- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 01:48:54 ]
- これがゆとりか
- 117 名前：べ mailto:sage [2009/07/01(水) 01:50:42 ]
- みたか、ゆとりの本領を！
じゃ、寝る！
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 21:18:34 ]
- 久々に伸びてると思ったらこれか
- 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 00:52:34 ]
- 高一に相手にふんぞり返って
√√(-2401)
を出題しておきながら複素数の説明無しなのに√√(-1)の未処理に
減点判定していたβさんじゃないですか
- 120 名前：べ mailto:sage [2009/07/05(日) 00:56:31 ]
- ×高１に相手に
○高１相手に
答えたのは高１じゃない
（つうか数学９点のスレ主がまともに答えられるわけねーだろ…）
君が来るスレじゃないんで戻りなさい。
- 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 01:21:17 ]
- 大学で学ぶ内容を元ネタに大学入試問題を作る場合、作問者のセンスが問われる
元ネタの選び方が素晴らしければ良問になり得るが、選び方が悪ければただのオナニー
更に、選び方が素晴らしくても問題の作り方が悪いと寒い問題になる
非実数な複素数の1/2乗は一意に定まらないってのが面白い点だと思う
でも入試に出すには不適切かと。課外研究の良いテーマではあると思う
- 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 11:45:16 ]
- β恥録
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1238490664/30
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1238490664/226
- 123 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/05(日) 17:38:56 ]
- D＝{(x,y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1} ，定点 A(a,b) ∈ D とする．
また点Aを通る任意の直線と D との共通部分の長さの最小値を L(a,b) とする．
L(a,b) ≧ 1 となる点(a,b)の存在範囲を求めよ．
- 124 名前：123 mailto:sage [2009/07/05(日) 17:41:39 ]
- × L(a,b) ≧ 1
○ L(a,b) ＝ 1
- 125 名前：べ mailto:sage [2009/07/05(日) 17:42:59 ]
- >>121
確かに一意的に定まらないことを題材として、良い問題が作れそう。
まぁ不適切かもしれんが。
つか煽りのつもりで出した問題が意外と評価されてるｗ
- 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 18:29:11 ]
- >>123
定点 A(a,b)に対して L(a,b)＝1じゃないの？常に．
軸と平行な直線でね．傾きをちょっとでも変えると共通部分は大きくなるから．
だからDと一致．
問題文おかしくね？俺がおかしいのか．．．？
- 127 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/05(日) 18:32:01 ]
- >>126
あふぉ？
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 18:40:05 ]
- >>126
落ち着け
- 129 名前：べ mailto:sage [2009/07/05(日) 18:56:55 ]
- スマソ。オレにつられてやってきたアホスレの、
連中かも知れん。
ただオレを煽ってるヤツほどバカではない。
なぜならそいつらは、オレの訂正した問題を全て問題だと勘違いするほど、
イカれてるからな…
- 130 名前：べ mailto:sage [2009/07/05(日) 18:58:18 ]
- ヤツ「ラ」ほど ね
- 131 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/05(日) 19:34:29 ]
- βはさっさと数学板から聞いて下さい
- 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 20:07:15 ]
- >>129
関係ねーよ。何で俺１人が「ら」になるんだ？
俺１人がやった事を場の人間全部に当てはめる癖…
あ、そう言えば前から１人のやった事を
全てに当てはめる様な事やってるよなお前は
と言うかあれは７回も問題訂正レスしてる事を含みを持たせたんだが
- 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 20:51:36 ]
- >>50
a_n = n!(e^n)/n^(n +1/2),
とおくと、>>44-45 より
a_k / a_(k-1) = e･{(k-1)/k}^(k -1/2) <1,
∴ a_n は単調減少。
lim[n→∞) a_n = c,
とおけば、
c < a_n ≦ e, (等号成立は n=1)
次に c=√(2π) を示す。
b_m = (a_m)^2 /{a_(2m)} = (4^m)(√2)/{Ｃ[2m,m] √m},
とおくと
lim[m→∞) b_m = c,
ところで、I_n = ∫[0,π/2] (sinθ)^n dθ とおくと、
I_n = {(n-1)/n}I_(n-2), I_0 = π/2, I_1 = 1,
より
I_(2m-1) = (4^m)/{2m･Ｃ[2m,m]} = b_m /√(8m),
I_(2m) = (π/2)Ｃ[2m,m] / (4^m) = π/{b_m･√(2m)}
