- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 02:06:28 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/09(月) 03:31:38 ]
- 2,2^2,2^3,…,2^2009の中で一番位が高い数字が1であるものの個数を求めよ
- 556 名前：狂介 mailto:sage [2009/02/09(月) 18:55:39 ]
- >>555
(2^2009の桁数)-1
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/09(月) 19:07:35 ]
- 必ず桁が上がる時に1を経由するからね。
以前わからない問題スレにあった
2^555の桁数は168で最高位が1である
このとき2^n（n＝1､2､3....555）の中で最高位が4の数は何個あるか
のほうがおもしろいね。
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/10(火) 00:04:10 ]
- >>557
さすがに優秀な入試問題は練ってあるよね。
ちなみに早稲田教育の問題やね。しかも小問集合。鬼だｗ
- 559 名前：狂介 mailto:sage [2009/02/10(火) 21:05:28 ]
- 答え聞いた時は入試問題としては発想が難しすぎだなって思った。
数学は遊びだって人でも運が良くないと無理そう。
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/12(木) 00:38:21 ]
- >>557は細かい計算が必要な気がしてごちゃごちゃやっててハッとした
- 561 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/12(木) 18:51:55 ]
- 次の連立方程式において､
0≦x,y＜2πを満たす解はただ1組存在することを示せ｡
sinx+cosx=sinycosy
sinxcosx=siny+cosy
- 562 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/13(金) 06:38:06 ]
- 媒介変数表示の求積問題だしてたな、あれはいかん。
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/14(土) 14:01:50 ]
- >>561
それは偽だぞ。x'=x+π/4,y'=y+π/4とおくと
(1) sin(x')=-(1/2√2)cos(2y')
(2) sin(y')=-(1/2√2)cos(2x')
だからx'をπ-x'(あるいは3π-x')に置換しても同じ方程式になってしまう。
解がちょうど4つあることは次のように示すことができる。
(2)をsin(y')=(1/2√2)(2sin^2(x')-1)と思って(1)を代入すると、
(3) sin^4(y')-sin^2(y')-2√2sin(y')-3/4=0
という方程式になり、t^4-t-2^2-2√2t-3/4=0は[-1,1]の範囲に唯一の解を持つ。
この解は実は(-1,0)の範囲に含まれていてy'は2通りある。
(1)(2)と(1)(3)は連立方程式として同値だから、
sin(y')=tのもとで(1)の解の個数を調べればよいが、
sin(x')=-(1/2√2)(1-2t^2)は2解を持つので(x',y')の組は4通りある。
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/15(日) 13:00:01 ]
- ｃｏｓ（ｘ）＋ｓｉｎ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｙ）ｓｉｎ（ｙ）＝ａ。
ｃｏｓ（ｘ）ｓｉｎ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｙ）＋ｓｉｎ（ｙ）＝ｂ。
ａ＾２＝１＋２ｂ。
ｂ＾２＝１＋２ａ。
（ａ＾２－１）＾２＝４（２ａ＋１）。
ａ＾４－２ａ＾２－８ａ－３＝０。
（ａ＾２＋２ａ＋３）（ａ＾２－２ａ－１）＝０。
ａ＝１－√（２）。
ｂ＝１－√（２）。
（ｃｏｓ（ｘ）－ｓｉｎ（ｘ））＾２＝２√（２）－１。
- 565 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/15(日) 16:27:35 ]
- >>561
0≦x､y≦π に訂正を｡
- 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/15(日) 20:34:59 ]
- ⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
を差積とか Vandermonde 行列式とか 言うらしい。
〔問題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
ここに、s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc.
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/737 , 739
不等式スレ３
- 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 04:36:56 ]
- >>557
題意より 168 ≦ n･log(2) < 168 + log(2),
最上桁が '1'
[ n･log(2) ] = 76 個,
最上桁が '2' か '3'
[ (n-1)log(2) ] +1 = 77個,
最上桁が '5'～'9'
[ (n+1)log(2) ] = 77個,
最上桁が '4'
n - (76+77+77) = 25個, (← 題意より n=255)
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 06:26:20 ]
- >>567
全然違うぞ
- 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 06:27:57 ]
- >>522, 527
F(t) = 45t -14190t^3 +1221759t^5 -45379620t^7 +886163135t^9 -10150595910t^11
+73006209045t^13 -344867425584t^15 +1103068603890t^17 -2438362177020t^19 +3773655750150t^21
-4116715363800t^23 +3169870830126t^25 -1715884494940t^27 +646626422970t^29 -166871334960t^31
+28760021745t^33 -3190187286t^35 +215553195t^37 -8145060t^39 +148995t^41 -990t^43 +t^45,
G(t) = 1 -990t^2 +148995t^4 -8145060t^6 +215553195t^8 -3190187286t^10
+28760021745t^12 -166871334960t^14 +646626422970t^16 -1715884494940t^18 +3169870830126t^20
-4116715363800t^22 +3773655750150t^24 -2438362177020t^26 +1103068603890t^28 -344867425584t^30
+73006209045t^32 -10150595910t^34 +886163135t^36 -45379620t^38 +1221759t^40
-14190t^42 +45t^44,
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 06:40:58 ]
- >>527
蛇足だが
F(t) = Σ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1),
G(t) = Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j),
(略解)
複素数を使う。√(-1) =i とおく。
1+it ∝ cosθ + i･sinθ = exp(iθ), (← t=tanθ)
cos(nθ) + i･sin(nθ) = exp(inθ) = {exp(iθ)}^n,
より
G(t) + i･F(t) = (1+it)^n = {Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j)} +iΣ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1)},
F(t) = Σ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1),
G(t) = Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j),
n=45 のときは >>569
- 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 16:23:09 ]
- >>567
その理論、nが小さい時に試してみたら？
- 572 名前：571 mailto:sage [2009/02/22(日) 16:31:07 ]
- >>567
「+1」が見えてなかった
スマン
- 573 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/24(火) 10:43:35 ]
- 2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 10:49:22 ]
- >>573
久しぶりだね
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 11:01:27 ]
- ＞そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
この引き算は行列としての引き算じゃ無いの？
だとしたら問題文でわざわざ断るのは不自然。
（いや何でこんなこと書いたのかは分かるんだけどね）
2×2行列としての構造を無視するなら、
ただの濃度が |R| の集合に過ぎないんだから何も求めようがなくなる
- 576 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/24(火) 12:02:31 ]
- 流れ豚切ってすみません。
以前、ここか京大スレかのどこかで
lim[n→∞]a[n]=0 ⇒ lim[n→∞]Π[k=1,n]a[k]=0
は成り立つか？みたいな雰囲気の問題を見た覚えがあるんですけど、
（本物はこんなに簡単じゃなくて、アイディアが必要な問題でした・・・）
誰か詳細をご存じないでしょうか。過去ログ調べたんですが見つかりませんでした。
（ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
何か情報をお持ちの方は、ご教示下さい。
- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 12:36:05 ]
- >>576
＞ （ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
会員登録すれば誰でも使えたYahoo!ブリーフケースが、有料会員専用に変更された
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 23:37:23 ]
- >>576-577
過去ログ倉庫の避難所を用意しました。
cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/25(水) 00:33:57 ]
- >>576
例示してるのと大差ない気がするけどこれ?
