- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:39:46 ]
- あのさあ、基本的なことなんだけど、>>1を読んでどうして
選ばなかった封筒の中に5000円が入っている確率と20000円の入っている確率が
等しくならないのかがわからないんですけど、教えてくださいませんか？
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:50:05 ]
- >>407
何を勘違いしてるのか知らんが、そういう視点だと
「2つのボールから等確率(1/2ということ)で1つのボールを選ぶ」
という作業でさえ不可能だよ。偏りなく選ぶ"方法"を
どうやって具体的に提示するというのか？
「等確率で選んでくれる便利な装置」の存在を
予め仮定しておくしかないでしょ。その装置の中身が
どういう仕組みなのか説明することは不可能でしょ。
「コインを投げて、表か裏かで判断すればいいじゃないか」
と思うかもしれないが、それは「偏りなくランダムに選べばいい」と
言っているのと同じことで、全く説明になってない。
コインをどのように投げれば、偏りなく表・裏が出るのか
説明されていないからね。
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:51:32 ]
- コインを投げる場合は、投げ方はもとより、コインの形状はどうするのか？
テーブルの形状はどうするのか？そもそも物理法則はどうなっているのか？
…こういうのを1つ1つ細かく設定しなければならない。
そして、それらの設定が済んだとして、どうしてそれらの設定のもとで
偏りなく表・裏が出るのか証明しなければならない。当然ながら、
どの設定にも「ランダムに〜」とか「適当に〜」とか「気まぐれに〜」とかの
言い回しは使ってはいけない。それは「等確率で選んでくれる便利な装置」の
存在を予め仮定していることになるから。
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 15:38:22 ]
- >>412
ひどい勘違いですね。有限ならばモデル化して統計とることは可能。
無限ではモデル化不可能。
- 415 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 15:42:13 ]
- >>410
もちろん、
＞ 金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。
は正しい。分布が与えられない限り、期待値の計算ができないからだ
そして、上限の無い一様な分布は無い
ここまでは君も俺も認めてる事だと思う
>>406でも書いたけど、一様でないが同様の現象が起こる分布が存在する
その例が>>402のリンク先で挙げられていて、この場合は1.25倍の代わりに1.1倍になる
これが、君が>>410で書いた「＋アルファ」にあたるもの
この分布は文句のつけようの無いもので、離散であり、全空間の測度が1になっている
だから、>>366で君が書いた
＞ その答えとして、
＞ >(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
＞ >もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
＞ 存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。
は正しくない
最初に選んだ封筒の金額がいくらだったとしても取り替えた場合の期待値が1を超える、という分布は現に存在するんだから……
- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:04:14 ]
- >>414
＞無限ではモデル化不可能。
どうしてそのことが、数学における一様連続分布の存在の否定に繋がるのか？
そもそも、そこで書いている「モデル化」の定義は何なのか？
・モデル化の定義は？
・その定義のもとでの、「無限ではモデル化が不可能である」ことの証明は？
・「無限ではモデル化が不可能である」ことからどうやって「一様連続分布は存在しない」ことを証明するのか？
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:08:10 ]
- >>416
空論だな。あほらしくなってきたわ。
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:09:54 ]
- 一所懸命考えて言葉遊びになってしまっている者
人が真面目に考えているのに言葉遊びに変えてしまう者
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:11:04 ]
- >>417
えっ？だって、君によれば「一様連続分布」は存在しないんでしょ？
おかしいなあ、数学では存在性が保証されてるのに。
一様連続分布が存在しないと言うのなら、そのことを「証明」してくれよ。
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:20:40 ]
- コインの形状とか言い出すレベルの低い奴の相手はしないよ。
悪いな。
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:23:54 ]
- >>420
証明できないんだね。
当たり前だよね。だって、数学では存在性が
保証されてるんだから。証明できっこないよね。
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:27:45 ]
- >>411
その通り。単なるヘリクツです。
確率分布がわからないとかぬかしているバカばかりです。
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:42:40 ]
- ある七面鳥が毎日9時に餌を与えられていた。
それは、あたたかな日にも寒い日にも雨の日にも晴れの日にも9時であることが観察された。
そこでこの七面鳥はついにそれを一般化し、餌は9時になると出てくるという法則を確立した。
そして、クリスマスの前日、9時が近くなった時、七面鳥は餌が出てくると思い喜んだが、
餌を与えられることはなく、かわりに首を切られてしまった。
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:57:35 ]
- >>399
指摘をされた受け手が受け入れる力があるとは限らないわけですが。
