- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 159 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/15(水) 19:56:37 ]
- >>158
a=3,b=4,c=5のときd=2
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 21:48:17 ]
- >>158
m、nが自然数のとき
(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2=(m^2 + n^2)^2 だから
mを偶数、nをmと素な奇数に選らび a=m^2 - n^2、 b=2mn、 c=m^2 + n^2 とすれば
D=(a + c)/2=m^2 だから d=√D=m は自然数
- 161 名前：158 mailto:sage [2009/07/16(木) 03:29:21 ]
- >>159
あう・・・問題文工夫すればよかった
>>160
てか、大学入試の整数問題で難問つくるのむずかしいか・・・
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 00:01:37 ]
- 564:べ 2009/07/08(水) 20:39:35
>> 1 への練習問題
x>3を満たすxとして適切なものを次のうちから全て選べ｡
（つまり、３より大きいと言い切れるものを全て選べ。)
-3 √10 0 99999/33332 2.99 3 π √√26 ∞
3!/2! 10sin17° log20 √7+0.3541 e i [x→3]x
＊とりあえず、分からないものは飛ばして、そうだと思うものだけ全部選んで見る｡
＊電卓禁止。余裕があれば理由も添える事｡
一応あげとく｡
ちょｗｗ数学テスト９点、誰か助けてくれー！
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1243585921/
注意：このスレの“１”は高一
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 00:06:41 ]
-
640:べ 2009/07/09(木) 01:20:01
>> 639
∞は一番大きいという概念だから３より大きいだろ。数とかの次元じゃない｡
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 06:33:26 ]
- >>163
「∞は一番大きいという概念」
そうなんですか？ｂｙリアル高校生
「１番大きい数」というのは、定義できないけど（ですよね？)
「１番大きい」というのもなんか・・・単に言葉のあやで、数学の世界では、別に問題ない表現なんんでしょか？
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 11:32:00 ]
- >>164
∞は数字じゃなくてただの記号
- 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 18:47:09 ]
- >>164
これ>>163は糞コテの恥レスを晒したものです
アホが伝染するので真面目に受け取らぬ様にお願い致します
- 167 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/17(金) 22:32:53 ]
- 3･2^a-1=b^c
は任意の2以上の自然数a,b,cで成立しないことを示せ
- 168 名前：べ [2009/07/18(土) 02:00:13 ]
- >>167
１分ぐらいで、しかもちゃんと解いてないから間違ってるかも
mod 4,12での合同式より、b^cが3,11の倍数であることを証明して、
b^c=33kとして与式に代入、
左辺が3の倍数-1、右辺が3の倍数となって、不成立。
とかか？
- 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 02:05:21 ]
- 4の倍数-1は3の倍数
12の倍数-1は11の倍数
とかいわないよな
いくらβでも
- 170 名前：べ [2009/07/18(土) 02:05:33 ]
- あ、途中から訳わかんない事やってるｗ
でも眠いんで寝るわ。
- 171 名前：べ [2009/07/18(土) 17:53:07 ]
- とりあえずmodを使って、
（まぁ使わなくとも即出せるが）
b^cが12の倍数-1にはならないことを証明する。という所まではいけたが、
証明がなかなかできそうにないので、諦めた
- 172 名前：べ mailto:sage [2009/07/18(土) 17:53:50 ]
- 方針違ってたらスマソ
- 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 17:55:46 ]
- 気のせいかどうか知らないけど
11^1 = 12 - 1
12^3 = 12*111 - 1
まー、俺はべ様ほど頭良くないんで間違ってると思うが
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 18:01:07 ]
- >>173
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 18:07:09 ]
- ここは馬鹿であることを遠慮なく告白するスレなのか？
- 176 名前：べ [2009/07/18(土) 18:41:07 ]
- >>173
それを利用すればできるじゃね？
まぁ、また気が向いたら。その頃には解かれてるかもだけど。
>>175
それは君だけだろう
- 177 名前：べ [2009/07/18(土) 18:47:20 ]
- >>713
まず、上は2以上なんだからc=1は間違い。
下は、一致しないぞーい。
やっぱ利用できそうにないか…
