- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 22:01:19 ]
- >>808
OA=(a1,a2)、OB=(b1,b2)とおいて写像fを求めるのはいいと思う？
どっちにしろ(|PA|^2)+(|PB|^2)=|OA-OB|^2、(PA↑)*(PB↑)=0だけじゃ
Qを求めたところで詰む
- 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 03:09:16 ]
- >>805-807
まとめると
S(a) = (1/6)a^3 + (1/2){a - (√a)arctan(√a)},
= (1/6)a^2 + (1/15)a^3 + (1/14)a^4 - (1/18)a^5 + ……
だが。
- 811 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/06(火) 00:51:05 ]
- f(x) がx＝0 の近くで定義された関数とするとき，
次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ．
(1) 極限値 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(2) (1) の逆命題
(3) 極限 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(4) (3) の逆命題
ただし，
極限 lim[x→0]f(x) が存在
⇔ 極限値 lim[x→0]f(x) が存在，または lim[x→0]f(x)＝∞，または lim[x→0]f(x)＝－∞
とする．
- 812 名前：811 mailto:sage [2009/10/06(火) 00:58:22 ]
- 訂正．
f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき，
次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ．
(1) 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(2) (1) の逆命題
(3) 極限 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(4) (3) の逆命題
ただし，
極限 lim[x→0]f’(x) が存在
⇔ 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在，または lim[x→0]f’(x)＝∞，または lim[x→0]f’(x)＝－∞
とする．
- 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 00:58:56 ]
- >>811
何これ？反例ならf(x)=|x|でしょ。
逆とかは微分可能であれば連続だからおｋ。
- 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 01:35:53 ]
- (1)
(f(h)-f(0))/h=f'(ξ) （ξ：0とhの間、平均値の定理）
より、f'(0)=lim[x→0]f'(x)･･･(*)
(2)f(x)=x^2sin(1/x) （x≠0），0 （x=0） が反例。
(3)基本的に(1)と同じ。f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし、
認めなければ成り立たない。((*)は常に成り立つ。)
(4)(2)が反例。
- 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 07:06:07 ]
- >>814
(3)でにおいて f’(0) は実数なので，±∞まで認める事はない．
認めないと，証明は自明ではない．
(*)はいつも成り立つとあるが，成り立つのは f’(x) が x＝0 で連続のときだけ．
- 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 07:11:32 ]
- また，(1) で f’(0)=lim[x→0]f’(x) とあるが，これは
f’(0)=lim[h→0]f’(ξ) で lim[x→0]f’(x) が存在するので，
結果的に f’(0)=lim[h→0]f’(ξ)=lim[x→0]f’(x) となる事を明記しないと，
あらかじめ f’(0)=lim[x→0]f’(x) となる印象を受ける．
- 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 08:40:48 ]
- >>812に追加．
(5) f’(0) が存在 ⇒ f’(x) が有界 ( |f’(x)|≦M )
- 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 13:12:00 ]
- >>814
＞f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし
これは間違い。
- 819 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/06(火) 13:43:38 ]
- 自然数Nにたいして、F(N)=10^Nで定める.
(1)F(N)-1が２００９で割り切れるような自然数Nをすべて求めよ.
(2)Mが７以上の整数のとき、a^2009+b^2009=c^f(M!) をみたす自然数の組（a,b,c)は無限に存在することを示せ.