813 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/10/26(日) 14:27:34
じゃぁ要望にこたえて、某有名、大学入試問題集から一問
次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、0<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
- 580 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/25(水) 12:33:46 ]
- >>579
んんっ…あっ…これです！！！
どうも有り難うございました。
>>578さんもお疲れ様ですm(_ _)m
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/25(水) 21:55:13 ]
- >>580
んんっ・・・あっ・・・
エッチぃのは嫌いです＞＜
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/26(木) 00:07:33 ]
- >>579
当然偽だね。
logをとって考えれば，結局「負の数を無限個足せば-∞に発散する」という主張をしていることになるが，
もちろんそんなことは成り立たない。-1/2^n とかを考えれば明らか。
- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/26(木) 22:27:58 ]
- >>579
判例
a[k] = {k/(k+1)}*{(k+2)/(k+1)},
a(1)a(2)･････a(n) = {1/(n+1)}*{(n+2)/2} → 1/2. (n→∞)
13 24 35 46
---------------------
22 33 44 55
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/27(金) 00:05:35 ]
- >>579
凡例
0<b<1 として, bに収束させる。
a[k] = {(k-1+2b)/(k+2b)}*{(k+2)/(k+1)},
a(1)a(2)･････a(n) = {2b/(n+2b)}*{(n+2)/2} → b. (n→∞)
- 585 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 00:37:59 ]
- フィボナッチ数列を三角関数で表現しなさい
- 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 00:47:48 ]
- >>579 (別解)
0<b<1 とすると、(sinθ)/θ = b となるθが(0,π) にある。
a[k] = cos(θ/(2^k)) = sin(θ/{2^(k-1)})／2sin(θ/(2^k)),
a(1)a(2)･････a(n) = sinθ/{(2^n)sin(θ/(2^n))} → sinθ/θ = sinc(θ) =b, (n→∞)
- 587 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 00:56:31 ]
- ５７９
有界単調減少ー＞収束
limΠa(i)=c>0
c*.9<c
になるので
c>0は矛盾ー＞ c=0
- 588 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 02:42:35 ]
- 今年も東大より京大の方が面白い
- 589 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 07:17:48 ]
- 次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、-1<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 08:20:25 ]
- >>582
-1/2^n の数列を無限個足していったら0になってしまわないかしら
- 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 08:39:35 ]
- どこをどう突っ込めばいいのやら
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 08:51:52 ]
- ああ、かけていったら、です。(-1)^n/2^(0.5n*(n+1))→0だよなあ
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 12:45:00 ]
- >>412あたりの本にちょっと興味あるのだけど、本当に買ってみるべきかしら？
他にもっとこれやれって本はあったりするのかしら
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 12:58:25 ]
- >>579 (別解)
0<b<1 とする。
a(k) = b^{(1/2)^k},
a(1)a(2)･････a(n) = b^{1 - (1/2)^n} → b (n→∞)
- 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 13:40:08 ]
- >>587
なにこれ？
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 14:37:08 ]
- >>585
ここら辺↓に解凍････
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/312-314
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/421-422
- 597 名前：596 mailto:sage [2009/02/28(土) 14:48:11 ]
- >>585 リンクミス、すまそ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/421-422
定理スレ
- 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/01(日) 01:08:48 ]
- n枚の互いに異なるカードがひとつの山に重ねてある。初期の順序の状態を順序Mとする。
以下の試行によりカードを並び替える。ただしp,qはnの約数とする。
①山を上から順にp等分する。それぞれの山をA1、A2、・・・、Apとする。
②A1,A2・・・Apと順に一番上のカードを取っていく。Apのカードを取ったらA1に戻り山がなくなるまで繰り返す。
③先に取ったカードをが上になるように一つの山を作る。
この試行をZ(p)とする。
（１）順序MからZ(p)をm回繰り返した。このとき順序Mとなっている条件を求めよ。
（２）n≧pqとする。このとき、順序MからZ(p)をq回行った山のカードの順序と、順序MからZ(pq)を１回行った山のカードの順序が等しいことを示せ。
（３）順序MからZ(p)をa回行った後、その状態からZ(q)をb回行った。このとき順序Mとなっている条件を求めよ。
- 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/01(日) 09:00:05 ]
- あ、間違えた
（２）順序MからZ(p)をq回行った山のカードの順序→順序MからZ(p)を行った後Z(q)を行った山のカードの順序
- 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/01(日) 20:52:42 ]
- >>579
B(0) = 1,
B(n) は単調減少
Lim[n→∞] B(n) = b,
を満たす数列 B(n) に対して
a(n) = B(n) / B(n-1),
- 601 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/03(火) 12:14:39 ]
- たった一つのことを使い回していくだけなので面白みに欠けるところがあるが
まあ入試なら差が付くだろうし，昔東大にも似たようなのあったからいいか。
2009^2009の各位の和を計算し，更にその各位の和を計算し…
と出てきた数の各位の和の計算をくり返していくとき，
最後に残る一桁の数字を求めよ。
- 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/03(火) 12:54:15 ]
- パクり乙
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/03(火) 14:21:37 ]
- >>601
答え 5
9で割った余りを求めればよい。2009~2009=2^2009=2^{6*334+5}=2^5=5 (mod 9)
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/03(火) 14:36:10 ]
- 糞問ばっかだな
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2009/03/04(水) 23:49:36 ]
- 円周率πと、√3+√2の大小を比較せよ。
- 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 01:11:47 ]
- >>605
まず π^2/6 = 2 - 1/(1^2*1*3) - 1/(2^2*3*5) - 1/(3^2*5*7) - … を導く。