I_(2m+1) = {2m/(2m+1)}I_(2m-1),
明らかに
I_(2m+1) < I_(2m) < I_(2m-1),
∴ √(2π) < b_m < √{2π(2m+1)/(2m)},
∴ c = lim[m→∞) b_m = √(2π), (終)
ちっとも代数的ぢゃねぇが･･･
- 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 21:38:24 ]
- βは荒らすな
- 135 名前：べ mailto:sage [2009/07/05(日) 22:18:18 ]
- >>132
１行目：いや、お前一人を「ら」にしてないぞ？
２行目：一度もやってない。
３行目：×を含みを ○に含むを
- 136 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/05(日) 22:35:07 ]
- >と言うかあれは７回も問題訂正レスしてる事を含みを持たせたんだが
やっぱり、あのスレの住人のようです
- 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 22:47:49 ]
- >>135
A「私は正直である」
さて、Aは正直者か嘘つきか？
- 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 22:53:26 ]
- >>136
あー違う逆
誰がβを褒めに言ってるのか見に行ったんだよ
あそこに７回とか書いてあったからまんま鵜呑みしてた
このスレで何回だったか数えたわけではなくて
結局、評価されたのは最近だから前後関係おかしいし
逆に非難の方が強かったな
- 139 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/05(日) 23:03:51 ]
- Paradox
- 140 名前：べ [2009/07/05(日) 23:05:34 ]
- 問題文読み間違えて質問してたようだけど、解けたのかな？？
- 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/05(日) 23:18:56 ]
- >>133
b_m = {(2m)!!/(2m-1)!!}√(2/m),
I_(2m-1) = (2m-2)!!/(2m-1)!!,
I_(2m) = (π/2){(2m-1)!!/(2m)!!},
I_(2m+1) = (2m)!!/(2m+1)!!,
- 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/06(月) 00:53:18 ]
- なんかβ自己弁護に躍起だけど
数々の恥の歴史は事実なんだよね
- 143 名前：126 mailto:sage [2009/07/06(月) 05:08:06 ]
- >>127-128
理解した．読み違えてた．．．(というか完全に都合良く解釈してた)
「正方形の2辺上に端点を持つ長さ1の線分を動かしたときに出来るアステロイド曲線」
が題材ってことね
計算はまだしてないが．．．
- 144 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/10(金) 21:41:47 ]
- 次の性質を満たす数列 {a_n}，{b_n} の例を一つ挙げよ．
(1) lim[n→∞] (a_n/b_n) ＝ 1
(2) lim[n→∞] (a_(n+1)/b_n) ＝ 0
(3) lim[n→∞] (a_n/b_(n+1)) ＝ ∞
簡単すぎ？
- 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/10(金) 21:46:27 ]
- これでいいの？
a_n = b_n = 1/(n!)
- 146 名前：144 mailto:sage [2009/07/10(金) 21:53:58 ]
- (4) 任意のnで a_n ≠ b_n
を忘れてました．すんません．
- 147 名前：べ [2009/07/10(金) 22:14:07 ]
- >>144
a[n]=x^-n + x^-(n+1)
b[n]=x^-n
とか？
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/10(金) 22:36:53 ]
- x って？
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/10(金) 22:40:49 ]
- >>148
アホがうつるぞ
- 150 名前：べ [2009/07/10(金) 22:53:41 ]
- a[n]=n^-n + n^-(n+1)
b[n]=n^-n
だったｗ
なぜかx使ってた。
- 151 名前：べ [2009/07/10(金) 22:57:25 ]
- eになる。無視してｗ
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/10(金) 23:01:45 ]
- なにこいつ・・
- 153 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/10(金) 23:02:22 ]
- >>152
バカは黙っとけ
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/10(金) 23:04:15 ]
- もうこのスレ誰も興味持たないからいらないんだよな
βの好きにさせときなよ
- 155 名前：べ [2009/07/10(金) 23:38:00 ]
- >>144
nが偶数の時、
a[n]=2+(-2)^n
b[n]=2-(-2)^n
nが奇数の時、
a[n]=2+(-2)^(n+1)
b[n]=2-(-2)^(n+1)
これは？
- 156 名前：べ [2009/07/10(金) 23:39:11 ]
- ついでに本気で解いてないｗ
本気で解いたらできるけど、
まぁ問題の核心が分かったんでミスしててもいいでふ
- 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/11(土) 07:51:11 ]
- >>144
a_n = 1/(n!)
