>>837 知ってる範囲で・・・ ・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。 ・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて 荒れたｗ ・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。 ・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ ・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。
>>753 の別証 A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。 p > n なら (Λ^p)M = 0 であり、 p ≦ n なら (Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
証明 p > n なら (Λ^p)M = 0 は明らか。 p ≦ n なら (Λ^p)M は e_(i_1)Λ...Λe_(i_p), i_1 < ... < i_p で生成される。この e_(i_1)Λ...Λe_(i_p) を e_I と書く。 I は {1, .... , n} の濃度 p の部分集合 {i_1, ... , i_p} を 表す。e_I の全体が A上一次独立であることを言えばよい。 p = n なら >>853 より明らか。 p < n で Σ(a_I)(e_I) = 0 とする。ここで、a_I ∈ A である。 １つの I をとり、その補集合を J とする。 e_J Λ(Σ(a_I)(e_I)) = (a_I)e_J Λ e_I + Σ(a_K)e_J Λ e_K = 0 である。ここで、Σ(a_K)e_J Λ e_K は K ≠ I, |K| = p となる K に関する和である。 e_J Λ e_K = 0 であるから、(a_I)e_J Λ e_I = 0 となる。 >>853 より e_J Λ e_I ≠ 0 であるから、a_I = 0 となる。 証明終
856 名前：208 [2005/11/14(月) 16:23:24 ]
>>753 から、有限階数 の A-自由加群 M の階数は基底の取り方に よらないことが分かる。この事実の別証としては A の極大イデアル m をとり k = A/m としたとき、M(x)k の体 k 上の次元は M の A 上の階数に一致することを使う。ただし、この証明は A がネーターでないとき Zorn の補題が必要である。
857 名前：208 [2005/11/14(月) 16:36:44 ]
定義 A を可換環、 B を A-加群とする。 A-加群としての射 φ: B → B(x)B があるとき、 組 (B, φ) または B を A-余代数(A-coalgebra)という。
A を可換環、 (B, φ) を A-余代数とする。 C を結合的とは限らない A-代数 とする。 m: C(x)C → C を乗法から得られる A-加群としての射とする。 u: B → C v: B → C を A-加群としての射とする。 φ: B → B(x)B と u(x)v : B(x)B → C(x)C と m: C(x)C → C の合成 m(u(x)v)φ: B → C を u と v の積と定義することにより、 Hom(B. C) は結合的とは限らない A-代数 となる。
A を可換環、E を単位元 1 を持つ A-代数とする。 ν: A → E を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。 μ(ν(x)1): A(x)E → E(x)E → E は A(x)E を E と見なしたとき E の単位射である。ここで、μ: E(x)E → E は E の乗法から 得られる射。同様に μ(1(x)ν): E(x)A → E(x)E → E は E の単位射である
これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。
定義 (B, φ) を A-余代数とする。 A-加群としての射 η: B → A が以下の条件 1) と 2) を満たすとき η を B の余単位と呼ぶ。
1) (ν(x)1)μ: B → B(x)B → A(x)B は A(x)B を B と見なしたとき B の単位射である。
2) (1(x)ν)μ: B → B(x)B → B(x)A は B(x)A を B と見なしたとき B の単位射である。
869 名前：208 [2005/11/16(水) 11:08:40 ]
命題 (B, φ) を A-余代数で余単位を持つとする。 C を単位元を持つ A-代数 とする。 Hom(B, C) は >>865 の乗法により単位元を持つ A-代数となる。
証明 η: B → A を余単位とする。 ν: A → C を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。 νη: B → C が Hom(B, C) の単位元となる。 この証明は読者にまかす。
870 名前：208 [2005/11/16(水) 11:38:46 ]
命題 A を可換環、 M を A-加群とする。 ΛM は余結合的である。
証明 対角射 Δ: M → M + M と h = (1, Δ): M + M → M + M + M の合成 hΔ: M → M + M → M + M + M を考える。 ここで、h は h(x, y) = (x, y, y) で定義される射である。 よって、hΔ(x) = (x, x, x) である。 同様に、対角射 Δ: M → M + M と g = (Δ, h): M + M → M + M + M の合成 gΔ: M → M + M → M + M + M を考える。 ここで、g は g(x, y) = (x, x, y) で定義される射である。 よって、gΔ(x) = (x, x, x) である。 よって、hΔ = gΔ である。 Δ から誘導される A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が ΛM の余代数としての構造射である(>>861)。 よって、ΛM が余結合的であることは、 Λh = 1(x)(ΛΔ), Λg = (ΛΔ)(x)1 に注意すれば、 hΔ = gΔ から明らか。 証明
ここで、次数加群の Hom について少し述べる。 A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。 M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。 u :M → N を A-加群としての射で、ある p ∈ Z があり、 u(M_n) ⊂ N_(n+p) が任意の n ∈ Z で成立つとき u を次数 p の同次射という。次数 p の同次射 u: M → N の集合 を仮に H_p と書こう。H_p は Hom(M, N) の Z-加群としての 部分加群である。H_p で生成される Hom(M, N) の部分加群 ΣH_p は H_p の直和である(証明は読者に任す)。 ΣH_p を Homgr(M, N) と書く(gr は graded の略)。 Homgr(M, N) は H_p を同次部分加群とする A-次数加群である。
873 名前：208 [2005/11/16(水) 14:28:25 ]
命題 A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。 M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。 M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明 x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。 u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。 ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p 次の同次成分。 u_p(x_i) = Σz_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。 u_p は同次でありその次数は p - deg(x_i) である。 u_p が well-defined であることは、 Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を 確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。 これを確かめるのは読者に任せる。 u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。 証明終
874 名前：208 [2005/11/16(水) 14:42:29 ]
規約： A を可換環、 M を A-次数加群とする。 ただし A は A_0 = A, p ≠ 0 のとき A_p = 0 として次数環と見なす。 Homgr(M, A) の p 次部分 Homgr(M, A)_p は Hom(M_(-p), A) と 見なせる。しかし、我々は Homgr(M, A) を考えるときは Homgr(M, A)_p = Hom(M_p, A) と定義することにする。 何故、このように定義するかは後にわかる。
875 名前：208 [2005/11/16(水) 14:52:54 ]
A を可換環、 M を A-加群とする。 Homgr(ΛM, A) は A-次数加群である。 これが、結合的な A-次数代数で単位元を持つことは、ΛM が余代数 となり(>>861)、余結合的で(>>870)、余単位を持つ(>>871) ことから明らかだろう(>>867 と >>869 より)。