- 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 17:17:35 ]
- × 無限に存在する
◎ 無数に存在する
- 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 21:17:01 ]
- >>816
書き方が悪かったのか？
(1)は極限の定義よりlim[h→0]f'(ξ)=lim[x→0]f'(x)は(lim[x→0]f'(x)が存在すれば)明らかだ。
(3)は
(f(h)-f(0))/h=f'(ξ)
なんだから、lim[x→0]f'(x)=∞のときは
∀K＞0に対して∃δ＞0 s.t. |x|＜δ⇒f'(x)＞Kが成り立っている。
このKに対して、|h|＜δを任意に取れば、0＜|ξ|＜|h|よりf'(ξ)＞K
すなわち|h|＜δ⇒(f(h)-f(0))/h＞K
これよりlim[h→0](f(h)-f(0))/h=∞である。よってf'(0)は存在しない。-∞も同様。
(1)より、lim[x→0]f'(x)∈Rのときは成り立つ。
これで問題ないんじゃない？
ちょっと書き方悪いけど、収束とf'の値に±∞まで許せば
f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x)
は常に正しいと書いた。
(3)の反例としては、f(x)=√x （x≧0），-√(-x) （x＜0）
- 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 21:49:30 ]
- >>821
物理屋じゃないんだから，f'(0)＝∞ はないだろ．
lim[x→0]f(x)＝∞ の「＝」は形式的に書いているだけで，本来の意味の等号ではない．
∞ を実数とすれば実数の公理から矛盾が出る．
- 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 21:57:05 ]
- >>822
だから書き方が悪かったって。お前の言うとおり形式的といえばそうなるな。
でも間違ってはないだろ？
てか測度論・ルベーグ積分論では可測関数の値域に±∞を認めて議論するのが普通じゃないか。
- 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 22:39:15 ]
- 無限遠点を加えて議論した方がすっきりするしな
- 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 00:08:58 ]
- そんないい訳では f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x)
の二つの「＝」の説明はつかないぞ。値域云々じゃなくて「表記」の問題。
δ関数も本当の関数だと言ってるようなものだよ。
しかもここは工房相手の作問スレ。
- 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 00:14:40 ]
- そもそもあれは工房向けの問題じゃないしな
- 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 00:52:01 ]
- >>721-722
少し発展させた次の問題なら、東大入試程度になるかな？
問：与えられた実数a,bについて、直線l: y=ax+b を定める。
l上のすべての格子点(座標が整数である点)が、x座標・y座標ともに素数であるとき、
aは無理数であることを示せ。
- 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 01:04:05 ]
- >>819
(1) 根性で1/49の循環節が42であることを求め、1/41の循環節が5であることとあわせて
1/2009の循環節は42*5=210、よってN=210n (nは自然数)という結果が出たが…
(2)は皆目見当がつきません。
- 829 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/07(水) 02:20:32 ]
- >>828
(2)の問題は、以前出した>>698の応用。
(1)
1/41の循環節が５であることはすぐ分かる.
ここで、各桁が１である、m桁の自然数をf(m)と書くことにしよう.
たとえば、f(4)=1111である.
f(m+1)=10f(m)+1であることから、f(m)が７で割り切れるようなmは6の倍数であることがすぐにわかる.
よって、f(m)が４９で割り切れるのも、mが６の倍数のときである.
f(6m+6)=1000000・f(6m)+111111
≡8・f(6m)+28 (mod49)
で、f(6)≡28(mod49)から
計算していくと、
f(12)≡7(mod49)
f(18)≡-14(mod49)
f(24)≡14(mod49)
f(30)≡42(mod49)
f(36)≡21(mod49)
f(42)≡0(mod49)
よって、1/49の循環節は42である.
以上より、N=210n（nは自然数）
(2)
(1)により、M!は210の倍数であることから,f(M!)-1は２００９で割り切れる.
したがって、(f(M!)-1)/2009=Zとおけば、Zは整数である.
a=x・(x^2009+y^2009)^Z
b=y・(x^2009+y^2009)^Z
とおくと、正の整数（x,y）の組は無数に存在するから、(a,b)の組も無数にあると考えてよい.
a^2009+b^2009=(x^2009+y^2009)^f(M!)=c^f(M!)
