- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 482 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 01:33:14 ]
- >>481
具体的には、例えば>>428の確率分布(一部修正)
賞金の組が{5000*2^n,10000*2^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
組を決め、決まった金額の組を２つの封筒に入れる。
２つの封筒のうち、どちらの封筒を受け取るか同様に確からしいとする。
(いつまでたっても混同してる人がいるので一応断っておくが、この分布を仮定した時点で
>>1とは別の問題であり、もちろん私もそのことを理解している)
簡単な計算で、この確率分布がありえないモノでないこと
(封筒を開ける前の)受け取った金額の期待値(の式)が＋∞に発散することが確認できる。
>>479
個人的な意見・感覚として、最終的に得られる金額を最大にしようとするなら
１回しかゲームをしない時
・２つの封筒の金額のうち、大きい方を選べばよい等と考える
→最初に受け取った方が大きい方である確率1/2,小さい方である確率1/2なので、交換してもしなくても同じと考える
・金額の期待値を計算できる時、金額の期待値の大きい方を選択すればよい等と考える
→未確認の金額の期待値が確認済みの金額(の期待値)より大きいなら、交換した方が良いと考える
と交換するかどうか判断する時に２つの考え方があって、どちらを採用するべきだと思うか感覚的には
決まらなくて、混乱しやすいのだと思う(そもそも論理的に判断できるようなものではない)。
一方、複数回ゲームをやる時は、"１回１回で大きい方を選ぶかどうか"という上の考え方よりも
"金額の期待値を参考にする(小さく損して大きく儲ける)"下の考え方の方がしっくり来やすいので
混乱しにくいのだと思う。(ギャンブルとして、最終的に交換するかどうか決めるのは
個人の感性・性格の問題であって、交換した方が正しいとか正しくないというようなことは言えないことには注意)
- 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:20:52 ]
- >>482
前半
＞簡単な計算で
示してくれ。ｎを無限にしなくて発散するのかどうか
後半
＞個人の感性・性格の問題であって
感覚的な損得の話にもっていったら期待値とは関係なくなってる
（本来感覚的な損得は問題ではなかったところに、かってに損得感覚を持ち込んだ上で
それは関係ないと但し書きをつけるというような、本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている）と思うが
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:31:07 ]
- 本来の問題なんて、ありがたがる価値あるの？
期待値不定で決着ついてるじゃん。
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:34:01 ]
- 有難がってはないわけだが。
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 04:32:17 ]
- >>474
＞無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。
それのどのあたりがパラドックスなんですか？
なにか矛盾しているようには見えないんですが。
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 04:36:15 ]
- 封筒に入れる金額を以下のような手順で決める。
１） １円用意する。
２） コインを投げ、表が出たら 用意した金額を封筒に入れ、終了。
３） 用意する金額を２倍に増やして、手順２）にもどる。
封筒に入っている金額の期待値は？
- 488 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 09:14:34 ]
- >>486
自然に感じられない結論が得られれば、矛盾が無くてもパラドックスと言う。
期待値∞を理解していない人は、
常に期待値を下回る金額しか得られないことを不自然に感じるはず。
>>484
期待値不定というのは、
「どのような確率分布でいれたか分からないから、どのような確率で２倍、1/2になるか
分からない」って答えのこと？
それが一番シンプルな答えではあるが、普通それだけじゃ納得しないと思うが。
- 489 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 09:38:08 ]
- >>484
普通は、「じゃぁ、確率分布は分からないけど1/2になるように入れた場合はどうなの？」
って聞かれると思うんだけど。
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 09:46:43 ]
- 「分布不明のところで期待値に何の意味がある？」
と聞き返せばおｋ。
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 09:50:03 ]
- >>489さんだったら、難しい数学の話をして説明するんだろうか。
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:04:05 ]
- 分布不明だって期待値に意味あるじゃん。
ただで賞金がもらえるとして期待値１円のと期待値１億円のどっちがいい？っ聞かれて
分布が分からないから分からないと答える人はほとんどいないと思うが。
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:11:23 ]
- その前に分布不明のところで期待値を求める方法を提示してくれ。
話はそれからだ。
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:11:39 ]
- 知ったかが多いなぁ…
確率に色気を出した文系が集うスレか
- 495 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 10:14:51 ]
- >>493
だから、２倍の金額の確率が1/2、1/2の金額の確率が1/2ってことから求められないの？
って言われるとおもうが。
- 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:24:47 ]
- >>495
一般人はそんなツッコミしないよ。どんな人を想定してるんですか？
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:28:39 ]
- もし聞かれたら「このスレ嫁」だなｗ