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 19:46:34 ]
- >>177
11^3 = 12*111 - 1
- 179 名前：べ mailto:sage [2009/07/19(日) 00:14:00 ]
- あ、違うｗ
12の倍数じゃなくて、12*2^nだった…。
111は2^nじゃないと…
合ってる式なんだしそりゃ解けんわな…。
これなら解けそうだな…気力がある時にやってみる。
- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 00:23:29 ]
- a＝2のときは11＝b^c となって、これを満たすb,cは無い。
a≧3のときは、mod 8で考えて－1≡b^c となるから、もし
c＝2mだとするとb^c≡0,1,4 となり(∵b^2≡0,1,4 (mod 8)しか起こりえない)、
－1≡b^c は起こりえない。
よってc＝2m＋1 (m≧1)ということになる。bが偶数だとすると
b^c≡0となってしまうので、bは奇数となる。最初の式に戻って
3*2^a＝1＋b^c＝(b＋1)(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1) となるが、
bは奇数だから(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1)も奇数であり、よって
2^a｜(b＋1) ということになる。よってb＋1＝2^a，3*2^a を得る。
b＋1＝3*2^a のときは、3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(3*2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝3*2^a (≧12)
と置いて、x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－3x＋2≦0となり、
よって1≦x≦2となる。しかしx≧12だから矛盾。
b＋1＝2^a のときは、同様に3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝2^a (≧4)
と置いて3x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－5x＋2≦0となる。
これを満たす自然数xはx＝1,2,3,4しか無いので、x≧4と合わせて
x＝4を得る。よってa＝2となるが、a＝2の場合は既に見た。
- 181 名前：べ mailto:sage [2009/07/19(日) 00:32:14 ]
- mod使う事と、bが奇数なのはすぐ分かったが、
1+b^cを展開して解くというのはなかなか…。
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 00:53:19 ]
- >>180
b^c+1が3の倍数⇔b+1は3の倍数かつcは奇数
だからb+1=2^mは外せる
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 00:56:55 ]
- >>181
この操作は因数分解って言って展開とは逆操作なんだよ
- 184 名前：べ mailto:sage [2009/07/19(日) 01:11:22 ]
- >>183
二項展開のような意味で使ったんだが・・
- 185 名前：べ mailto:sage [2009/07/19(日) 01:16:30 ]
- まぁ、丁寧な返答ありがとう。
ここには質問者をバカにする連中もいるからな。
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 01:21:06 ]
- ニ項展開の展開も普通の展開と同じ意味なんだけど
- 187 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 14:14:23 ]
- 1辺の長さが１の立方体を平面で切るとき、断面図の最大値、最小値を求めよ
- 188 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 15:59:08 ]
- 【炎上】彼氏が通報者の車に醤油かけて仕返しした
changi.2ch.net/test/read.cgi/kankon/1248194952/l50
- 189 名前：見方によってはかなりインチキ臭い国際大会 [2009/07/24(金) 16:18:15 ]
-
>2009年：1位-中国、2位-日本、3位-ロシア、4位-韓国、5位-北朝鮮、6位-アメリカ
>国際数学オリンピックの引率の先生がラジオで言ってたんだけど、問題は前日に配られて、
>それを言語のできる " その国の引率の先生 " が各自翻訳するらしいです。
>だからと言って生徒に、問題や解答が事前に漏れてるとは言ってませんでしたよ。
前からこの辺りが胡散臭いと思っているんだけど、見方によってはかなりインチキ臭い国際大会。
- 190 名前：記憶馬鹿には絶対解けない数学問題集 [2009/07/24(金) 16:21:23 ]
-
4角柱の問題 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/Mobius.html
球体から反射された光線が到達する地点 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/Q-4.html
反転ゲームの最短回数 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/h-1.html
( 縦横とも2n個の時の一般解も出して頂けると、すごいと思います )
アリの戦争 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/b-h.htm
立方体の通路 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/l-1.html
