★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 過去ログは>>2以降 720 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 20:02:57 ] >> 713 正解 721 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 20:15:19 ] 次のような自然数の組(a,b)は存在しないことを示せ。 ※全ての自然数pに対してap+bが素数となる。 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:27:18 ] >>721 b≠1 なら、p=b のときに ap+b = ab+b = b(a+1) は合成数。 b＝1 なら、p=a+2 のときに ap+b = a^2 + 2a + 1 =(a+1)^2 は合成数。 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:43:02 ] >>722 30点ぐらいかな 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:45:27 ] 東大数学は1問20点です。 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:47:26 ] >>716 そういう関数fがあれば、集合｛f(x)：x∈[a,b]｝（これは幅をもった区間になる。） に属する各無理数zに対し、中間値の定理によって、f(c)=zとなるc∈[a,b]が存在して このcは有理数。すると　z|→cなる単射が作れたことになる。 さあ、高校数学の範囲でこの先矛盾を導けるのか？ 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 22:29:27 ] >>658 〔類題〕 　g(X) = (2^X - X^2)/{[2^X - e^(-2W(log(2)/2))](2-X)(4-X)}　 とおくとき、 次を示せ。 　2^X ≠ X^2　⇒　0 < g(X) < e^{2W(log(2)/2)} = 1.70133199790････ 727 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 22:54:44 ] Wて？ 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 23:56:15 ] >>725 以下背理法による略解 ある[a,b]で題意の関数fが存在したとする a＜c＜d＜b なる有理数 c,dが存在 [c,d]で m＜f(x)＜M なる有理数m,Mが存在 g(x)＝(M−m)(x-c)/(d−c)＋m−f(x)とおく 中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0 729 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:19:56 ] >>707 x≠0 のとき (f(x)/x)'＋f(0)/(x^2)＝6 微分方程式みたいなもん。 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:28:22 ] >>728 よく思いつくな 731 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:28:44 ] >>721 p＝a(a+2) 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:30:53 ] >>730 有理数係数の1次関数がf(x)を横切れば矛盾が出るという単純な発想を 数式化しただけ 733 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:33:28 ] >>729 よくわからん 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:34:51 ] >>732 その発想が上手いと思った 今日は良い夢が見れそうだ 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:38:58 ] >>734 ここであまり誉めらえる事はないんで有り難う 736 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:40:41 ] >>733 >>685において a=0，b=x とおいて両辺をxで微分して整理 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:43:35 ] >>736 なるほど、変数とみて微分するとは気付かなかったｻﾝｸｽ 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:47:54 ] >>728 細かいが訂正 × 中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0 ○ 中間値の定理よりあるα∈(c,d)があって，g(α)＝0 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 01:34:21 ] >>728 ほう なるほどな 褒美にメロンパンをやろう つ（＃） 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 01:39:16 ] 上半期一番の作問だね。 年度賞の第一候補。 741 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 08:32:37 ] それはない 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 08:34:46 ] これは有名問題だから作問とは言えないね・・・ 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 08:40:02 ] 上半期？ 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 08:58:50 ] Oを原点とする座標平面上に、相異なる2点A,Bがある。 A,BはいずれもOと異なるものとし、O,A,Bは一直線上にはないとせよ。 1次変換fは、f(OA↑)=2*OB↑，f(OB↑)=3*OA↑を満たすという。 線分ABを直径とする円上の動点Pをfによって写した点をQとすると、 動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 17:46:38 ] >>742 あまり見た事ないけど。 