- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 445 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:38:14 ]
- >>437
あくまでも高校までの直感的な説明。これでだめなら測度論が必要。
それと、多分知ってるとは思うが、
すべての[0,1)上の数を等しい確率で選ぶって言っても、その確率は0だよ。
通常0以上0.1以下をさす確率は1/10などと用いるのであってね。
区間の長さに比例した確率になっていることが、等しい確率確率で指すことの意味。
- 446 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:47:34 ]
- >>436
それは不可能。
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 03:00:10 ]
- >>445
無理数まで扱うとね
全ての数に等価に対応させる、というのは変に思える
その場合
limｎ→∞ 1/n のイメージで
＞確率は0だよ。
の方が納得いきやすい
- 448 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 06:48:21 ]
-
ちょっと質問なんだけど
２つの封筒を（A、B）として
aは実数とする
Aに入っている金額をa 、Bに入っている金額を2aとする
二つの封筒の中身の合計金額をX、得られる金額をYとすると。
得られる金額が多い方はY=2/3Xの直線
得られる金額が少ない方ははY=1/3Xの直線
得られる金額の期待値はY=1/2Xの直線
になるのは間違いないと思うんだけど。
質問、 aの変域を∞にすることは可能か不可能か
どうなんだろう？
このグラフを見てると1/2aなんかなかったんや！！って星野仙一風に叫びたくなる・・・
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 06:57:21 ]
- 「変域を∞」？
Ｘを限りなく大きくすることならできるだろう
定義域を負まで延長してもいい
で、何か意味があるのか
- 450 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 08:14:19 ]
- 訂正
質問、aを限りなく大きくすることは可能か？
意味
>>1の問題を解く指標にしたい、無理そうだけどこのグラフから>>1の期待値のグラフを書きたい
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 19:53:39 ]
- >>447
有理数でも同じ？
>>435
時計を「観測」する例えでいいなら有理数と考えていい？
- 452 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 21:52:36 ]
- これは高校生向けに「イメージ」を話しているだけなので、厳密に議論する話ではないが。
針がカチカチ動くデジタルではなく、スーッっと動くアナログ時計をイメージしてくれ。
数直線の上に無理数があるのと同様、
文字盤の０時と１時の間にも無数の無理数が稠密に存在するとイメージしてくれ。
時間は連続的に変化するよね？
ルート２分という時間も存在するよね？
- 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 22:12:43 ]
- >>452
無理数が稠密にって言われると余計分からなくなるけどｗ
質問の意図は有理数でよければそのほうが簡単かなと。
どうやら無理数が必要みたいですね。
＃どこかで観測した数値は有理数って書いてあるのを見た気がする。
- 454 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:02:32 ]
- 「観測」ってそういう意味で使ってたのか、、、
たしかにそういう意味では、無理数は観測できないね。
ルート２グラムのものの重さを測定したら、どんなに精密なはかりを使っても、
1.4142グラムになっちゃうしね。
時計の例は、連続的な値をとる確率変数の分布のイメージを、
直感的に説明してるだけ。数学的に厳密な話では無いから忘れてくれ。
wikiの確率分布の項でも読んだ方がちゃんと理解できるだろうから。
- 455 名前：367 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:44:41 ]
- >>427
返事が遅くなって申し訳ない
＞ 10000円のとき、他方の期待値は12500円。
＞ 同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
＞ 金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
＞ じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
＞ 何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞ なぜこんなおかしなことになるのだ？
この議論は一見正しく見えるが、実は違う
封筒を見る前の期待値を計算してみれば、発散してるのが分かるはずだ
標語的な書き方になるが、∞の1.25倍は∞なので矛盾していない
- 456 名前：367 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:49:54 ]
- ああ、多分240氏は分かってくれると思うけど、俺は例の分布は否定しているよ
- 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 23:51:45 ]
- >>452
無理数にまで均等に対応させることはできる？
有理数の段階でそれぞれの確率→０は納得いくから
無理数に拡張する必要はないが念のため
- 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:18:12 ]
- 0以上1未満の実数を、2進数によって無限小数展開する。
有限小数については、0.1＝0.1000… のように、0が並んでいると
思って無限小数だと見なす。
無限小数の各桁について、0が選ばれる確率も1が選ばれる確率も1/2だとする。
このような選出方法を取れば、任意のx∈[0,1)について、xが選ばれる確率は
等しく0である。また、選ばれた実数が区間[a,b]⊂[0,1)に入る確率はb−aとなる。
よって、この選出方法は偏りのない選出方法だと見なせる。
0.1000…＝0.011111… のように2通りの表現方法を持つ実数があるから、
このような実数は若干選ばれやすいような感じがするが、確率を計算すると
どのみちゼロになるので、やはり等確率である。
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:49:08 ]