b_n = 1/(n!+1)
- 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 08:09:16 ]
- a,b,cは自然数である。
a は奇数である。
a,b は互いに素である。
a^2 + b^2 = c^2 が成立する。
//-----------------------------------------------------------
以上が全て成り立つとき、
d = √{(a + c)/2} なる d を考える。
dが自然数となる場合があることを示せ。
- 159 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/15(水) 19:56:37 ]
- >>158
a=3,b=4,c=5のときd=2
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 21:48:17 ]
- >>158
m、nが自然数のとき
(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2=(m^2 + n^2)^2 だから
mを偶数、nをmと素な奇数に選らび a=m^2 - n^2、 b=2mn、 c=m^2 + n^2 とすれば
D=(a + c)/2=m^2 だから d=√D=m は自然数
- 161 名前：158 mailto:sage [2009/07/16(木) 03:29:21 ]
- >>159
あう・・・問題文工夫すればよかった
>>160
てか、大学入試の整数問題で難問つくるのむずかしいか・・・
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 00:01:37 ]
- 564:べ 2009/07/08(水) 20:39:35
>> 1 への練習問題
x>3を満たすxとして適切なものを次のうちから全て選べ｡
（つまり、３より大きいと言い切れるものを全て選べ。)
-3 √10 0 99999/33332 2.99 3 π √√26 ∞
3!/2! 10sin17° log20 √7+0.3541 e i [x→3]x
＊とりあえず、分からないものは飛ばして、そうだと思うものだけ全部選んで見る｡
＊電卓禁止。余裕があれば理由も添える事｡
一応あげとく｡
ちょｗｗ数学テスト９点、誰か助けてくれー！
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1243585921/
注意：このスレの“１”は高一
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 00:06:41 ]
-
640:べ 2009/07/09(木) 01:20:01
>> 639
∞は一番大きいという概念だから３より大きいだろ。数とかの次元じゃない｡
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 06:33:26 ]
- >>163
「∞は一番大きいという概念」
そうなんですか？ｂｙリアル高校生
「１番大きい数」というのは、定義できないけど（ですよね？)
「１番大きい」というのもなんか・・・単に言葉のあやで、数学の世界では、別に問題ない表現なんんでしょか？
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 11:32:00 ]
- >>164
∞は数字じゃなくてただの記号
- 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 18:47:09 ]
- >>164
これ>>163は糞コテの恥レスを晒したものです
アホが伝染するので真面目に受け取らぬ様にお願い致します
- 167 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/17(金) 22:32:53 ]
- 3･2^a-1=b^c
は任意の2以上の自然数a,b,cで成立しないことを示せ
- 168 名前：べ [2009/07/18(土) 02:00:13 ]
- >>167
１分ぐらいで、しかもちゃんと解いてないから間違ってるかも
mod 4,12での合同式より、b^cが3,11の倍数であることを証明して、
b^c=33kとして与式に代入、
左辺が3の倍数-1、右辺が3の倍数となって、不成立。
とかか？
- 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 02:05:21 ]
- 4の倍数-1は3の倍数
12の倍数-1は11の倍数
とかいわないよな
いくらβでも
- 170 名前：べ [2009/07/18(土) 02:05:33 ]
- あ、途中から訳わかんない事やってるｗ
でも眠いんで寝るわ。
- 171 名前：べ [2009/07/18(土) 17:53:07 ]
- とりあえずmodを使って、
（まぁ使わなくとも即出せるが）
b^cが12の倍数-1にはならないことを証明する。という所まではいけたが、
証明がなかなかできそうにないので、諦めた
- 172 名前：べ mailto:sage [2009/07/18(土) 17:53:50 ]
- 方針違ってたらスマソ
- 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 17:55:46 ]
- 気のせいかどうか知らないけど
11^1 = 12 - 1
12^3 = 12*111 - 1
まー、俺はべ様ほど頭良くないんで間違ってると思うが
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 18:01:07 ]
- >>173
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 18:07:09 ]
- ここは馬鹿であることを遠慮なく告白するスレなのか？
- 176 名前：べ [2009/07/18(土) 18:41:07 ]