- 498 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 11:16:40 ]
- >>483
＞ｎを無限にしなくて発散する
ってどういうこと？ちょっと意味がわからない。
＞本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている
そりゃあ本来の>>1の問題じゃなくて、>>479の
＞一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
という錯覚の原因として、個人的に考えた・感じた意見を書いただけだからなあ。
錯覚の原因が本当にそうかどうかは、もはや数学の分野の問題じゃないから
意味がないといわれれば確かに意味はない。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 13:56:17 ]
- 引用部分の意味がわからなくてもいいから
とにかく期待値が無限になる式を例示してくれ
- 500 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 19:44:49 ]
- >>478で
＞ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか
って気づいてるのに、説明する意味あるの？
>>487を少しいじって
１)３円用意する。
２)コインを投げ、表が出たら 用意した金額を金額比が1:2になるように２つ封筒に入れる。
裏が出たら用意する金額を２倍に増やす。表がでるまで手順２)を繰り返す。
３)２つ封筒のうち、どちらか一方を等確率に選んで受け取る。
という設定で、封筒を開ける前の受け取った金額の期待値を考えても
基本的には同じ。それとも封筒を開けた後の金額の期待値と混同してる？
>>482の確率分布で計算すると
最初に受け取った封筒の金額が
5000円である確率＝(1/2)*(1/100)=1/200
5000*2^k円である確率(k=1,2,…)
＝(1/2)*(99^(k-1))/(100^k)+(1/2)*(99^k)/(100^(k+1))=(199/20000)*(99/100)^(k-1)
となっているので、全てのk(=0,1,2,…)で
0<(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)<1
Σ_[0,∞]{(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)}=１
となっている。
封筒を開ける前の金額の期待値の式は
5000*(1/200)+Σ_[1,∞]{(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)}で
全てのk(=1,2,…)に対して
(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)=(199/2)*(198/100)^(k-1)>1
であるから、封筒を開ける前の金額の期待値の式は(絶対)収束せず
正の無限大に発散する。
- 501 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 19:56:54 ]
- しかし、>>484の答えで終わりにするなら、こんな問題考える必要ないよね？
封筒二つとかまったく答えに関係ないし。
確率分布がわからないから分からないって答えは、正しくはあるけど、
もっともこの問題の主旨から外れた答えだとおもうが。
まぁそれで満足する人がいるならそれで良いけど。
私は、分からないって答えも押さえた上で、>>489の仮定のもとでも考える
べきだと思うが。
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 20:25:09 ]
- >>501
なんだか、いかにも気に入らないふうな書き方ですね。
同じところをグルグル回るのは止めよう、必要なら明示的に条件追加したらって考えだけど。
>>489の仮定だって、上限がないと発散するで決着ついたと思ったけど違うのかな。
- 503 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:12:26 ]
- うん。>>484は気にいらないよ。
そこまでで考えを止めるなら、問題の価値なんてほとんど無いからね。
- 504 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:34:50 ]
- >>501
なにかしら確率分布を仮定した時点で>>1とは別の問題になるんじゃないの？
>>1とは別の問題を考えること自体は非難しない(私も条件を追加したりして>>1とは別の問題を考えている)けど
勝手に(ありえない)確率分布を仮定しときながら「この問題の本質は
ありえない分布を仮定して考えてしまうことだ！」と言ったり
「他の分布を仮定したら、まったくの別問題だ！」
という主張は、ちょっと私には受け入れられない。
- 505 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:57:02 ]
- たとえば「実は入れた人は10000円以上持ってなくて10000円20000円の確率0と仮定すると、
交換しないほうが得です。」ってのはこの問題の本質を離れすぎだと思う。
「必ず他方の金額が二倍の確率が1/2とすると、、、」という仮定は、
問題文を離れすぎていないし、普通に考える疑問だと思う。
もちろん主観的な意見だが。
それと一つ疑問なのは、２つの封筒問題とは普通>>1よりもう少し問題文が長いと思うが、
それらを考慮しないで、純粋に>>1だけを問題として考えるのがこのスレの立場なのか？
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 22:09:02 ]
- 分布によって面白い性質があるにしろ、それは分布別に考えればいいことじゃないか
と自分は思うけど、240さんはそれでは満足できないんだね。
その部分にどんな面白さを240さんが感じているのかは自分には理解できない。
- 507 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 22:21:19 ]
- >それは分布別に考えればいいことじゃないか
そりゃそうだよ。しかし、>>505の冒頭の答えだけで解けたことにするのは納得いかないだろ？
それと、通常この問題は、>>1の後に
「もしこの考察が正しいなら、他の金額の場合も同様に1.25倍になる、
金額によらず1.25倍になるなら、金額を見なくても、交換するだけで1.25倍になる、、、」
と続く。だから、>>505三行目の仮定を私は考えているのだが。
- 508 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 22:44:30 ]