- 425 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 17:48:39 ]
- >>415
もしかして、君は
>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
は正しくない。つまり、(*)という確率分布は存在する。
と主張している？
- 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 19:58:41 ]
- 10000円という具体的な数字が出ているにも関わらず
あいも変わらず無限について考えるのは言葉遊び
- 427 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 21:29:50 ]
- >>415
ごめん。>>378で「正しいと思ってる」って書いてたね。>>425は無視して。
じゃあ君はパラドックスの原因は何だと思っているの？
10000円のとき、他方の期待値は12500円。
同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
何度も変えれば期待値はどんどん増える。
なぜこんなおかしなことになるのだ？
私の答えはもちろん「(*)という存在しない確率分布を仮定して
計算しているから誤った結果になる。」
- 428 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 21:53:07 ]
- >>427
例えば
賞金の組が{5000*2^n,10000*4^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
とすれば、最初に確認した金額が5000円の時のみ、交換後の期待値は２倍に
5000円以外を確認した時は交換後の期待値は148/199(≒1.246)倍になる。
つまり、どの金額を確認しても、交換後の期待値の方が１倍になる。
でも、このこと自体は矛盾でもパラドクスでもなんでもない。
確率分布もちゃんと存在するものである。
あくまでも
未確認の金額の期待値は確認済みの金額(金額の期待値ではない)の２倍か約1.246倍
になるのであって、金額確認前に何回も交換したからといって、期待値がどんどん
大きくなるわけではない。中身を確認してないのに一方の金額の期待値が他方の金額の
２倍か1.246倍とすることはできない。この辺のことは240自身が書いた>>345の
ジョークに通ずるものがあるだと思うのだが…。
- 429 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 22:35:05 ]
- >>428
君の考えてることがよくわからん。
きみは、「>>425の(*)の確率分布は存在する。」と考えているの？
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:16:16 ]
- 428
>に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
ここが恣意でおかしい。
でも、そこの設定を自分が決めたせいでおかしくなる
そこを変数にすれば答えも変わる、ということを言ってるならあながち間違いではない
自分が決めたせいでおかしくなる、よって誤り、まで行ければ一段階クリア
- 431 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:19:15 ]
- >>428
１倍→１倍より大きい、と読み替えて。
その話は、封筒に入れる賞金の期待値が無限大であるというおかしな前提を利用して、
「確認した金額によっらずに交換すると期待値が増える」
という誤った結果を導くパラドックスであると思うが。
- 432 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:34:14 ]
- >>429
存在しないとは思うけど、正直わからん。
逆に質問なんだが
０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ装置は
数学的に存在すると思う？
>>428で言いたいのは、>>427の
＞じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
に対する答えが
＞「(*)という存在しない確率分布を仮定して
＞計算しているから誤った結果になる。」
では、不適ではないかという指摘。
なぜなら、>>428のような確率分布は勝手に持って来たモノではあるが
確かに存在して
5000円を確認した時のみ、他方の期待値10000円で5000円の２倍になり
10000円を確認した時、他方の期待値は約12460円
20000円を確認した時、他方の期待値は約24920円
：
A円(ただしA≠5000)を確認した時、他方の期待値は約1.246 A
どんな金額を確認しても、他方の金額は２倍か約1.246倍になり
１倍よりも大きくなる。
＞じゃあ金額見る必要もなく
変えれば期待値１倍以上。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
の答えとして
"存在しないから"は誤り。
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:36:55 ]
- >>430
そこは おかしくも何ともない。一様分布でない別の分布を設定して
議論してるだけだろ(>>1でない全く別の問題を設定して議論している、ということ)。
- 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:40:18 ]
- >>432
数学的に なのに
装置の実在を問うのかｗ
- 435 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:49:21 ]
- まず、(*)の確率分布は存在しないよ。これは間違いないよ。
>０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ装置は
装置っていう言葉使いが気になるが、存在するよ。
ランダムに時計を見れば、0:00から12:00までを等確率で指している。
この時刻の文字盤を変えてやればいいだけだ。
>>428のパラドックスに対して「存在しないから」はあやまりだよ。
しかし>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは？
