代数的整数論

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/12(月) 16:30:31 ] 代数的整数論に関するスレッドです。 381 名前：208 [2005/10/19(水) 11:08:56 ] 定理(Krullの単項イデアル定理) A をネーター整域、a を A の 0 でなく可逆でもない元とする。 p を Supp(A/aA) の極小元とする。 このとき、ht(p) = 1 となる。 証明 Supp(A/aA) = V(aA) であるから(>>176)、これの極小元というのは、 aA を含む素イデアルの集合の極小元ということである。 A を A_p で置き換えて A を局所環と仮定してよい。 よって、p は A の極大イデアルである。 よって、Supp(A/aA) = {p} となる。 Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(>>99)、Ass(A/aA) = {p} となる。 q を A 素イデアルで、q ⊂ p かつ q ≠ p とする。 q = 0 を示せばよい。 イデアルの列 q + aA ⊃ q^(2) + aA ⊃ q^(n) + aA ⊃ ... を考える。ここで q^(n) は q の記号的 n-乗(>>348)。 Supp(A/aA) = {p} で p は極大だから、A/aA は 長さ有限である(>>345)。 よって、q^(n) + aA = q^(n+1) + aA となる n がある。 q^(n) ⊂ q^(n+1) + aA である。x ∈ q^(n) とすると、 x = y + az となる、y ∈ q^(n+1) と z ∈ A がある。 az = x - y ∈ q^(n) であり、Ass(A/q^(n)) = {q} で(>>351) a は q に 含まれないから、a は A/q^(n) に関して正則である(>>180)。 よって、z ∈ q^(n) となる。つまり、q^(n) ⊂ q^(n+1) + aq^(n) である。逆の包含関係は明らかだから、q^(n) = q^(n+1) + aq^(n) となる。よって、中山の補題の系(>>380)より q^(n) = q^(n+1) となる。同様に、q^(n+1) = q^(n+2) = ... である。 一方 >>360 より ∩q^(n) = 0 である。よって q^(n) = 0 である。q^n ⊂ q^(n) だから q^n = 0、A は整域だから q = 0 である。 証明終 382 名前：208 [2005/10/19(水) 11:20:29 ] Krullの単項イデアル定理(>>381) はネーター環の準素イデアル分解、 共通イデアル定理(>>252)、中山の補題、環の局所化など可換代数に おける基本的な道具や結果を動員して証明された。 だから今までの命題と較べてやや深い結果といえるだろう。 これは、Krullの次元定理の特別な場合だが、次元定理は、これを 利用して帰納法により証明される。 383 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 12:49:59 ] >>375 やっぱり無理だったなお前にはな やっぱり染みついた馬鹿はとれないな 顔にケチャップついてますよといわれても 余計なお世話だって道歩いてんだろうな まっこれ以上ヒント出しても無駄だから アホは死んでね クルルの次元定理なんて偉そうにいっても自然数の 素因数分解が理解できないのじゃ意味無いね 384 名前：208 [2005/10/19(水) 13:14:25 ] >>383 ヒントって何のヒントだよ。Jordan-Holderから自然数の素因数分解の 一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。 それを否定してるお前は初歩の代数の基礎がわかってないの。 これも動かせない事実。頭を冷やせ。 385 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 13:34:18 ] 「Bが部分環A上、忠実平坦とする。 このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」 ことを証明してくれ。 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 15:57:50 ] クルルの次元定理って、偉そうなの？(hagewara 387 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:05:32 ] >Jordan-Holderから自然数の素因数分解の >一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。 でないよ 自然数の素因数分解の本質は割り算にあるというのが 動かせない事実 それを使わない限り証明できるわけがない おまえこそアタマを冷やせ ここまで言ってわからなきゃ死ね 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 17:33:51 ] あんたが「何も使わないで」というのを、割り算も使わないでって意味だと 勝手に思い込んでただけじゃないのか？ >>208も別に割り算を使わないで証明できるとか そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、 お前は微積の授業で、平均値の定理からRolleの定理から何も使わないで出ます、 と先生が言ったら、 「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！ 平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、 ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？ 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 17:35:09 ] ヒントってどのレスのこと？ 馬鹿な私には分かんないんだけど あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ 390 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:41:54 ] >「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！ >平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、 >ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？ 噛みつくね 391 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:43:55 ] ＞>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか ＞そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、 だからお前も同類の馬鹿なんだよ な ジョルダンヘルダーから簡単にでるって じゃあどういう意味なんだよ 392 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:44:54 ] >あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ ばかよくレス読んでこい 393 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:55:03 ] >平均値の定理 そういうのよく思いつくね 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 17:58:13 ] 単に難しい道具を用意したりしなくても直接に出るって言ってるだけだろ？ 割り算くらい代数学の勉強してる人間は理解しているとして話してるんじゃないのか？ そうすると難しい道具、の定義が無いとか言うのか？ >>208は別に今、数学を集合論から論理的に構築しているわけではないだろ？ 395 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:00:30 ] はなしにならん 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:24:12 ] 俺は>>390にビックリしたよｗ 大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ 397 名前：208 [2005/10/19(水) 18:26:05 ] 初めからアフォだと思ってたけどこれほどとは。 珍しい奴だな 398 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:28:57 ] >珍しい奴 はお前だよ >俺は>>390にビックリしたよｗ 冗談を真に受けるな 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:30:45 ] 都合が悪くなると冗談にしちゃうのか 400 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:31:28 ] >大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ 普通の学生だったら208みたいに平凡になってるってか おまえおもしろいね 401 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:32:35 ] >>399 ばか都合の問題でこまかしてんのはどっちだよ 402 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:33:53 ] ともかくだ おまえらは教育のし甲斐の無い奴らだってことが よくわかった 破門だ 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:34:06 ] そんなことより。 割算も使っちゃいけないってのは、なんでなの？ 404 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:35:12 ] >>399 いっとくが冗談だというのは冗談だよ 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:39:26 ] あのね、俺、別に煽ってる訳じゃないんだけど。 俺はヘヴィな2cherではないし、正直この数板くらいしか覗かないんだ けど、でも俺の知る限りでは、アンタみたいな思わせぶり炸裂の奴って、 経験的に言って馬鹿が多いんだよね。 俺はさ、208でも何でもないから（っていうか俺は>>372ね）、既出の 通り「教えてクン」呼ばわりされるのは全然構わないんだ。だから、ご ちゃごちゃ誤魔化してないで、はっきり教えて欲しいんだけど。 割算を使うということが、どのように問題なワケ？ 406 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:41:25 ] >>403 あのね 割り算を使っちゃいけないとは誰も言ってないよ 割り算をつかわなくてはいけないといっているのよ 必須アイテムは「わりざん」でジョルダンヘルダーじゃない ジョルダンヘルダーだけで素因数分解の一意性がでるかのように いってるといってるの 割り算が簡単でそれくらいだれでもわかるでしょというなら その段階でおわってるわけ 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:43:49 ] >>405 雑魚は引っ込んでろ。208が出てくればいい。 ちなみ、俺402じゃないからね。 408 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:44:25 ] >>405 これだけ言ってわからないってのはね >経験的に言って馬鹿が多いんだよね。 >>406 でわからないかね 409 名前：405 mailto:sage [2005/10/19(水) 18:47:58 ] ・・・なんか、つまんない話っぽいなぁ。 うーん、あくまでも俺が馬鹿だから理解できないのかなぁ？　いやね、 内容を見る限り、>>406その他が馬鹿で無知であるとは、あんまし思え ないんだけど。 でも、>>406の言ってることって、あまり面白い話ではなさそうだね。 それとも、あれかい？　ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分 解の一意性を使っているのかい？　そういう話なら、得るところも大き いんだけど・・・。 410 名前：405 mailto:sage [2005/10/19(水) 18:49:52 ] >>407 じゃあ、君は雑魚じゃないんだね？ それなら、君が分かるように解説したらどうなん？？ 411 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:52:43 ] >それとも、あれかい？　ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分 >解の一意性を使っているのかい？　そういう話なら、得るところも大き >いんだけど・・・。 そうそう　そう考えなくちゃね　あんたは208より数等上のアタマの使い方 知ってるよ 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:55:11 ] >>411 >>286のどこで本質的に使ってるの？ 413 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:55:30 ] >>409 つまらない話にもっていったのは208だからな しかたがないね ジョルダンヘルダー使って素因数分解の一意性証明した そのどこで割り算使ってるか208にはわかってるのかね 414 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:56:53 ] >>412 使ってないよ だからどこに隠れてるのかって 415 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:01:55 ] >>409 それでもまだつまらないってのか 416 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:11:07 ] >>410 ぺちゃくちゃうるさい。黙ってろ。 417 名前：208 [2005/10/19(水) 19:30:34 ] >>387の話が分かったひと(>>387以外)いたら説明してくれ。 俺にはさっぱりわからん。割り算を使わないと証明出来ないと してそれで俺が嘘をついたことになるのか？ 俺は割り算は使わないとは言ってない。 418 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:34:52 ] >>417 もういいから >俺は割り算は使わないとは言ってない。 そのとおりだよ 何度もいうように「すぐに」がうそだって言ったの でどこで割り算つかったんだよ 419 名前：208 [2005/10/19(水) 19:37:36 ] >>418 >もういいから もういいからじゃねえよ。 きっちり決着つけようじゃないか。 割り算のどこが難しいんだよ。 420 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:39:55 ] >>417 嘘の問題じゃないんだよ おまえが自分に誠実かが問われているんだよ 421 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:39:56 ] 割り算はすらすらなんだけど、文章題になると突然思考が止まるんですが。。。 422 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:41:24 ] >割り算のどこが難しいんだよ。 だれが難しいって言ったの 423 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:42:25 ] >きっちり決着つけようじゃないか。 だからどこで使ってるんだよ 424 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:43:23 ] >もういいからじゃねえよ。 だったら謝れよ 425 名前：363 [2005/10/19(水) 19:44:46 ] ちなみに>>363では、「Z/pZ が単純⇔pが素数は自明」ってとこに 「割り算」使ってる。 >>387は単に>>208にイチャモンつけたいだけだと思われ。無視しよう。 426 名前：208 [2005/10/19(水) 19:45:30 ] >>420 >嘘の問題じゃないんだよ >>293でお前が「うそつけ」と言ったのがこの騒ぎの発端なんだよ。 今更、嘘の問題じゃないもないだろ。 427 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:46:09 ] >>425 まちがい 428 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:47:40 ] >>426 この期におよんで自分の理解が浅はかだったことを そういう態度でごまかすのは見苦しいね 429 名前：363 [2005/10/19(水) 19:48:51 ] >>427 427=387か？ どこが間違い？ また最初から同じような話が繰り返されそうな悪寒・・・　 430 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:49:19 ] >>363 は208よりちょっとだけ賢いが もうちょっと素直にならないといけないな 431 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:50:28 ] あとは自分で勉強しなさい お父さんは帰るから 432 名前：208 [2005/10/19(水) 19:50:31 ] >>422 >だれが難しいって言ったの 簡単に出るといったら、嘘つき呼ばわりされた。 その理由は、割り算を使うからだと。 つまり、割り算は簡単でないと思ってんだろ。 簡単でないとは（ほぼ）イコール難しいだろ。 433 名前：363 [2005/10/19(水) 19:50:55 ] みなさん427=387=430はスルーしましょう。 434 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:51:55 ] >>432 見苦しい言い訳すんなよ 435 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:53:03 ] >>363 雑魚が 436 名前：208 [2005/10/19(水) 19:54:39 ] だめだこりゃ。話しにならない。 割り算が簡単でないだと。キ印だな 437 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:56:44 ] >>436 だからどこでつかってんだよ 438 名前：208 [2005/10/19(水) 20:03:19 ] >>437 そんなのどっちでもいいだろ。 割り算を使うにしろ、使わないにしろ簡単なことに変わりないんだから。 お前の、割り算にこだわるところが病的なんだよ。 トラウマでもあるのか。