∴c=x^2009+y^2009
- 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 12:20:07 ]
- >>817は真っぽいでけど証明ができない．
- 831 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/07(水) 17:18:01 ]
- >>830
偽っぽいでけど反例が思いつかない
- 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 17:59:11 ]
- >>830
反例：f(x)=tanx
- 833 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/07(水) 21:20:31 ]
- 大学入試史上、最も難しかった数学問題を教えてください。
- 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 21:23:03 ]
- >>832
お前は何を言っているんだ
- 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 21:56:08 ]
- >>831
x^(3/2) sin(1/x) だとどうかな。
- 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 21:58:06 ]
- >>834
f(x)=tanxは微分可能でf’(x)=1+(tanx)^2、f’(0)=1だが
f’(x)は有界でない
- 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:30:32 ]
- >>836
池沼は黙ってろｗ
- 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:42:15 ]
- >>835
惜しいが関数が x＞0 で定義できない
[5]√(x)^4 sin(1/x) とかでFA
- 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:54:01 ]
- × 惜しいが関数が x＞0 で定義できない
○ 惜しいが関数が x＜0 で定義できない
- 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:54:37 ]
- >>837
俺何か見落としてる？マジでどこがいけないのか分からない教えろ
いや、教えてくださいお願いします。
- 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:57:42 ]
- >>826
工房向けでない可能性があるのは (3) だけ。
やっぱ (3) はε-δ論法無しでは無理なんだろうか？
- 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:59:10 ]
- >>840
＞f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき，
- 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:01:46 ]
- f(x)=tan(x) がx＝0 を含む開区間(-π/2,π/2)で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき，
- 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:03:31 ]
- >>842
f(x)=tanxは開区間(-π/2,π/2)で連続で、(-π/2,π/2)-{0}でf’(x)は存在するけど？
え？マジでどういうこと？
- 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:29:43 ]
- 2曲線 x^2/4＋y^2＝1，x^2＋(y－t)^2/4＝1 が共有点を持つ t の必要十分条件を t∈[a，b] とする．
その共有点の x 座標は最大４個あり，それらを重複を含めて a(t)，b(t)，c(t)，d(t) ．．．① とする．
その4つの関数 ① が，任意の t∈[a，b] において不連続となる必要十分条件を求めよ．
- 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:40:08 ]
- で、どうなんだ？>>837,842よ
俺を池沼呼ばわりしたんだから
それなりの根拠があるんだろ？
- 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:41:42 ]
- × 任意の t∈[a，b] において不連続となる
○ 任意の t∈[a，b] において不連続と成りうる
- 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:46:54 ]
- >>846
x＝0 を含む “任意の” 開区間での反例を示さないと意味をなさないだろ。
- 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:48:22 ]
- >>846
馬鹿は黙ってろ
- 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:53:49 ]
- 数学では、いや、数学でこそ、馬鹿は免罪符にはならない。
- 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:01:16 ]
- × 任意の t∈[a，b] において不連続となる必要十分条件を求めよ
○ t∈[c，d] ⊂ [a，b] なる任意の t∈[c，d] において不連続となる必要十分条件を c，d を用いて表せ
もうわけワカメ
- 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:03:02 ]
- >>848
>>812の問題文が
f(x) がx＝0 を含む任意の開区間で連続で，
と書いてあればその主張は受け入れられるがそうではないだろ。
さらに任意のx=0を含む開区間で連続であることとR上連続であることは同値、
x=0を含む任意の開区間でx≠0で微分可能であることとR-{0}で微分可能であることは同値。
したがって、>>812が「任意の開区間」という意味で「開区間」と書いたとは考えにくい。
以上より、>>848は認められない。
- 853 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/08(木) 00:05:31 ]
- 100100010101は素数か.
- 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:07:35 ]
- >>852
それは題意を曲解した場合。
もしそう曲解した場合問題はとるに足らない。
題意を善意に解釈した場合，>>835>>838と答えるのが普通。
- 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:11:48 ]
- >>852
頭悪いんだなお前って・・・
- 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:19:17 ]
- >>854
ほう、そうか。善意の解釈ね。
>>855
そうだよ。だから訊いてるんだよ。
具体的に俺のどういった部分がそう思わせているのか提示してくれ。
俺はこれまで別に間違ったことは書いてないはずだが。
- 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:20:04 ]
- 題意をはっきりさせない出題者が一番悪い
実数全体で連続って言えば明解だろうに
- 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:38:07 ]
- もし曲解した場合、星の数ほどある取るに足らない反例の一つを
鬼の首を取ったみたいに書き込んだ行為が反感を呼んだ。
- 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:41:46 ]
- >>857
仮定は弱く、結論は強くが普通の考え。
そういう捻くれものには“x＝0 を含む閉区間”と書けば良かったのだろう。
でも常識的に考えれば何を問うてｲﾙｶは自明。
tan x は頂けない。
- 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:43:13 ]