- >>173
それを利用すればできるじゃね？
まぁ、また気が向いたら。その頃には解かれてるかもだけど。
>>175
それは君だけだろう
- 177 名前：べ [2009/07/18(土) 18:47:20 ]
- >>713
まず、上は2以上なんだからc=1は間違い。
下は、一致しないぞーい。
やっぱ利用できそうにないか…
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 19:46:34 ]
- >>177
11^3 = 12*111 - 1
- 179 名前：べ mailto:sage [2009/07/19(日) 00:14:00 ]
- あ、違うｗ
12の倍数じゃなくて、12*2^nだった…。
111は2^nじゃないと…
合ってる式なんだしそりゃ解けんわな…。
これなら解けそうだな…気力がある時にやってみる。
- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 00:23:29 ]
- a＝2のときは11＝b^c となって、これを満たすb,cは無い。
a≧3のときは、mod 8で考えて－1≡b^c となるから、もし
c＝2mだとするとb^c≡0,1,4 となり(∵b^2≡0,1,4 (mod 8)しか起こりえない)、
－1≡b^c は起こりえない。
よってc＝2m＋1 (m≧1)ということになる。bが偶数だとすると
b^c≡0となってしまうので、bは奇数となる。最初の式に戻って
3*2^a＝1＋b^c＝(b＋1)(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1) となるが、
bは奇数だから(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1)も奇数であり、よって
2^a｜(b＋1) ということになる。よってb＋1＝2^a，3*2^a を得る。
b＋1＝3*2^a のときは、3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(3*2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝3*2^a (≧12)
と置いて、x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－3x＋2≦0となり、
よって1≦x≦2となる。しかしx≧12だから矛盾。
b＋1＝2^a のときは、同様に3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝2^a (≧4)
と置いて3x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－5x＋2≦0となる。
これを満たす自然数xはx＝1,2,3,4しか無いので、x≧4と合わせて
x＝4を得る。よってa＝2となるが、a＝2の場合は既に見た。
- 181 名前：べ mailto:sage [2009/07/19(日) 00:32:14 ]
- mod使う事と、bが奇数なのはすぐ分かったが、
1+b^cを展開して解くというのはなかなか…。
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 00:53:19 ]
- >>180
b^c+1が3の倍数⇔b+1は3の倍数かつcは奇数
だからb+1=2^mは外せる
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 00:56:55 ]
- >>181
この操作は因数分解って言って展開とは逆操作なんだよ
- 184 名前：べ mailto:sage [2009/07/19(日) 01:11:22 ]
- >>183
二項展開のような意味で使ったんだが・・
- 185 名前：べ mailto:sage [2009/07/19(日) 01:16:30 ]
- まぁ、丁寧な返答ありがとう。
ここには質問者をバカにする連中もいるからな。
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 01:21:06 ]
- ニ項展開の展開も普通の展開と同じ意味なんだけど
- 187 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 14:14:23 ]
- 1辺の長さが１の立方体を平面で切るとき、断面図の最大値、最小値を求めよ
- 188 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 15:59:08 ]
- 【炎上】彼氏が通報者の車に醤油かけて仕返しした
changi.2ch.net/test/read.cgi/kankon/1248194952/l50
- 189 名前：見方によってはかなりインチキ臭い国際大会 [2009/07/24(金) 16:18:15 ]
-
>2009年：1位-中国、2位-日本、3位-ロシア、4位-韓国、5位-北朝鮮、6位-アメリカ
>国際数学オリンピックの引率の先生がラジオで言ってたんだけど、問題は前日に配られて、
>それを言語のできる " その国の引率の先生 " が各自翻訳するらしいです。
>だからと言って生徒に、問題や解答が事前に漏れてるとは言ってませんでしたよ。
前からこの辺りが胡散臭いと思っているんだけど、見方によってはかなりインチキ臭い国際大会。
- 190 名前：記憶馬鹿には絶対解けない数学問題集 [2009/07/24(金) 16:21:23 ]
-
4角柱の問題 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/Mobius.html
球体から反射された光線が到達する地点 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/Q-4.html
反転ゲームの最短回数 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/h-1.html