- 0〜1の実数を得たとしてどう正の数にもっていくのかが問題だ。
1/ｘ-1で写せばとりあえず正の数全体にはなるが均等にはならないよな。
理想分布関数は全領域の積分が1、任意の有限区間の積分が0、ｘ=0以外の任意のxでの微分が0だが。
- 460 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:15:07 ]
- >金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが
期待値が有限の場合には、（上限があろうと無かろうと）起こらない現象だよね？
私は、期待値が無限大の場合は特別だと思っていたので理解できなかったが、
やっと理解できました。
確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの？
たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
みたいなことを何の注意書きも無く書いて良いものなの？
（私は、確率論は専門で無いので、、、）
実数の四則演算に∞を加えても、「∞*2=∞」とか「∞+1=∞」とか「∞ー∞は不定」などの
規則を導入すれば矛盾しないことには同意します。
これらの計算規則（たとえば∞＋１＝∞）に対応する確率の問題を作ったとしよう。
すると、一般的な感覚とはズレた不思議な現象が起こっている。
しかし、∞を認めて規則を導入する立場からすると、「何も矛盾が起こっていない。」という結論。
一方、∞を認めない（よってx+1=xはぜったに成立しないという）立場からすると、
「∞の期待値という誤った仮定のもと計算したから、x+1=xという矛盾が起こる。」という結論。
君が前者で、私が後者。
おそらくどちらの立場をとる場合も、この不思議な現象をパラドックスと呼ぶと思う。
- 461 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:22:43 ]
- >>459
それは不可能だって上の方で書いてあるでしょ。
[0,1]での積分値をxとする。均等だから任意の自然数に対して、[n,n+1]での積分がx。
よって全積分、つまり[0,\infty)での積分はx+x+,,,,=1。しかしこのような実数xは存在しない。
- 462 名前：367 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:32:41 ]
- >>460
ああ、>>367で「普通に起こりうる」と書いたのがいけなかったのか
＞ 期待値が有限の場合には、（上限があろうと無かろうと）起こらない現象だよね？
同意します
＞ 確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの？
＞ たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
いや、そういう感じで書くのは背理法で期待値の発散を証明するときくらいじゃないかな
だからこの問題に対する俺の立場は、「よって期待値は発散している」だね（ずいぶん迂遠な証明だけど）
- 463 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 03:09:46 ]
- これで私も君も、お互いの考えをほぼ理解できたと思う。
残された見解の相違は、>>1の問題（と言っても「確率1/2なので」の部分や、これ以降の続きの部分が省略されているが）
の本質がどこにあるか？という点だと思う。
私は、この問題をただ単に「期待値無限大のパラドックス」の問題と捉えるのはどうかと思う。
「任意の金額に対して、他方が二倍となる確率が1/2というありえない仮定を信じさせること」が本質だと思う。
とは言っても前者を完全に否定している訳では無くて、後者の方が重要かな。くらいの意味だが。
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 05:08:14 ]
- 交換を続けてエスカレートしていく考え方は間違い
取りうる事象が無限まで発散すれば
確率を１におさめても
期待値が無限に発散するという意味の無限なら正しい
- 465 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/19(金) 06:38:36 ]
- そろそろ、>>1の問題に対して勝利宣言をして貰えないだろうか
例えば、
有限の場合は取り得る値の範囲が提示されていないので設問ミス
無限の場合は期待値が発散（5000と20000の間で）しているので期待値12500とするのは誤り
引いた方が得かどうかは分らない
みたいな感じで、
あとは>>463のパラドクスもしくはありえない仮定を信じさせる原因の究明で
２封筒問題は解決したことになる（のだろうか？）
そろそろ終わりが見えてきた？
私は240さんや367さんの言っていることに異論はありません（だいたい理解できた）
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 06:48:37 ]
- 勝利宣言ｗ
子供か
まあ勝利宣言と呼ぼうがどう呼ぼうが好きにするといいが
結果が出たのあとも２スレほどかかったあげく
それでも納得いかずに独立したスレだから
勝利宣言がなされようが
本来の問題からかけはなれた新たにつけたした部分から生じた疑問を
同じ問題だと思って迷い続けたり
学べば済む未習得の基礎知識を我流でこねくりまわす人は
今後も出てくるんじゃないですかね
- 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 07:32:12 ]
- >>461
実数で無理なのは明らかだが、そこで議論終了しちゃうんですか。
超関数は考えないんですか。
- 468 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 07:46:05 ]
- 今、勝利宣言するのはs5179さんじゃないかい？
私は、>>240の時点で、って言うか10年以上前に勝利宣言しているつもりなのだが、、、
まぁ、>>367タイプの
「(*)の非存在をスルーして、1.25倍についても無限期待値を認める立場だから問題ないとする」
という考えは今回初めて知った。
おかげで誤解をしてしまい、長々と恥ずかしいレスを続けて申し訳なかったが、勉強になった。
そういう意味で、>>399の「完全に理解しており」というのは言いすぎだったな。
- 469 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 07:50:19 ]
- >>467
均等な場合うを考えているから考える必要があるのは定値関数のみ、超関数を考える必要はない。
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 12:10:31 ]