1/(1^2*1*3) + 1/(2^2*3*5) + 1/(3^2*5*7) + …
=(1/1^2)(4/(1*3)-1) + (1/2^2)(16/(3*5)-1) + (1/3^2)(36/(5*7)-1) + …
=(4/(1*3)-1/1^2) + (4/(3*5)-1/2^2) + (4/(5*7)-1/3^2) + …
=(2/1-2/3-1/1^2) + (2/3-2/5-1/2^2) + (2/5-2/7-1/3^2) + …
=2 - π^2/6
従って
π^2 = 6{ 2 - 1/(1^2*1*3) - 1/(2^2*3*5) - 1/(3^2*5*7) - … }
= 12 - 2 - 1/10 - 2/105 - 1/168 - …
両辺の2乗は
(√2+√3)^2 = 5+2√6 = 10-(5-2√6) = 10-(√25-√24)
π^2 = 10 - (1/10+2/105+1/168+…) = 10-(5/42+1/168+…)
10から引かれる値の大小関係は
√25-√24 = 1/(√25+√24) < 1/(5+√16) = 5/45 < 5/42 < 5/42+1/168+…
従って (√2+√3)^2 > π^2 つまり √2+√3 > π
- 607 名前：605 mailto:sage [2009/03/06(金) 00:17:24 ]
- >>606
素晴らしい！正解です。
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/06(金) 14:28:59 ]
- >>607
>>607が用意した解答が>>606と同じならむずくねえかこれ？高校レベルなの？
>>606は5行目から6行目を導くためには和の順序交換をしなければならないが
無限級数の和の順序交換は一般にはできないため、絶対収束性の確認がいる
明らかに高校レベルを超えていると思われる
>>606にちょっと意見するならば
5行目が絶対収束することを示すには結局4行目に戻らなければならないので
（5行目で絶対値級数をとると∞発散してしまう）
4行目が絶対収束することを示して、和の順序交換ができることに言及した上で
4行目=(4/(1*3)+4/(3*5)+4/(5*7)+・・・)+(1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・)
と和の順序交換ができて、=6行目とするべきだと思う
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/06(金) 17:44:21 ]
- 小数点以下2桁で見分けつかないのはキツイ
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 13:30:37 ]
- >>605
>606しか解答がないわけか？
ちなみに俺は、正6*2^n角形でπの値を評価していく明らかに現実的じゃない方法しか思いつかないんだが。
- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 13:51:32 ]
- >>235の途中から
π<2√6-4√3-2√2+8<2*2.45-4*1.732-2*1.414+8=3.144<1.732+1.414<√3+√2
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 13:52:59 ]
- でも、この方法もたまたまうまくいっただけで、試験中には現実的に無理か
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 14:11:57 ]
- cos2x+cos3x-6xの挙動を調べてx=π/12を代入して・・・
という方針を試してみたが、うまくいかなかった
誰か高校レベルでの解法を頼む
- 614 名前：605 mailto:sage [2009/03/07(土) 23:28:22 ]
- >>610
正48角形を考えれば大丈夫。基本的には(もう消えているが)>>218と同様の方針。
p=\tan \pi/48とすると示すべきはp<(\sqrt{3}+\sqrt{2})/48
加法定理より 2p/(1-p^2)=1/(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2)
よりpは二次方程式p^2 +2p(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2) -1=0の正の解。
(\sqrt{3}+\sqrt{2})の形になっているから、>>218よりは簡単にいくと思われる。
というのと>>235のようにやるのが、一応想定した解答。
- 615 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/08(日) 07:58:53 ]
- 円周率π=3.14152と、√3=1.732050+√2=1.41421356の大小を比較せよ。
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 08:58:54 ]
- 意味不明。
- 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 18:52:58 ]
- >>661
2007年度はBとCレベルばかりなのに、大学への数学からは>>288に書いてあるように
難しすぎる、難易度の調節が出来ないなら入試を作るのを止めろとまで罵られたらしい。
他の予備校はそこまでの極端な難化とは見ていないのに。
極端な例かも知れないが、例えばこんな問題を
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/605
何の誘導も無しに出すのが京大。懇切丁寧に誘導を付けて出すのが阪大。
- 618 名前：617 mailto:sage [2009/03/08(日) 18:54:39 ]
- 誤爆しました。
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 18:56:05 ]
- 誤爆した理由はわかるが書き込むつもりだったスレが気になる
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 19:40:32 ]
- 90年代の東大の入試問題作問者は首吊って死ななきゃいけないなｗ
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 20:08:11 ]
- あれで試験になってたんだよ
- 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 23:17:36 ]
- 数学は実質的に120点満点の試験としての機能を果たしてなかったけどね。
六問中一問が解けてもう一問で部分点を貰えれば
どこの科類でも目指せた時代なので。
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 23:28:34 ]
- それが本当なら、確かに入試問題としておかしいなｗｗ
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/09(月) 00:08:02 ]
- 今見ると恐ろしく簡単に見える・・何であんなので2完だったんだ俺。
まぁうかったけど。
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 00:55:38 ]
- >>605
不等式への招待 第３章
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/451
(これ以降にも関連レス)
「√２＋√３＞πの証明」
ttp://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou56.html
- 626 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 02:37:23 ]
- 超天下り式だが
∫[0→1]x^4(1-x)^4/(1+x^2)dx=22/7-π>0 より
√2＋√3>1.414+1.732=3.146>22/7>π
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 02:41:54 ]
- これはすごい
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 02:54:08 ]
- 22/7か、思いつかなかったな
- 629 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 02:57:38 ]
- πの近似値
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 03:44:47 ]
- 7/22は円周率近似値の日だからね
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 03:51:28 ]
- これも頼む
去年の数検の問題
ttp://www.suken.net/img/2008-07dani.pdf
数値計算をせずに
π^4 + π^5 ＜ e^6
であることを理論的に証明しなさい。
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 04:02:24 ]
