不等式への招待 第５章

1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ ・不等式への招待 第４章　kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 121 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 20:28:27 ] 対角化の意味ですが、 　E、と　Lamda＝固有値マトリクス　のふたつを意味しているのですが。 122 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/31(月) 20:43:42 ] >>121 何を言いたいのか全く分かりません。 >>103の証明を書いた >>106は以下の事実が間違っています。 A,Bを一般の正定値対称行列に対して > Q1=tx.A.x>0 > Q2=tx.B. x>0　ｘはn次元ヴェクター > > A　または　Bのいづれかが、正定あれば、（Aとする） > 適当な　T 正則マトリクス,が存在して > 線形変換ｘ＝Tｙにより > > Q1=ty.E.ty > Q2=ty.L.y　：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0 123 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 20:46:31 ] 正定マトリクスの定義　（x*）Ax>0 for all x not zero 2個の実対称マトリクスA、Bについての2次形式 Q1=TxAx,Q2=TXBX　とする。 Aが正定ならば、適当な正則マトリクスによる線形変換ｘ＝Tyにより新変数ｙについて 2次形式がｙの各成分の2乗項だけをふくむ Q1=ty　ｙ、Q2=ty L y　L:対角まとりくす とあらわせる 証明　略 124 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 20:47:54 ] ＞何を言いたいのか全く分かりません。 チョット時間をおきませう 125 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/31(月) 22:16:26 ] >>123 その主張が間違っているんですよ。 具体的には、同じ線形変換 x=Ty で、 Q1=ty　ｙ、Q2=ty L y　 と表される（つまり、Q_1=<y,y> ）のは良いのですが、 「Lが対角行列」というのが間違いです。 これが出来るためには AB=BA でなくてはなりません。 理由は>>120です。 126 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 22:30:16 ] CLAIM: BがC^mxn ならばA:=B*B：C^nxnは準正定マトリクスである。 逆に エルミートマトリクスA:C^nxnが準正定ならば　rank(B)=m (mはAの固有地の数）なるマトリクスB:C^mxn をもちいてA=B*Bと表すことができる。 を証明せよ A*=Aが成立するようなマトリクスをエルミートマトリクスという A*はAの共役転置 127 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 22:39:06 ] Claim2 　2個の実対称マトリクス：R^nxn、B:R^nxnについての２次形式 Q1=txAx,Q2＝ｔxBx　　ｘ：R^n　ｔ:transpose A　ガ正定ならば、適当な正則マトリクスT:R^nxn　による線形変換ｘ＝Ty によって、新変数ｙについては２次形式がｙの各成分の二乗項だけをふくむ Q1=ty　ｙ、Q2=ty　L y、　L:対角マトリクス と表せる を証明せよ 128 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 22:44:10 ] ↑なお　一般にLの対角要素はBの固有地ではない。 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 23:07:07 ] 仙石６０さんよ、これ以上書くと恥晒しになるから止めとけや 130 名前：Fランク受験生 mailto:hh [2011/01/31(月) 23:18:13 ] システム制御工学で使われるマトリクス演算手法ですね。 証明を期待しています。 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:ふるいねええ [2011/01/31(月) 23:23:47 ] こんなやつは、30年ぐらい前いっぱい流行したよねえ。 恥を晒して墓までよ　気にすることは無い。 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/01(火) 00:09:59 ] 正則行列と直交行列を混同しているような… 133 名前：仙石６０ mailto:ふるいねええ [2011/02/01(火) 00:22:36 ] そうだね 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/01(火) 01:33:17 ] >>128 糞コテめ！ さっさと消えろ！ 我々のスレを荒らすな！ ここは不等式のスレだ、日本語読めるか？ あん？ 質問は質問スレでやれ！ 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/01(火) 02:16:43 ] 120と123は何ら矛盾してない。この件については仙石が正しい。 136 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/01(火) 20:11:43 ] 【問題】 n次の実行列 A,B,C,D に対して，2n次の行列 X を 　　X = [A　B] 　　　　 [C　D] とおく．X が正定値対称行列のとき， 　　det (X) ≦ det (A)・det(D) を示せ． 