- 超準解析を持ち出せば、どうなるか分からん。
正の無限小εを固定して、定値関数εを考えるとか。
(超準解析で確率論を展開する試みは実際にある。でも詳しくは知らない)
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 20:05:00 ]
- 常に交換しないAさんと、常に交換するBさんがそれぞれn回チャレンジするとする。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1でないことを期待できる分布は存在しますか？
- 472 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/20(土) 09:09:31 ]
- >>468
私は
「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」
の答えまでしか認識していませんでした。
>>1 が大問１題のみのテストだったら30点ぐらいでしょう
240さんと367さんのそこに至る証明が出来ている答えとは雲泥の差があります。
>>465の例えが正しいか、間違っているかは、まだ確証はありませんが
少なくとも 「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」 より答えに近づいていると思います。
2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので、数学書などを買って久しぶりに勉強したいと思います。
240さんはずっと大学生もしくは院生（理学部数学科）と思っていました、
私と同じか年上なんですね予想外です。
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 09:14:42 ]
- ＞2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので
俺もここがきっかけで、数学じゃないけど理系の面白さを思い出したよ
本題そのものは興味深い新たなものは出てこなかったけど
そこから派生してくる正誤含めたさまざまなアイデアにいい刺激があった
- 474 名前：240 mailto:sage [2010/03/20(土) 12:52:41 ]
- >>471
期待値∞の分布で金額をいれれば、AもBも期待値∞。∞と∞の比（つまり∞÷∞）は不定。
無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。
私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
封筒には１億円入っていた。期待値∞なのにたった１億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない（差が-∞）金額しか得られない。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 13:40:25 ]
- >>474
ありがとうございます。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1.25とか1.1等の有限の値に
収束するケースがあるのかどうか知りたいです。
自分の勘ではなさそうなんだけど。
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 13:43:49 ]
- 1以外の値ということで。
- 477 名前：240 mailto:sage [2010/03/20(土) 14:17:36 ]
- 期待値有限の確率分布ではありない。
問題文のn回とか、収束とかは意味無い。一回の場合の期待値のみ考えた方が良い。
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 14:38:12 ]
- >>474
ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか
＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
この時点で破綻してるけど
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 15:34:39 ]
- 一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
- 480 名前：7 mailto:sage [2010/03/20(土) 20:35:41 ]
- >>478
封筒に金額を入れる時、金額の確率分布を
封筒を開ける前の金額の期待値が＋∞に発散してしまうような確率分布で
考える、というようなことだろ。破綻してないと思うけど？
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 00:25:17 ]
- 具体的には?
- 482 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 01:33:14 ]
- >>481
具体的には、例えば>>428の確率分布(一部修正)
賞金の組が{5000*2^n,10000*2^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
組を決め、決まった金額の組を２つの封筒に入れる。
２つの封筒のうち、どちらの封筒を受け取るか同様に確からしいとする。
(いつまでたっても混同してる人がいるので一応断っておくが、この分布を仮定した時点で
>>1とは別の問題であり、もちろん私もそのことを理解している)
簡単な計算で、この確率分布がありえないモノでないこと
(封筒を開ける前の)受け取った金額の期待値(の式)が＋∞に発散することが確認できる。
>>479
個人的な意見・感覚として、最終的に得られる金額を最大にしようとするなら
１回しかゲームをしない時
・２つの封筒の金額のうち、大きい方を選べばよい等と考える
→最初に受け取った方が大きい方である確率1/2,小さい方である確率1/2なので、交換してもしなくても同じと考える
・金額の期待値を計算できる時、金額の期待値の大きい方を選択すればよい等と考える
→未確認の金額の期待値が確認済みの金額(の期待値)より大きいなら、交換した方が良いと考える
と交換するかどうか判断する時に２つの考え方があって、どちらを採用するべきだと思うか感覚的には
決まらなくて、混乱しやすいのだと思う(そもそも論理的に判断できるようなものではない)。
一方、複数回ゲームをやる時は、"１回１回で大きい方を選ぶかどうか"という上の考え方よりも
"金額の期待値を参考にする(小さく損して大きく儲ける)"下の考え方の方がしっくり来やすいので
混乱しにくいのだと思う。(ギャンブルとして、最終的に交換するかどうか決めるのは
個人の感性・性格の問題であって、交換した方が正しいとか正しくないというようなことは言えないことには注意)