- お前の言うように題意を取ったら中学生でも判例作れるだろ。
みんながそうしてないのはなぜか空気を読め。
- 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:55:11 ]
- でもやっぱり「任意の」は省いてはイカン
- 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:55:37 ]
- >>857
そうだよね。分かってくれるやつが一人でもいてよかったよ。
f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，
って書かれたら、fの定義域の宣言とそこでは連続だという言及くらいに取るのが普通だと俺は思うんだ。
でも今日ので俺の思い込みだったことが判明した。
>>858
曲解したわけではないんだよ。
素でそう思ってたんだよ。
曲解するにはそうしようとする意志がいるだろ。
だからこれでいいじゃんくらいの気分で書いただけ。
>>860
しかし、必要十分でより簡潔な表現があるのに何故そちらを使わなかったのかに疑問が残る。
それならば俺も間違って解釈することはなかった。
俺が善意に問題を解釈できなかったとはいえ、
このスレで俺という解釈間違いを起こした者がいる以上、
本試験で出せばある程度の人数が間違う勘定になると思われる。
- 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:56:03 ]
- 消防の会話のAがおまい
A 「日曜日は学校はあるか？」
B 「ないよ」
A ｢学校自体はあるだろw｣
B 「何それ？」
- 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:58:34 ]
- >>857だけどお前の曲解は稀だし、お前はウザイ
- 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:58:47 ]
- ＞曲解するにはそうしようとする意志がいるだろ。
そんな事はないよ。素で思ってこそ曲解。
- 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:01:09 ]
- >>865
広辞苑には
相手の言動・心中を、素直でなくわざと曲げて解釈すること。
とあるが・・・
- 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:01:57 ]
- 昔，青ﾁｬｰﾄでこんな問題があったのを思い出した。
「砂糖は甘い」の否定命題を作れと。
- 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:03:23 ]
- >>867
甘くない砂糖が存在する
- 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:07:24 ]
- >>868
そうそう。
「(すべての)砂糖は甘い」の「すべて」が省略されている。
厳密な数学においても、混乱の恐れがないない場合は許される事が多いが、
読者を選ぶのは言うまでもない。
- 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:08:55 ]
- >>867
「砂糖は甘い」は命題にすらなってない
- 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:12:23 ]
- もうひとつ数セミの記事を思い出した。
大森英樹先生だっけかな。
星が無限個あるとする。
「殆どすべての星は赤い」の否定命題を作れ。
ただし，「殆どすべて」とは「有限個の例外を除いて」の意味とする。
- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:14:20 ]
- >>870
そういう人がいると思ったよ。
>>869を参照しる。
- 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:16:08 ]
- 甘いってのは主観的じゃん、人によって判断が異なるじゃん
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:18:22 ]
- >>871
赤くない星が無限個存在する
- 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:19:29 ]
- >>873
そう思う。
- 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:20:00 ]
- >>817
ｆ（ｘ）＝ｘ＾２。
- 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:20:19 ]
- そうだ！kingに聞こう
- 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:22:51 ]
- だから“混乱”する人が少数いるのは想定済み。
でも少し考えれば，何を問うているかは自明だろう。
- 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:24:21 ]
- >>874
正解。
これは無限を理解しているかどうかのﾘﾄﾏｽ試験紙になるらしい。
- 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:25:49 ]
- 人間には2種類ある。
>>863のAとBだ。
おまいはどっちだ？
- 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:26:29 ]
- しかし，tanx はいただナイト
- 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:28:46 ]
- >>880
どっちでもないよ
俺はお茶を飲みすぎた変態紳士なのだから
- 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:31:26 ]
- >>881
ごめんなさい。
- 884 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/08(木) 01:32:21 ]
- >>882
お茶の水博士なのか？
それは失敬した。
- 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:36:18 ]
- >>876はｳｨｯﾄに富んだｱﾝﾁﾃｰｾﾞだな。
- 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:43:10 ]
- >>884
ティータイムはどんな作業も中断します
- 887 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/10/08(木) 06:42:33 ]
- Reply:>>877 この世ではファジー曲線と呼ばれるものがある。
- 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 11:14:56 ]
- >>887
荒らすな。
- 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/10(土) 21:56:42 ]
- 当たりくじ付きの棒アイスがあり，この棒アイスを1本買ったときの「アタリ」の出る確率は
p （0＜p＜1）である．この棒アイスは，「アタリ」5本で新しい棒アイス1本と交換できる．
初めてこの棒アイスを買い始めてから，「アタリ」が5本出るまでに買わなければならない
棒アイスの本数の期待値を求めよ．
- 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/10(土) 23:01:23 ]
- kを正の定数とする
漸化式 a_(n+1)=|a_n(a_n-k)|+1 で定まる数列について以下の問いに答えよ
(1)数列{a_n}が発散する初期値a_1の必要十分条件を求め
それを示せ
(2)数列{a_n}が収束する初期値a_1の必要十分条件を求め
その極限値を求めよ
- 891 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 01:45:14 ]
- (k-1)x^2+ky^2-xy＝０をみたす０でない実数x,yが存在するような実数kの値の範囲を求めよ.