- 436 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:58:15 ]
- >>430
>>1の問題文からは
金額の確率分布はわからないだろ。
(>>240の１か２か３か４か判断できない。特に３はありえなさそう)
特定の確率分布(特に今回の様なかなり意図的な分布)を仮定した時点で
>>1とは別問題になるのは当然だろう。
それなのに、一々
"この問題は>>1とは別問題なんだけど〜"と前置きしないと
わからない奴がいるのかい？
>>434
わかりにくい表現であることはあやまるが
"〜の条件を満たす写像は存在するか？"みたいな意味での
"存在"であって、実在を訊きたいわけではない。
要は"０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ"という行為を
してもいい(問題の仮定などに使っていいのか？)
>>435
＞>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは？
誤りではないが
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
に対して画一的な答えではないので、不適ではないかと言った。
また質問なんだけど
全ての実数から等確率に１つ選ぶということは数学的にしてもいい？
- 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:59:41 ]
- >>435
無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させられるかい？
そのことを説明できるかい？
- 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:11:15 ]
- >>437
Ω＝[0,1), F＝{A⊂Ω｜Aはルベーグ可測}, P＝[ルベーグ測度] として、
確率変数X：(Ω,F,P) → R をX(ω)＝ωで定義すれば、
Xは標準一様分布に従うから、XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数と解釈できる。
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:12:45 ]
- >>432
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
この問題では変えていない状態と1回変えた状態は異なるから。
もっというと変えていない状態と2回変えた状態が等しくなるという条件が含まれている。
なので期待値が2＾ｘ倍（xは初期値0でランダムウォーク）にはならない。
- 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:15:31 ]
- >>438
もっと分かりやすく言ってくれますか？
無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
だから無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができます
に見えるんだけど。
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:23:09 ]
- >>440
＞無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
違う。先に対応だけを決めておくのだ。今回はX(ω)＝ωだ。この時点ではまだ、
Xが「偏りのない選び方をする確率変数」になっているのかは不明だ。
で、この後、実際にXの分布を計算する。A∈Fに対してP_X(A)＝P(X∈A)＝P(A)＝(Aのルベーグ測度)
となるから、Xの分布P_Xはルベーグ測度(のFへの制限)に一致すると分かる。
つまり、Xは標準一様分布に従うということ。ここまで来て初めて、
XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数だと解釈できる。
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:31:40 ]
- >>439
わかってると思うが封筒チェンジで全く状態が変わらないと仮定した時に
ランダムウォークするのは期待値でなくて金額の倍率のべき乗部分ね。
当然交換すればするほど期待値は上がっていく。
- 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 01:09:04 ]
- >>441
ピンとこない
標準一様分布にあてはめることにしました、
だからあてはまります、と言ってるようにしか見えない
- 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 01:24:37 ]
- >>443
これがピンと来ないなら、まずは標本空間が有限集合の場合で、
偏りのない選び方をする確率変数を作ってごらん。
君の論法によれば、そういう確率変数に対しても「ピンと来ない」ことになってしまうぞ。
- 445 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:38:14 ]
- >>437
あくまでも高校までの直感的な説明。これでだめなら測度論が必要。
それと、多分知ってるとは思うが、
すべての[0,1)上の数を等しい確率で選ぶって言っても、その確率は0だよ。
通常0以上0.1以下をさす確率は1/10などと用いるのであってね。
区間の長さに比例した確率になっていることが、等しい確率確率で指すことの意味。
- 446 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:47:34 ]
- >>436
それは不可能。
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 03:00:10 ]
- >>445
無理数まで扱うとね
全ての数に等価に対応させる、というのは変に思える
その場合
limｎ→∞ 1/n のイメージで
＞確率は0だよ。
の方が納得いきやすい
- 448 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 06:48:21 ]
-
ちょっと質問なんだけど
２つの封筒を（A、B）として
aは実数とする
Aに入っている金額をa 、Bに入っている金額を2aとする