- 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:20:52 ]
- >>482
前半
＞簡単な計算で
示してくれ。ｎを無限にしなくて発散するのかどうか
後半
＞個人の感性・性格の問題であって
感覚的な損得の話にもっていったら期待値とは関係なくなってる
（本来感覚的な損得は問題ではなかったところに、かってに損得感覚を持ち込んだ上で
それは関係ないと但し書きをつけるというような、本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている）と思うが
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:31:07 ]
- 本来の問題なんて、ありがたがる価値あるの？
期待値不定で決着ついてるじゃん。
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:34:01 ]
- 有難がってはないわけだが。
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 04:32:17 ]
- >>474
＞無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。
それのどのあたりがパラドックスなんですか？
なにか矛盾しているようには見えないんですが。
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 04:36:15 ]
- 封筒に入れる金額を以下のような手順で決める。
１） １円用意する。
２） コインを投げ、表が出たら 用意した金額を封筒に入れ、終了。
３） 用意する金額を２倍に増やして、手順２）にもどる。
封筒に入っている金額の期待値は？
- 488 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 09:14:34 ]
- >>486
自然に感じられない結論が得られれば、矛盾が無くてもパラドックスと言う。
期待値∞を理解していない人は、
常に期待値を下回る金額しか得られないことを不自然に感じるはず。
>>484
期待値不定というのは、
「どのような確率分布でいれたか分からないから、どのような確率で２倍、1/2になるか
分からない」って答えのこと？
それが一番シンプルな答えではあるが、普通それだけじゃ納得しないと思うが。
- 489 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 09:38:08 ]
- >>484
普通は、「じゃぁ、確率分布は分からないけど1/2になるように入れた場合はどうなの？」
って聞かれると思うんだけど。
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 09:46:43 ]
- 「分布不明のところで期待値に何の意味がある？」
と聞き返せばおｋ。
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 09:50:03 ]
- >>489さんだったら、難しい数学の話をして説明するんだろうか。
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:04:05 ]
- 分布不明だって期待値に意味あるじゃん。
ただで賞金がもらえるとして期待値１円のと期待値１億円のどっちがいい？っ聞かれて
分布が分からないから分からないと答える人はほとんどいないと思うが。
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:11:23 ]
- その前に分布不明のところで期待値を求める方法を提示してくれ。
話はそれからだ。
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:11:39 ]
- 知ったかが多いなぁ…
確率に色気を出した文系が集うスレか
- 495 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 10:14:51 ]
- >>493
だから、２倍の金額の確率が1/2、1/2の金額の確率が1/2ってことから求められないの？
って言われるとおもうが。
- 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:24:47 ]
- >>495
一般人はそんなツッコミしないよ。どんな人を想定してるんですか？
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:28:39 ]
- もし聞かれたら「このスレ嫁」だなｗ
- 498 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 11:16:40 ]
- >>483
＞ｎを無限にしなくて発散する
ってどういうこと？ちょっと意味がわからない。
＞本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている
そりゃあ本来の>>1の問題じゃなくて、>>479の
＞一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
という錯覚の原因として、個人的に考えた・感じた意見を書いただけだからなあ。
錯覚の原因が本当にそうかどうかは、もはや数学の分野の問題じゃないから
意味がないといわれれば確かに意味はない。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 13:56:17 ]
- 引用部分の意味がわからなくてもいいから
とにかく期待値が無限になる式を例示してくれ
- 500 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 19:44:49 ]
- >>478で
＞ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか
って気づいてるのに、説明する意味あるの？
>>487を少しいじって
１)３円用意する。
２)コインを投げ、表が出たら 用意した金額を金額比が1:2になるように２つ封筒に入れる。
裏が出たら用意する金額を２倍に増やす。表がでるまで手順２)を繰り返す。
３)２つ封筒のうち、どちらか一方を等確率に選んで受け取る。
という設定で、封筒を開ける前の受け取った金額の期待値を考えても
基本的には同じ。それとも封筒を開けた後の金額の期待値と混同してる？
>>482の確率分布で計算すると
最初に受け取った封筒の金額が
5000円である確率＝(1/2)*(1/100)=1/200
5000*2^k円である確率(k=1,2,…)
＝(1/2)*(99^(k-1))/(100^k)+(1/2)*(99^k)/(100^(k+1))=(199/20000)*(99/100)^(k-1)