- 22/7をはさむのは思いつかなかった。それほど精度がいいもんなんだなあ。
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 04:06:14 ]
- >>626
感動がかなり大きいんだが
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 08:58:13 ]
- 22/7を挟む発想より、22/7＞πが簡単に証明できることに驚き
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 09:53:29 ]
- 22/7 > π はずっと上で証明されてるけどな(>>240)
むしろ左辺の積分がどこから振ってきたのか
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 10:48:11 ]
- >>625-626
これはすごい
- 637 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 10:57:11 ]
- 「π > 3.14 を示せ」は難しい？
- 638 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 14:27:59 ]
- >>637
不可能だと思うよ。
- 639 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 14:34:57 ]
- >>626が良くわからないorz
- 640 名前：639 [2009/03/10(火) 14:38:02 ]
- ごめんわかった
- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 14:51:21 ]
- (i^4)(1-i)^4が実数だから被積分関数は多項式+定数/(1+x^2) って事か
8乗したらもう少し良い評価になるのかな
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 15:22:43 ]
- 自然数nに対して、(n!)^2≧n^nが成り立つことを示せ
- 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 15:27:09 ]
- n!*n!=Πk(n+1-k)
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 16:55:17 ]
- >>631
難しいな
ちょっと考えただけじゃ想像つかない
リンクの問題見てみたが、やる気が起きない問題ばっかだな
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 18:11:49 ]
- 数検の段位問題とかのやる気の起きなさは異常だよなｗｗｗ
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 18:28:06 ]
- つまんないってこと？？
- 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 20:58:28 ]
- いかにも問題のための問題として作られたような不自然な煩雑さに満ちた問題だから。
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 22:38:52 ]
- >>644
スレ違いかも知れないが、数検段位で本当に難しいのは共通問題。
誰でも何かしらは答が書けるかもしれないが、数検側の眼鏡にかなった
答案を書くのは超至難の技。しかも配点は共通問題のほうが大きいらしい。
初段[1]は簡単。[2]は一見簡単そうで難しい。
2段[1]は今年の東大の問題5に似ているタイプで、今年の東大[5]より計算がやや易しい。
3段[1]は一松信氏の本で紹介されていたが、
www.amazon.co.jp/dp/4535609020/
証明は書いていなかった。
- 649 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 22:42:59 ]
- 結局数板に解けるやつはいないのか
普段えらそうにしてる割にはいざとなると役に立たないんだな
その問題は興味がわきません（笑）
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 22:45:05 ]
- 数オリの問題のが良問だな
- 651 名前：648 mailto:sage [2009/03/10(火) 22:47:55 ]
- >>649
はい。斯く言う私も>>631は解けませんでした。
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 23:58:19 ]
- >>639-641
被積分函数は x^4･(1-x)^4 /(1+x^2) = x^6 -4x^5 +5x^4 -4x^2 +4 -4/(1+x^2),
(左辺) = [ (1/7)x^7 -(2/3)x^6 +x^5 -(4/3)x^3 +4x -4arctan(x) ](x=0,1)
= (1/7) -(2/3) +1 -(4/3) +4 -π
= (22/7) - π,
- 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 00:03:30 ]
- >>652
それはわざわざ書いてもらうほどの事ではないな。
4乗を8乗に代えたたものがみてみたいのだ。
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 00:37:24 ]
- >>649
お前分かってないな
主張や結果が興味深かったり、それを導く過程が楽しかったりするから解くんだろうが
その点>>650の言うように数オリの方が勝る
- 655 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/11(水) 00:52:48 ]
- >>653
xmaximaにやらせてみたところ
∫[0→1]x^8(1-x)^8/(1+x^2)dx=4π-188684/15015 (>0)
∴π>47171/15015=3.14159174…
今度は下から評価できた。
- 656 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/11(水) 01:02:42 ]
- >>655
かなり正確な評価で驚いた
だが計算量を考えれば妥当なところなのかな
- 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 01:04:58 ]
- では 355/113>π であることを…
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 01:13:32 ]
- 解く気がしないというのが、古くから結果は良く知られていた
有名問題を証明させる、みたいな感じの問題が結構多いんだよね。
まあJMOとかでも既出の問題が出題されることとかは以前はあったんだけど。
例の問題は（どっかのスレでも長々と書いたけど）
適当に積分の式を評価すれば解けるんじゃないの？
「数値計算をせずに」というのが何を意味するのか知らんが、
分数や小数の手計算くらいはしないと無理だと思う。
数値計算をせずに 3.1415926535＜π＜3.1415926536を示しなさい、と同程度に無理。
問題文を読んだ感じでは「プログラム組んで計算してみました」
的な解答でなく、手計算で求めれば良い、という意味かと。
しかし
＞ガウス平面（R^1-I^1 数空間）を手懸りにしながら， R^2数空間とI^2数空間の
＞関係について，あなたの見解を論述しなさい。
とかマトモな人が問題出してるのかと不安になるんだが大丈夫なのかね。
残りの共通問題も、出題者の主観を押し付けて立論させるような問題しかないし
- 659 名前：641 mailto:sage [2009/03/11(水) 03:11:45 ]
- >>655-657
(i^m)(1-i)^nが正なら下から、負なら上から評価されるね
(m,n)=(6,8)で
π<3+25513/180180 =3.1415972…
(m,n)=(10,8)で
π<3+173483/1225224 =3.1415928…
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 06:28:19 ]
- >>626 の被積分関数を変更して、ln(2)<0.7が示せるね。
∫[0→1]x^4*(1-x)^2/(1+x^2) dx = -ln(2) + 0.7
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 06:31:37 ]
- お前らホント数学好きなんだね
- 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 06:55:56 ]
- >>660
でも、ln2の評価なら、分母は1+xでもいいんだし、やっぱり626の積分は\piの評価にこそふさわしいと思う。
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 11:00:51 ]
- >>631って不等式スレで何回か出てきたけど誰も証明できてなかったな
本当は証明できないんじゃねぇの
そもそも誤差か小さすぎだし
- 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 11:00:55 ]