( 頂点から頂点までの通路は、他の通路と交差している交差点があっても直進する )
回転する光の通過速度 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/4-1.html
入れ子になった回転リングの軌跡 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/ling-1.htm
- 191 名前：なるべく予備知識無しで解いて欲しい数学難問 [2009/07/24(金) 16:24:47 ]
-
問題 : ミサイル曲線
ｘｙ平面の原点に地対空ミサイルが設置されている。 時刻ｔ＝０に上空（０，ｈ）を敵戦闘機が速さｖでｘ軸に平行に
ｘの負の向きに一定の速さｖで飛行している。 このミサイルは常に目標をめがけて一定の速さＶで飛行する。 時刻ｔ＝０で発射されたミサイルの
(１） 軌道を表す曲線の方程式を求めなさい。 (２） 戦闘機が撃墜される時間はいくらか。
ただし ｖ＜Ｖ とする。 戦闘機もミサイルも点と考えてよい。
問題 : 伸びるゴムひも上を移動する虫
1mのゴムひもの左端を固定します。左端に虫をおきスタートと同時に虫がゴム上を5cm/sで歩き、
ゴムひも自体を右端を5cm/sで引き延ばした場合に虫が右端に到達する時間を求めなさい。
問題 : 蛇口から流れ落ちる水流の曲線
水道の蛇口から少量の一定の水を流すと落下につれて水流が細くなってきます。
蛇口の中心から下方へｘ軸、それと垂直方向にｙ軸をとった場合、落下水流の形を示す方程式ｙ＝ｆ（ｘ）を求めなさい。ただし粘性率＝０
Ｓ：蛇口の断面積、 ｖ0：蛇口での流速、 ｇ：重力加速度とします。 また水は自然落下するとします。
- 192 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/25(土) 03:21:56 ]
- 167の解答
3･2^a-1=b^c
についてcを奇数としても一般性を失わない
また左右の偶奇を考えてbは奇数3･2^a=(b+1)(b^(c-1)-…+b^2-b+1)と因数分解され、
(b^(c-1)-…+b^2-b+1)は奇数よりb+1は3･2^a,2^aのどちらかでこの時
b^(c-1)-…+b^2-b+1=3,1
b(b^(c-2)-…+b-1)=2,0
bは3以上で左辺整数だから右辺2は不適。これより
b^(c-2)-…+b-1=0だけだが
b(b^(c-3)-…+1)=1を満たすものは上と同様に考えて存在しない //
出典はVIPの数学wiki
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 03:47:02 ]
- なんで最後で照れてんだよ
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 12:14:14 ]
- >>187
最小値は 0
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 12:53:11 ]
- >>187
六角形の時が最大か？
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 13:19:30 ]
- >>195
ダウト
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 20:00:00 ]
- www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/danmen.htm
【３】高次元の球と立方体の断面の体積
（１）ボールの不等式
ｎ次元単位立方体の断面の体積の最大値について考えてみましょう．
１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，
その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．
対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．
また，（３次元）単位立方体の断面は，
３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，
辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．
２次元・３次元での問題は，
４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできますが，
ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
１≦Ｖ≦√２
であることが，ボールによって証明されています（1986年）．
ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点です．
ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立しましたが，
こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は，
高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像されます．
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 01:13:53 ]
- >>197
3次元の場合，最小値が1はおかしい
なので何か切り方の条件があるんだろ
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 01:28:17 ]
- ＞ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 14:35:46 ]
- >>197
- 201 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 01:01:25 ]