となっているので、全てのk(=0,1,2,…)で
0<(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)<1
Σ_[0,∞]{(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)}=１
となっている。
封筒を開ける前の金額の期待値の式は
5000*(1/200)+Σ_[1,∞]{(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)}で
全てのk(=1,2,…)に対して
(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)=(199/2)*(198/100)^(k-1)>1
であるから、封筒を開ける前の金額の期待値の式は(絶対)収束せず
正の無限大に発散する。
- 501 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 19:56:54 ]
- しかし、>>484の答えで終わりにするなら、こんな問題考える必要ないよね？
封筒二つとかまったく答えに関係ないし。
確率分布がわからないから分からないって答えは、正しくはあるけど、
もっともこの問題の主旨から外れた答えだとおもうが。
まぁそれで満足する人がいるならそれで良いけど。
私は、分からないって答えも押さえた上で、>>489の仮定のもとでも考える
べきだと思うが。
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 20:25:09 ]
- >>501
なんだか、いかにも気に入らないふうな書き方ですね。
同じところをグルグル回るのは止めよう、必要なら明示的に条件追加したらって考えだけど。
>>489の仮定だって、上限がないと発散するで決着ついたと思ったけど違うのかな。
- 503 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:12:26 ]
- うん。>>484は気にいらないよ。
そこまでで考えを止めるなら、問題の価値なんてほとんど無いからね。
- 504 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:34:50 ]
- >>501
なにかしら確率分布を仮定した時点で>>1とは別の問題になるんじゃないの？
>>1とは別の問題を考えること自体は非難しない(私も条件を追加したりして>>1とは別の問題を考えている)けど
勝手に(ありえない)確率分布を仮定しときながら「この問題の本質は
ありえない分布を仮定して考えてしまうことだ！」と言ったり
「他の分布を仮定したら、まったくの別問題だ！」
という主張は、ちょっと私には受け入れられない。
- 505 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:57:02 ]
- たとえば「実は入れた人は10000円以上持ってなくて10000円20000円の確率0と仮定すると、
交換しないほうが得です。」ってのはこの問題の本質を離れすぎだと思う。
「必ず他方の金額が二倍の確率が1/2とすると、、、」という仮定は、
問題文を離れすぎていないし、普通に考える疑問だと思う。
もちろん主観的な意見だが。
それと一つ疑問なのは、２つの封筒問題とは普通>>1よりもう少し問題文が長いと思うが、
それらを考慮しないで、純粋に>>1だけを問題として考えるのがこのスレの立場なのか？
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 22:09:02 ]
- 分布によって面白い性質があるにしろ、それは分布別に考えればいいことじゃないか
と自分は思うけど、240さんはそれでは満足できないんだね。
その部分にどんな面白さを240さんが感じているのかは自分には理解できない。
- 507 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 22:21:19 ]
- >それは分布別に考えればいいことじゃないか
そりゃそうだよ。しかし、>>505の冒頭の答えだけで解けたことにするのは納得いかないだろ？
それと、通常この問題は、>>1の後に
「もしこの考察が正しいなら、他の金額の場合も同様に1.25倍になる、
金額によらず1.25倍になるなら、金額を見なくても、交換するだけで1.25倍になる、、、」
と続く。だから、>>505三行目の仮定を私は考えているのだが。
- 508 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 22:44:30 ]
- それと私は、
「確率分布を、、、とする」というように一意には仮定していないよ。
あくまでも、問題文の続きを考慮して、「>>505三行目を満たす確率分布とする」
というように分布の性質を仮定しているだけで。
- 509 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 01:44:36 ]
- 読み返すと>>495に対する>>496は誤解されているような気がするな。
>>495で言いたかったのは、
「分布不明だからわからない」
に対して、
「えっ、でももし確率1/2なら12500円じゃないの？」
ってこと。一般人もそう考えると思う。問題文にもそう書いてある訳だし。
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 03:11:20 ]
- この問題、俺の中では完全解決してるんだけど
今は何で揉めてるの？
まあそれをまとめるのが数学と言うものか。
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 06:34:28 ]
- >>500
式をかいてくれてありがとう
＞＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
＞この時点で破綻してるけど
の確認ができたし
>>474のパラドックスがパラドックスになってないこともわかった
それとも１+１＝３という偽の命題でも
扱ってる人間が理解してなくて偽と気付きにくいなら
何でもパラドックスと読んでいいのかな
- 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 08:35:58 ]
- 封筒を開ける前の期待値が有限に収束しないケースについて、
その不可能性を定理化するとどういう表現になるんだろう？
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 09:57:29 ]
- その不可能性を定理化ｗ
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 11:08:15 ]
- [２つの値札]