- >>631って不等式スレで何回か出てきたけど誰も証明できてなかったな
本当は証明できないんじゃねぇの
そもそも誤差か小さすぎだし
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 11:17:40 ]
- 大事なことなので二回言いました
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 17:11:59 ]
- √2+√3>πを変形して6>(x^2-5)^2/4 |_x=πとして、
x=3.142での値挟むのは既出だろうな
- 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 17:17:41 ]
- 考えないはずが無いけど、誰も書いてないね
- 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 21:35:05 ]
- >>631
数値計算をしないというのは
e>2.718281828
π<3.14159266
を証明して
π^4+π^5<e^6
が成り立つことがわかってもダメってこと？
理論的というのがイマイチわからん
- 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 21:38:16 ]
- >>641, >>653
(蛇足だが･･･)
I_n = {1/4^(n-1)}∫_[0,1] {x(1-x)}^(4n) /(1+x^2) dx
とおくと
I_1 = (22/7) - π
= 3.14285714285714… - π
= 1.26448926734961868021375957764e-4,
I_2 = π - 47171/(3*5*7*11*13) =
= π - 3.14159174159174…
= 9.1199805164672105164168776129246e-7,
I_3 = 5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) - π
= 3.1415926543282176611023023729983 - π
= 7.3842442263965898971879150324784e-10
より
|I_n| ～ 2*c^{n*[1-(n-1)/111.87]},
ここに c = (1/2)I_1,
- 670 名前：669 mailto:sage [2009/03/11(水) 21:51:57 ]
- >>641, >>653
訂正、すまそ
I_1 = 1.26448926734961868021375957764e-３,
- 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 23:16:02 ]
- 〔まとめ〕
47171/(3*5*7*11*13) < π < 5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) < 355/113 < 22/7 < √2 + √3,
(略解)
47171/(3*5*7*11*13) = 3.14159174159174159174･･･
π = 3.1415926535897932384626433832795
5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) = 3.1415926543282176611023023729983
355/113 = 3.1415929203539823008849557522124
22/7 = 3.1428571428571428571428571428571
√2 + √3 = 3.1462643699419723423291350657156
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 23:51:44 ]
- 1+1=2とか5x-3x=(5-3)x=2xとかは数値計算なんだろうか
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/12(木) 00:41:05 ]
- それが禁止されたら数学では解けないな
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/12(木) 00:43:04 ]
- 採点官に「数値計算をしてない」って思ってもらえればいいんだろうけど、明白な基準がないからなぁ……
- 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/12(木) 00:44:01 ]
- おそらく数値計算は関数電卓とかの使用を禁止します的なものだと思う
手計算では>>668の評価はできるけどかなり大変
- 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/12(木) 00:48:34 ]
- まー、上のやり方と同じで考えれば被積分関数が常に０以上で、積分値がうまい具合利用できるような奴を考えるとか……
いや、こんなのがすぐに思い浮かぶ問題だったら、難易度低すぎて数学検定にならない事を考えると方向性違ってるかな？
- 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/12(木) 00:53:10 ]
- www.google.co.jp/search?hl=ja&client=firefox-a&rls=org.mozilla%3Aja%3Aofficial&hs=5L6&q=e^6-(pi^4+%2B+pi^5)&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=lang_ja
いい加減な計算だと評価できないっぽい値だ
- 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/12(木) 00:59:52 ]
- >>675
なるほど……
- 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/12(木) 11:06:49 ]
- 素朴に計算したらどんなことになるかやってみた
ニュートンの公式
π/6 = 1/2 + 1!!/(2!!*3*2^3) + 3!!/(4!!*5*2^5) + 5!!/(6!!*7*2^7) + …
で、10項目以下を
17!!/(18!!*19*2^19) + 19!!/(20!!*21*2^21) + …
＜ 17!!/(18!!*19*2^19) * (1 + 1/2^2 + 1/2^4 + …)
= 17!!/(18!!*19*2^19) * (4/3)
と押さえて評価すると
π ＜ 13087828316373115/(2^32*3*7*11*13*17*19)
e は級数展開
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …
で 1/11! の項までで打ち切ると
e ＞ 13563139/(2^5*3^4*5^2*7*11)
この評価を緩めて少し簡単な分数にすると
p = 5*19*5989/(2^4*3*7^3*11) として
π ＜ p
p+1 = 750059/(2^4*3*7^3*11)
x = 5*19*20543/(2^2*3^2*7^2*11*37) として
e ＞ x
π^4(π+1)/e^6 ＜ p^4(p+1)/x^6
= 3^7 * 11 * 37^6 * 5989^4 * 750059 / (2^8 * 5^2 * 7^3 * 19^2 * 20543^6)
＜ 1
(最後の計算も少し工夫できるけど、せこ過ぎるから割愛)
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/12(木) 13:38:07 ]
- >>668の評価ができた所で
2.718281828の6乗とか3.14159266の5乗が手計算できない
- 681 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/12(木) 17:03:10 ]
- 適当に切り捨てたりしながらやれば何とかできそう
- 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/12(木) 23:41:23 ]
- >>669
∫_[0,1] {x(1-x)}^m /(1+x^2) dx ～ {1/√(2m)}(1/4)^m,
なので n>>1 のとき
I_n ～ {4/√(8n)}(c^n),
c = (1/4)^5 = (1/2)^10,
- 683 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/13(金) 20:37:38 ]
- www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/koki/index.html
総合問題Ⅱが後期の数学ね（文系・理系共通）
- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/13(金) 20:58:37 ]
- ∫[0→1]x^2*(1-x)^2/(1+x^2) dx = ln(2) -2/3
手計算でできるやつをやってみると色々面白い。
>>660と併せて 2/3＜ln(2)<0.7 か
- 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/13(金) 22:54:45 ]