( 縦横とも2n個の時の一般解も出して頂けると、すごいと思います )
アリの戦争 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/b-h.htm
立方体の通路 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/l-1.html
( 頂点から頂点までの通路は、他の通路と交差している交差点があっても直進する )
回転する光の通過速度 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/4-1.html
入れ子になった回転リングの軌跡 → www.geocities.jp/eig35153/m-1/ling-1.htm
- 191 名前：なるべく予備知識無しで解いて欲しい数学難問 [2009/07/24(金) 16:24:47 ]
-
問題 : ミサイル曲線
ｘｙ平面の原点に地対空ミサイルが設置されている。 時刻ｔ＝０に上空（０，ｈ）を敵戦闘機が速さｖでｘ軸に平行に
ｘの負の向きに一定の速さｖで飛行している。 このミサイルは常に目標をめがけて一定の速さＶで飛行する。 時刻ｔ＝０で発射されたミサイルの
(１） 軌道を表す曲線の方程式を求めなさい。 (２） 戦闘機が撃墜される時間はいくらか。
ただし ｖ＜Ｖ とする。 戦闘機もミサイルも点と考えてよい。
問題 : 伸びるゴムひも上を移動する虫
1mのゴムひもの左端を固定します。左端に虫をおきスタートと同時に虫がゴム上を5cm/sで歩き、
ゴムひも自体を右端を5cm/sで引き延ばした場合に虫が右端に到達する時間を求めなさい。
問題 : 蛇口から流れ落ちる水流の曲線
水道の蛇口から少量の一定の水を流すと落下につれて水流が細くなってきます。
蛇口の中心から下方へｘ軸、それと垂直方向にｙ軸をとった場合、落下水流の形を示す方程式ｙ＝ｆ（ｘ）を求めなさい。ただし粘性率＝０
Ｓ：蛇口の断面積、 ｖ0：蛇口での流速、 ｇ：重力加速度とします。 また水は自然落下するとします。
- 192 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/25(土) 03:21:56 ]
- 167の解答
3･2^a-1=b^c
についてcを奇数としても一般性を失わない
また左右の偶奇を考えてbは奇数3･2^a=(b+1)(b^(c-1)-…+b^2-b+1)と因数分解され、
(b^(c-1)-…+b^2-b+1)は奇数よりb+1は3･2^a,2^aのどちらかでこの時
b^(c-1)-…+b^2-b+1=3,1
b(b^(c-2)-…+b-1)=2,0
bは3以上で左辺整数だから右辺2は不適。これより
b^(c-2)-…+b-1=0だけだが
b(b^(c-3)-…+1)=1を満たすものは上と同様に考えて存在しない //
出典はVIPの数学wiki
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 03:47:02 ]
- なんで最後で照れてんだよ
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 12:14:14 ]
- >>187
最小値は 0
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 12:53:11 ]
- >>187
六角形の時が最大か？
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 13:19:30 ]
- >>195
ダウト
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 20:00:00 ]
- www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/danmen.htm
【３】高次元の球と立方体の断面の体積
（１）ボールの不等式
ｎ次元単位立方体の断面の体積の最大値について考えてみましょう．
１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，
その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．
対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．
また，（３次元）単位立方体の断面は，
３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，
辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．
２次元・３次元での問題は，
４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできますが，
ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
１≦Ｖ≦√２
であることが，ボールによって証明されています（1986年）．
ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点です．
ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立しましたが，
こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は，
高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像されます．
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 01:13:53 ]
- >>197
3次元の場合，最小値が1はおかしい
なので何か切り方の条件があるんだろ
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 01:28:17 ]