買いたい商品の値段を聞いたら、店員がシールで数字を隠した値札を
２枚出して、こんなことを言いました。
「只今お得なキャンペーン中。この2枚の値札には、『定価』と『定価の半額』
が書いてあります。一枚好きな方のシールをめくって下さい、そこに書かれた
値段で購入頂けます。さらに二枚目をめくって頂いても構いませんが、
その場合は二枚目に書かれた方を値段とさせて頂きます」
客が一枚めくると『一万円』と書いてありました。どうしても必要なものなので
五万円以上用意していた客、二枚目をめくろうかちょっと計算してみました。
「もう１枚には五千円か二万円の値段が書いてあって、その確率は五分五分。
二万円でも私にとっては安いけれど……二枚目をめくった時の期待値は
一万二千五百円か。だったら二枚目めくらずに今の一万円で買った方が
得だな」
↑↑
この客の考え方は違ってるでしょうか？
お店としては二枚目をめくって欲しいか、欲しくないか、関係ないのか……
- 515 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 11:11:17 ]
- >>511
いいと思うけど。多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
その部分に気づいてそこが偽だと指摘するのがパラドックスに対する答えになるんでしょ。
ただし>>474に偽の命題なんて書かれて無いけどね。
- 516 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 11:19:18 ]
- >>514
>>243
たとえばその商品がこしひかり10ｋgなら二枚目をめくる。
それでもし二万円が出たら、そんなぼったくり店には二度といかない。
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 11:25:21 ]
- >>514
両方めくって安いほうで交渉する。
- 518 名前：日向 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:03:57 ]
- 自分なりの答えを出したんだが、
正しいか正しくないか、正しく無いならどこが間違っているか
指摘してくれ。
前のスレにレスしたから読み辛いがよろしく
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/l50
の６８２〜６８４辺りだ。
- 519 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:32:27 ]
- >>242
- 520 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:35:17 ]
- >>505
>>1の後半に書いてある通り、類似の設定の問題も考えても良い場
であると思うけど、どんな設定を加えた問題が普通だと思うかとか
どこがパラドクスの原因だと思うかは人それぞれ。
>>507
＞通常この問題は(略)と続く。
そんな問題はあまり見ないし、少なくとも私にはそれが通常だとは思わない。
私は通常だとは思わないけど、240が考えたいと思ったのなら別の問題として
勝手に考えればいいんじゃない？私は私でさらに別の設定の問題を勝手に考えるだけだし。
>>511
>>515
＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
ここまでは問題ない(強いて言うなら"∞の期待値の確率分布"や"無限大の期待値"という
表現が気になるけど、私にはたぶん意味は通じてると思う)。
(Σ{x*P(X=x)}が絶対収束しないことなんて例は無数にある。一般的な流儀かどうかは知らないけど
Σ{x*P(X=x)}が絶対収束しない時は期待値E[X]は存在しない、と私は習った)
＞封筒には１億円入っていた。期待値∞なのにたった１億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
＞もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
この文に数学的な意味がない(unluckyの意味が不明なので真とも偽とも言えない)ことと
＞何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない（差が-∞）金額しか得られない。
で「どんな金額が入っていたとしてもunluckyだ」という(意味のない)文を結論として誘導してそうなとこ
が、>>474(や聖ペテルスブルグのパラドクス)のパラドクス(？)の正体だと私は思ったんだけど、>>511は違うの？
人によっては最初から不思議でもなんでもないモノとか、タネ明かしされ
解消されてしまったパラドクスとかをパラドクスと呼ぶかどうかは
知らないし、どっちでもいい。
- 521 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 14:54:45 ]
- まず君がどんな設定を加えたか教えてくれ。
今ちょっと「二つの封筒」でgoogleってみた限りでは（数ページしか見てないが）、
続くのが通常みたいだぞ。
もちろん何を通常と感じるかは人それぞれだが。
それと、どこか気に食わない点があるように感じるのだが、
もしそうなら具体的にどのレスが気に食わなかったか教えてくれ。
場合によっては謝るから。
- 522 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 17:20:34 ]
- >>520に付け足し
(離散型の)確率空間・確率分布の定義に
"期待値が存在しない(Σ_[i∈I]{a(i)*P(X=a(i))}が絶対収束しない)モノは確率分布
として考えてはいけない"というような条件はないはずだから
>>482のような確率分布はちゃんと認められているはず。>>482の確率分布を仮定したら
破綻する、ということはないよ。
聖ペテルスブルグのパラドクスも
[(k=0,1,2,…に対して)賞金が(2^k)円である確率を1/(2^k)とする]
という仮定は偽ではなくて、[じゃあ、期待値計算すると無限大だから
参加費がどんなに高くても参加した方が得で、参加するべき！？]という
部分が、誤った推論なだけ。
- 523 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 17:25:57 ]
- >>521
別に謝る必要ないと思うが、ただ
>>1の問題は"期待値わからない"ということを認めていて
金額の確率分布が上限が存在する場合や一様じゃない場合など
"確率分布を〜とする"という問題は別問題だと言っておきながら、
>>425の(*)の確率分布や>>505三行目の仮定に固執したり
ありえない設定を自然に受け入れさせることがこの問題の特有の面白い所・本質
であるという主張や考えは、私には受け入れられないだけ。
>>431の"おかしな前提"や>>313の"ほぼ確率１で得する代わりに非常に少ない確率で