- ロイヤルストレートフラッシュができる確率を求めなさい
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 01:35:47 ]
- いやです。
- 203 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 02:05:09 ]
- 誰か>>61やってくれよ
悲しくなるよ
- 204 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 08:59:44 ]
- m,nを正の整数値とする。2^nが3^m - 1を割り切るとき、nの最大値をmであらわせ(そのnが最大値であることを証明せよ)。
例 3^960 - 1 を割り切る 2^n の最大値 → n=8
＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で…
私は４～５時間かかりましたが現役なら２５～５０分かと。
- 205 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 11:36:19 ]
- >>204
解いてて，mの奇偶で分けるだけで意外と楽だなーと思ったが偶の場合がめんどくさく1.5～2時間ぐらいかかったかなｗ
ちょっとミスしても得意だったら，50分以内に解けるか．．．
取り合えず答えだけ
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
題意を満たすようなnをn(m)と表記する．
(1) m＝1,3 (mod4)
n(m)＝1
(2) m＝2 (mod4)
n(m)＝3
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^l)・k (k∈Z odd)
と表示したlを用いて
n(m)＝l+2
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 12:14:02 ]
- >>205
答えは正解です。
やっぱり証明は長くなりましたか？
>>all
素朴な方法で証明できるので挑戦してみてね！
- 207 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 12:41:14 ]
- >>206
今 清書してるが，A4 2枚には収まるかな．．．
(3)の場合がちょっとね
ちなみに
3^a-1＝(3-1){3^(a-1)+3^(a-2)+…+3+1}
を用いて示した
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 14:09:37 ]
- (3)の表現がおかしかった
――――――――――――――――――――――――――――
正しくは以下：
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^2l)・k (l∈N, k∈N odd)
と表示したlを用いて n(m)＝2l+2
――――――――――――――――――――――――――――
l＝0の場合は(1)だし，2kの場合は(2)だから(4^l)kに訂正
kはZ oddでも問題ない(m>0なので)が，一応 正の奇数 なので．
次から解答
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 14:11:25 ]
- (1) m＝1,3 (mod4)
m＝2k-1 ( k∈N ) とおけて，
3^m-1＝3^(2k-1)-1＝(3-1){3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k-1項，つまり奇数項あることに注意しておく．
続けて 3^m-1＝2・{3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1＝{3^(2k-3)}{(3+1)+{3^(2k-5)}(3+1)+…+3(3+1)+1}
＝{3^(2k-3)}・4+{3^(2k-5)}・4+…+3・4+1＝1 (mod2)
したがって2でのみ割り切れる ∴ n(m)＝1
(2) m＝2 (mod4)
m＝2k ( k∈N odd) とおけて，
3^m-1＝3^(2k)-1＝(3-1){3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k項，つまり偶数項あることに注意しておく．
続けて
3^m-1＝2・{3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1＝{3^(2k-2)}{(3+1)+{3^(2k-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+(3+1)}
＝{3^(2k-2)}・4+{3^(2k-4)}・4+…+3・4+4
＝4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
∴ 3^m-1＝2・4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
＝(2^3)・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
そして， 〔2つめの括弧内〕＝1 (mod2)
∴ n(m)＝3
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 14:12:25 ]
- (3) m＝0 (mod4)
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表せられる
以下，n(m)＝2l+2 であることを帰納法で示す
(i) l＝1
m＝4kより
3^m-1＝3^(4k)-1＝(3^(2k)-1){(3^(2k)+1}
3^(2k)-1＝(2^3)・(奇数) (∵ (2) )
