- 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/09(木) 18:26:33 ]
- >>706
φ=(1+sqrt(5))/2 とすると、この数列(フィボナッチ数列の一般項)は
a(n)={φ^n-(-φ)^(-n)}/sqrt(5) である。
nが大きいとき(-φ)^(-n)→0だから、まずb(n)=φ^n/sqrt(5)の桁数を評価する。
底の10は省略。
1.6＜φ＜1.62だから、
4log2-1＜logφ＜log2+4log3-2
0.2040＜logφ＜0.2099
log b(100)=100logφ-(1-log2)/2だから、
20.0505＜log b(100)＜20.64055
よって、b(100)は整数部分が21桁の数である。
一方、
a(100)=b(100)-(1/sqrt(5))(1/φ)^100＞b(100)-1 であるが、
10^0.0505 ＞2^(1/6)＞1.1 (∵0.0505*6=0.303＞log2、1.1^6=1.771561)
だからb(100)＞1.1*10^20であり、高々1を引いても桁数は下がらない。
∴ a(100)は21桁の整数 (答)
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