- それと私は、
「確率分布を、、、とする」というように一意には仮定していないよ。
あくまでも、問題文の続きを考慮して、「>>505三行目を満たす確率分布とする」
というように分布の性質を仮定しているだけで。
- 509 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 01:44:36 ]
- 読み返すと>>495に対する>>496は誤解されているような気がするな。
>>495で言いたかったのは、
「分布不明だからわからない」
に対して、
「えっ、でももし確率1/2なら12500円じゃないの？」
ってこと。一般人もそう考えると思う。問題文にもそう書いてある訳だし。
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 03:11:20 ]
- この問題、俺の中では完全解決してるんだけど
今は何で揉めてるの？
まあそれをまとめるのが数学と言うものか。
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 06:34:28 ]
- >>500
式をかいてくれてありがとう
＞＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
＞この時点で破綻してるけど
の確認ができたし
>>474のパラドックスがパラドックスになってないこともわかった
それとも１+１＝３という偽の命題でも
扱ってる人間が理解してなくて偽と気付きにくいなら
何でもパラドックスと読んでいいのかな
- 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 08:35:58 ]
- 封筒を開ける前の期待値が有限に収束しないケースについて、
その不可能性を定理化するとどういう表現になるんだろう？
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 09:57:29 ]
- その不可能性を定理化ｗ
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 11:08:15 ]
- [２つの値札]
買いたい商品の値段を聞いたら、店員がシールで数字を隠した値札を
２枚出して、こんなことを言いました。
「只今お得なキャンペーン中。この2枚の値札には、『定価』と『定価の半額』
が書いてあります。一枚好きな方のシールをめくって下さい、そこに書かれた
値段で購入頂けます。さらに二枚目をめくって頂いても構いませんが、
その場合は二枚目に書かれた方を値段とさせて頂きます」
客が一枚めくると『一万円』と書いてありました。どうしても必要なものなので
五万円以上用意していた客、二枚目をめくろうかちょっと計算してみました。
「もう１枚には五千円か二万円の値段が書いてあって、その確率は五分五分。
二万円でも私にとっては安いけれど……二枚目をめくった時の期待値は
一万二千五百円か。だったら二枚目めくらずに今の一万円で買った方が
得だな」
↑↑
この客の考え方は違ってるでしょうか？
お店としては二枚目をめくって欲しいか、欲しくないか、関係ないのか……
- 515 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 11:11:17 ]
- >>511
いいと思うけど。多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
その部分に気づいてそこが偽だと指摘するのがパラドックスに対する答えになるんでしょ。
ただし>>474に偽の命題なんて書かれて無いけどね。
- 516 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 11:19:18 ]
- >>514
>>243
たとえばその商品がこしひかり10ｋgなら二枚目をめくる。
それでもし二万円が出たら、そんなぼったくり店には二度といかない。
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 11:25:21 ]
- >>514
両方めくって安いほうで交渉する。
- 518 名前：日向 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:03:57 ]
- 自分なりの答えを出したんだが、
正しいか正しくないか、正しく無いならどこが間違っているか
指摘してくれ。
前のスレにレスしたから読み辛いがよろしく
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/l50
の６８２～６８４辺りだ。
- 519 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:32:27 ]
- >>242
- 520 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:35:17 ]
- >>505
>>1の後半に書いてある通り、類似の設定の問題も考えても良い場
であると思うけど、どんな設定を加えた問題が普通だと思うかとか
どこがパラドクスの原因だと思うかは人それぞれ。
>>507
＞通常この問題は(略)と続く。
そんな問題はあまり見ないし、少なくとも私にはそれが通常だとは思わない。
私は通常だとは思わないけど、240が考えたいと思ったのなら別の問題として
勝手に考えればいいんじゃない？私は私でさらに別の設定の問題を勝手に考えるだけだし。
>>511
>>515
＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
ここまでは問題ない(強いて言うなら"∞の期待値の確率分布"や"無限大の期待値"という
表現が気になるけど、私にはたぶん意味は通じてると思う)。
(Σ{x*P(X=x)}が絶対収束しないことなんて例は無数にある。一般的な流儀かどうかは知らないけど
Σ{x*P(X=x)}が絶対収束しない時は期待値E[X]は存在しない、と私は習った)
＞封筒には１億円入っていた。期待値∞なのにたった１億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
＞もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
この文に数学的な意味がない(unluckyの意味が不明なので真とも偽とも言えない)ことと
＞何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない（差が-∞）金額しか得られない。
で「どんな金額が入っていたとしてもunluckyだ」という(意味のない)文を結論として誘導してそうなとこ
が、>>474(や聖ペテルスブルグのパラドクス)のパラドクス(？)の正体だと私は思ったんだけど、>>511は違うの？