二つの封筒の中身の合計金額をX、得られる金額をYとすると。
得られる金額が多い方はY=2/3Xの直線
得られる金額が少ない方ははY=1/3Xの直線
得られる金額の期待値はY=1/2Xの直線
になるのは間違いないと思うんだけど。
質問、 aの変域を∞にすることは可能か不可能か
どうなんだろう？
このグラフを見てると1/2aなんかなかったんや！！って星野仙一風に叫びたくなる・・・
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 06:57:21 ]
- 「変域を∞」？
Ｘを限りなく大きくすることならできるだろう
定義域を負まで延長してもいい
で、何か意味があるのか
- 450 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 08:14:19 ]
- 訂正
質問、aを限りなく大きくすることは可能か？
意味
>>1の問題を解く指標にしたい、無理そうだけどこのグラフから>>1の期待値のグラフを書きたい
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 19:53:39 ]
- >>447
有理数でも同じ？
>>435
時計を「観測」する例えでいいなら有理数と考えていい？
- 452 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 21:52:36 ]
- これは高校生向けに「イメージ」を話しているだけなので、厳密に議論する話ではないが。
針がカチカチ動くデジタルではなく、スーッっと動くアナログ時計をイメージしてくれ。
数直線の上に無理数があるのと同様、
文字盤の０時と１時の間にも無数の無理数が稠密に存在するとイメージしてくれ。
時間は連続的に変化するよね？
ルート２分という時間も存在するよね？
- 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 22:12:43 ]
- >>452
無理数が稠密にって言われると余計分からなくなるけどｗ
質問の意図は有理数でよければそのほうが簡単かなと。
どうやら無理数が必要みたいですね。
＃どこかで観測した数値は有理数って書いてあるのを見た気がする。
- 454 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:02:32 ]
- 「観測」ってそういう意味で使ってたのか、、、
たしかにそういう意味では、無理数は観測できないね。
ルート２グラムのものの重さを測定したら、どんなに精密なはかりを使っても、
1.4142グラムになっちゃうしね。
時計の例は、連続的な値をとる確率変数の分布のイメージを、
直感的に説明してるだけ。数学的に厳密な話では無いから忘れてくれ。
wikiの確率分布の項でも読んだ方がちゃんと理解できるだろうから。
- 455 名前：367 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:44:41 ]
- >>427
返事が遅くなって申し訳ない
＞ 10000円のとき、他方の期待値は12500円。
＞ 同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
＞ 金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
＞ じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
＞ 何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞ なぜこんなおかしなことになるのだ？
この議論は一見正しく見えるが、実は違う
封筒を見る前の期待値を計算してみれば、発散してるのが分かるはずだ
標語的な書き方になるが、∞の1.25倍は∞なので矛盾していない
- 456 名前：367 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:49:54 ]
- ああ、多分240氏は分かってくれると思うけど、俺は例の分布は否定しているよ
- 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 23:51:45 ]
- >>452
無理数にまで均等に対応させることはできる？
有理数の段階でそれぞれの確率→０は納得いくから
無理数に拡張する必要はないが念のため
- 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:18:12 ]
- 0以上1未満の実数を、2進数によって無限小数展開する。
有限小数については、0.1＝0.1000… のように、0が並んでいると
思って無限小数だと見なす。
無限小数の各桁について、0が選ばれる確率も1が選ばれる確率も1/2だとする。
このような選出方法を取れば、任意のx∈[0,1)について、xが選ばれる確率は
等しく0である。また、選ばれた実数が区間[a,b]⊂[0,1)に入る確率はb−aとなる。
よって、この選出方法は偏りのない選出方法だと見なせる。
0.1000…＝0.011111… のように2通りの表現方法を持つ実数があるから、
このような実数は若干選ばれやすいような感じがするが、確率を計算すると
どのみちゼロになるので、やはり等確率である。
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:49:08 ]
- 0〜1の実数を得たとしてどう正の数にもっていくのかが問題だ。
1/ｘ-1で写せばとりあえず正の数全体にはなるが均等にはならないよな。
理想分布関数は全領域の積分が1、任意の有限区間の積分が0、ｘ=0以外の任意のxでの微分が0だが。
- 460 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:15:07 ]
- >金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが
期待値が有限の場合には、（上限があろうと無かろうと）起こらない現象だよね？
私は、期待値が無限大の場合は特別だと思っていたので理解できなかったが、
やっと理解できました。
確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの？
たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
