- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 02:06:28 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 691 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/31(火) 02:59:27 ]
- >>688
任意の自然数nについて(84753+228i)^nが実数でないこと、
もっと一般に(a+bi)^n (a,bは整数でa≠0,b≠0,a≠±b)が実数でないことを
証明したかったのですが挫折しました。
(84753+228i)^87が実数でないことは以下のようにわかります。
数列a(n),b(n)を次の漸化式で定めると、(84753+228i)^87=a(87)+b(87)iである。
a(1)=84753,b(1)=228,a(n+1)=84753a(n)-228b(n), b(n+1)=84753b(n)+228a(n)
以下合同式はmod(5)であるものとすると、
a(1)≡3, b(1)≡3, a(n+1)≡3a(n)-3b(n), b(n+1)≡3a(n)+3b(n)であるから、
a(2)≡0,b(2)≡3
a(3)≡1,b(3)≡4
a(4)≡1,b(4)≡0
a(5)≡3,b(5)≡3
以降周期4の繰り返しであるから、b(87)≡b(3)≡4よりb(87)≠0,
よってa(87)+b(87)iすなわち(84753+228i)^87は実数とはならない。
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 10:50:32 ]
- >>690
ちょっと遅いってレベルじゃねーぞ！ｗｗ
- 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 12:49:10 ]
- (a+bi)^n が実数でないことの証明って京大で出なかったっけ
- 694 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/31(火) 18:23:14 ]
- πが無理数であることを証明せよ、
じゃなくて、πが無理数であることを
最初に証明した人について知るところを述べよ。
（５０点）
- 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 20:09:39 ]
- Lambertとか数学科の学生でもほとんど知らんだろ。
- 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 21:46:55 ]
- 一応できたつもりだが、何とも泥臭い(＾q＾)
とりあえず前半。合ってるかな？
(a＋bi)^nが実数になるようなa,b∈Z,n∈Nを全て求める。
先に結論を書くと、
nが偶数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
nが奇数のとき：a＝0またはb＝0
となる。
STEP1：nが奇数のときにa＝0またはb＝0となることは後で証明することにし、
今はこれを認めて、nが偶数の場合のa,bを求める。
nが偶数なのにa≠±bかつa≠0かつb≠0であるようなa,bがあったとする。
n＝2mと表せば、(a＋bi)^n＝(a^2－b^2＋2abi)^mとなる。ここで、
A＝a^2－b^2, B＝2ab とおけば、A,Bもまた「A≠±BかつA≠0かつB≠0」を
満たす。実際、A≠0かつB≠0は明らかである。A≠±Bの方は、
A＝ B ⇔ a^2－b^2＝ 2ab ⇔ (a－b)^2＝2b^2 ⇔ a－b＝±b√2 ⇔ a－b＝0かつb＝0 矛盾
A＝-B ⇔ a^2－b^2＝-2ab ⇔ (a＋b)^2＝2b^2 ⇔ a＋b＝±b√2 ⇔ a＋b＝0かつb＝0 矛盾
より、成立。
以上より、(a＋bi)^n＝(a^2－b^2＋2abi)^m＝(A＋Bi)^mについて、mは奇数としてよい。
なぜなら、もしmが偶数のときは、m＝2m',A'＝A-2－B^2,B'＝2ABなどと置けば
上の議論を繰り返すことができ、いずれ奇数に辿り着くからである。
そして、奇数のときの解はA＝0またはB＝0に限られるのだから、これは矛盾する。
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 22:08:09 ]
- >>690
遅すぎるんだTYO！
一応過去ログから問題と解答を再掲してやろう。
240 名前： 名無し 投稿日： 01/10/10 00:21
有名問題ですが，誘導付きにしてみました。これなら文科の問題としても
使えるか？理科には易しすぎ？解いたことのない人は解いてみて。
誘導も含めて講評して。
nを2以上の自然数とする。
(1) 2^k≦n<2^(k+1)となる自然数kを考える。1,2,・・・，nの中に2^kの倍数は何個あるか。
(2) 1,2,・・・,nの最小公倍数をSとする。S,S/2,S/3,・・・,S/n の中に奇数は何個あるか。
(3) 1+1/2+1/3+・・・+1/n は整数とならないことを示せ。
241 名前： 理Ⅰ志望 投稿日： 01/10/10 01:37
>>240
(1) 2^(k+1)＝2*2^k なので、2^k以上2^(k+1)未満の整数のなかで
2^kの倍数は2^k自身しかない。
2^k未満の自然数のなかに2^kの倍数はないので、
よって答は1個。
(2) (1)のkをもちいると、Ｓは、
Ｓ＝(2^k)*(奇素数の積)