人によっては最初から不思議でもなんでもないモノとか、タネ明かしされ
解消されてしまったパラドクスとかをパラドクスと呼ぶかどうかは
知らないし、どっちでもいい。
- 521 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 14:54:45 ]
- まず君がどんな設定を加えたか教えてくれ。
今ちょっと「二つの封筒」でgoogleってみた限りでは（数ページしか見てないが）、
続くのが通常みたいだぞ。
もちろん何を通常と感じるかは人それぞれだが。
それと、どこか気に食わない点があるように感じるのだが、
もしそうなら具体的にどのレスが気に食わなかったか教えてくれ。
場合によっては謝るから。
- 522 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 17:20:34 ]
- >>520に付け足し
(離散型の)確率空間・確率分布の定義に
"期待値が存在しない(Σ_[i∈I]{a(i)*P(X=a(i))}が絶対収束しない)モノは確率分布
として考えてはいけない"というような条件はないはずだから
>>482のような確率分布はちゃんと認められているはず。>>482の確率分布を仮定したら
破綻する、ということはないよ。
聖ペテルスブルグのパラドクスも
[(k=0,1,2,…に対して)賞金が(2^k)円である確率を1/(2^k)とする]
という仮定は偽ではなくて、[じゃあ、期待値計算すると無限大だから
参加費がどんなに高くても参加した方が得で、参加するべき！？]という
部分が、誤った推論なだけ。
- 523 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 17:25:57 ]
- >>521
別に謝る必要ないと思うが、ただ
>>1の問題は"期待値わからない"ということを認めていて
金額の確率分布が上限が存在する場合や一様じゃない場合など
"確率分布を～とする"という問題は別問題だと言っておきながら、
>>425の(*)の確率分布や>>505三行目の仮定に固執したり
ありえない設定を自然に受け入れさせることがこの問題の特有の面白い所・本質
であるという主張や考えは、私には受け入れられないだけ。
>>431の"おかしな前提"や>>313の"ほぼ確率１で得する代わりに非常に少ない確率で
大損するというタイプのパラドクス"というのが何を意味してるかも私には良くわからない。
存在しないモノを存在するとしてしまうという類のパラドクスは
封筒問題に限ったことではないと思うし
確認すると10000円だった時に他方の袋に入っている金額が5000円である確率1/2
20000円である確率1/2となる(存在する)確率分布は(上限のあるもの・ないもの合わせて)たくさん
あるのに、(存在しないと思われる)上限なしの一様分布を仮定することが普通だとは私は思わない。
個人的には>>479の
＞一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
や、"期待値１倍以上なら交換した方がよい？"というような錯覚が
封筒問題の面白い所であると思う(当然このこと自体は封筒問題に限ったことではない)が
どこを面白いと思うかは個人の主観であって、数学の問題じゃないから
その部分を言い争う気はない。私はこの錯覚を意識しやすいような問題を考えたい
だけ(例えば、組が{5000,10000}になる確率1/100,{10000,20000}になる確率99/100とする等)
で、この設定が自然であるかどうかとか、本来の問題と違うかどうかには興味ない
(むしろ、無限に関するパラドクスなど他の錯覚が起きないような問題を
考えようとしてるのだから、本来の問題とは違う問題を作ることが目標の１つと言える)
- 524 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 18:30:13 ]
- まず、私が考えている「通常」の問題では、上限を設けた場合や、
「常に確率1/2」では無い場合を考えると、
問題の主旨に合わないということは同意してもらえたと思うが、OK？
次に、>>1の問題のみ考える。
封筒に入れられた金額の確率分布が分からないのに、
確率1/2として期待値を計算している点が間違いである。
これが一つの答えであることも同意してるはずだ。
しかしこれだけで話を終わらせずにもう少し>>1の問題の主旨に沿った仮定をおく。
(*)「10000円のときには確率が1/2である」これを正しいとする。
これは君も自然だと感じていると思う。実際君もそうしているし。
君はさらにこの他の金額についても何らかの（というか全ての金額の確率分布を）仮定して
考えようとしている。
ここまで同意だと思う。
- 525 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 18:37:05 ]
- しかし、(*)を仮定した時点で>>1の問題に対する答えは期待値12500円。正しいよ。
となる。他の金額の確率分布なんてまったく関係ない。
それなのに君は他の金額の確率も仮定しようとしている。なぜだ？
他の金額の確率が必要となるのは、他の金額を引く場合も考えるからだろ？
そして、（これは>>1の問題に書いていないから意見が分かれるかもしれないが、）
他の金額の場合も確率1/2とするのがもっとも自然な仮定ではないか？
もしそれ以外の確率例えば1/3とかにするんなら、そもそも
なぜ>>1では10000円のとき1/2だと考えたのか？
もし理由があるならそれは他の金額でも同じではないか？
それともこれは1/3でも1/4でも何でも良い問題で、たまたま1/2と書いているだけなのか？
>この設定が自然であるかどうかとか、本来の問題と違うかどうかには興味ない
私は上記を理由に、この設定は>>1の問題の主旨とは違うと考える。
しかし、違うかどうか興味ないなら君にとってはどうでもいいんじゃない。
>上限なしの一様分布を仮定することが普通だとは
私は、初めに封筒に入れられる金額の確率分布が一様分布だなどと仮定していない。
あくまでも仮定しているのは425の(*)だ。
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 19:03:20 ]
- 12500は成立しないと言いつつ、12500に執着する。なぜだ？
- 527 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:03:21 ]
- ＞>>425の(*)の仮定
２つの封筒にあらかじめ金額を入れる場合を考えるなら
(つまり参加者が封筒を受け取った後に、もう一方の封筒を入れ替えたりしないなら)
そんな確率分布は存在しないんじゃなかったの？
存在するというなら具体例を。
それとも存在性を無視しても、それ以外には偽の命題や矛盾はないという話？
「>>425の(*)の確率分布は存在しない。でも>>425の(*)の確率分布を仮定するのが普通」