- ＞ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 14:35:46 ]
- >>197
- 201 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 01:01:25 ]
- ロイヤルストレートフラッシュができる確率を求めなさい
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 01:35:47 ]
- いやです。
- 203 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 02:05:09 ]
- 誰か>>61やってくれよ
悲しくなるよ
- 204 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 08:59:44 ]
- m,nを正の整数値とする。2^nが3^m - 1を割り切るとき、nの最大値をmであらわせ(そのnが最大値であることを証明せよ)。
例 3^960 - 1 を割り切る 2^n の最大値 → n=8
＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で…
私は４～５時間かかりましたが現役なら２５～５０分かと。
- 205 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 11:36:19 ]
- >>204
解いてて，mの奇偶で分けるだけで意外と楽だなーと思ったが偶の場合がめんどくさく1.5～2時間ぐらいかかったかなｗ
ちょっとミスしても得意だったら，50分以内に解けるか．．．
取り合えず答えだけ
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
題意を満たすようなnをn(m)と表記する．
(1) m＝1,3 (mod4)
n(m)＝1
(2) m＝2 (mod4)
n(m)＝3
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^l)・k (k∈Z odd)
と表示したlを用いて
n(m)＝l+2
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 12:14:02 ]
- >>205
答えは正解です。
やっぱり証明は長くなりましたか？
>>all
素朴な方法で証明できるので挑戦してみてね！
- 207 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 12:41:14 ]
- >>206
今 清書してるが，A4 2枚には収まるかな．．．
(3)の場合がちょっとね
ちなみに
3^a-1＝(3-1){3^(a-1)+3^(a-2)+…+3+1}
を用いて示した
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 14:09:37 ]
- (3)の表現がおかしかった
――――――――――――――――――――――――――――
正しくは以下：
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^2l)・k (l∈N, k∈N odd)
と表示したlを用いて n(m)＝2l+2
――――――――――――――――――――――――――――
l＝0の場合は(1)だし，2kの場合は(2)だから(4^l)kに訂正
kはZ oddでも問題ない(m>0なので)が，一応 正の奇数 なので．
次から解答
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 14:11:25 ]
- (1) m＝1,3 (mod4)
m＝2k-1 ( k∈N ) とおけて，
3^m-1＝3^(2k-1)-1＝(3-1){3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k-1項，つまり奇数項あることに注意しておく．
続けて 3^m-1＝2・{3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1＝{3^(2k-3)}{(3+1)+{3^(2k-5)}(3+1)+…+3(3+1)+1}
＝{3^(2k-3)}・4+{3^(2k-5)}・4+…+3・4+1＝1 (mod2)
したがって2でのみ割り切れる ∴ n(m)＝1
(2) m＝2 (mod4)
m＝2k ( k∈N odd) とおけて，
3^m-1＝3^(2k)-1＝(3-1){3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k項，つまり偶数項あることに注意しておく．
続けて
3^m-1＝2・{3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1＝{3^(2k-2)}{(3+1)+{3^(2k-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+(3+1)}
＝{3^(2k-2)}・4+{3^(2k-4)}・4+…+3・4+4
＝4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
∴ 3^m-1＝2・4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
＝(2^3)・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
そして， 〔2つめの括弧内〕＝1 (mod2)
∴ n(m)＝3
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 14:12:25 ]
- (3) m＝0 (mod4)
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表せられる