とあらわされる。よって、1≦m≦nを満たす自然数mに対して、
Ｓ/m が奇数 ⇔ m が2^kの倍数
となるが、(1)の結果からこのようなmは1つだけ。
∴答は1個。
(3) 与式の分母をＳで通分すると、分子は
Ｓ+Ｓ/2+Ｓ/3+･･･+Ｓ/n であり、(2)からこれは奇数となる。
一方Ｓは偶数なので、ＳはＳ+Ｓ/2+Ｓ/3+･･･+Ｓ/n の約数ではない。
ゆえに与式は整数にはならない。（証終）
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/31(火) 22:27:05 ]
- それ、高校生のときエルデシュの伝記みたいなやつに問題だけ載ってたな。懐かしい。
当時の俺はこうやって解いたぞ。
n≧2のときSn＝奇/偶 となることを、数学的帰納法で証明する。n＝2,3のときは
明らかに成り立つ。n≦2k のとき成り立つとすると、n＝2k＋1のときは、
Sn＝{1＋1/2＋…＋1/(2k)}＋1/(2k＋1)＝(奇/偶)＋1/(2k＋1)＝(奇/偶)＋(1/奇)
＝(奇・奇＋偶)/(偶・奇)＝奇/偶 となり、成立。また、n≦2k＋1のとき成り立つと
すると、n＝2k＋2のときは、
Sn＝{1＋1/2＋…＋1/(2k＋1)}＋1/(2k＋2)
＝{1＋1/3＋1/5＋…＋1/(2k＋1)}＋{1/2＋1/4＋…＋1/(2k＋2)} (この分け方がミソ)
＝(整/奇)＋(1/2)*{1＋1/2＋…＋1/(k＋1)}
＝(整/奇)＋(1/2)*(奇/偶)
＝(整/奇)＋(奇/偶)
＝(整・偶＋奇・奇)/(偶・奇)
＝奇/偶
となり、やはり成立。
- 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/01(水) 00:21:07 ]
- 帰納法じゃなくて直接証明もできるな
- 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/01(水) 14:06:18 ]
- >>696の続き。
nを自然数とする。整数係数多項式Tn(x)は、任意のx∈Rに対して
Tn(cosx)＝cos(nx)を満たすとする(チェビシェフの多項式)。
Tn(x)の最高次の係数は2^(n－1)である。また、nが奇数のときは
Tn(0)＝0だから、Tn(x)＝xfn(x)なる整数係数多項式f(x)が取れる。…(*)
(f(x)とは書いたが、これはnに依存して決まるので、本来はfn(x)と
書いた方がよい。)
STEP2：nが奇数のときのa,bを求める。
a＋bi＝re^{ix}と極座標表示すれば、cosx＝a/√(a^2＋b^2)だから、cos(2x)＝2cos^2x－1
＝2a^2/(a^2＋b^2)－1となり、cos(2x)は有理数となる。
(a＋bi)^nが実数になるための必要十分条件は、x＝kπ/n となるk∈Zが存在することである。
このようなkに対して、Tn(cos(2x))＝cos(2nx)＝cos(2kπ)＝1 だから、c＝cos(2x)とおけば
Tn(c)＝1である。これと(*)より、cf(c)＝1を得る。
cは有理数だったから、c＝q/p (p,qは互いに素な整数)とおけて(q/p)f(q/p)＝1を得る。
f(x)の次数をm≧0とすれば、r：＝f(q/p)*p^mは整数になり、q*r＝p^(m＋1)となる。
この式からq｜p^(m＋1)となるから、pとqが互いに素であることより、q＝±1となるしかない。
よってc＝1/p となり(本当は±1/pだが、マイナスがつくときは－pを改めてpと置く)、
(1/p)f(1/p)＝1となる。ここで、f(x)＝Σ[i＝0～m]ai*x^iと表し、(1/p)f(1/p)＝1の分母を
払って整理するとΣ[i＝0～m]ai*p^(m－i)＝p^(m＋1) となる。両辺をmod pで考えると
am≡0 (mod p)となる。すなわちp｜amとなる。チェビシェフ多項式の最高次の係数は2のベキ乗
だったから、amは2のベキ乗であり、これとp｜amより、pもまた2のベキ乗である。
つまり、あるk≧0に対してc＝±1/2^k となる。
- 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/01(水) 14:15:37 ]
- STEP2続き：まず、c＝1/2^kのとき。c＝cos(2x)＝2cos^2x－1＝2a^2/(a^2＋b^2)－1だったから、
これとc＝1/2^kより、式を整理して(2^k－1)a^2＝(1＋2^k)b^2…(**)となる。この式から
(2^k＋1)｜(2^k－1)a^2が分かるが、(2^k＋1)と(2^k－1)は互いに素だから、(2^k＋1)｜a^2となる。
よってa^2＝(1＋2^k)sなる整数sが取れる。これを(**)に代入してb^2＝(2^k－1)s となる。よって、
(ab)^2＝(4^k－1)s^2となり、ab＝±s√(4^k－1) となる。もしk≧1なら、4^k－1は平方数に
ならないから(***)、√(4^k－1)は無理数となり、よってab＝0かつs＝0となり、よって特に
「a＝0またはb＝0」を得る。k＝0のときはab＝±s√0＝0となり、やはり「a＝0またはb＝0」を得る。
(***)：4^k－1が平方数だとすると、4^k－1＝y^2なる整数yが取れるはずだが、両辺をmod 4で考えて
－1≡y^2 (mod 4)となる(k≧1なので)。一方、y^2≡0,1 (mod 4)にしかならないので、矛盾。
あとはc＝－1/2^kの場合を考える。上と同様にして、適当な整数sに対してa^2＝(2^k－1)s,