解法も有名なやつ？ 746 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 22:07:35 ] (1) ∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ (2) π=lim(n→∞)4*Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)を証明せよ (3) e=lim(n→∞)2^(Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/k)を証明せよ 747 名前：ゆう [2009/09/25(金) 22:10:22 ] ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分解せよ 748 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 23:10:43 ] >>746訂正 nは非負整数 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 02:39:21 ] ∫[0,1](sinθ-√(x^2-1))dxをθを用いて表せ。 750 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 03:25:13 ] √(x^2-1)が虚数になるんだが 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 03:45:29 ] >>746 (1) 　tan(x)^n･{tan(x)^2 + 1} = tan(x)^n / cos(x)^2 = tan(x)^n {tan(x)} ', ∴　(与式) = ∫[0,π/4] tan(x)^n･{tan(x)} 'dx 　　= [ (1/(n+1))tan(x)^(n+1) ](x=0〜π/4) 　　= 1/(n+1), (2)　 　(右辺) = 4Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1) = 4Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)/(2k-1) x^(2k-1) ](x=0,1) 　　= 4Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx 　　= 4∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx 　　= 4∫[0,1] {1 + (-1)^(n-1)･x^(2n)}/(1+x^2) dx 　　→ 4∫[0,1] 1/(1+x^2) dx　　　　　　　　　　　　　　(n→∞) 　　= 4[ arctan(x) ](x=0〜1) 　　= π, (3) 　Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･(1/k) = - Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)･(1/k)x^k ](x=0,1) 　　= Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx 　　= ∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx 　　= ∫[0,1] {1 - (-x)^n}/(1+x) dx 　　→　∫[0,1] 1/(1+x) dx 　　= [ log(1+x) ](x=0〜1) 　　= log(2), ∴　lim(n→∞) e^{Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) 1/k} = 2, 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 06:19:48 ] >>496-497って直感的には明らかだが論証がめんどくさい。 この事実を公式的に扱えば、例えば、2008年の6番は増減を調べる必要はなく簡単。 ttp://www.densu.jp/tokyo/08tokyosprob.pdf 753 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 11:34:04 ] >>751 そういう方法もあるのか〜 一応(1)使う方針は S_n=∫(0→π/4)(tanx)^ndxとおくと(1)よりS_(n+2)+S_n=1/(n+1)…�@ (2)nが偶数の時 S_0=∫(0→π/4)dx=π/4 �@より π/4=1-1/3+1/5…1/(n-1)(+-S_n) =Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1) +-S_n n→∞でS_n→0より(∵0≦x＜π/4においてtanx→0) π=4Σ[k=1,∞](-1)^(k+1)/(2k-1)が示される (3)はnが奇数の時を考えたら方針は同じです 754 名前：ゆう [2009/09/26(土) 21:25:52 ] ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分数せよ 755 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 22:07:19 ] >>754 方程式を因数分解とか死んだ方がいいよ 756 名前：ゆう [2009/09/26(土) 22:29:02 ] もう他のところでおしえてもらったんでいいです! 757 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 22:34:35 ] 無限に対するあなたの考えを4000字以内で示せ 758 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 22:36:12 ] A 無限は無限だと思います。 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 23:15:42 ] 無限って、何？ 760 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 23:41:11 ] 無毛 761 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 00:40:23 ] >>755 yはxの関数ってことだろ。 =が入ってれば何でもかんでも方程式って… 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 00:44:24 ] 2元方程式でしょ。 