- >>669 >>682
∫_[0,1] {x(1-x)}^m dx ～ {1／√[1+(4/π)m]}(1/4)^m,
4/π ≒ 1.273239544････
∫_[0,1] {x(1-x)}^m /(1+x^2) dx ～ {(π/4)／√(1+1.22675m)}(1/4)^m,
- 686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/19(木) 01:10:59 ]
- dic.nicovideo.jp/a/72 より･･･
＞ なお、2桁の自然数の中で60,84,90,96と並び、もっとも多くの約数を持つ数字であるが、
＞ 千早はその数字に割り切れない思いを抱いているようだ。
これを見て思いついた問題。今回は逆に巨乳・三浦あずさ(88cm)をねたにします。
(1) 自然数nについて、f(n)=(nの約数の個数)/nとする。
たとえば、f(1)=1, f(100)=9/100である。
このとき、任意の自然数nと素数pについて、f(pn)≦f(n)であることを示せ。
また、等号が成立するのはどのような場合か。
(2) 末広がりで縁起の良い数とされる、88はちょうど8個の約数
(1,2,4,8,11,22,44,88)を持つが、11nの約数の個数がn個となるような
自然数nはn=8以外には存在しないことを示せ。
- 687 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/20(金) 00:30:23 ]
- >>686の(2)はミスです。
(×) n=8以外には存在しない
(○) n=8,12以外には存在しない
のように読み替えお願いします。
- 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/27(金) 22:48:31 ]
- (84753+228i)^{87}は実数か？
- 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/28(土) 10:07:14 ]
- >>688
実数じゃない
- 690 名前：東大入試作問者になったつもりのスレ の241 mailto:sage [2009/03/30(月) 21:32:53 ]
- ちょっと遅くなりましたが、
> 242 名前： 240 投稿日： 01/10/10 02:25
>
> >>241
> こちらが想定したとおりの解法です。全部◎
> 解いてみた感想を聞かせて。
小問の誘導が適切で解きやすかったです。いい問題だと思いマスタ。
- 691 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/31(火) 02:59:27 ]
- >>688
任意の自然数nについて(84753+228i)^nが実数でないこと、
もっと一般に(a+bi)^n (a,bは整数でa≠0,b≠0,a≠±b)が実数でないことを
証明したかったのですが挫折しました。
(84753+228i)^87が実数でないことは以下のようにわかります。
数列a(n),b(n)を次の漸化式で定めると、(84753+228i)^87=a(87)+b(87)iである。
a(1)=84753,b(1)=228,a(n+1)=84753a(n)-228b(n), b(n+1)=84753b(n)+228a(n)
以下合同式はmod(5)であるものとすると、
a(1)≡3, b(1)≡3, a(n+1)≡3a(n)-3b(n), b(n+1)≡3a(n)+3b(n)であるから、
a(2)≡0,b(2)≡3
a(3)≡1,b(3)≡4
a(4)≡1,b(4)≡0
a(5)≡3,b(5)≡3
以降周期4の繰り返しであるから、b(87)≡b(3)≡4よりb(87)≠0,
よってa(87)+b(87)iすなわち(84753+228i)^87は実数とはならない。
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 10:50:32 ]
- >>690
ちょっと遅いってレベルじゃねーぞ！ｗｗ
- 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 12:49:10 ]
- (a+bi)^n が実数でないことの証明って京大で出なかったっけ
- 694 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/31(火) 18:23:14 ]
- πが無理数であることを証明せよ、
じゃなくて、πが無理数であることを
最初に証明した人について知るところを述べよ。
（５０点）
- 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 20:09:39 ]
- Lambertとか数学科の学生でもほとんど知らんだろ。
- 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 21:46:55 ]
- 一応できたつもりだが、何とも泥臭い(＾q＾)
とりあえず前半。合ってるかな？
(a＋bi)^nが実数になるようなa,b∈Z,n∈Nを全て求める。
先に結論を書くと、
nが偶数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
nが奇数のとき：a＝0またはb＝0
となる。
STEP1：nが奇数のときにa＝0またはb＝0となることは後で証明することにし、
今はこれを認めて、nが偶数の場合のa,bを求める。
nが偶数なのにa≠±bかつa≠0かつb≠0であるようなa,bがあったとする。
n＝2mと表せば、(a＋bi)^n＝(a^2－b^2＋2abi)^mとなる。ここで、
A＝a^2－b^2, B＝2ab とおけば、A,Bもまた「A≠±BかつA≠0かつB≠0」を
満たす。実際、A≠0かつB≠0は明らかである。A≠±Bの方は、
A＝ B ⇔ a^2－b^2＝ 2ab ⇔ (a－b)^2＝2b^2 ⇔ a－b＝±b√2 ⇔ a－b＝0かつb＝0 矛盾
A＝-B ⇔ a^2－b^2＝-2ab ⇔ (a＋b)^2＝2b^2 ⇔ a＋b＝±b√2 ⇔ a＋b＝0かつb＝0 矛盾
より、成立。
以上より、(a＋bi)^n＝(a^2－b^2＋2abi)^m＝(A＋Bi)^mについて、mは奇数としてよい。
なぜなら、もしmが偶数のときは、m＝2m',A'＝A-2－B^2,B'＝2ABなどと置けば
上の議論を繰り返すことができ、いずれ奇数に辿り着くからである。
そして、奇数のときの解はA＝0またはB＝0に限られるのだから、これは矛盾する。
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 22:08:09 ]
- >>690
遅すぎるんだTYO！
一応過去ログから問題と解答を再掲してやろう。
240 名前： 名無し 投稿日： 01/10/10 00:21
有名問題ですが，誘導付きにしてみました。これなら文科の問題としても
使えるか？理科には易しすぎ？解いたことのない人は解いてみて。
誘導も含めて講評して。
nを2以上の自然数とする。
(1) 2^k≦n<2^(k+1)となる自然数kを考える。1,2,・・・，nの中に2^kの倍数は何個あるか。
(2) 1,2,・・・,nの最小公倍数をSとする。S,S/2,S/3,・・・,S/n の中に奇数は何個あるか。
(3) 1+1/2+1/3+・・・+1/n は整数とならないことを示せ。
241 名前： 理Ⅰ志望 投稿日： 01/10/10 01:37
>>240
(1) 2^(k+1)＝2*2^k なので、2^k以上2^(k+1)未満の整数のなかで
2^kの倍数は2^k自身しかない。
2^k未満の自然数のなかに2^kの倍数はないので、
よって答は1個。
(2) (1)のkをもちいると、Ｓは、
Ｓ＝(2^k)*(奇素数の積)
とあらわされる。よって、1≦m≦nを満たす自然数mに対して、
Ｓ/m が奇数 ⇔ m が2^kの倍数
となるが、(1)の結果からこのようなmは1つだけ。
∴答は1個。
(3) 与式の分母をＳで通分すると、分子は
Ｓ+Ｓ/2+Ｓ/3+･･･+Ｓ/n であり、(2)からこれは奇数となる。
一方Ｓは偶数なので、ＳはＳ+Ｓ/2+Ｓ/3+･･･+Ｓ/n の約数ではない。
ゆえに与式は整数にはならない。（証終）
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 22:27:05 ]
- それ、高校生のときエルデシュの伝記みたいなやつに問題だけ載ってたな。懐かしい。
当時の俺はこうやって解いたぞ。
n≧2のときSn＝奇/偶 となることを、数学的帰納法で証明する。n＝2,3のときは
明らかに成り立つ。n≦2k のとき成り立つとすると、n＝2k＋1のときは、
Sn＝{1＋1/2＋…＋1/(2k)}＋1/(2k＋1)＝(奇/偶)＋1/(2k＋1)＝(奇/偶)＋(1/奇)
＝(奇・奇＋偶)/(偶・奇)＝奇/偶 となり、成立。また、n≦2k＋1のとき成り立つと
すると、n＝2k＋2のときは、
Sn＝{1＋1/2＋…＋1/(2k＋1)}＋1/(2k＋2)
＝{1＋1/3＋1/5＋…＋1/(2k＋1)}＋{1/2＋1/4＋…＋1/(2k＋2)} (この分け方がミソ)
＝(整/奇)＋(1/2)*{1＋1/2＋…＋1/(k＋1)}
＝(整/奇)＋(1/2)*(奇/偶)
＝(整/奇)＋(奇/偶)
＝(整・偶＋奇・奇)/(偶・奇)
＝奇/偶
となり、やはり成立。
- 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/01(水) 00:21:07 ]