みたいなことを何の注意書きも無く書いて良いものなの？
（私は、確率論は専門で無いので、、、）
実数の四則演算に∞を加えても、「∞*2=∞」とか「∞+1=∞」とか「∞ー∞は不定」などの
規則を導入すれば矛盾しないことには同意します。
これらの計算規則（たとえば∞＋１＝∞）に対応する確率の問題を作ったとしよう。
すると、一般的な感覚とはズレた不思議な現象が起こっている。
しかし、∞を認めて規則を導入する立場からすると、「何も矛盾が起こっていない。」という結論。
一方、∞を認めない（よってx+1=xはぜったに成立しないという）立場からすると、
「∞の期待値という誤った仮定のもと計算したから、x+1=xという矛盾が起こる。」という結論。
君が前者で、私が後者。
おそらくどちらの立場をとる場合も、この不思議な現象をパラドックスと呼ぶと思う。
- 461 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:22:43 ]
- >>459
それは不可能だって上の方で書いてあるでしょ。
[0,1]での積分値をxとする。均等だから任意の自然数に対して、[n,n+1]での積分がx。
よって全積分、つまり[0,\infty)での積分はx+x+,,,,=1。しかしこのような実数xは存在しない。
- 462 名前：367 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:32:41 ]
- >>460
ああ、>>367で「普通に起こりうる」と書いたのがいけなかったのか
＞ 期待値が有限の場合には、（上限があろうと無かろうと）起こらない現象だよね？
同意します
＞ 確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの？
＞ たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
いや、そういう感じで書くのは背理法で期待値の発散を証明するときくらいじゃないかな
だからこの問題に対する俺の立場は、「よって期待値は発散している」だね（ずいぶん迂遠な証明だけど）
- 463 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 03:09:46 ]
- これで私も君も、お互いの考えをほぼ理解できたと思う。
残された見解の相違は、>>1の問題（と言っても「確率1/2なので」の部分や、これ以降の続きの部分が省略されているが）
の本質がどこにあるか？という点だと思う。
私は、この問題をただ単に「期待値無限大のパラドックス」の問題と捉えるのはどうかと思う。
「任意の金額に対して、他方が二倍となる確率が1/2というありえない仮定を信じさせること」が本質だと思う。
とは言っても前者を完全に否定している訳では無くて、後者の方が重要かな。くらいの意味だが。
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 05:08:14 ]
- 交換を続けてエスカレートしていく考え方は間違い
取りうる事象が無限まで発散すれば
確率を１におさめても
期待値が無限に発散するという意味の無限なら正しい
- 465 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/19(金) 06:38:36 ]
- そろそろ、>>1の問題に対して勝利宣言をして貰えないだろうか
例えば、
有限の場合は取り得る値の範囲が提示されていないので設問ミス
無限の場合は期待値が発散（5000と20000の間で）しているので期待値12500とするのは誤り
引いた方が得かどうかは分らない
みたいな感じで、
あとは>>463のパラドクスもしくはありえない仮定を信じさせる原因の究明で
２封筒問題は解決したことになる（のだろうか？）
そろそろ終わりが見えてきた？
私は240さんや367さんの言っていることに異論はありません（だいたい理解できた）
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 06:48:37 ]
- 勝利宣言ｗ
子供か
まあ勝利宣言と呼ぼうがどう呼ぼうが好きにするといいが
結果が出たのあとも２スレほどかかったあげく
それでも納得いかずに独立したスレだから
勝利宣言がなされようが
本来の問題からかけはなれた新たにつけたした部分から生じた疑問を
同じ問題だと思って迷い続けたり
学べば済む未習得の基礎知識を我流でこねくりまわす人は
今後も出てくるんじゃないですかね
- 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 07:32:12 ]
- >>461
実数で無理なのは明らかだが、そこで議論終了しちゃうんですか。
超関数は考えないんですか。
- 468 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 07:46:05 ]
- 今、勝利宣言するのはs5179さんじゃないかい？
私は、>>240の時点で、って言うか10年以上前に勝利宣言しているつもりなのだが、、、
まぁ、>>367タイプの
「(*)の非存在をスルーして、1.25倍についても無限期待値を認める立場だから問題ないとする」
という考えは今回初めて知った。
おかげで誤解をしてしまい、長々と恥ずかしいレスを続けて申し訳なかったが、勉強になった。
そういう意味で、>>399の「完全に理解しており」というのは言いすぎだったな。
- 469 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 07:50:19 ]
- >>467
均等な場合うを考えているから考える必要があるのは定値関数のみ、超関数を考える必要はない。
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 12:10:31 ]
- 超準解析を持ち出せば、どうなるか分からん。
正の無限小εを固定して、定値関数εを考えるとか。
(超準解析で確率論を展開する試みは実際にある。でも詳しくは知らない)
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 20:05:00 ]
- 常に交換しないAさんと、常に交換するBさんがそれぞれn回チャレンジするとする。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1でないことを期待できる分布は存在しますか？