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:しらんぞ [2011/02/02(水) 13:21:13 ] Det(A) !=0 としてもよい。　A=tF.F 　Det(X)=Det(A)Det[D-B.A^-1.C] X X が正定値対称行列-=> C=tB ,A=tF.F-->B.A^-1.C=B.A^-1.tB=B.(tF.F)^-1.tB =B.(F)^-1.tF^-1.tB=B.F^-1.t(B.F^-1) =Y.Ty : y:=B.F^-1 Det[D-B.A^-1.C]=Det[D-Y.tY]<=Det(D) 　det (X) ≦ det (A)・det(D) q.e.d 138 名前：Fランク受験生 mailto:dd [2011/02/02(水) 15:36:31 ] (1) A1>=B1,A2>=B2==>A1+A1>=B1+B2 (2) A>=B>=C ==> A >=C (3)A1>=B1,A2>=B2 --->A1A2>=B1B2 間違っているのは（１）、（２）、（３）のどれでしょうか？ 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 15:57:27 ] >>138 オコチャマは消えろ！ カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 16:14:29 ] ↑　わからないとすぐそうやってごまかすんだから 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 16:19:29 ] なんかアホの巣窟になっちまったなｗ 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 16:24:41 ] 猫がいなくなったから、猫に構ってた連中が持て余してんだろｗ 猫も必要悪ということだ。 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 16:34:19 ] (1),(2) OK (3) マちが日 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 17:14:49 ] 大学は試験シーズンだからな ところで猫って大学の教員なの？ 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 17:21:50 ] >>144 無職のルンペンだよ 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 18:14:26 ] 一応非常勤をやっているんじゃなかったか？ 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/03(木) 01:09:18 ] >>113 まづ、exp(　) の定義から、 　exp(xE) = (e^x)E, 　AB = BA　⇒　exp(A+B) = exp(A)･exp(B), 　exp(A'+xE) = (e^x)･exp(A'), 　exp(B'+yE) = (e^y)･exp(B'), ところで、 　A = (tr{A}/n)E + A', 　B = (tr{B}/n)E + B', とおくと tr{A'} = tr{B'} =0 となる。 これらを上記に代入すると、本問は tr{A'} = tr{B'} =0　⇒　tr{exp(A'+B')} ≦ tr{exp(A')}･tr{exp(B')}, に帰着する。 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/03(木) 01:27:19 ] >>113 A',B'は跡なしの2次行列だから、Cayley-Hamilton より 　(A')^2 = (a^2)E,　　a = √(-det{A'}), 　(B')^2 = (b^2)E,　　b = √(-det{B'}), よって exp(　) の定義から 　exp(A') = cosh(a)･E + {sinh(a)/a}･A', 　exp(B') = cosh(b)･E + {sinh(b)/b}･B', となる。また、 　tr{E} = n = 2, 　tr{A'} = tr{B'} = 0, 　tr{A'B'} = det{A'} + det{B'} - det{A'+B'} = 2ab･cosθ, よって、 　tr{exp(A')exp(B')} = cosh(a)cosh(b)tr{E} + (････)*tr{A'} + (････)*tr{B'} + {sinh(a)sinh(b)/(ab)}tr{A'B'} 　　= 2cosh(a)cosh(b) + 2sinh(a)sinh(b)･cosθ 　　= (1+cosθ)cosh(a+b) + (1-cosθ)cosh(a-b) 　　= (1+cosθ)f((a+b)^2) + (1-cosθ)f((a-b)^2)　　　(← *) 　　≧ 2f(a^2 + b^2 +2ab･cosθ) 　　= 2f(-det{A'} -det{B'} +tr{A'B'}) 　　= 2f(-det{A'+B'}) 　　= tr{exp(A'+B')}, *)　　f(t) = cosh(√t) = Σ[k=0,∞) (1/(2n)!)t^n,　は t≧0 で下に凸。 149 名前：103 mailto:sage [2011/02/03(木) 19:02:06 ] うわっ、凄い勢いでレスが伸びていてびっくり!! >>104-105>>109-110>>117 文献の案内ありがとうございます。 作用素環へ繋がっていくのですね。 それは奥が深いわけだ。 150 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/03(木) 23:28:08 ] >>138 >>143 (3)A1>=B1,A2>=B2 --->A1A2>=B1B2 ガ誤りであるような　実例を教えてください。 151 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/04(金) 00:11:48 ] A1=A2=[1,1],B1=B2=[-10,-10] A1,A2,B1,B2>0 の例をもとむ 152 名前：147-148 mailto:sage [2011/02/04(金) 00:53:49 ] >>113 　････つまり、本題は次の補題に帰着した。 