- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 00:23:29 ]
- a＝2のときは11＝b^c となって、これを満たすb,cは無い。
a≧3のときは、mod 8で考えて−1≡b^c となるから、もし
c＝2mだとするとb^c≡0,1,4 となり(∵b^2≡0,1,4 (mod 8)しか起こりえない)、
−1≡b^c は起こりえない。
よってc＝2m＋1 (m≧1)ということになる。bが偶数だとすると
b^c≡0となってしまうので、bは奇数となる。最初の式に戻って
3*2^a＝1＋b^c＝(b＋1)(b^{2m}−b^{2m−1}＋…＋1) となるが、
bは奇数だから(b^{2m}−b^{2m−1}＋…＋1)も奇数であり、よって
2^a｜(b＋1) ということになる。よってb＋1＝2^a，3*2^a を得る。
b＋1＝3*2^a のときは、3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(3*2^a−1)^c となるが、簡単のためx＝3*2^a (≧12)
と置いて、x＝1＋(x−1)^c≧1＋(x−1)^2 よりx^2−3x＋2≦0となり、
よって1≦x≦2となる。しかしx≧12だから矛盾。
b＋1＝2^a のときは、同様に3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(2^a−1)^c となるが、簡単のためx＝2^a (≧4)
と置いて3x＝1＋(x−1)^c≧1＋(x−1)^2 よりx^2−5x＋2≦0となる。
これを満たす自然数xはx＝1,2,3,4しか無いので、x≧4と合わせて
x＝4を得る。よってa＝2となるが、a＝2の場合は既に見た。
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