- 472 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/20(土) 09:09:31 ]
- >>468
私は
「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」
の答えまでしか認識していませんでした。
>>1 が大問１題のみのテストだったら30点ぐらいでしょう
240さんと367さんのそこに至る証明が出来ている答えとは雲泥の差があります。
>>465の例えが正しいか、間違っているかは、まだ確証はありませんが
少なくとも 「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」 より答えに近づいていると思います。
2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので、数学書などを買って久しぶりに勉強したいと思います。
240さんはずっと大学生もしくは院生（理学部数学科）と思っていました、
私と同じか年上なんですね予想外です。
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 09:14:42 ]
- ＞2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので
俺もここがきっかけで、数学じゃないけど理系の面白さを思い出したよ
本題そのものは興味深い新たなものは出てこなかったけど
そこから派生してくる正誤含めたさまざまなアイデアにいい刺激があった
- 474 名前：240 mailto:sage [2010/03/20(土) 12:52:41 ]
- >>471
期待値∞の分布で金額をいれれば、AもBも期待値∞。∞と∞の比（つまり∞÷∞）は不定。
無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。
私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
封筒には１億円入っていた。期待値∞なのにたった１億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない（差が-∞）金額しか得られない。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 13:40:25 ]
- >>474
ありがとうございます。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1.25とか1.1等の有限の値に
収束するケースがあるのかどうか知りたいです。
自分の勘ではなさそうなんだけど。
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 13:43:49 ]
- 1以外の値ということで。
- 477 名前：240 mailto:sage [2010/03/20(土) 14:17:36 ]
- 期待値有限の確率分布ではありない。
問題文のn回とか、収束とかは意味無い。一回の場合の期待値のみ考えた方が良い。
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 14:38:12 ]
- >>474
ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか
＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
この時点で破綻してるけど
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 15:34:39 ]
- 一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
- 480 名前：7 mailto:sage [2010/03/20(土) 20:35:41 ]
- >>478
封筒に金額を入れる時、金額の確率分布を
封筒を開ける前の金額の期待値が＋∞に発散してしまうような確率分布で
考える、というようなことだろ。破綻してないと思うけど？
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 00:25:17 ]
- 具体的には?
- 482 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 01:33:14 ]
- >>481
具体的には、例えば>>428の確率分布(一部修正)
賞金の組が{5000*2^n,10000*2^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
組を決め、決まった金額の組を２つの封筒に入れる。
２つの封筒のうち、どちらの封筒を受け取るか同様に確からしいとする。
(いつまでたっても混同してる人がいるので一応断っておくが、この分布を仮定した時点で
>>1とは別の問題であり、もちろん私もそのことを理解している)
簡単な計算で、この確率分布がありえないモノでないこと
(封筒を開ける前の)受け取った金額の期待値(の式)が＋∞に発散することが確認できる。
>>479
個人的な意見・感覚として、最終的に得られる金額を最大にしようとするなら
１回しかゲームをしない時
・２つの封筒の金額のうち、大きい方を選べばよい等と考える
→最初に受け取った方が大きい方である確率1/2,小さい方である確率1/2なので、交換してもしなくても同じと考える
・金額の期待値を計算できる時、金額の期待値の大きい方を選択すればよい等と考える
→未確認の金額の期待値が確認済みの金額(の期待値)より大きいなら、交換した方が良いと考える
と交換するかどうか判断する時に２つの考え方があって、どちらを採用するべきだと思うか感覚的には
決まらなくて、混乱しやすいのだと思う(そもそも論理的に判断できるようなものではない)。
一方、複数回ゲームをやる時は、"１回１回で大きい方を選ぶかどうか"という上の考え方よりも
"金額の期待値を参考にする(小さく損して大きく儲ける)"下の考え方の方がしっくり来やすいので
混乱しにくいのだと思う。(ギャンブルとして、最終的に交換するかどうか決めるのは
個人の感性・性格の問題であって、交換した方が正しいとか正しくないというようなことは言えないことには注意)
- 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:20:52 ]
- >>482
前半
＞簡単な計算で