b^2＝(2^k＋1)sとなるから、(ab)^2＝(4^k－1)s^2となり、同様にしてa＝0またはb＝0に辿り着く。■
- 702 名前：691 mailto:sage [2009/04/02(木) 00:04:40 ]
- >>696,>>700-701
凄い。cosで考えるのが突破口だったとは。
tanθ=b/aとして、例の「tan1°は有理数か」と同じようにtanの加法定理と
数学的帰納法でいけないだろうかと考えていました。
- 703 名前：696 mailto:sage [2009/04/02(木) 02:29:42 ]
- 間違い発見(＾o＾)修正します。
× nが奇数のとき：a＝0またはb＝0
○ nが奇数のとき：b＝0
証明には ほとんど影響は無いと思う。
>>702
693が気になって調べてみたんだが、確かに京大に出ていた。
「pを素数、a, b を互いに素な正の整数とするとき、(a+bi)^pは実数ではないことを示せ。」
ttp://www.kyoto-math.jp/2000-4.html
で、リンク先の解答だと、チェビシェフの多項式なんて出てなくて、もっと初等的に解いている。
この結果を元にすると、「nが奇数のとき：b＝0」となることが696みたいなやり方で証明できて、
nが偶数のときは696自身を使えばよくて、結局、チェビシェフの多項式を使わずに解けるという・・・
- 704 名前：696 mailto:sage [2009/04/02(木) 03:05:18 ]
- まだ間違いが・・・
× nが偶数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
○ nが偶数だが4の倍数ではないとき：a＝0またはb＝0
nが4の倍数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
証明は、>696の方に影響が出てしまうが、ちょっと修正すればすぐに直る。
- 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/05(日) 14:37:50 ]
- イケメン東大生と変態したい。
- 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2009/04/06(月) 23:57:46 ]
- 漸化式a_1=a_2=1、a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(nは自然数)で定められる数列について、a_{100}の桁数を求めよ。
但し、0.3010 <log_{10} 2 < 0.3011、0.4771 < log_{10} 3 < 0.4772、0.8450 < log_{10} 7 < 0.8451とする。
- 707 名前： ◆Iyzrks/CZM mailto:sage [2009/04/07(火) 02:40:14 ]
- フィボナッチ
- 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/07(火) 02:42:55 ]
- Ｓｏ ｗｈａｔ？
- 709 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/07(火) 03:22:21 ]
- >>707の一般項を二次方程式の解の公式なりなんなりつかって出して
その第百項の対数をとるだけだろう
- 710 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/04/07(火) 04:40:44 ]
- Reply:>>705 取引場所をMailで連絡せよ。
Reply:>>709 黄金比が出てくるが、それはどうするか。
- 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/09(木) 18:26:33 ]
- >>706
φ=(1+sqrt(5))/2 とすると、この数列(フィボナッチ数列の一般項)は
a(n)={φ^n-(-φ)^(-n)}/sqrt(5) である。
nが大きいとき(-φ)^(-n)→0だから、まずb(n)=φ^n/sqrt(5)の桁数を評価する。
底の10は省略。
1.6＜φ＜1.62だから、
4log2-1＜logφ＜log2+4log3-2
0.2040＜logφ＜0.2099
log b(100)=100logφ-(1-log2)/2だから、
20.0505＜log b(100)＜20.64055
よって、b(100)は整数部分が21桁の数である。
一方、
a(100)=b(100)-(1/sqrt(5))(1/φ)^100＞b(100)-1 であるが、
10^0.0505 ＞2^(1/6)＞1.1 (∵0.0505*6=0.303＞log2、1.1^6=1.771561)
だからb(100)＞1.1*10^20であり、高々1を引いても桁数は下がらない。
∴ a(100)は21桁の整数 (答)
- 712 名前：706 mailto:sage [2009/04/09(木) 23:38:18 ]
- >>711
素晴らしい！正解です。
- 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/10(金) 02:21:17 ]
- >>712
後半(a(100)とb(100)の桁数が同じことを示す)は必要ですか？
以前、4^n+3の桁数についての問題を見たことがあって、
4^nの1の位は4,6の繰り返しだから3を加えても絶対繰り上がらない
→4^nと4^n+3は桁数が同じ、というところを厳密にやっていたので。