- 帰納法じゃなくて直接証明もできるな
- 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/01(水) 14:06:18 ]
- >>696の続き。
nを自然数とする。整数係数多項式Tn(x)は、任意のx∈Rに対して
Tn(cosx)＝cos(nx)を満たすとする(チェビシェフの多項式)。
Tn(x)の最高次の係数は2^(n－1)である。また、nが奇数のときは
Tn(0)＝0だから、Tn(x)＝xfn(x)なる整数係数多項式f(x)が取れる。…(*)
(f(x)とは書いたが、これはnに依存して決まるので、本来はfn(x)と
書いた方がよい。)
STEP2：nが奇数のときのa,bを求める。
a＋bi＝re^{ix}と極座標表示すれば、cosx＝a/√(a^2＋b^2)だから、cos(2x)＝2cos^2x－1
＝2a^2/(a^2＋b^2)－1となり、cos(2x)は有理数となる。
(a＋bi)^nが実数になるための必要十分条件は、x＝kπ/n となるk∈Zが存在することである。
このようなkに対して、Tn(cos(2x))＝cos(2nx)＝cos(2kπ)＝1 だから、c＝cos(2x)とおけば
Tn(c)＝1である。これと(*)より、cf(c)＝1を得る。
cは有理数だったから、c＝q/p (p,qは互いに素な整数)とおけて(q/p)f(q/p)＝1を得る。
f(x)の次数をm≧0とすれば、r：＝f(q/p)*p^mは整数になり、q*r＝p^(m＋1)となる。
この式からq｜p^(m＋1)となるから、pとqが互いに素であることより、q＝±1となるしかない。
よってc＝1/p となり(本当は±1/pだが、マイナスがつくときは－pを改めてpと置く)、
(1/p)f(1/p)＝1となる。ここで、f(x)＝Σ[i＝0～m]ai*x^iと表し、(1/p)f(1/p)＝1の分母を
払って整理するとΣ[i＝0～m]ai*p^(m－i)＝p^(m＋1) となる。両辺をmod pで考えると
am≡0 (mod p)となる。すなわちp｜amとなる。チェビシェフ多項式の最高次の係数は2のベキ乗
だったから、amは2のベキ乗であり、これとp｜amより、pもまた2のベキ乗である。
つまり、あるk≧0に対してc＝±1/2^k となる。
- 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/01(水) 14:15:37 ]
- STEP2続き：まず、c＝1/2^kのとき。c＝cos(2x)＝2cos^2x－1＝2a^2/(a^2＋b^2)－1だったから、
これとc＝1/2^kより、式を整理して(2^k－1)a^2＝(1＋2^k)b^2…(**)となる。この式から
(2^k＋1)｜(2^k－1)a^2が分かるが、(2^k＋1)と(2^k－1)は互いに素だから、(2^k＋1)｜a^2となる。
よってa^2＝(1＋2^k)sなる整数sが取れる。これを(**)に代入してb^2＝(2^k－1)s となる。よって、
(ab)^2＝(4^k－1)s^2となり、ab＝±s√(4^k－1) となる。もしk≧1なら、4^k－1は平方数に
ならないから(***)、√(4^k－1)は無理数となり、よってab＝0かつs＝0となり、よって特に
「a＝0またはb＝0」を得る。k＝0のときはab＝±s√0＝0となり、やはり「a＝0またはb＝0」を得る。
(***)：4^k－1が平方数だとすると、4^k－1＝y^2なる整数yが取れるはずだが、両辺をmod 4で考えて
－1≡y^2 (mod 4)となる(k≧1なので)。一方、y^2≡0,1 (mod 4)にしかならないので、矛盾。
あとはc＝－1/2^kの場合を考える。上と同様にして、適当な整数sに対してa^2＝(2^k－1)s,
b^2＝(2^k＋1)sとなるから、(ab)^2＝(4^k－1)s^2となり、同様にしてa＝0またはb＝0に辿り着く。■
- 702 名前：691 mailto:sage [2009/04/02(木) 00:04:40 ]
- >>696,>>700-701
凄い。cosで考えるのが突破口だったとは。
tanθ=b/aとして、例の「tan1°は有理数か」と同じようにtanの加法定理と
数学的帰納法でいけないだろうかと考えていました。
- 703 名前：696 mailto:sage [2009/04/02(木) 02:29:42 ]
- 間違い発見(＾o＾)修正します。
× nが奇数のとき：a＝0またはb＝0
○ nが奇数のとき：b＝0
証明には ほとんど影響は無いと思う。
>>702
693が気になって調べてみたんだが、確かに京大に出ていた。
「pを素数、a, b を互いに素な正の整数とするとき、(a+bi)^pは実数ではないことを示せ。」
ttp://www.kyoto-math.jp/2000-4.html
で、リンク先の解答だと、チェビシェフの多項式なんて出てなくて、もっと初等的に解いている。
この結果を元にすると、「nが奇数のとき：b＝0」となることが696みたいなやり方で証明できて、
nが偶数のときは696自身を使えばよくて、結局、チェビシェフの多項式を使わずに解けるという・・・
- 704 名前：696 mailto:sage [2009/04/02(木) 03:05:18 ]
- まだ間違いが・・・
× nが偶数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
○ nが偶数だが4の倍数ではないとき：a＝0またはb＝0
nが4の倍数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
証明は、>696の方に影響が出てしまうが、ちょっと修正すればすぐに直る。
- 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/05(日) 14:37:50 ]
- イケメン東大生と変態したい。
- 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2009/04/06(月) 23:57:46 ]
- 漸化式a_1=a_2=1、a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(nは自然数)で定められる数列について、a_{100}の桁数を求めよ。
但し、0.3010 <log_{10} 2 < 0.3011、0.4771 < log_{10} 3 < 0.4772、0.8450 < log_{10} 7 < 0.8451とする。
- 707 名前： ◆Iyzrks/CZM mailto:sage [2009/04/07(火) 02:40:14 ]
- フィボナッチ
- 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/07(火) 02:42:55 ]
- Ｓｏ ｗｈａｔ？
- 709 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/07(火) 03:22:21 ]
- >>707の一般項を二次方程式の解の公式なりなんなりつかって出して
その第百項の対数をとるだけだろう
- 710 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/04/07(火) 04:40:44 ]
- Reply:>>705 取引場所をMailで連絡せよ。
Reply:>>709 黄金比が出てくるが、それはどうするか。
- 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/09(木) 18:26:33 ]
- >>706
φ=(1+sqrt(5))/2 とすると、この数列(フィボナッチ数列の一般項)は
a(n)={φ^n-(-φ)^(-n)}/sqrt(5) である。
nが大きいとき(-φ)^(-n)→0だから、まずb(n)=φ^n/sqrt(5)の桁数を評価する。
底の10は省略。
1.6＜φ＜1.62だから、
4log2-1＜logφ＜log2+4log3-2
0.2040＜logφ＜0.2099
log b(100)=100logφ-(1-log2)/2だから、
20.0505＜log b(100)＜20.64055
よって、b(100)は整数部分が21桁の数である。
一方、
a(100)=b(100)-(1/sqrt(5))(1/φ)^100＞b(100)-1 であるが、
10^0.0505 ＞2^(1/6)＞1.1 (∵0.0505*6=0.303＞log2、1.1^6=1.771561)
だからb(100)＞1.1*10^20であり、高々1を引いても桁数は下がらない。
∴ a(100)は21桁の整数 (答)
- 712 名前：706 mailto:sage [2009/04/09(木) 23:38:18 ]
- >>711
素晴らしい！正解です。
- 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/10(金) 02:21:17 ]
- >>712
後半(a(100)とb(100)の桁数が同じことを示す)は必要ですか？
以前、4^n+3の桁数についての問題を見たことがあって、
4^nの1の位は4,6の繰り返しだから3を加えても絶対繰り上がらない
→4^nと4^n+3は桁数が同じ、というところを厳密にやっていたので。
- 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/10(金) 06:59:15 ]
- >>713
必要だと思います。まあほとんど自明ですが。