3^(2k)+1＝{3^(2k)-1}+2＝(2^3)・(奇数)+2＝2{(2^2)・(奇数)+1}
∴ 3^m-1＝{(2^3)・(奇数)}×2{(2^2)・(奇数)+1}
＝(2^4)・(奇数)・{(2^2)・(奇数)+1}
∴ n(m)＝4
(ii) 一般のl, l+1のとき
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表示出来，過程よりn(m)＝2l+2
l+1のときは, 2m＝{2^(2l+2)}k で
3^2m-1＝(3^m-1)(3^m+1)
3^m-1＝2^(2l+2)(奇数)
3^m+1＝(3^m-1)+2
＝(3-1){3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+2＝2・[{3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+1]
同様に2項ずつ組にして
3^m+1＝2・[{3^(m-2)}(3+1)+{3^(m-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+1+1]
＝(2^2)・(奇数)
3^2m-1＝2^(2l+2)(奇数)・(2^2)・(奇数)＝{2^(2l+4)}・(奇数
∴ n(m)＝2l+4＝2(l+1)+2
よって示された□
- 211 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 16:00:02 ]
- >>208
>>205の表現が正解だと思います。
>>208だと、例えばm=8の時、(l、k)を上手く設定できないことになります。
ついでに言うと、(2)と(3)は一緒にしてOKだと思います。
その方が帰納法も楽になるし。
- 212 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 16:17:48 ]
- S[k]=Σ[i=0、k-1]3^i
L(p)=(2^Lがpを割りきるような最大のL)
とする。
以下証明の準備
①L(p*q)=L(p)+L(q)②pが偶数の時
3^p +1=9^(p/2) +1
≡2(mod8)
∴L(3^p +1)=1
③pが奇数の時
3^p +1=9^{(p-1)/2}*3 +1
≡4(mod8)
∴L(3^p +1)=2
で、こっからが本題。
S[2k]=S[k](3^k +1)
より
L(S[2k])=L(S[k])+L(3^k +1)
∴L(S[2k])=L(S[k])+1(kが偶数)
L(S[2k])=L(S[k])+2(kが奇数)
従ってn=2^l*p(pは奇数、l≧1)の時
L(S[n])=l+1+L(S[p])
S[p]=Σ[i=0、p-1]3^i
は、奇数個(p個)の奇数(各3^i)の和なので、奇数
∴L(S[p])=0
以上より
L(S[n])=0(nが奇数)
L(S[n])=l+1
∴L(3^m -1)=L(2)+L(S[m])
=1(mが奇数)
=l+2(mが偶数)
- 213 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 16:22:00 ]
- >>212は、字数の都合で幾つかはしょったり、
書くの忘れてるところがあったり、
改行してなかったりで見にくいと思うけど、こんな感じでどうでしょう。
- 214 名前：204 [2009/08/01(土) 17:03:56 ]
- nを2より大きな整数、pを奇数としたときp=1mod.2^nを満たすnの最大値をf(p)=nとすると
①f(p^2)=n+1,②奇数qにおいてf(p^q)=nとなることから3^2=1 mod.2^3から出発して帰納的
にもとまります。
①と②の証明は2^nがp-1を割り切る最大値だからp=r*2^n+1 (rは奇数)と置いて
① p^2 = (r*2^n+1)^2 = 1 は mod.2^(n+1) で成立 mod.2^(n+2) で不成立
② p^q = (r*2^n+1)^q = 1 は mod.2^n で成立 mod.2^(n+1) で不成立
※それぞれ二項係数展開して各項を2^n～2^(n+2)で割ればわかります。
mが奇数の場合、3=-1 mod.2^2 → 3^m=(-1)^2 mod.2^2 となって2^2以上で割り切れないため、
2^1が最大。m=奇数 → n=1
mが2の場合、3^2=1 mod.2^3 は明らかで①と②より帰納的に3^(q*2^d)=1 mod 2^(d+2)となり
m=q*2^d → n=d+2
でつ。。。
- 215 名前：205 mailto:sage [2009/08/01(土) 17:21:16 ]
- おおーすっきり
解答してる最中に段々いろいろ思い出したｗ
>>205で
>偶の場合がめんどくさく
と書いたが，どうも勝手に勘違いしてめんどくさがってたようでｗ
>>209-210でなぜ4の倍数に拘ったかはよく思い出せんが
2＾16-1＝(2^8-1)(2^8+1)＝(2^8-1){(2^8-1)+2}
といった関係をみて，まず偶数は別ということで，その後なんか思いついたんだろう
>>211
m=8が入らないことに気付けないとは我ながら．．．
さらにmodの扱いも酷い．まあよくこの手の問題でミスしてたから恐る恐る使ってしまったｗ
- 216 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 22:35:18 ]
- 球面(x+7)^2+(y+9)^2+(z+7)^2=9がある。中心軸がＡ(3,-2,-1)B(-9,0,3)を通る直線に含まれる直円錐を球が円錐に含まれるようにとる。このとき円錐の表面積の最小値を求めよ。
- 217 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/02(日) 23:06:15 ]
-
実数x≧0 に対して、数列{x_n}を以下で定めます。
x_1=x
x_(n+1)=(x_n)^x
極限lim[n→∞]x_nを求めてください。