〔補題〕 2次の正方行列 A,B について　 　det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B), (略証)　成分を使って計算するだけ。 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 01:19:06 ] √2+√3＞πを示せ ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ 154 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/04(金) 13:18:51 ] √2+√3=3.14626...>π 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 13:21:32 ] ｴﾚｶﾞﾝﾄを　求めるのは厨房 156 名前：Fランク受験生 [2011/02/04(金) 13:43:44 ] >>152 〔補題〕 2次の正方行列 A,B について　 　det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B), 計算しても等号がせいりつしません。 数値計算しても等号が成立しません。 どこがまちがっているのでしょうか 　det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) ー det(A+B)＝ a22 b11 + a23 a32 b11 + a33 b11 - a22 a33 b11 - a21 b12 - a23 a31 b12 + a21 a33 b12 - a31 b13 + a22 a31 b13 - a21 a32 b13 - a12 b21 - a13 a32 b21 + a12 a33 b21 + a33 b12 b21 - a32 b13 b21 + a11 b22 + a13 a31 b22 + a33 b22 - a11 a33 b22 - a33 b11 b22 + a31 b13 b22 - a12 a31 b23 - a32 b23 + a11 a32 b23 + a32 b11 b23 - a31 b12 b23 - a13 b31 + a13 a22 b31 - a12 a23 b31 - a23 b12 b31 + a22 b13 b31 + a13 b22 b31 - a12 b23 b31 - a13 a21 b32 - a23 b32 + a11 a23 b32 + a23 b11 b32 - a21 b13 b32 - a13 b21 b32 + a11 b23 b32 + a11 b33 + a12 a21 b33 + a22 b33 - a11 a22 b33 - a22 b11 b33 + a21 b12 b33 + a12 b21 b33 - a11 b22 b33 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 13:51:59 ] >>156 お前、受験板に帰れよ！ カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:しらんぞ [2011/02/04(金) 13:54:04 ] 147-148　は似非かはったりか？ 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 14:51:36 ] 新着レスがあると思ってみたら、便所の落書き未満だったり… 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 18:28:28 ] >>158 ということになります。 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 18:44:13 ] (π-x)^3=31 実数ｘをもとむ 　ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 19:14:14 ] 156は何を計算してるのやら 2次の正方行列つってんだろが 163 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/04(金) 20:39:09 ] [問題] 正定値対称行列 A,B に対して tA + (1-t)B (0≦t≦1) に対して、 t の関数 f(t) = det (tA + (1-t)B)^{-1} は下に凸であることを示せ。 　　 t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (tA + (1-t)B)． 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 21:11:26 ] ばかばかし>>162 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 21:13:14 ] えらそうにしている割に程度低すぎ>>162 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 21:42:20 ] >>163 det (tA + (1-t)B)． はｎ次の多項式 t det (A) + (1-t) det(B)　はｎの一次多項式 主張にムリガあるような気がするのだが？ たとえば　ｔ＝〜０ (1-t) det(B) ＞＝det ((1-t)B)．ｋｊなぜなら（１−ｔ）＞（１−ｔ）＾ｎ 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 22:04:27 ] >>166 > たとえば　ｔ＝〜０ すまんが、ｔ＝〜０ の意味を教えてもらえまいか？ 