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 00:45:50 ] >>761 764 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 01:00:43 ] 683 名無しさんと大人の出会い 2009/09/26(土) 23:35:56 ID:/v9Anlx90 ラメ入りいうてもヒラヒラついてる V系のコがきてそうな奴やで？ なんやアソコまでバラバラやとティバッグはいてても 紐にウンコついてそうやからスル〜したぞ！！ 前見た時はポッチャリしてたんやけど？スリムなってすぐって こんなんやろか？普通だれもいらんで！ 765 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 02:08:56 ] 451はどうやるの？ 解いた人いないかしら。 766 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 02:30:52 ] スレが進むごとに東大入試に適さない出題が増えている気がする。 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 03:53:53 ] >>759 もちろん、HONDA | 無限 MUGEN　だが。 www.mugen-power.com/index.html www.youtube.com/watch?v=dHKYSKpbknA 01:32 FORZA Z www.youtube.com/watch?v=KN-4O_yPCgY 03:21 INSIGHT 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 03:58:19 ] >>757 　2000年にBARと組んで復帰したホンダは、シーズンが始まるとすぐに同スペックのエンジンをジョーダンに供給するという形になった。 　そうなっては無限はただホンダエンジンのメンテナンスのためにいるようなモノで、そんな活動に意味はないだろうと考えて当然だった。 　結果的にはホンダ本社が無限をF1から追い出し、身内同士の醜い争いという結果になった(?)のは残念で仕方ない。 　　中ry) 　F1参戦を目標にマシン開発を行っていた童夢、そのマシンには無限のV10エンジンが搭載されていた。 　マシンそのものはそこそこの完成度を誇っていたように見え、雑誌などでスポンサーとなる企業などを募っていたし、ワコールなどはそれに名乗りを上げていた。 　　中ry) 　ホンダや無限と深い関係にあった童夢だけにもしかしたらホンダや無限と組んでF1に参戦するのではという噂もあった。 　実現したらすごい事ではあったが所詮は噂にすぎなかったようだ。 　トヨタのフルワークス参戦というのも確かにすごく魅力的だけど、ホンダ、無限、童夢、BSの4社が団結した日本連合軍のF1参戦というものが実現していたら、それはF1にとっても新鮮な事であり、日本のレース界にとっても大きな意味があったはずなのだがね。 www5f.biglobe.ne.jp/~f1gp/mugen.htm 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 04:08:15 ] >>761 因数分解するのは函数じゃなくて多項式。 >>754 因数分数って何。 770 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 14:15:21 ] >>768 考えというかただの感想じゃん 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 15:14:54 ] >>757 あなたが無限(むげん)を無碍(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、 間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無碍にする事は出来ません。 無碍に　… 思った通りに あなたが無限(むげん)を無下(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、 間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無下にする事は出来ません。 無下にする … それより下はない事をする。 お話にならないことをする。 772 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 18:18:06 ] 《問題》 体積の等しい立方体と球がある。 この立方体と球を動かして、立方体のなるべく多くの辺が球の内部と共通点をもつようにしたい。 最大何個の辺が共通点を持つようにできるか。 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 21:13:28 ] 感覚的には、球が立方体の辺を透過して移動できるというのは無理がある。 774 名前：765 mailto:sage [2009/09/28(月) 01:07:31 ] 少し前の春分の日の棒の影の問題、√6/3でしょうか。 解いて欲しそうだったので解いてみました。 >>451さん、解答を教えてもらえませんか。 775 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 04:30:24 ] >>772 5? 776 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 14:05:43 ] 【問】 y=e^xを原点中心にθ回転させたグラフがy=f(x)のようにyがxの関数として表されるためのθの条件を求めよ 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 15:45:18 ] >>776 　y･cosθ - x･sinθ = e^(x･cosθ + y･sinθ) 　　　　　= e^(x/cosθ + (y･cosθ - x･sinθ)tanθ), 　-(y･cosθ- x･sinθ)tanθ･e^(-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ) = -tanθ･e^(x/cosθ), 　-tanθ･e^(x/cosθ) ≧ -1/e すなわち x/cosθ ≦ -1 -log(tanθ) に対してyが存在し、 　-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ = W(-tanθ･e^(x/cosθ)), W は Lambert-W函数。 　y = x･tanθ -(1/sinθ)W(-tanθ･e^(x/cosθ)), と表わされるが.... 