示してくれ。ｎを無限にしなくて発散するのかどうか
後半
＞個人の感性・性格の問題であって
感覚的な損得の話にもっていったら期待値とは関係なくなってる
（本来感覚的な損得は問題ではなかったところに、かってに損得感覚を持ち込んだ上で
それは関係ないと但し書きをつけるというような、本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている）と思うが
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:31:07 ]
- 本来の問題なんて、ありがたがる価値あるの？
期待値不定で決着ついてるじゃん。
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:34:01 ]
- 有難がってはないわけだが。
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 04:32:17 ]
- >>474
＞無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。
それのどのあたりがパラドックスなんですか？
なにか矛盾しているようには見えないんですが。
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 04:36:15 ]
- 封筒に入れる金額を以下のような手順で決める。
１） １円用意する。
２） コインを投げ、表が出たら 用意した金額を封筒に入れ、終了。
３） 用意する金額を２倍に増やして、手順２）にもどる。
封筒に入っている金額の期待値は？
- 488 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 09:14:34 ]
- >>486
自然に感じられない結論が得られれば、矛盾が無くてもパラドックスと言う。
期待値∞を理解していない人は、
常に期待値を下回る金額しか得られないことを不自然に感じるはず。
>>484
期待値不定というのは、
「どのような確率分布でいれたか分からないから、どのような確率で２倍、1/2になるか
分からない」って答えのこと？
それが一番シンプルな答えではあるが、普通それだけじゃ納得しないと思うが。
- 489 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 09:38:08 ]
- >>484
普通は、「じゃぁ、確率分布は分からないけど1/2になるように入れた場合はどうなの？」
って聞かれると思うんだけど。
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 09:46:43 ]
- 「分布不明のところで期待値に何の意味がある？」
と聞き返せばおｋ。
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 09:50:03 ]
- >>489さんだったら、難しい数学の話をして説明するんだろうか。
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:04:05 ]
- 分布不明だって期待値に意味あるじゃん。
ただで賞金がもらえるとして期待値１円のと期待値１億円のどっちがいい？っ聞かれて
分布が分からないから分からないと答える人はほとんどいないと思うが。
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:11:23 ]
- その前に分布不明のところで期待値を求める方法を提示してくれ。
話はそれからだ。
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:11:39 ]
- 知ったかが多いなぁ…
確率に色気を出した文系が集うスレか
- 495 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 10:14:51 ]
- >>493
だから、２倍の金額の確率が1/2、1/2の金額の確率が1/2ってことから求められないの？
って言われるとおもうが。
- 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:24:47 ]
- >>495
一般人はそんなツッコミしないよ。どんな人を想定してるんですか？
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:28:39 ]
- もし聞かれたら「このスレ嫁」だなｗ
- 498 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 11:16:40 ]
- >>483
＞ｎを無限にしなくて発散する
ってどういうこと？ちょっと意味がわからない。
＞本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている
そりゃあ本来の>>1の問題じゃなくて、>>479の
＞一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
という錯覚の原因として、個人的に考えた・感じた意見を書いただけだからなあ。
錯覚の原因が本当にそうかどうかは、もはや数学の分野の問題じゃないから
意味がないといわれれば確かに意味はない。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 13:56:17 ]
- 引用部分の意味がわからなくてもいいから
とにかく期待値が無限になる式を例示してくれ
- 500 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 19:44:49 ]
- >>478で
＞ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか
って気づいてるのに、説明する意味あるの？
>>487を少しいじって
１)３円用意する。
２)コインを投げ、表が出たら 用意した金額を金額比が1:2になるように２つ封筒に入れる。
裏が出たら用意する金額を２倍に増やす。表がでるまで手順２)を繰り返す。
３)２つ封筒のうち、どちらか一方を等確率に選んで受け取る。
という設定で、封筒を開ける前の受け取った金額の期待値を考えても
基本的には同じ。それとも封筒を開けた後の金額の期待値と混同してる？
>>482の確率分布で計算すると
最初に受け取った封筒の金額が
5000円である確率＝(1/2)*(1/100)=1/200