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 22:12:53 ] 　　　　　　　　　　〜０ 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 22:18:54 ] 精子かＹＯ！ 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 00:51:07 ] >>163 det (tA + (1-t)B)． はｔのｎ次の多項式 t det (A) + (1-t) det(B)　はｔの一次多項式 主張にムリガあるような気がするのだが？ 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 01:42:23 ] >>170 多項式の次数が違うことが、不等式が成立しないという根拠にはならんだろ。 例：実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 01:45:16 ] というか凸函数におけるイェンセンの不等式を知らんのか？ 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 02:48:24 ] >>170 多項式の次数が違うからといって、不等式が成立しないとは言ぇんぜん。 だな。 174 名前：163 [2011/02/05(土) 03:46:34 ] >>170 確かに主張は間違っていました。 （多項式の次数が違うからというのは理由にはなりません） [>>163の訂正] 関数 f(t) = det (tA + (1-t)B )^{-1} は逆行列を取っているので、 凸性を表す不等式は（この f が凸であることを示すのが問い） 　　t f(1) + (1 -t) f(0) ≧ f(t) これを書き換えると、 　 t det (A^{-1}) + (1-t) det(B^{-1}) ≧ det (tA + (1-t)B)^{-1} と逆数を取った式でした。 あるいは、最初から A, B を逆行列 A^{-1}, B^{-1} （これらも正定値対称行列）にして 　t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (t^{-1} A + (1-t)^{-1} B) という不等式を得ます。 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 04:02:00 ] >>166 >>170 t=0,1 のとき 左辺は０ゆえ、因数定理から 　t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)f(t;A,B), (例) n=2 の場合、 　t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)det(A-B), 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 06:13:39 ] >>166 >>170 t=0,1 のとき 左辺は０ゆえ、因数定理から 　t^n･det{A} + (1-t)^n･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)g(t;A,B), (例) n=2 の場合、 　t^2･det{A} + (1-t)^2･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)(tr{AB}-tr{A}tr{B}), 177 名前：Fランク受験生 [2011/02/05(土) 21:00:57 ] ＞実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。 （１）n>=3のばあいは （２）実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< an t^n+an-1t^(n-1)+,,, < t は常に成立しますか？ 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/08(火) 14:47:14 ] 掃除していたら、昔のメモが出てきた、懐かしす… 問１．レベル（目糞）--------------------- a、b、c、d≧0 のとき、次式を証明せよ 1/a + 1/b + 4/c + 16/d ≧ 64/(a+b+c+d) 問２．レベル（鼻糞）--------------------- x、y、z≧0、x+y+z=1 のとき、次式を証明せよ 0 ≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27 179 名前：回答ー目糞 mailto:どｇ [2011/02/08(火) 23:58:19 ] （１）P=1/a + 1/b + 4/c + 16/d - 64/(a + b + c + d) 　　　q=abcd(a+b+c+d)P　の極点をもとめると( 11個） {(a,b,c,d)=(0,0,c,0),(0,0,0,d),(-d,0,0,d),(a,0,0,0),(a,0,-a,0),....(d/4,d/4.d/2.d)} どの極点の値もｑ＝０になる。 ｑの形態から　是が最小値になる。 ｑ＞＝０ 180 名前：回答ー鼻糞 mailto:ばかじゃなかろか [2011/02/09(水) 00:33:05 ] q=xy + yz + zx -2xyz-Lamda(x+y-1) の局地をもとめて (L,x,y,z)={(4/9,1/3,1/3,1/3),(1/2,0,1/2,1/2),...} qの値は｛7/27,1/4,1/4,1/4}になる。 境界の(x､y､z)=(1,0,0) でｑ＝０ ０≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/09(水) 02:29:03 ] >>178 問１（目糞） 　{a, b, c/2, c/2, d/4, d/4, d/4, d/4} の8個で相加･調和平均あるいはコーシー だな。 