778 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 16:54:39 ] >>777 関数はyがxにより一意的に定まるものだから常識的に考えて全範囲はあり得ないはず 【問】 (2)y=f(x)を原点中心にθ回転させた時にできるグラフは任意のθについてyがxの関数としてy=g(x)のように表せるf(x)は存在しないことを示せ 779 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 17:26:36 ] △ABCをその重心を通る直線で2つの部分に分ける。 このとき､小さい方の面積が最小となるのはいつか。 780 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 22:44:58 ] >>779 AB↑=b↑ ,AC↑=c↑ 重心を通る直線がAB、AC(端点含む)を通るとしそれぞれの交点をP、Qとする AP↑=p*b↑,AQ↑=q*c↑とし(1/2≦p≦1,1/2≦q≦1) 重心をsp*b↑+(1-s)q*c↑とすると b↑,c↑が一次独立なので sp=(1-s)q=1/3 p≠0,q≠0なので 1/p+1/q=3 相加相乗より pq≧4/9 等号はp=q=2/3で成立 すなわち…(略) 駅弁レベルだとリアルに出るかもね 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/29(火) 02:12:19 ] >>778の補足 f(x)は連続で、全実数xにたいして定義される関数 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/29(火) 22:09:39 ] >>772 大阪大学乙 783 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/29(火) 22:26:57 ] >>782　その通り　なかなか良問ですよね　これ 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 00:14:40 ] 動点Pを(t-a,(t-a)^2),動点Qを(0,t)で定める. a>0のとき、tを0≦t≦aの範囲で動かす.線分PQの通過する領域の面積S(a)を求めよ. 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/01(木) 22:11:34 ] 数列｛a(n)｝を次のように定める. a(1)=1 a(n)=［√a(n-1)］^2+k このとき、どのような自然数kについても、a(m+1)=a(m+2)　となるような自然数mが存在することを示せ. 簡単過ぎ？ 786 名前：785 [2009/10/01(木) 22:12:30 ] ちなみに、［x］はxを超えない最大の整数を表す. 787 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/01(木) 23:38:17 ] >>785 √a(n-1)のルートはn-1の部分にまでかかっているわけ？ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 00:00:12 ] >>787 それa_(n-1)だと思うぞ 文脈からして 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 00:25:40 ] >>784 まづ、線分PQが通過する領域を求める。 直線群PQ を F(t;x,y) = 0 とおく。 　F(t;x,y) = {(a-t)^2 -t}x + (a-t)(y-t) 　　　　　= (x+1)t^2 -{a(x+1) + (ax+y) + x}t + a(ax+y), その包絡線は、 　F(t) =0, (∂F/∂t) =0　 からtを消去したものであり、F(t) =0 が重根をもつ条件である。 本問では F(t) は2次式だから、判別式を使って 　D(x,y) = {a(x+1) + (ax+y) + x}^2 -4a(ax+y)(x+1) 　　　　= (y-a)^2 ＋2x(y-a) +x^2 -4a(-x)(x+1) 　　　　= (y-a+x)^2 -4a(-x)(x+1) 　　　　= 0, ∴ y = a-x -2√{a(-x)(x+1)},　　　　　(････楕円の一部) これと直線PQ との接点は 　( a/{(a-t)^2 +a} - 1, a - (a^2 -t^2)/{(a-t)^2 +a} ), 特に t=0 のときは ( -a/(a+1), (a^2)/(a+1) ), よって PQ の通過する領域は 　x^2 ≦ y ≦ -ax,　　　　(-a ≦ x ≦ -a/(a+1)) 　x^2 ≦ y ≦ a-x -2√{a(-x)(x+1)},　　(-a/(a+1) ≦ x ≦ 0) 790 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 00:57:39 ] 正方形ABCDの辺BCの中点をMとする。△ACDの周または内部に任意の点Pをとる。 △APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる確率を求めよ。 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 09:11:03 ] 座標平面において、A(0, 3) とし、またPとQを単位円x^2+y^2=1 上の動点とする。 三角形APQの面積の最大値を求めよ。 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 09:18:11 ] よくそんなつまらん問題思いつくな 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 10:52:44 ] >>785 簡単の為、b(n)^2 = a(n) と表す（このとき b(n+1)^2 = [b(n)]^2 + k） 漸化式から数列 {b(n)^2} は全て正整数であり、 b(n+1)^2 - b(n)^2 = [b(n)]^2 - [b(n-1)]^2 = ([b(n)] + [b(n-1)])([b(n)] - [b(n-1)]) であるので、数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である 今、全ての n で b(n+1) > b(n) だと仮定する（このとき lim[n→∞]b(n) = +∞） m を [b(n)] ≦ k なる最大の n とすると [b(m+1)]^2 ≦ b(m+1)^2 = [b(m)]^2 + k ≦ k^2 + k < (k+1)^2 ∴[b(m+1)] ≦ k これは m の最大性に反する ∴ある整数 m が存在して