- 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/10(金) 06:59:15 ]
- >>713
必要だと思います。まあほとんど自明ですが。
- 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/10(金) 14:37:09 ]
- >>713
今の場合は0 < (-\phi)^{-100}/\sqrt{5} < 1で、a_{100}が整数だから、
\phi^{100}/\sqrt{5}の整数部分がa_{100}と論じてもっと簡単に
話を済ますことはできそうですね。
- 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 19:15:56 ]
- 10^n-3の形で表される整数で、素数でないものはあるか。
- 717 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/16(木) 22:07:17 ]
- 関数f(x)=log2｛x+√（x＾2‐4）｝‐1 について
f(x)=100をみたすxの整数部分の桁数を求めよ。
ただし、log10 2=0.301とする。
- 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 22:50:17 ]
- >>716
10=7+3だからn=7のとき素数じゃないな。
- 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 22:51:39 ]
- >>716
9997/13=769
- 720 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/16(木) 23:43:54 ]
-
確率１／１００の宝くじを１０回引いたときの当たる確率はいくつ？
- 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 23:49:14 ]
- >>720
こういう問の書き方を見ると、1/100はなんの確率なのか、とまず訊いてみたくなる。
- 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 07:29:55 ]
- いやオランウータンビーツでしょ
- 723 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/17(金) 10:56:19 ]
-
血液型分布は
近親婚がない、
且つ、ランダムに婚姻する、
という条件において、
最初の分布比率が保たれ
世代の更新により
変化しないことを証明しなさい。
生物屋のいうには変わらないらしい。
- 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 12:24:20 ]
- それは高校一年の生物でやるぞ
馬鹿なの？
- 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 18:32:20 ]
- 問題の前提が不明だな
最初A型とB型しかいない場合は、途中でAB型が生まれてくるから、分布が変わるんだけど
- 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 22:19:38 ]
- >>723
その法則は Hardy の名前が付いている。
- 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 22:45:16 ]
- Hardy-Weinberg の法則は遺伝子の分布についての法則だから、
血液型の分布にはあてはまらないんだが……
遺伝子と表現型を混同してないか？
- 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 22:55:37 ]
- >>727
そうね。MN 型の話だった。
- 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 23:14:25 ]
- >>727
遺伝子頻度から遺伝子型の頻度が説明できるという話じゃないの。
- 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/17(金) 23:33:56 ]
- >>729
何言ってるのかよく分からんけど、遺伝子の頻度は変わらなくても、
血液型の頻度は変わり得るでしょってことなんだけど
- 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 01:43:58 ]
- >>725
おいおいｗ
と思ったが、何事においてもある事柄のルールを知らない人間だと
その事柄の注目すべきレベルがわかんないのは当然か…
確かに数学的でもないし、前提が説明不足だわな
- 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 01:49:06 ]
- 近親婚てどこまでが近親なんだよ
>>723がもし成り立つのなら別にこの仮定いらなそうな希ガス
自分以外を近親としないとしたときとかもね
なんとなくだけど
- 733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 02:58:12 ]
- 最初の世代の比率がＡ型とＢ型１：１だったら、子孫もＡとＢ１：１ってこと?