- 218 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/02(日) 23:08:22 ]
- 求めました(^_^)V
- 219 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/02(日) 23:39:31 ]
- >>217
logx_n=y_nとおくとy_1=logx
y_(n+1)=x*y_n
よりy_n=x^(n-1)*logx
・
0<x<1のときlim[n→∞]y_n=0
・x=1のときlim[n→∞]y_n=0
・x>1のとき
logx>0なのでlog[n→∞]y_n=∞
以上より
・0<x≦1のとき
lim[n→∞]x_n=1
・1<xのとき
lim[n→∞]x_n=∞
・また、x=0のとき
lim[n→∞]x_nはx_2以降が定義されない
すげえつまんねーけど問題これであってる？
- 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/02(日) 23:49:55 ]
- x_1=x
x_(n+1)=x^(x_n)
ならもう少し興味深かったかもしれん
いずれにしてもxの範囲から0は外さないと駄目だろ
- 221 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/04(火) 15:07:27 ]
- 2cosα+3cosβ+4cos(α+β)の最小値を求めよ。
ただし0≦α+β≦2πとする
なかなか難問だと思いますが・・・
- 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/04(火) 15:37:24 ]
- 864π
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/04(火) 22:15:31 ]
- >>221
3つのベクトルa↑,b↑,c↑を次のようにとる
・｜a↑|=a、｜b↑|=b、｜c↑|=c、ただしa,b,cは正でab=1,bc=3/2,ca=2
・a↑とb↑のなす角はα、b↑とc↑のなす角はβ
このとき2cosα+3cosβ+4cos(α+β)=2(a↑・b↑+b↑・c↑+c↑・a↑)
=|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)
またa=2√3/3,b=√3/2,c=√3
a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
a↑,b↑,c↑をとることができる
以上から求める最小値は0-(2√3/3)^2-(√3/2)^2-(√3)^2=-61/12
- 224 名前：223 mailto:sage [2009/08/04(火) 22:31:15 ]
- ＞a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
＞a↑,b↑,c↑をとることができる
を具体的に補足しておくと
α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑となるのでc↑=-(a↑+b↑)となるようにとれば
|a↑+b↑+c↑|=0
- 225 名前：223 mailto:sage [2009/08/04(火) 22:41:55 ]
- なんかところどころおかしいな
>>223 5行目
× =|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)
○ =|a↑+b↑+c↑|^2-(a^2+b^2+c^2)
>>224
× α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑
○ cosα=11/24のとき|a↑+b↑|=|c↑|
何度もすまん
- 226 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 00:06:04 ]
- 原点をOとするxy平面上の格子点A(0)、A(1)、A(2)、……、A(n)、…を、次の条件を満たす格子点とする.
A(0)=O |A(n-1)A(n)↑|=n A(n)A(n+1)↑・A(n-1)A(n)↑＝0
(1)O=A(m)となりうるような自然数mをすべて求めよ.
(2)x軸上のある格子点Pに対して、P=A(N)となりうるような自然数Nが存在することを証明せよ.
(3)A(n)について、どのようなnについても一致しないようなxy平面上の格子点をすべて求めよ.
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 00:23:18 ]
- なんか問題文が変じゃない？
（２）は「ある」じゃなくて「任意の」ではないの？
（３）は「どのようなnについてもA(n)と一致しないようなxy平面上の格子点をすべて求めよ. 」と言いたいのかな。
- 228 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 00:25:40 ]
- >>227
すんません。その通りです。アホでごめんなさい
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 01:59:26 ]
- >>222
なにかと思えば>>216の答えだったんだな 、今やってわかった
要所は全て整数になるけどまあめんどくさかった
- 230 名前：216 mailto:sage [2009/08/05(水) 09:34:41 ]
- >>222,229
正解おめ。時間無制限でもそこそこきつい。30分程度で解ければ大したもんだ。
- 231 名前：221 [2009/08/05(水) 11:01:32 ]
- >>223 正解です
試験内だと加法定理とか和積とかでガッツリやってはまっていく人が多いかな？
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 12:44:32 ]
- >>231