- 892 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 06:55:20 ]
- (1-√2)/2≦k≦(1+√2)/2
- 893 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 09:15:48 ]
- 円錐の底面の円周上の点Aを出発し, 側面を一周して
Aに戻る道のりで, 最も短い道をαとする. 曲線αは
空間内のある1つの平面上に存在するか？
理由も答えよ.
- 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 16:47:59 ]
- >>890
ありきたりだがちょとむず杉
- 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 19:44:08 ]
- >>891
とりあえず対角化だな。
k の掛かった項は x^2 +y^2 だから、回転の影響はないだろう。
そこで軸を回して 残りの -x^2 -xy を対角化しよう。
軸を π/8 (=22.5ﾟ) 回して、
(1/2)(√(2+√2))･x + (1/2)(√(2-√2))･y = u,
(1/2)(√(2-√2))･x - (1/2)(√(2+√2))･y = v,
とおくと、
(左辺) = {k - (√2 +1)/2}u^2 + {k + (√2 -1)/2}v^2,
原点が極値でない（鞍馬点・峠点である）条件は、2つの係数の符号が異なること。
∴ {k - (√2 +1)/2}{k + (√2 -1)/2} ≦ 0, >>892
- 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 20:16:59 ]
- >>891
固有値だけ分かればいいなら、固有多項式
| k-1-λ, -1/2 |
| -1/2, k-λ|
= (k-1-λ)(k-λ) - 1/4
= (k -1/2 -λ)^2 - 1/2,
から
λ = k - (1±√2)/2,
- 897 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 21:57:50 ]
- ここに問題を書きこんだが、Easyのほうは宮廷入試としては中の下くらいだろう。
Extremely Hardのほうは1990年数学オリンピック問題3の超難問。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1047608164/399
- 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 22:02:32 ]
- >>897
easyの方、位数の活用無しに解けるか？
- 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 22:30:00 ]
- (1+1)^n+1=3+an.
- 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 22:39:11 ]
- なるほど
- 901 名前：Queen ◆xeS.CIM.Jk mailto:sage [2009/10/12(月) 01:49:50 ]
-
nを自然数とする。
(1)
３つの数 n、n+1、n+2の積は６の倍数であることを示せ。
(2)
３つの数 n、n+2、n+4が全て素数であるようなnを全て求めよ。
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 07:23:45 ]
- >>901
(1)厨房問題
(2)は未解決問題
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 08:26:33 ]
- n=1、2のときは条件を満たさない。
n=3とする。
3、5、7はすべて素数であるから、n=3は条件を満たす。
n≧4の時を考える。mは自然数でm≧2として、
n=3mのとき、nは3の倍数なのでダメ。
n=3m+1のとき、n+2=3m+3は3の倍数なのでダメ。
n=3m+2のとき、n+4=3m+6は3の倍数なのでダメ。
よって、n、n+2、n+4がすべて素数となるのはn=3のときのみ。
やった！未解決問題を解決した！
- 904 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 09:15:03 ]
- ↑ジャムパン買ってこいよ
- 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 09:24:27 ]
- 俺は定番だがﾒﾛﾝﾊﾟﾝな
- 906 名前：猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 mailto:age [2009/10/12(月) 09:34:10 ]
- ワシもﾒﾛﾝﾊﾟﾝが大好きやねん。
猫
- 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 09:54:35 ]
- 予め未解決問題であることを示した上で、
どこまで思考出来るのかを試すって形式なら出題出来ない事も無いかも
- 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 10:58:04 ]
- >>902
未解決は双子の場合だろ
三つ子が3,5,7の組だけってのは有名
- 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 11:01:10 ]
- nとn+2とn+4のどれかは3の倍数なのに
未解決問題ってｗ
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