- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 11:15:15 ]
- >>267
cを任意の実数とし数列x[n]を漸化式x[1]=c, x[n+1]=f(x[n])で定める。
与方程式から
x[n+3]-3x[n+2]+6x[n+1]=4x[n]+3 (n=1,2,...)となる。
階差数列をy[n]=x[n+1]-x[n]とおけば
y[n+3]-1=-8(y[n]-1) となるので
y[3n+1]=(-8)^n*(y[1]-1)+1
を得る。ゆえにy[1]≠1と仮定すると十分大きなnに対してy[u]>0,y[v]<0となるような番号u,vが
それぞれ存在する。
ゆえにf(x[u])>u,f(x[v])<vとなるような実数x[u],x[v]が存在するが、f(x)は連続なので
中間値の定理からf(w)=wとなる実数xが存在する。
これを与方程式に代入すればw-3w+6w=4w+3⇔0=3となり矛盾する。
従ってy[1]-1=0でなければならず、すなわちx[2]=x[1]+1,つまりf(c)=c+1である。
cは任意であったから任意の実数xに対して
f(x)=x+1でなければならない。
逆にこれは与えられた条件を満たす。ゆえにf(x)=x+1
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