b(m+1) = b(m) ぬるぽ 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 10:58:10 ] >>793 二点修正 ×b(n)^2 = a(n) ○b(n) = √a(n) ×数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である ○数学的帰納法から数列 {b(n)^2} は単調増加である 795 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 12:36:13 ] >>746 (1) ∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ (π/4)/(tan^(n+2)+tan^n) 796 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/10/02(金) 13:41:50 ] >>790 これ、本来、高校数学の理系の範囲でとくもの？ 自分、高校数学の理系の範囲、かなりわかってないんで、 文系数学の範囲でゴーインにといてみた。 てか、見にくくてスマソ ↓ docs.google.com/View?id=dfr2mrs9_79dhxgg3dn ま、たんに、xy座標平面で、 p=(m,n)とおいて、 △ACDの周または内部に任意の点Pをとる＞＞＞m,nについての条件を求めて、・・・（１） △APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる＞＞m,nがどういう条件か、をもとめて、。。。（２） 両者をmn座標平面で図解して、（１）の領域にしめる（２）の領域の割合を求めただけ。 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 14:03:35 ] >>790 Pが動く領域の面積を求めたらいいことを教えてやれば 偏差値65以上の中学生でも解ける 798 名前：796 mailto:sage [2009/10/02(金) 14:25:43 ] >>797 あ・・・そりゃそうだ。。。あせって、解き方思いついたらひたすら書きまくってしもた。 題意を吟味する習慣がそういえば最近欠けている。。。 799 名前：785 [2009/10/02(金) 19:22:42 ] >>785 に追加問題 あるkの値について、a(m+1)=a(m+2)となるとき、この値をf(k)とおく. 例えば、f(2)=3　f(3)=7である. lim(n→∞)Σ（2≦k≦n）：1/f(k) を求めよ. 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 21:13:16 ] >>799 f(2k-1) + 1 = f(2k) = k^2 + 2k 勘だけど 801 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 21:32:28 ] >>800 そんな予想は誰でもできます. その証明が問題なんです. 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 03:00:17 ] >>785 【有界性】a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k, (略証) nについての帰納法による。 　a(1) = 1 < 2 ≦ (右辺), また、 　a(n-1) ≦ {(k+1)/2}^2 + k = {(k+1)/2 + 1}^2 - 2 < {(k+1)/2 + 1}^2,　(k:奇数) 　a(n-1) ≦ (k/2)^2 + k = (k/2 + 1)^2 - 1 < {(k/2) + 1}^2, (k:偶数) いづれの場合も 　√a(n-1) < [(k+1)/2] + 1, ∴　[√a(n-1)] ≦ [(k+1)/2],　 ∴　a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k,　　(終) じゅうぶん大きいnについて等号成立。 【単調性】a(n-1) ≦ a(n), (略証) nについての帰納法による。 　a(2) - a(1) = k ≧ 1, 　a(n) - a(n-1) ≧ 0, とすると、f(x) = [ √x ]^2 + k は広義の単調増加函数だから 　a(n+1) - a(n) = f(a(n)) - f(a(n-1)) ≧ 0,　　(終) →　a(n) は有界な単調列だから、収束する。 803 名前：802 mailto:sage [2009/10/03(土) 03:15:30 ] >>799 ・kが偶数のとき 　f(k) = (k/2)^2 + k = (1/4)k(k+4), 　1/f(k) = (1/k) - 1/(k+4), ･ｋが奇数にとき f(k) = {(k+1)/2}^2 + k = (1/4)(k^2 +6k+1) = (1/4){(k+3)^2 -8}, 　1/f(k) = 4/{(k+3)^2 -8},　　むむ… 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 05:47:00 ] >>802 (有界性) は 　k = [k/2] + [(k+1)/2] ≦ 2[(k+1)/2] = 2L, 　a(n-1) ≦ L^2 + k ≦ L^2 + 2L < (L+1)^2, 　√a(n-1) < L+1, 　[√a(n-1)] ≦ L, 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 07:06:14 ] >>784 S(a) = S_1(a) + S_2(a) - S_3(a), S_1(a) = ∫[-a, -a/(1+a)] (-ax)dx = [ (-1/2)ax^2 ](x=-a, -a/(1+a)) = (2+a)(a^4)/{2(1+a)^2}, S_2(a) = ∫[-a/(1+a),0] { a-x-2√{a(-x)(x+1)} } dx 　　= [ ax -(1/2)x^2 -(x +1/2)√{a(-x)(x+1)} + (1/4)(√a)arccos(2x+1) ](x=-a/(1+a),0) 　　= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} -(1-a)a/{2(1+a)^2} -(1/4)arccos((1-a)/(1+a)) 　　= (2a^2 +4a-1)a/{2(1+a)^2} - (1/2)arctan(√a), S_3(a) = ∫[-a,0] x^2 dx = [ (1/3)x^3 ](x=-a, 0) = (1/3)a^3, 806 名前：805 mailto:sage [2009/10/04(日) 11:30:32 ] 訂正、ｽﾏｿ S_2(a) = ･･････ 　　= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} ＋(1-a)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/4)arccos((1-a)/(1+a)) 　　= (2a^2 +２a＋1)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/2)arctan(√a), 807 名前：805-806 mailto:sage [2009/10/04(日) 11:43:59 ] これが正解だとしたら、ひたすらマンドクセだけの問題だなｗｗ 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 17:01:57 ] >>744はどうやるだ？ 