- 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/10(金) 14:37:09 ]
- >>713
今の場合は0 < (-\phi)^{-100}/\sqrt{5} < 1で、a_{100}が整数だから、
\phi^{100}/\sqrt{5}の整数部分がa_{100}と論じてもっと簡単に
話を済ますことはできそうですね。
- 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 19:15:56 ]
- 10^n-3の形で表される整数で、素数でないものはあるか。
- 717 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/16(木) 22:07:17 ]
- 関数f(x)=log2｛x+√（x＾2‐4）｝‐1 について
f(x)=100をみたすxの整数部分の桁数を求めよ。
ただし、log10 2=0.301とする。
- 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 22:50:17 ]
- >>716
10=7+3だからn=7のとき素数じゃないな。
- 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 22:51:39 ]
- >>716
9997/13=769
- 720 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/16(木) 23:43:54 ]
-
確率１／１００の宝くじを１０回引いたときの当たる確率はいくつ？
- 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 23:49:14 ]
- >>720
こういう問の書き方を見ると、1/100はなんの確率なのか、とまず訊いてみたくなる。
- 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 07:29:55 ]
- いやオランウータンビーツでしょ
- 723 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/17(金) 10:56:19 ]
-
血液型分布は
近親婚がない、
且つ、ランダムに婚姻する、
という条件において、
最初の分布比率が保たれ
世代の更新により
変化しないことを証明しなさい。
生物屋のいうには変わらないらしい。
- 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 12:24:20 ]
- それは高校一年の生物でやるぞ
馬鹿なの？
- 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 18:32:20 ]
- 問題の前提が不明だな
最初A型とB型しかいない場合は、途中でAB型が生まれてくるから、分布が変わるんだけど
- 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 22:19:38 ]
- >>723
その法則は Hardy の名前が付いている。
- 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 22:45:16 ]
- Hardy-Weinberg の法則は遺伝子の分布についての法則だから、
血液型の分布にはあてはまらないんだが……
遺伝子と表現型を混同してないか？
- 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 22:55:37 ]
- >>727
そうね。MN 型の話だった。
- 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 23:14:25 ]
- >>727
遺伝子頻度から遺伝子型の頻度が説明できるという話じゃないの。
- 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 23:33:56 ]
- >>729
何言ってるのかよく分からんけど、遺伝子の頻度は変わらなくても、
血液型の頻度は変わり得るでしょってことなんだけど
- 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 01:43:58 ]
- >>725
おいおいｗ
と思ったが、何事においてもある事柄のルールを知らない人間だと
その事柄の注目すべきレベルがわかんないのは当然か…
確かに数学的でもないし、前提が説明不足だわな
- 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 01:49:06 ]
- 近親婚てどこまでが近親なんだよ
>>723がもし成り立つのなら別にこの仮定いらなそうな希ガス
自分以外を近親としないとしたときとかもね
なんとなくだけど
- 733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 02:58:12 ]
- 最初の世代の比率がＡ型とＢ型１：１だったら、子孫もＡとＢ１：１ってこと?
- 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 14:13:00 ]
- >>716
n=1+6m, n=4+6m, n=11+16m, n=5+18m (m≧0) など。
(略証)
10^6 = (10^3 -1)(10^3 +1) +1 = (10^3 -1)･7･11･13 +1 ≡ 1 (mod 7･13)
10^16 = (10^8 -1)(10^8 +1) +1 = (10^8 -1)･17･5882353 + 1 ≡ 1 (mod 17)
10^18 = (10^9 -1)(10^9 +1) +1 = (10^9 -1)･19･52631579 + 1 ≡ 1 (mod 19)
より
10^(1+6m) -3 ≡ 10^1 -3 = 7 ≡ 0 (mod 7)
10^(4+6m) -3 ≡ 10^4 -3 = 13･769 ≡ 0 (mod 13)
10^(11+16m) -3 ≡ 10^11 -3 = 17･5882352941 ≡ 0 (mod 17)
10^(5+18m) -3 ≡ 10^5 -3 = (19^2)･277 ≡ 0 (mod 19)
- 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 14:55:29 ]
- >>733
そういう意味にしか読めんわな
- 736 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/20(月) 15:09:47 ]
- 3次元直交座標空間に球面Ｓがある。この球面Ｓ上の任意点（ｐ、ｑ、ｒ）について、ｐ、ｑ、ｒのうち2つの数字が整数ならば残りの1つも必ず整数である。
このような球面Ｓは何種類あるか。その半径として考えられるものをすべて求めよ。
ただし、球面Ｓは格子点を少なくとも1つ通るとする。
- 737 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/20(月) 19:18:10 ]
- m：整数、n：1<n<100の整数の時
n!=m^2
となるn,mの組は存在しないことを示せ。
正直、きれいな証明じゃないので微妙。
ちなみに、これはベルトラン予想の限定。
実際は2以上のすべての自然数nにおいて上の式が成り立ちます。
- 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/20(月) 21:40:43 ]
- >>736
(x-1/2)^2 + y^2 + z^2 = 1/4, 半径 1/2,
(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 + z^2 = 1/2, 半径 (√2)/2,
(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 + (z-1/2)^2 = 3/4 or 11/4, 半径 (√3)/2 or (√11)/2,
x^2 + y^2 + z^2 = 1, 半径1,
- 739 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/20(月) 23:47:40 ]
- >>737
n!=m^2について
pを素数として
p!の素因数のうち最大の素数はpである。
p^2までにpより大きい素数が含まれていることが示せれば最大の素数の次数が1であり、平方数にならないことが示される。
またこの時pの次に大きい素数をqとして、p≦n＜qである自然数nについても最大の素数はpである。…①
p=2ならp^2=4までに3がある
同様に
3(9)→7
7(49)→47
47(47^2)→101
(5は7,11～43は47,53～97は101が対応する)
よってp!が平方数になることはない。(1＜p＜100)
また、これと①より1＜n＜100についても示される。
- 740 名前：737 mailto:sage [2009/04/21(火) 03:48:45 ]
- >>739
大体あってるけど、
＞p^2までにpより大きい素数が含まれていることが示せれば最大の素数の次数が1であり、平方数にならないことが示される。
p^2じゃなくて2p。
なので、実際は
2 3 5 7 13 23 43 83 というステップになる。
|
 |