問２（鼻糞） 右側 　-1/2 ≦ 1/2 -x,　1/2 -y,　1/2 -z ≦ 1/2, より 　-(1/2)^3 ≦ (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) < (1/2)^3, 上限は 3つの因子が同符号(正)のときで、相乗･相加平均より 　 (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) ≦ {(3/2 -x -y -z)/3}^3 = (1/6)^3, これを展開する。左側は (ry 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/09(水) 07:48:14 ] 問３．レベル（耳糞）------------------------------- 実数 x、y、z が、x+y+z=0 をみたすとき、次式を証明せよ (|a|+|b|+|c|)^2 ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2) ----------------------------------------------- ※ 差を取るのはミジンコでもできるので、エレガントに証明してください 　ミジンコといえば… www.yomiuri.co.jp/science/news/20110204-OYT1T00057.htm ※ さらに n乗の場合に拡張できるなら、お願いします 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/09(水) 07:49:18 ] >>182 ごめん、a、b、cをx、y、zで読み替えてください 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/11(金) 00:21:14 ] >>182-183 問３（耳糞） 　ミジンコだが、差を取ってみた。 a+b+c = 0 より 三角不等式が成り立つ。 よって 　(左辺) - (右辺) = 2|ab| + 2|bc| + 2|ca| - a^2 - b^2 - c^2 　= |a|(|b|+|c|-|a|) + |b|(|c|+|a|-|b|) + |c|(|a|+|b|-|c|) ≧ 0, 185 名前：184 mailto:sage [2011/02/13(日) 02:46:47 ] >>183 　ごめん、ａ、ｂ、ｃはｎ次元ベクトルだよね････ 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 05:53:59 ] >>153 あまりエレガントぢゃねぇが････ 6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2, ∴　√6 > 22/9, (√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9 = (22/7)^2 + 5/(21^2) > (22/7)^2, ∴　√2 + √3 > 22/7, ところで、 　(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/49 = (1/6)(22/7)^2, ∴　22/7 > π, kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199 東大入試作問者スレ１９ 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 06:02:07 ] 〔問題〕 　(14/3)√(5/11) > √2 + √3　を示してくださいです。 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 06:24:28 ] >>187 　485 > (√484)(√486) = 22(9√6) = 99(2√6), ∴　485/99 > 2√6, ∴　(14/3)^2･(5/11) = 980/99 > 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2, 189 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/13(日) 11:06:40 ] >>136 Xは正定値なので、小行列式 det(A) >0である。 とくに A は正則行列なので、行列 X は以下のように分解できる。 　[A B] ＝ [　I　　　O][A　B] 　[C D] 　 [CA^{-1}　I][O　D-CA^{-1}B]． 両辺の行列式を取れば、 　det(X) = det(A)・det(D-CA^{-1}B) ここで X は対称行列なので C=B^t で A^{-1} も正定値行列なので、 det(D-CA^{-1}B) = det (D - B^t A^{-1}B) ≦ det(D)． よって、 　det(X) ≦ det(A)・det(D) が示された。 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 17:13:26 ] >>189 上手いなあ・・・ 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 21:58:06 ] >>153 ちっともエレガントぢゃねぇが････ 6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2, ∴　√6 > 22/9, ∴　(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9, ところで、 　(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/54 = (1/6)(89/9) < (1/6)(√2 + √3)^2, ∴　√2 + √3 > π, kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199 東大入試作問者スレ１９ 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/14(月) 00:58:05 ] 〔補題〕 3 + 