と言ってるように見えるのだが、他の人は知らんが少なくとも私にはそれが普通だとは思わない。
＞違うかどうか興味ないなら君にとってはどうでもいいんじゃない。
どうでもいいと思っているからこそ、>>520で勝手に考えればいいと言った。
(もし面白そうだと思ったら、その時は参加するかもしれない)
240は>>1の推論部分の[確認すると10000円だった時に他方の袋に入っている金額が5000円である確率1/2
20000円である確率1/2となる]という主旨に沿った問題を考えたいようだが
その主旨に沿わなくたって、私が封筒問題の面白いと思う所(>>523の後半に書いたような所)
は残るのだから、私はそんな主旨に沿った問題を考えたいと思わない(そもそもそれが主旨だと思わない)
だけ。240が考えたければ、私のことなど気にせずに勝手に考えればいいんだが
「とにかくこの設定が封筒問題の主旨・本質で、それ以外は別問題です。」
と言われても、そこは同意できない。
- 528 名前：>>240 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:07:59 ]
- 12500に固執しているというより、1/2に固執している。
一般人だって、たまたま1/2なだけで1/3だったかもしれない、、、
なんて話を期待していないだろ。
- 529 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:52:02 ]
- >>527
この質問にはぜひ答えてくれ。
>>1において文章中には明示されていないが、確率1/2として計算していることは明らかだと思う。
ところで、この数字の意味は何だ？何でも良いのか？
この問題は、他の金額を選んだら1/3とかなんだけど、10000円のときだけたまたま1/2だったという問題なのか？
君は、主旨なんてどうでも良いようだが、私は主旨にこだわっている。
「私は主旨に沿った考えをしているが、7氏は主旨に沿っていない考えをしている」
これに反論がないなら何も議論することは無い。
しかし、例えば>>504では、「別の問題になるんじゃないの？」などと聞かれるから、
説明している訳で。
それと、君の書き込みには誤解がある。だから説明している。
まったく誤解がないにもかかわらず、意見が合わないというなら説明する余地が無いけどね。
>>525の最後の部分とか理解してくれたの？
>「>>425の(*)の確率分布は存在しない。でも>>425の(*)の確率分布を仮定するのが普通」
普通の人は(*)を満たす確率分布の不存在を知らない。
だから普通の人が分布の不存在を理由に>>425の(*)の仮定を躊躇するということは無い。
君は不存在を知っているから(*)を仮定することが普通じゃないと感じるだけなんでは？
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 22:31:57 ]
- 金額が3倍と1/3なら1.25倍にすら成らないのだが。
その場合は同じルールのなのに、2倍と1/2の時とは確率分布とやらが変るのか？
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 23:15:48 ]
- >>530
＞変わるのか
「１：ｎのときに（n^2+１）/2nを求めましょう」と言ってるだけだから
ｎが２のときに1.25になり、ｎが３のときに5/3になるというようにｎに依存して当然。
ただし、「１：ｎのときに（n^2+１）/2nを求めましょう」自体が根本的に間違いなんだけどね。
誤った土台から出発した理屈を追いかけてもあまり意味はない
- 532 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/22(月) 23:23:05 ]
- なんか連勤で少しスレ見なかったら凄く荒れてるね・・・
私は前に期待値が発散すると書きましたが振動するの間違えでした
謹んで訂正致します。
あと、みんな華麗にスルーしていますが
７さんの>>500の問題って
一方の封筒を見た後の他方の封筒の期待値って１倍ですよね
引く前は引く前で期待値∞と期待値∞で悩んで
引いた後は期待値１倍で悩む問題？
また計算間違ったかな？
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 00:44:38 ]
- 亀の歩みでも
蝸牛の歩みでも
正解に近付けばそれでいいのだｗ
しかし
あと500レス切ったけどこの調子で大丈夫だろうか
なかなか数学に着地できないね
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:38:01 ]
- >>493
分布がわかっている人が計算し
分布は公表せずに期待値だけを公表すればよい。
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:46:10 ]
- >>512
なにが不可能なんだって？
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:48:39 ]
- >>515
＞ 多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
どゆこと？ そんなの見たことないけど。
パラドクスのようなものの大半は、一見パラドクスに思えるけど
じつは間違っている主張が多いという意味なの？
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:59:13 ]
- >>530
＞ その場合は同じルールのなのに
金額が違うのは、同じルールとは言わない。
- 538 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 16:30:38 ]
- >>536
飛んでる矢は止まってる。アキレスは亀に追いつけない。
(矛盾しているように見えるが)実は正しかった。ってパターンをのを除けば、どこかに誤りがあると思うが。
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 16:40:26 ]
- >>538
＞ (矛盾しているように見えるが)実は正しかった。ってパターンをのを除けば
おいおい、そここそがパラドクスなんだから、そこをのぞいてしまっちゃあ
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 16:50:12 ]
- >>538
ゼノンもアキレスも論そのものには誤りはないだろ。
当時の公理系や数学の概念では扱えないことを論じているだけで。
それを論じたことそのものが誤りだとも言えなくはないが、それは偽の主張とは別のもの。
- 541 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 17:14:38 ]
- >論そのものには誤りはないだろ
私は、そんな高級な話をしているのではなくて、