5000*2^k円である確率(k=1,2,…)
＝(1/2)*(99^(k-1))/(100^k)+(1/2)*(99^k)/(100^(k+1))=(199/20000)*(99/100)^(k-1)
となっているので、全てのk(=0,1,2,…)で
0<(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)<1
Σ_[0,∞]{(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)}=１
となっている。
封筒を開ける前の金額の期待値の式は
5000*(1/200)+Σ_[1,∞]{(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)}で
全てのk(=1,2,…)に対して
(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)=(199/2)*(198/100)^(k-1)>1
であるから、封筒を開ける前の金額の期待値の式は(絶対)収束せず
正の無限大に発散する。
- 501 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 19:56:54 ]
- しかし、>>484の答えで終わりにするなら、こんな問題考える必要ないよね？
封筒二つとかまったく答えに関係ないし。
確率分布がわからないから分からないって答えは、正しくはあるけど、
もっともこの問題の主旨から外れた答えだとおもうが。
まぁそれで満足する人がいるならそれで良いけど。
私は、分からないって答えも押さえた上で、>>489の仮定のもとでも考える
べきだと思うが。
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 20:25:09 ]
- >>501
なんだか、いかにも気に入らないふうな書き方ですね。
同じところをグルグル回るのは止めよう、必要なら明示的に条件追加したらって考えだけど。
>>489の仮定だって、上限がないと発散するで決着ついたと思ったけど違うのかな。
- 503 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:12:26 ]
- うん。>>484は気にいらないよ。
そこまでで考えを止めるなら、問題の価値なんてほとんど無いからね。
- 504 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:34:50 ]
- >>501
なにかしら確率分布を仮定した時点で>>1とは別の問題になるんじゃないの？
>>1とは別の問題を考えること自体は非難しない(私も条件を追加したりして>>1とは別の問題を考えている)けど
勝手に(ありえない)確率分布を仮定しときながら「この問題の本質は
ありえない分布を仮定して考えてしまうことだ！」と言ったり
「他の分布を仮定したら、まったくの別問題だ！」
という主張は、ちょっと私には受け入れられない。
- 505 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:57:02 ]
- たとえば「実は入れた人は10000円以上持ってなくて10000円20000円の確率0と仮定すると、
交換しないほうが得です。」ってのはこの問題の本質を離れすぎだと思う。
「必ず他方の金額が二倍の確率が1/2とすると、、、」という仮定は、
問題文を離れすぎていないし、普通に考える疑問だと思う。
もちろん主観的な意見だが。
それと一つ疑問なのは、２つの封筒問題とは普通>>1よりもう少し問題文が長いと思うが、
それらを考慮しないで、純粋に>>1だけを問題として考えるのがこのスレの立場なのか？
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 22:09:02 ]
- 分布によって面白い性質があるにしろ、それは分布別に考えればいいことじゃないか
と自分は思うけど、240さんはそれでは満足できないんだね。
その部分にどんな面白さを240さんが感じているのかは自分には理解できない。
- 507 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 22:21:19 ]
- >それは分布別に考えればいいことじゃないか
そりゃそうだよ。しかし、>>505の冒頭の答えだけで解けたことにするのは納得いかないだろ？
それと、通常この問題は、>>1の後に
「もしこの考察が正しいなら、他の金額の場合も同様に1.25倍になる、
金額によらず1.25倍になるなら、金額を見なくても、交換するだけで1.25倍になる、、、」
と続く。だから、>>505三行目の仮定を私は考えているのだが。
- 508 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 22:44:30 ]
- それと私は、
「確率分布を、、、とする」というように一意には仮定していないよ。
あくまでも、問題文の続きを考慮して、「>>505三行目を満たす確率分布とする」
というように分布の性質を仮定しているだけで。
- 509 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 01:44:36 ]
- 読み返すと>>495に対する>>496は誤解されているような気がするな。
>>495で言いたかったのは、
「分布不明だからわからない」
に対して、
「えっ、でももし確率1/2なら12500円じゃないの？」
ってこと。一般人もそう考えると思う。問題文にもそう書いてある訳だし。
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 03:11:20 ]
- この問題、俺の中では完全解決してるんだけど
今は何で揉めてるの？
まあそれをまとめるのが数学と言うものか。
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 06:34:28 ]
- >>500
式をかいてくれてありがとう
＞＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
＞この時点で破綻してるけど
の確認ができたし
>>474のパラドックスがパラドックスになってないこともわかった
それとも１+１＝３という偽の命題でも
扱ってる人間が理解してなくて偽と気付きにくいなら
何でもパラドックスと読んでいいのかな
|
 |