試験場では何も考えず微分する人が多いと予想
>>226
長くなりそうなので分割
以下、合同式はすべてmod 8であるとする。
p,qをそれぞれmを超えない最大の奇数、偶数として、
A(m)の座標は(±1±3±5±…±p,±2±4±6…±q) (複合任意),
もしくは上のx,y座標を入れ替えたものとして表される。
(1)±1±3±5±…±pについて、符号が正のものの和と負のものの和が
一致するので、1+3+5+…+pは偶数であり、p≡3,7
±1±3=0とはならず、1-3-5+7=0,1+3+5-7+9-11=0
(2n+1)-(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=0から、帰納的にp≧7なら
±1±3±5±…±p=0となるように符号を定めることができる。
±2±4±6±…±qについても同様に、q≡0,6
p≡3,7よりm≡0,7、すなわち
m=8k,8k-1(kは正の整数)
- 233 名前：232 mailto:sage [2009/08/05(水) 12:54:06 ]
- >>232
少し補足
座標が上の形で表されることについて
A(n-1)A(n)↑≠0↑から、A(n-1)A(n)↑⊥A(n)A(n+1)↑
A(0)A(1)=1から、A(1)として考えられるのは(±1,0),(0,±1)
よってA(n-1)A(n)はx軸,y軸と交互に平行となる。
各々のベクトルの向きを考えれば座標が±1±…±pのようになる
±2±4±6±…±qについて
0となる必要十分条件が、2でくくった後の和が
偶数であることが上と同様に示される
(2)(±1±3±5±…±p,±2±4±6±…±q)において、
y座標を0にできるのはq≡0,6であるから、
p≡1,5,7
このとき、うまくp,および符号を定めればx座標を任意の整数値に
することができることを示せばよい。
p≡1の場合
p=1のとき、1,-1を作ることができる。
-(2n+1)+(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=4から、pを十分大きくとれば、
すべての奇数値をとることができる。
p≡7の場合
1-3-5+7=0,1+3+5-7=2から同様にすべての偶数値をとることができる
- 234 名前：232 mailto:sage [2009/08/05(水) 13:06:07 ]
- (3)x,y座標の少なくとも一方は偶数であるから、
(2s+1,2t+1) (s,tは整数)という点が
A(n)と一致することはない。
これ以外の点がすべてA(n)と一致しうることを示そう。
p≡1のとき、±1±3±5±…±pは任意の奇数値をとる。
このときq≡0,2である。
±2±4±6±…±qが任意の偶数値をとることを示す。
q≡0のとき
2-4-6+8=0,-2+4-6+8=4から、4の倍数の値全体をとる。
q≡2のとき、2,-2を作ることができ、4の倍数でない偶数全体をとる。
p≡7のとき、±1±3±5±…±pは任意の偶数値をとる。
また、p≡3のときも任意の偶数値をとることが示される。
p≡7,q≡0として±2±4±6±…±qは任意の4の倍数をとり、
p≡3,q≡2として任意の、4の倍数でない偶数値をとる。
x座標、y座標の入れ替えを考えて、
少なくとも一方が偶数である格子点はA(n)と一致しうることが示された。
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 13:29:30 ]
- >>221
条件が無意味
- 236 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 14:17:09 ]
- n個の実数の平均の値は常にn個の実数の最小以上最大以下であることを示せ。
ただし、平均の値とはn個の実数a_i(i=1,,n)についてf(a_1,…,a_n)=f(x,…,x)を満たす実数xのことを指し、
任意のa_1～a_nの値についてそれらをどのように入れ替えてもxはただひとつの同じ値をとるものとする。
また、fは連続であり、定義域はどの変数に対しても全ての実数である。＠v
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 14:39:49 ]
- >>232~234
お見事です！
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 17:12:36 ]
- nが4より大きい自然数のとき tan(π/n) は無理数である事を示せ。
- 239 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 23:35:12 ]
- >>221 cos(α+β)＝cos(2πｰ(α+β))に気づいたらベクトルを思いつくと思ってそのヒントと
して書いたつもりですが、確かに無意味ですね
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 23:35:46 ]
- >>238
三角関数の無理数性に関する問題は定期的に出てくるね。
その手の問題はここにまとめられてるよ。
blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51606089.html
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 23:56:37 ]
- >>231
普通の受験生の発想でもいけるんじゃないかな。
三角関数の合成により、
与式=2√(5+4cos(β))cos(α+γ)+3cos(β)≧-2√(5+4cos(β))+3cos(β)が出て
[ここに、cos(γ)=(2+4cos(β)/(2√(5+4cos(β)))、sin(γ)=4sin(β)/(2√(5+4cos(β)))]
A=-2√(5+4cos(β))+3cos(β)とおけば
dA/dβ=sin(β)(-3+4/√(5+4cos(β)))。
ちょっと符号変化を調べるけど、後の括弧の中が0になるβで