「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる」は正しくない。
文章中に正しくない主張がある。って言うレベルの話をしてるのだが。
>>539
とりあえずwikiでパラドックスを調べて見てくれ。図の右側の1,2,3とか。
もちろん言葉の使い方には色々な流儀があると思うけど。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:17:45 ]
- >>541
＞ 「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる」は正しくない。
それは、 現実と数学（物理）という公理の異なることを比較しているので、比較そのものが正しくない。
あの論の公理では、追いつけないのが正しい。 （もちろん現実とは異なる公理）
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:25:55 ]
- >>541
そのwikipediaでの図の（１）や（２）は、誤りが発見され解決してしまっているのだから
（少なくとも数学的には）パラドクスではなくなってしまっている。
でなければ誤りを含む回答全てが（それが指摘されるまで）パラドクスだということになってしまう。
もちろん数学以外の分野での意味的にラフにつかうパラドクスならこの限りでない。
（が、この板ではあまりふさわしくない使い方かと…）
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:30:48 ]
- 声を出し数え上げを行うときに
「いち・にい・さん・しい・ごお・ろく・なな・しち・はち・きゅう・とお」
と数えると、案外気がつきにくいらしく
とお =１１個 という現象がしばしば起こる。 （実際にやってみるといい）
しかしこれをパラドクスとは言わないわな。
- 545 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 18:06:44 ]
- >>543
数学でのパラドックスの意味は狭いとのこと理解した。
>>515はラフな気持ちで書いたのだが、
この板にはふさわしくないとのことも理解した。
- 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 18:47:26 ]
- >>545
数学では、さらに狭義には、矛盾が起きない限りパラドクスとは言わない。
直感に反するだけのものは擬似パラドクスと言ったりする。
- 547 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 22:46:48 ]
- >>1も数学的にはパラドックスと言わないわけですよね。
するとやはりこのスレではラフな意味で使いたい気もするが。
- 548 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/23(火) 23:27:10 ]
- 封筒Aには０～無限大の金額のうちのどれかを入れた。どの金額が入っている確率も等しくなるようにセットした
封筒Bには１／２の確率で封筒Aの半分、１／２の確率で封筒Bの２倍の金額を入れた。
その後、封筒はシャッフルシャッフル
↓科学技術政策に関する意見を募集しているようです。
www.mext.go.jp/b_menu/houdou/22/03/1291303.htm
科学技術政策に関するご意見募集について
平成22年3月10日
社会・国民とともに推進する科学技術政策の実現に向けて、皆様からのご意見を募集します。本意見募集の結果は科学技術週間中の4月17日に
行われるシンポジウムにおいて活用させていただくとともに、その成果とあわせて、今後、文部科学省として、より良い科学技術政策を推進していくために参考とさせていただきたいと考えております。
科学技術の力による輝きのある日本の実現に向けて皆様のご意見をお寄せ下さい
日本が科学技術を推進することの意義や必要性とは何であるとお考えになりますか。
日本や世界は、地球温暖化、資源・食料・エネルギー問題、経済危機、医療・福祉問題など様々な問題に直面していますが、科学技術を活用してどのような問題を解決してほしいとお考えになりますか？
科学技術によって、生命や宇宙の理解などの知的探究、宇宙の開発・利用、海洋探査など、人類にとって新たな挑戦が可能になると考えられますが、
これからの未来に向けて、どのようなことに挑戦してほしいとお考えになりますか？
科学技術を推進していくうえでは、大学における基礎的な研究活動の充実、小・中学校における理数教育の充実、研究者や政策担当者と
社会との間の相互理解など、必要なことがらはたくさんありますが、特に重点を置いて取り組む必要があるものは何だとお考えになりますか？
科学技術に関する国の予算や投資のあり方、目標・計画の立て方や評価のあり方、各省庁間の連携のあり方など、科学技術政策の進め方について、
改善すべきと考えられる点はどのようなことだとお考えになりますか？
その他、科学技術・学術審議会基本計画特別委員会がとりまとめた提言(我が国の中長期を展望した科学技術の総合戦略に向けて－ポスト第3期科学技術基本計画における
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 23:38:45 ]
- >>542
成程な
論理そのものの整合性や真偽と
それが現実や、現在扱っている問題と等価であるかどうかとは
分けて考えないといけないわけだな。
>>515も>>240の公理系（笑）の中では偽の命題はどこにもないのだろうな。
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 23:43:10 ]
- 無限とか、条件付き確率が直観的にわかりにくい場合に
モンティホールや聖ペテルスブルクはパラドックス呼ばわりされるわけで、
＞多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
条件文にあるかどうかは別として、数学的には正しくない直観を引き合いに出すところは
ある意味偽の主張のようなもんだから別に間違ってないと思う
- 551 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/24(水) 08:17:33 ]
- >>548
封筒Aに入ってる金額をaとする
1/2の確率で封筒Aを引く
1/4の確率で封筒B 1/2a版を引く
1/4の確率で封筒B 2a版を引く
封筒を一つも開けていない時の期待値は7/8a
封筒Aをはじめに引いた時は他方の期待値1.25aで引いた方が得
封筒B 1/2a版を初めに引いた時は２倍になり得
封筒B 2a版を初めに引いた時は1/2倍になり損
初めに開けた封筒が10000円だったとき
これはaなのか1/2aなのか2aなのかは分からない
十分な回数この試行を行うとして、