- 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 14:13:00 ]
- >>716
n=1+6m, n=4+6m, n=11+16m, n=5+18m (m≧0) など。
(略証)
10^6 = (10^3 -1)(10^3 +1) +1 = (10^3 -1)･7･11･13 +1 ≡ 1 (mod 7･13)
10^16 = (10^8 -1)(10^8 +1) +1 = (10^8 -1)･17･5882353 + 1 ≡ 1 (mod 17)
10^18 = (10^9 -1)(10^9 +1) +1 = (10^9 -1)･19･52631579 + 1 ≡ 1 (mod 19)
より
10^(1+6m) -3 ≡ 10^1 -3 = 7 ≡ 0 (mod 7)
10^(4+6m) -3 ≡ 10^4 -3 = 13･769 ≡ 0 (mod 13)
10^(11+16m) -3 ≡ 10^11 -3 = 17･5882352941 ≡ 0 (mod 17)
10^(5+18m) -3 ≡ 10^5 -3 = (19^2)･277 ≡ 0 (mod 19)
- 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 14:55:29 ]
- >>733
そういう意味にしか読めんわな
- 736 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/20(月) 15:09:47 ]
- 3次元直交座標空間に球面Ｓがある。この球面Ｓ上の任意点（ｐ、ｑ、ｒ）について、ｐ、ｑ、ｒのうち2つの数字が整数ならば残りの1つも必ず整数である。
このような球面Ｓは何種類あるか。その半径として考えられるものをすべて求めよ。
ただし、球面Ｓは格子点を少なくとも1つ通るとする。
- 737 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/20(月) 19:18:10 ]
- m：整数、n：1<n<100の整数の時
n!=m^2
となるn,mの組は存在しないことを示せ。
正直、きれいな証明じゃないので微妙。
ちなみに、これはベルトラン予想の限定。
実際は2以上のすべての自然数nにおいて上の式が成り立ちます。
- 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/20(月) 21:40:43 ]
- >>736
(x-1/2)^2 + y^2 + z^2 = 1/4, 半径 1/2,
(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 + z^2 = 1/2, 半径 (√2)/2,
(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 + (z-1/2)^2 = 3/4 or 11/4, 半径 (√3)/2 or (√11)/2,
x^2 + y^2 + z^2 = 1, 半径1,
- 739 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/20(月) 23:47:40 ]
- >>737
n!=m^2について
pを素数として
p!の素因数のうち最大の素数はpである。
p^2までにpより大きい素数が含まれていることが示せれば最大の素数の次数が1であり、平方数にならないことが示される。
またこの時pの次に大きい素数をqとして、p≦n＜qである自然数nについても最大の素数はpである。…①
p=2ならp^2=4までに3がある
同様に
3(9)→7
7(49)→47
47(47^2)→101
(5は7,11～43は47,53～97は101が対応する)
よってp!が平方数になることはない。(1＜p＜100)
また、これと①より1＜n＜100についても示される。
- 740 名前：737 mailto:sage [2009/04/21(火) 03:48:45 ]
- >>739
大体あってるけど、
＞p^2までにpより大きい素数が含まれていることが示せれば最大の素数の次数が1であり、平方数にならないことが示される。
p^2じゃなくて2p。
なので、実際は
2 3 5 7 13 23 43 83 というステップになる。
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