大損するというタイプのパラドクス"というのが何を意味してるかも私には良くわからない。
存在しないモノを存在するとしてしまうという類のパラドクスは
封筒問題に限ったことではないと思うし
確認すると10000円だった時に他方の袋に入っている金額が5000円である確率1/2
20000円である確率1/2となる(存在する)確率分布は(上限のあるもの・ないもの合わせて)たくさん
あるのに、(存在しないと思われる)上限なしの一様分布を仮定することが普通だとは私は思わない。
個人的には>>479の
＞一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
や、"期待値１倍以上なら交換した方がよい？"というような錯覚が
封筒問題の面白い所であると思う(当然このこと自体は封筒問題に限ったことではない)が
どこを面白いと思うかは個人の主観であって、数学の問題じゃないから
その部分を言い争う気はない。私はこの錯覚を意識しやすいような問題を考えたい
だけ(例えば、組が{5000,10000}になる確率1/100,{10000,20000}になる確率99/100とする等)
で、この設定が自然であるかどうかとか、本来の問題と違うかどうかには興味ない
(むしろ、無限に関するパラドクスなど他の錯覚が起きないような問題を
考えようとしてるのだから、本来の問題とは違う問題を作ることが目標の１つと言える)
- 524 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 18:30:13 ]
- まず、私が考えている「通常」の問題では、上限を設けた場合や、
「常に確率1/2」では無い場合を考えると、
問題の主旨に合わないということは同意してもらえたと思うが、OK？
次に、>>1の問題のみ考える。
封筒に入れられた金額の確率分布が分からないのに、
確率1/2として期待値を計算している点が間違いである。
これが一つの答えであることも同意してるはずだ。
しかしこれだけで話を終わらせずにもう少し>>1の問題の主旨に沿った仮定をおく。
(*)「10000円のときには確率が1/2である」これを正しいとする。
これは君も自然だと感じていると思う。実際君もそうしているし。
君はさらにこの他の金額についても何らかの（というか全ての金額の確率分布を）仮定して
考えようとしている。
ここまで同意だと思う。
- 525 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 18:37:05 ]
- しかし、(*)を仮定した時点で>>1の問題に対する答えは期待値12500円。正しいよ。
となる。他の金額の確率分布なんてまったく関係ない。
それなのに君は他の金額の確率も仮定しようとしている。なぜだ？
他の金額の確率が必要となるのは、他の金額を引く場合も考えるからだろ？
そして、（これは>>1の問題に書いていないから意見が分かれるかもしれないが、）
他の金額の場合も確率1/2とするのがもっとも自然な仮定ではないか？
もしそれ以外の確率例えば1/3とかにするんなら、そもそも
なぜ>>1では10000円のとき1/2だと考えたのか？
もし理由があるならそれは他の金額でも同じではないか？
それともこれは1/3でも1/4でも何でも良い問題で、たまたま1/2と書いているだけなのか？
>この設定が自然であるかどうかとか、本来の問題と違うかどうかには興味ない
私は上記を理由に、この設定は>>1の問題の主旨とは違うと考える。
しかし、違うかどうか興味ないなら君にとってはどうでもいいんじゃない。
>上限なしの一様分布を仮定することが普通だとは
私は、初めに封筒に入れられる金額の確率分布が一様分布だなどと仮定していない。
あくまでも仮定しているのは425の(*)だ。
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 19:03:20 ]
- 12500は成立しないと言いつつ、12500に執着する。なぜだ？
- 527 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:03:21 ]
- ＞>>425の(*)の仮定
２つの封筒にあらかじめ金額を入れる場合を考えるなら
(つまり参加者が封筒を受け取った後に、もう一方の封筒を入れ替えたりしないなら)
そんな確率分布は存在しないんじゃなかったの？
存在するというなら具体例を。
それとも存在性を無視しても、それ以外には偽の命題や矛盾はないという話？
「>>425の(*)の確率分布は存在しない。でも>>425の(*)の確率分布を仮定するのが普通」
と言ってるように見えるのだが、他の人は知らんが少なくとも私にはそれが普通だとは思わない。
＞違うかどうか興味ないなら君にとってはどうでもいいんじゃない。
どうでもいいと思っているからこそ、>>520で勝手に考えればいいと言った。
(もし面白そうだと思ったら、その時は参加するかもしれない)
240は>>1の推論部分の[確認すると10000円だった時に他方の袋に入っている金額が5000円である確率1/2
20000円である確率1/2となる]という主旨に沿った問題を考えたいようだが
その主旨に沿わなくたって、私が封筒問題の面白いと思う所(>>523の後半に書いたような所)
は残るのだから、私はそんな主旨に沿った問題を考えたいと思わない(そもそもそれが主旨だと思わない)
だけ。240が考えたければ、私のことなど気にせずに勝手に考えればいいんだが
「とにかくこの設定が封筒問題の主旨・本質で、それ以外は別問題です。」
と言われても、そこは同意できない。
- 528 名前：>>240 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:07:59 ]
- 12500に固執しているというより、1/2に固執している。
一般人だって、たまたま1/2なだけで1/3だったかもしれない、、、
なんて話を期待していないだろ。
- 529 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:52:02 ]
- >>527
この質問にはぜひ答えてくれ。
>>1において文章中には明示されていないが、確率1/2として計算していることは明らかだと思う。
ところで、この数字の意味は何だ？何でも良いのか？
この問題は、他の金額を選んだら1/3とかなんだけど、10000円のときだけたまたま1/2だったという問題なのか？
君は、主旨なんてどうでも良いようだが、私は主旨にこだわっている。
「私は主旨に沿った考えをしているが、7氏は主旨に沿っていない考えをしている」
これに反論がないなら何も議論することは無い。
しかし、例えば>>504では、「別の問題になるんじゃないの？」などと聞かれるから、
説明している訳で。
それと、君の書き込みには誤解がある。だから説明している。
まったく誤解がないにもかかわらず、意見が合わないというなら説明する余地が無いけどね。
>>525の最後の部分とか理解してくれたの？