他方を引かない戦略
必ず他方を引く戦略
どちらが多くの金額を獲得するかは分からない
- 552 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/24(水) 08:46:33 ]
- >>548
こちらの方が分かりやすいか？
1/4の確率で初めに封筒Aを引く、他方の1/2aを引く（1/2a損）
1/4の確率で初めに封筒Aを引く、他方の2aを引く（a得）
1/4の確率で初めに封筒B 1/2a版を引く、他方のaを引く（1/2a得）
1/4の確率で初めに封筒B 2a版を引く、他方のaを引く（a損）
損得はイーブンだと思う。
引くか、引かないかは好きにすれば良いと思うよ
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/24(水) 20:48:29 ]
- >>549、550
ある仮定の元では正しい、しかし現実には起こりえないような論について
その仮定がまるで現実を表しているかのように扱うことこそが
「偽の主張」なのであると言えるかもしれない。
- 554 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/24(水) 22:30:50 ]
- >>551の
>封筒を一つも開けていない時の期待値は7/8a
は計算ミスで誤り、正は1.125A
たびたびスマンです。
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/25(木) 00:09:25 ]
- >>550
モンティーホールがパラドクスと言われてるのか？
- 556 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/26(金) 06:10:39 ]
- >>555
wikiの④の項目の完全な理解がされるまではパラドクスがあるように思われていたのでは？
まあ、２つの封筒問題は事後確率なんて関係ないけど
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/26(金) 13:06:27 ]
- 正しい知識を身につけて納得がいくまでは
当人にとってはパラドクスということだろ
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/27(土) 07:14:48 ]
- こういう立場てこと？
>>543 から
> でなければ誤りを含む回答全てが（それが指摘されるまで）パラドクスだということになってしまう。
- 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/27(土) 07:37:59 ]
- それらがパラドクスかどうかはさておき
不完全な記述のルールを直感で補わせたら
解釈が何通りも出てきてしまって
回答がひとつにまとまらないところはそっくりではある
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/27(土) 10:19:09 ]
- >>556
パラドックス＝事後確率ではないわけだがｗ
- 561 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/27(土) 20:22:27 ]
- >>560
>>556どこをどう読めば
>パラドックス＝事後確率ではないわけだがｗ
と言う発言ができるのだろう？
だって「パラドクスがあるように思われていたのでは？」だぜ
落ち着けよ12500円派
- 562 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/28(日) 08:08:10 ]
- >>1の問題が有限で一様な確率分布だったらよかったのにね
そしたら初めに選択した封筒が最大値の半分以下だったら期待値12500円で問題なくて
『封筒の中身を見るまでもなく、交換する方が得をする』の考えも否定できるし
封筒の中身を見ずに交換しつづけると期待値が増え続けると言うことも否定できるのに
（初めに選択した封筒が最大値の半分以下である必要がある為）
まあ、取り得る値が自然数だったら奇数、実数だったら１/∞を先に引けないけど（この場合期待値２倍だよね）
1/∞なんて絶対に選択しないと言うのなら『一様な確率分布』を否定することになる
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/28(日) 11:06:46 ]
- >>561
＞まあ、２つの封筒問題は事後確率なんて関係ないけど
パラドクスの話だったところを
勝手に封筒問題だけに限定してしまうのはおかしいね
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/28(日) 13:38:01 ]
- >>562
この調子では
まだまだ存在意義はありそうだな
この隔離スレ
- 565 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/28(日) 19:30:05 ]
- >>563
パラドクスの話がつづいていたので
それとなくスレの主題である２つの封筒問題に誘導したんだけど間違いだったかな？
>>556で低レベルな煽りを入れたのは認めるよ、すまなかった
でも２つの封筒問題にパラドクスは無いと思うし、事後確率の考え方も必要無いと思う
２つの封筒問題にパラドクスがあるように感じるのならば 『君は12500円派だ』
- 566 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/28(日) 21:21:14 ]
- ごめん、このスレの>>7もパラドクスが無いと感じているんだった
で>>7は12500円派なので>>565の発言は誤りです。
たびたび間違った書き込みをしてすまない・・・
しばらくは自重させて頂きます
- 567 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/29(月) 01:33:26 ]
-
トータルの期待値が1だとしても、
各々の期待値が1ではないということは許されるのか？
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/29(月) 06:54:42 ]
- サイコロを２つ別々のつぼの中に投げ伏せる
一方を選んで見ると１であった
２つのサイコロの合計の期待値は４．５
これを複数回やればサイコロ２つの合計の期待値は７だけど
この場合は４．５で間違いではない
- 569 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/29(月) 07:23:19 ]
- >>568
観測された値(実値)と期待値は足せるの？
そして、それを期待値と呼べるの？
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 00:12:02 ]
