- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 20:56:37 ]
- 〔問題〕k≧2 のとき
{k/(k-1)}^(k - 1/2) > e,
を示してくださいです。
- 45 名前：40 mailto:sage [2009/05/27(水) 22:32:12 ]
- >>44
2項定理より
{(k^2)/(k^2 -1)}^(2k+1) = {1 +1/(k^2 -1)}^(2k+1) = Σ[j=0,2k+1] Ｃ[2k+1,j] /(k^2 -1)^j
> 1 + (2k+1)/(k^2 -1) + (2k+1)k/(k^2 -1)^2 + (2k+1)k(2k-1)/{3(k^2 -1)^3 (今回はj=3まで残す)
> 1 + (2k+1)/(k^2 -1) + (2k+1)k/(k^2 -1)^2 + k/(k^2 -1)^2 (← (2k+1)(2k-1)>3(k^2-1))
= 1 + 2(k+1)/(k^2 -1) + (k+1)^2/(k^2 -1)^2
= 1 + 2/(k-1) + 1/(k-1)^2
= {1 + 1/(k-1)}^2
= {k/(k-1)}^2,
平方根をとると
{(k^2)/(k^2 -1)}^(k + 1/2) > k/(k-1),
∴ {k/(k-1)}^(k -1/2) > {(k+1)/k}^(k +1/2) > ･･･(単調減少)･･･ > e,
〔系〕n≧2 のとき
n! < e･n^(n +1/2)･e^(-n),
(略証) 上式にkをかけて
{k^(k +1/2)}/{(k-1)^(k -1/2)} > ke,
k=2〜n で辺々掛ける.
n^(n +1/2) > n! e^(n-1),
なお、Stirling の公式によると、
n! 〜 c･n^(n +1/2)･e^(-n), ただし、c = √(2π) = 2.506628･･･
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