>「>>425の(*)の確率分布は存在しない。でも>>425の(*)の確率分布を仮定するのが普通」
普通の人は(*)を満たす確率分布の不存在を知らない。
だから普通の人が分布の不存在を理由に>>425の(*)の仮定を躊躇するということは無い。
君は不存在を知っているから(*)を仮定することが普通じゃないと感じるだけなんでは？
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 22:31:57 ]
- 金額が3倍と1/3なら1.25倍にすら成らないのだが。
その場合は同じルールのなのに、2倍と1/2の時とは確率分布とやらが変るのか？
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 23:15:48 ]
- >>530
＞変わるのか
「１：ｎのときに（n^2+１）/2nを求めましょう」と言ってるだけだから
ｎが２のときに1.25になり、ｎが３のときに5/3になるというようにｎに依存して当然。
ただし、「１：ｎのときに（n^2+１）/2nを求めましょう」自体が根本的に間違いなんだけどね。
誤った土台から出発した理屈を追いかけてもあまり意味はない
- 532 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/22(月) 23:23:05 ]
- なんか連勤で少しスレ見なかったら凄く荒れてるね・・・
私は前に期待値が発散すると書きましたが振動するの間違えでした
謹んで訂正致します。
あと、みんな華麗にスルーしていますが
７さんの>>500の問題って
一方の封筒を見た後の他方の封筒の期待値って１倍ですよね
引く前は引く前で期待値∞と期待値∞で悩んで
引いた後は期待値１倍で悩む問題？
また計算間違ったかな？
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 00:44:38 ]
- 亀の歩みでも
蝸牛の歩みでも
正解に近付けばそれでいいのだｗ
しかし
あと500レス切ったけどこの調子で大丈夫だろうか
なかなか数学に着地できないね
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:38:01 ]
- >>493
分布がわかっている人が計算し
分布は公表せずに期待値だけを公表すればよい。
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:46:10 ]
- >>512
なにが不可能なんだって？
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:48:39 ]
- >>515
＞ 多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
どゆこと？ そんなの見たことないけど。
パラドクスのようなものの大半は、一見パラドクスに思えるけど
じつは間違っている主張が多いという意味なの？
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:59:13 ]
- >>530
＞ その場合は同じルールのなのに
金額が違うのは、同じルールとは言わない。
- 538 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 16:30:38 ]
- >>536
飛んでる矢は止まってる。アキレスは亀に追いつけない。
(矛盾しているように見えるが)実は正しかった。ってパターンをのを除けば、どこかに誤りがあると思うが。
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 16:40:26 ]
- >>538
＞ (矛盾しているように見えるが)実は正しかった。ってパターンをのを除けば
おいおい、そここそがパラドクスなんだから、そこをのぞいてしまっちゃあ
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 16:50:12 ]
- >>538
ゼノンもアキレスも論そのものには誤りはないだろ。
当時の公理系や数学の概念では扱えないことを論じているだけで。
それを論じたことそのものが誤りだとも言えなくはないが、それは偽の主張とは別のもの。
- 541 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 17:14:38 ]
- >論そのものには誤りはないだろ
私は、そんな高級な話をしているのではなくて、
「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる」は正しくない。
文章中に正しくない主張がある。って言うレベルの話をしてるのだが。
>>539
とりあえずwikiでパラドックスを調べて見てくれ。図の右側の1,2,3とか。
もちろん言葉の使い方には色々な流儀があると思うけど。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:17:45 ]
- >>541
＞ 「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる」は正しくない。
それは、 現実と数学（物理）という公理の異なることを比較しているので、比較そのものが正しくない。
あの論の公理では、追いつけないのが正しい。 （もちろん現実とは異なる公理）
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:25:55 ]
- >>541
そのwikipediaでの図の（１）や（２）は、誤りが発見され解決してしまっているのだから
（少なくとも数学的には）パラドクスではなくなってしまっている。
でなければ誤りを含む回答全てが（それが指摘されるまで）パラドクスだということになってしまう。
もちろん数学以外の分野での意味的にラフにつかうパラドクスならこの限りでない。
（が、この板ではあまりふさわしくない使い方かと…）
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:30:48 ]
- 声を出し数え上げを行うときに
「いち・にい・さん・しい・ごお・ろく・なな・しち・はち・きゅう・とお」
と数えると、案外気がつきにくいらしく
とお =１１個 という現象がしばしば起こる。 （実際にやってみるといい）
しかしこれをパラドクスとは言わないわな。
- 545 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 18:06:44 ]
- >>543
数学でのパラドックスの意味は狭いとのこと理解した。
>>515はラフな気持ちで書いたのだが、
この板にはふさわしくないとのことも理解した。
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