- >>566
元々視野が狭い人なのは分かってる
自重する必要なし
>>569
独習が無理なら
中学の２～３年になれば扱い方を習うから
それまで待つといい
- 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 01:17:30 ]
- >>569
期待値の定義は、 （ 値×その値が得られる確率 ） の総和。
値が観測された（実値）場合にには、 その値×１ が期待値 （他の可能性は０)。
現在の持ち点が３点の人が、さらに期待値１のゲームを２度した後の持ち点の期待値は
３＋１＋１＝５
- 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 02:00:31 ]
- >>571
>>569が>>568を見て感じてる疑問は
そういうことじゃないと思うぞ
それに
＞２度した後の
こういう、期待値ではなく確定したような印象を与えかねない言い方も
>>569のような疑問を持っている相手に対しては不適切だと思う
- 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 02:53:41 ]
- >>569
２つのサイコロのうち、一方のサイコロが１と分かっている場合
２つのサイコロの目は
（１，１）（１，２）（１，３）（１，４）（１，５）（１，６）の６通りがそれぞれ確率1/6となる
和は
２，３，４，５，６，７、の６通りがそれぞれ確率1/6となり、期待値は4.5となる。
｛（１+１）+（１+２）+（１+３）+（１+４）+（１+５）+（１+６）｝/６ ＝4.5
変形すると
｛（１+１+１+１+１+１）+（１+２+３+４+５+６）｝/６
さらに
（１+１+１+１+１+１）/６ + （１+２+３+４+５+６）/６
これは
（確定している１の目） + （確定していないサイコロの目の期待値）
と見ることができる
ちなみに
（確定している１の目）は
１の目の出る確率が１（＝100％）、ということで、期待値と見ることができる。
>>571で書いてある「その値×１が期待値」はこのこと、
- 574 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/31(水) 07:37:23 ]
- なんかまた話が違う方向にずれてるから戻すけど
>>568
以降の議論の期待値4,5って十分な回数の試行をすると4.5に近づくじゃん
一方が１の条件付の２つのサイコロの期待値だから、７じゃないじゃん
567が言ってるのは
同じ試行条件において
『１回の試行の獲得金額期待値/初めに見た金額=1.25』・・・①
『十分な回数行った獲得金額合計/初めに見た金額合計=1』・・・②
①②が同時に成り立つかってことでしょ
本スレに書き込んだ人もそんなこと言ってたけど
普通は①か②どちらかが間違っている、
場合によっては①も②も間違っている。
２つの封筒問題においては①が間違っていると思うよ。
確率って単独試行では予想が外れたように見える場合が多いけど
十分な回数繰り返すと予想に近づくものじゃないの？
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/02(金) 02:46:50 ]
- 自分以外の人の疑問点はズレですかｗ
- 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/04(日) 14:51:54 ]
- スレを彩る錚々たる名物たちが
ぱったりといなくなったね
- 577 名前：s5179 [2010/04/06(火) 21:54:20 ]
- >>576
>>1の問題
つまり一般的な２つの封筒問題は
数学の問題として解くには不完全な問題であると
共通の認識がこのスレでは形成された
思考実験の材料としての価値は残っていると思うので
２つの封筒の取り得る値の上限が無限で一様な確立分布で存在すると仮定して
一方を選んで見たとき、中に入っている金額を認識出来るのだろうか？
アキレスや亀とそれを見る人間達が１/∞の時間を認識出来ないように
我々は∞の封筒の中身を認識出来ないのではないだろうか？
封筒の中身が確認し易い連続量に見えるとして
先に見た封筒が他方の封筒の２倍であった
交換して見た封筒が初めの封筒の２倍であった
これしか確認できない場合
5000が10000になる場合と
10000が20000になる場合は等価であると考えられる
どんなもんだろ？つっこみ所が満載だからもう少しスレ伸びるかな？
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 13:29:18 ]
- 解決済み問題に納得がいかない人間用スレだから
そこの住人に共通認識（笑）が芽生えて納得への一歩前進が図れたなら結構なことだ
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 17:41:50 ]
- 統計学的に解決してるだけだろ
数学的には解決していない問題だ
数学は統計学の役に立つけど
統計学は数学の役に立たないんだよ
Aさんの５００円の封筒とBさんの１０００円の封筒を交換したとして
Aさんは２倍にBさんは1/2倍に、その効用は交換しない時の１．２５倍なんて反吐が出る
５００円得した人間と５００円損した人間がいるから損得は±0だろ
>>578は解決してると言うなら、その解を書き込んでみれば？
URLで示してくれてもいいよ
- 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:10:25 ]
- ＞統計学的に解決してるだけだろ
ああ、実際に試行してみて、多数回試行してみて、という方に話がそれる人々の捉え方だな
この問題において数学と統計を対比させるところからして。
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:11:08 ]
- 579にとっては
統計学的にどんな解決を見たんだろう？
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:28:12 ]
- 240や367の様な賢者はもうこのスレには残っていない
残っているのは文盲ばかり
- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:40:35 ]
- 自分の水準以上のツッコミから逃げた新天地での
お山の大将的賢者ですね
その賢者が飽きればそりゃツッコミどころが消えて相手する者もここの存在意義もなくなるだろうな
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 21:21:47 ]
- 統計不能でも期待値は存在する、なんて頭でっかちの奴がまだいるのか。
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