1/8 < 31^(1/3) < π < 355/113 < 22/7 < √2 + √3 < √10, kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/220-222 東大入試作問者スレ１９ ・3 + 1/8 < 31^(1/3) は 　(3 + 1/8)^3 = 27 +27/8 +9/64 +(1/8)^3 = 31 -(5 -9/8 -1/64)/8 < 31, ・355/113 = 3 + 16/113 < 3 + 16/112 = 3 + 1/7 = 22/7, ・22/7 < √2 + √3 は >>186 ・√2 + √3 < √10 は 　y = √x は上に凸:　√a + √b < 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)}, 　あるいは　√a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} ≦ √{2(a+b)}, 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/14(月) 14:02:05 ] 　 π^6 = 945ζ(6) = 945*(1+1/2^6+1/3^6+...) > 945*(1+1/2^6+1/3^6) = 945 + 945/64 + 35/27 = 945 + (14*64+48+1)/64 + {1+ (27+5)/(27*4)} = 961 + 1/64 + 5/108 > 961 = 31^2 = ([3]√31)^6 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/15(火) 02:48:13 ] >>193 お見事でござる。それでは次を出さねば････ 〔補題〕 　31^(1/3) < 306^(1/5) < π 左側は 　31^3 = 29791 < 29800, 　31^5 < 29800*31*31 = 298*310*310 < 306^3,　(相乗･相加平均) ハｧハｧ 195 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 21:56:14 ] このレベルの不等式を示すのに、(1/6)π^2 = ζ(2) を使うのはナンセンス。 証明すべきことより、(1/6)π^2 = ζ(2) の証明の方が遥かに難しく、証明になっとらんわｗ ていうか、ここいつから大学入試問題スレになったんだよｗ 糞みたいな問題ばっかりで、詰まらない。 受験生は受験板でやれや どうせ sin の無限積展開とか知らん奴は (1/6)π^2 = ζ(2) の事実を使うな！ 196 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 21:57:24 ] >>191-194 巣に戻れやボケ！ 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/16(水) 22:23:34 ] 君こそ消えたまえ！ 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/16(水) 23:09:57 ] sin(23^23)>1/2 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 06:26:46 ] >>197 あんたこそスレ違い ここは受験問題のスレじゃない！ しかも、他スレのコピペだし 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 12:29:35 ] 157 ：１３２人目の素数さん：2011/02/04(金) 13:51:59 >>156 お前、受験板に帰れよ！ カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 14:14:52 ] どうして荒れるのかなぁ… 初代スレからの住人としては悲しい限り 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 14:33:46 ] このスレは今まで荒れることがなかったから耐性ないねｗ スレの数が減ったために目につきやすくなったからある程度は仕方ないね。 スルーしとけばいいと思うよ。 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/18(金) 13:53:48 ] >>201 入試問題ばかりになっちまったからだろ スレ住人が塾講師の連中ばかりになっちまったというよ。 204 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 22:38:59 ] >>198　お願いします 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/19(土) 21:50:20.35 ] >>198　>>204 www.wolframalpha.com/input/?i=Sin%5B23%5E23%5D と言う他はない。 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 00:42:17.01 ] >>194 このレベルの不等式を示すのに (1/93555)π^10 = ζ(10) を使うのはナンセンス。 