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 22:01:19 ] >>808 OA=(a1,a2)、OB=(b1,b2)とおいて写像fを求めるのはいいと思う？ どっちにしろ(|PA|^2)+(|PB|^2)=|OA-OB|^2、(PA↑)*(PB↑)=0だけじゃ Qを求めたところで詰む 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 03:09:16 ] >>805-807 まとめると 　S(a) = (1/6)a^3 + (1/2){a - (√a)arctan(√a)}, 　　　 = (1/6)a^2 + (1/15)a^3 + (1/14)a^4 - (1/18)a^5 + …… だが。 811 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/06(火) 00:51:05 ] f(x) がx＝0 の近くで定義された関数とするとき， 次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ． (1) 極限値 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (2) (1) の逆命題 (3) 極限 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (4) (3) の逆命題 ただし， 極限 lim[x→0]f(x) が存在 ⇔ 極限値 lim[x→0]f(x) が存在，または lim[x→0]f(x)＝∞，または lim[x→0]f(x)＝−∞ とする． 812 名前：811 mailto:sage [2009/10/06(火) 00:58:22 ] 訂正． f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき， 次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ． (1) 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (2) (1) の逆命題 (3) 極限 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (4) (3) の逆命題 ただし， 極限 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇔ 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在，または lim[x→0]f’(x)＝∞，または lim[x→0]f’(x)＝−∞ とする． 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 00:58:56 ] >>811 何これ？反例ならf(x)=|x|でしょ。 逆とかは微分可能であれば連続だからおｋ。 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 01:35:53 ] (1) (f(h)-f(0))/h=f'(ξ)　（ξ：0とhの間、平均値の定理） より、f'(0)=lim[x→0]f'(x)･･･(*) (2)f(x)=x^2sin(1/x)　（x≠0），0　（x=0）　が反例。 (3)基本的に(1)と同じ。f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし、 認めなければ成り立たない。((*)は常に成り立つ。) (4)(2)が反例。 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 07:06:07 ] >>814 (3)でにおいて f’(0) は実数なので，±∞まで認める事はない． 認めないと，証明は自明ではない． (*)はいつも成り立つとあるが，成り立つのは f’(x) が x＝0 で連続のときだけ． 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 07:11:32 ] また，(1) で f’(0)=lim[x→0]f’(x) とあるが，これは f’(0)=lim[h→0]f’(ξ) で lim[x→0]f’(x) が存在するので， 結果的に f’(0)=lim[h→0]f’(ξ)=lim[x→0]f’(x) となる事を明記しないと， あらかじめ f’(0)=lim[x→0]f’(x) となる印象を受ける． 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 08:40:48 ] >>812に追加． (5) f’(0) が存在 ⇒ f’(x) が有界 ( |f’(x)|≦M ) 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 13:12:00 ] >>814 ＞f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし これは間違い。 819 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/06(火) 13:43:38 ] 自然数Nにたいして、F(N)=10^Nで定める. (1)F(N)-1が２００９で割り切れるような自然数Nをすべて求めよ. (2)Mが７以上の整数のとき、a^2009+b^2009=c^f(M!)　をみたす自然数の組（a,b,c)は無限に存在することを示せ. 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 17:17:35 ] ×　無限に存在する ◎　無数に存在する

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