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-3.
- 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 10:14:37.63 ]
- このスレ恐ろしすぎる
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 17:21:02.92 ]
- 不等式ヲタ ≒ 数ヲタ ⇒ ロリコン だからですか？
- 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 18:25:13.74 ]
- 〔問題〕
正の数 x、y が x+y=1 をみたすとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 21:26:23.94 ]
- >>447
正解！
- 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 23:35:36.28 ]
- >>448
x^x-y^xとx^y-y^yは正負が一致するかともに0かなので
(x^x-y^x)(x^y-y^y)≧0
x^(x+y)+y^(x+y)≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
左辺=x+y=1より
1≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 00:29:09.54 ]
- >>450
神すぎる…
- 452 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 09:53:30.81 ]
- Soient a,b tels que 0<a≦1, 0<b≦1.
Prouver que : a^{b-a}+b^{a-b}≦2.
- 453 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:21:14.26 ]
- >>448
By the Weighted AM-GM, x^xy^y≦x^2+y^2, x^yy^x≦2xy
∴x^xy^y+x^yy^x≦(x+y)^2=1 Done!
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 10:23:42.09 ]
- >>452
難しい (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
ところで a^{b-a}+b^{a-b} の下限はいくらになるのですか？ ０にいくらでも近づく？
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 10:27:42.91 ]
- >>454
下限というか最小値は１かな？
- 456 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:43:07.23 ]
- >>453
Sorry, my proof was wrong. I thought that x, y are positive integers.
- 457 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:59:00.10 ]
- No, your proof is CORRECT!
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