以下，n(m)＝2l+2 であることを帰納法で示す
(i) l＝1
m＝4kより
3^m-1＝3^(4k)-1＝(3^(2k)-1){(3^(2k)+1}
3^(2k)-1＝(2^3)・(奇数) (∵ (2) )
3^(2k)+1＝{3^(2k)-1}+2＝(2^3)・(奇数)+2＝2{(2^2)・(奇数)+1}
∴ 3^m-1＝{(2^3)・(奇数)}×2{(2^2)・(奇数)+1}
＝(2^4)・(奇数)・{(2^2)・(奇数)+1}
∴ n(m)＝4
(ii) 一般のl, l+1のとき
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表示出来，過程よりn(m)＝2l+2
l+1のときは, 2m＝{2^(2l+2)}k で
3^2m-1＝(3^m-1)(3^m+1)
3^m-1＝2^(2l+2)(奇数)
3^m+1＝(3^m-1)+2
＝(3-1){3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+2＝2・[{3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+1]
同様に2項ずつ組にして
3^m+1＝2・[{3^(m-2)}(3+1)+{3^(m-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+1+1]
＝(2^2)・(奇数)
3^2m-1＝2^(2l+2)(奇数)・(2^2)・(奇数)＝{2^(2l+4)}・(奇数
∴ n(m)＝2l+4＝2(l+1)+2
よって示された□
- 211 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 16:00:02 ]
- >>208
>>205の表現が正解だと思います。
>>208だと、例えばm=8の時、(l、k)を上手く設定できないことになります。
ついでに言うと、(2)と(3)は一緒にしてOKだと思います。
その方が帰納法も楽になるし。
- 212 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 16:17:48 ]
- S[k]=Σ[i=0、k-1]3^i
L(p)=(2^Lがpを割りきるような最大のL)
とする。
以下証明の準備
①L(p*q)=L(p)+L(q)②pが偶数の時
3^p +1=9^(p/2) +1
≡2(mod8)
∴L(3^p +1)=1
③pが奇数の時
3^p +1=9^{(p-1)/2}*3 +1
≡4(mod8)
∴L(3^p +1)=2
で、こっからが本題。
S[2k]=S[k](3^k +1)
より
L(S[2k])=L(S[k])+L(3^k +1)
∴L(S[2k])=L(S[k])+1(kが偶数)
L(S[2k])=L(S[k])+2(kが奇数)
従ってn=2^l*p(pは奇数、l≧1)の時
L(S[n])=l+1+L(S[p])
S[p]=Σ[i=0、p-1]3^i
は、奇数個(p個)の奇数(各3^i)の和なので、奇数
∴L(S[p])=0
以上より
L(S[n])=0(nが奇数)
L(S[n])=l+1
∴L(3^m -1)=L(2)+L(S[m])
=1(mが奇数)
=l+2(mが偶数)
- 213 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 16:22:00 ]
- >>212は、字数の都合で幾つかはしょったり、
書くの忘れてるところがあったり、
改行してなかったりで見にくいと思うけど、こんな感じでどうでしょう。
- 214 名前：204 [2009/08/01(土) 17:03:56 ]
- nを2より大きな整数、pを奇数としたときp=1mod.2^nを満たすnの最大値をf(p)=nとすると
①f(p^2)=n+1,②奇数qにおいてf(p^q)=nとなることから3^2=1 mod.2^3から出発して帰納的
にもとまります。
①と②の証明は2^nがp-1を割り切る最大値だからp=r*2^n+1 (rは奇数)と置いて
① p^2 = (r*2^n+1)^2 = 1 は mod.2^(n+1) で成立 mod.2^(n+2) で不成立
② p^q = (r*2^n+1)^q = 1 は mod.2^n で成立 mod.2^(n+1) で不成立
※それぞれ二項係数展開して各項を2^n～2^(n+2)で割ればわかります。
mが奇数の場合、3=-1 mod.2^2 → 3^m=(-1)^2 mod.2^2 となって2^2以上で割り切れないため、
2^1が最大。m=奇数 → n=1
mが2の場合、3^2=1 mod.2^3 は明らかで①と②より帰納的に3^(q*2^d)=1 mod 2^(d+2)となり
m=q*2^d → n=d+2
でつ。。。
- 215 名前：205 mailto:sage [2009/08/01(土) 17:21:16 ]
- おおーすっきり
解答してる最中に段々いろいろ思い出したｗ
>>205で
>偶の場合がめんどくさく
と書いたが，どうも勝手に勘違いしてめんどくさがってたようでｗ
>>209-210でなぜ4の倍数に拘ったかはよく思い出せんが
2＾16-1＝(2^8-1)(2^8+1)＝(2^8-1){(2^8-1)+2}
といった関係をみて，まず偶数は別ということで，その後なんか思いついたんだろう
>>211
m=8が入らないことに気付けないとは我ながら．．．
さらにmodの扱いも酷い．まあよくこの手の問題でミスしてたから恐る恐る使ってしまったｗ
- 216 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 22:35:18 ]
- 球面(x+7)^2+(y+9)^2+(z+7)^2=9がある。中心軸がＡ(3,-2,-1)B(-9,0,3)を通る直線に含まれる直円錐を球が円錐に含まれるようにとる。このとき円錐の表面積の最小値を求めよ。
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