Ａは最小値 -61/12をとることが分かる。
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 00:31:06 ]
- >>240
見たけど間接的な証明だね。
tan の場合は直接的な証明は無いものか。
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 01:05:19 ]
- >>241
でも>>223の解法は、これいただき、使わせてもらおって感じだ
技巧に走っているわけでもないし使えそう
- 244 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/06(木) 01:25:03 ]
- >>241 合成でもできましたか
問題を作ったときはベクトルでの方法しか頭になくて他の方法を試してませんでした
もう少し複雑にする必要がありますかね・・・
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 02:12:47 ]
- >>244
三角関数の最小問題である以上三角関数の微分でできないようにはできないだろ、多分
良問だしいい解法だと思ったがそれ以上の作為を入れると多分しょうもない問題になる
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 02:24:35 ]
- >>238
tan(π/n)が有理数であるとする。
nが奇素数pを素因数に持つとき、p=2l+1とすれば1≦k≦lなる整数kで
tan(kπ/p)は全て有理数となるが
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√pより矛盾。
n=2^m (m≧2)とすると、1≦j≦m-1なる整数jで
cos(π/2^j)が全て有理数となるが、cos(π/4)が無理数なので
条件にあう可能性のあるnは4のみ。
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 12:17:07 ]
- >>246
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√p
の部分はどうやったんですか？
解と係数の関係か何かですか？
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 14:18:32 ]
- 実数全体で定義された関数 f(x) が，各k (1≦k≦n) に対して
lim[x→k]f(x)/(x-k)＝1
を満たすとき，方程式 f(x)＝0 は各開区間 (k，k+1) (1≦k≦n-1)
で少なくとも１つの実数解をもつことを示せ．
ただし n は与えれれた正の整数とする．
- 249 名前：248 mailto:sage [2009/08/06(木) 14:19:22 ]
- × 実数全体で定義された関数 f(x)
○ 実数全体で定義された連続関数 f(x)
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 15:35:58 ]
- kってなんだよ?実数か？
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:10:25 ]
- 自然数だろjk
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:28:51 ]
- >>248
lim[x→k-0]f(x)/(x-k)＝m[x→k+0]f(x)/(x-k)=1
lim[x→k+1-0]f(x)/(x-k-1)＝m[x→k+1+0]f(x)/(x-1)=1
より
f(k+α)>0,f(k+1-α)<0 (ただしαは絶対値の極めて小さい正の数)
→中間値の定理より命題は成り立つ
なんか論証甘いか？
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:33:09 ]
- 甘すぎ
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:43:50 ]
- >>252で十分なくらいつまらん問題ではある
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 18:12:26 ]
- >>252の方針で厳密にやるとε-δ論法になってしまい、範囲外。
高校の範囲内で厳密に納得できる形でお願いします。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 21:08:49 ]
- >>248が問題の全体だとすると各ｋなんてやる意味ないな
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 23:36:24 ]
- >>248
f(x)は連続関数なので中間値の定理より開区間(k,k+1)にf(x)=0の解が存在しないならばこの区間で常に正または常に負
常に正のとき
この区間でf(x)/(x-k-1)<0となるのでlim[x→k+1]f(x)/(x-k-1)=1の条件に合わない
常に負のとき
この区間でf(x)/(x-k)<0となるのでlim[x→k]f(x)/(x-k)=1の条件に合わない
よってf(x)=0は開区間(k,k+1)に少なくとも1つの解を持つ
- 258 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 12:08:31 ]
- 多分>>248は一生懸命考えた解答があるんだろう
しかし残念ながら問題がしょうもない
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 16:32:19 ]
- と一生懸命考えた回答をこけにされた>>252が必死こいてます
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