証明すべきことより、(1/93555)π^10 = ζ(10) の事実の方が遥かに難しいから、証明になっとらんわｗ とは思いつつ････ 　π^10 = 93555ζ(10) 　　= 93555･{1 + (1/2)^10 + ････} 　　> 93555･(1 + 1/1024) 　　> 93555･(1 + 1/1155) 　　= 93555 + 91 　　= 93646 　　= 306^2, 207 名前：206 mailto:sage [2011/02/20(日) 03:54:59.36 ] >>194　(訂正) π^10 = ････ 　= ･････ 　> 93555･(1 + 1/1155) 　= 93555 + ８1 　= 936３6 　= 306^2, ∴　306^(1/5) < π 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 04:19:51.61 ] >>192 y=1/x^6 は下に凸だから 　1/k^6 < ∫[k-0.5, k+0.5] 1/x^6 dx = (1/5){1/(k-0.5)^5 - 1/(k+0.5)^5}, これを使って 　(1/945)π^6 = ζ(6) 　　= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ････ 　　< Σ[k=1,n] 1/k^6 + ∫[n+1/2,∞) 1/x^6 dx 　　= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 + 1/5^6 + 1/6^6 + 1/(5*6.5^5)　(n=6 とおく) 　　= 1 + (3^6 + 2^6 + 1)/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5) 　　= 1 + 794/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5) 　　< 1 + (35431020482 + 508289003 + 133244913 + 35886729)/(113^6) 　　= 1 + 36108441127/(113^6) 　　= 1 + 34122476865015/(945･113^6) 　　< 1 + 34122530050120/(945･113^6) 　　= (1/945)(355/113)^6, ∴　π < 355/133　･･････ 密率（「隋書」） 祖沖之（429-500） 209 名前：208 mailto:sage [2011/02/20(日) 04:33:00.68 ] >>192 またまた訂正････ 　π < 355/1１3　･･････ 密率 　π < 22/7　　　･･････ 約率 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 07:58:37.53 ] 222/77 < π < 22/7 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 08:02:12.86 ] 3555/1133 < π < 355/1１3 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 11:38:15.55 ] 〔問題649〕 　a,b,c>0 のとき a+b+c=s とおくと 　a/√(s-b) + b/√(s-c) + c/√(s-a) < (5/4)√s, casphy - 高校数学 - 不等式スレ　330, 375-376 → 前スレ.649 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 23:44:56.31 ] >>195 　正n角形とその内接円・外接円を使うのは、面倒な割に、精度がいまいち････ 　ζ函数の方が効率がいいし･･･ 　他にいい方法がないかと思う今日この頃･･･ 214 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 05:15:12.79 ] 今年の京大 1/2＜a[i]＜1のとき Π(1-a[i])＞1-2Σ(a[i]/2^i) (i=2,3,…n) 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 07:19:26.19 ] >>214 左辺を P[n] とおくと、 　P[n] = P[n-1]･(1-a[n]) 　　　= P[n-1] - a[n]･P[n-1] 　　　= ･････ 　　　= 1 - Σ[i=1,n] a[i]･P[i-1] と 　P[0] = 1, 　P[i] < 1/(2^i)　　　(i≧1) から。 nyushi.yomiuri.co.jp/11/sokuho/kyoto/zenki/sugaku_ri/images/mon4_1.gif kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/253 東大入試作問者スレ１９ 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 10:20:07.83 ] 〔問題〕 　0 < x < π のとき 次を示せ。 (1)　1/sin(x) - 1/x > x/6, (2)　{1/sin(x)}^2 - 1/x^2 > 1/3, 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 03:57:23.98 ] 今年の阪大で不等式の問題が出たが、難問だったらしい 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 06:32:54.58 ] >>217 +　　　+ 　 ∧＿∧ 　+ 　（0ﾟ・∀・）　　　　ﾜｸﾜｸ、ﾃｶﾃｶ… 　（0ﾟ∪ ∪ + 　と＿_）__）　+ 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 10:19:21.16 ] 阪大のってこれか nyushi.nikkei.co.jp/honshi/11/ha1-21p.pdf 220 名前：Fランク受験生 mailto:age [2011/03/03(木) 00:49:07.67 ] 内容は簡単だと思うけど計算間違いをしているかも。。。 (1) S(a)=(1/2)(a^2+1)^(n-1) (2) a=4 のときｘ＝１．７６になる 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/03(木) 23:48:54.04 ] >>217 全然難問じゃないじゃん。 大数で言うと C*** クラス。

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