小学生のときに割り算がわからなくて 先生にどやしつけられて皆の前で恥を書いたとかｗ 439 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 20:04:13 ] >割り算が簡単でないだと。キ印だな おれはき印でいい おまえは嘘つきだ 440 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 20:07:25 ] >そんなのどっちでもいいだろ。 >使わないにしろ よくわかった やっぱりお前はわかっていないんだ 証明を完全に書ききってみることをおすすめする そしてお前が不誠実であることもよくわかった 素因数分解に割り算をつかわないならお前は大発見をしたことに なるよ 441 名前：208 [2005/10/19(水) 20:29:12 ] >>440 しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。 ほれ 命題 自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。 証明 n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を n の素因数分解とする。 G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する (各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。 G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を 持つ。G/H は巡回群であり、その位数は n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群 として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。 よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。 これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) の分解は一意に決まる。 証明終 442 名前：208 [2005/10/19(水) 20:43:44 ] >>440 使わないなんて言ってないだろ。 お前、日本語も駄目なんだな 443 名前：208 [2005/10/19(水) 20:45:27 ] >>439 >おまえは嘘つきだ 何故なのか、とっくりと聞こうじゃないか。 444 名前：208 [2005/10/20(木) 12:22:52 ] Krullの単項イデアル定理(>>381)の系 A をネーター環、 p ⊃ p_1 ⊃ p_2 を A の長さ２の素イデアル鎖(>>379)とする (よって、この３個の素イデアルは互いに異なる)。 x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。 このとき x を含む素イデアル q で p ⊃ q ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となるものが存在する。 証明 A を A_p で置き換えて、A は局所環で p はその極大イデアルと してよい。 Supp(A/(xA + p_2)) の極小元を q とする。つまり、q は xA + p_2 を含む素イデアルの中で極小である。 A は局所環だから、p ⊃ q となる。q ⊃ p_2 は明らか。 ネーター整域 B = A/p_2 と x' = x (mod p_2) に単項イデアル定理 (>>381)を適用すると、q/p_2 の高さは１であることが分かる。 よって p = q では有り得ない。何故なら、 p = q とすると、 q ⊃ p_1 ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となって、q/p_2 の高さが１ であることに矛盾するから。 よって、 p ⊃ q ⊃ p_2 は長さ２の素イデアル鎖である (q ≠ p_2 は明らか)。 証明終 445 名前：208 [2005/10/20(木) 12:24:43 ] 補題 A をネーター環、 p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖(>>379) とする。x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。 n - 1 個の素イデアル q_1, ... , q_(n-1) で p ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) ⊃ p_n が長さ n の素イデアル鎖 となり、x ∈ q_(n-1) となるものが存在する。 証明 n に関する帰納法と >>444 を使う。 446 名前：208 [2005/10/20(木) 12:32:43 ] 命題 A をネーター環、x を rad(A) (>>238) の元とすれば。 dim(A) ≦ dim(A/xA) + 1 となる。 証明 dim(A) が 0 または 1 のときは明らか。 よって、 p_0 ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖で x ∈ p_0 なら、長さ n-1 の素イデアル鎖 p_0 ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) で x ∈ q_(n-1) となるものが存在 することを示せばよい。n に関する帰納法を使う。 x ∈ p_1 なら帰納法の仮定を使えばよいから、x は p_1 に含まれない とする。よって、補題(>>445)を使えばよい。 証明終 447 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 13:56:07 ] >>440 >使わないなんて言ってないだろ。 >お前、日本語も駄目なんだな お前こそが日本語だめだろ しかも 使うか使わないかもわかりもしないで 証明したことにしてるんだし 448 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:00:00 ] ま　ともかくだ 問題点をつきつけられてわからぬバカは うそつき以上にたちがわるい いえばわかる程度の奴だとおもうから うそつきで我慢してやったがな 君にはがっかりだ 449 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:02:12 ] 代数的整数論と解析的整数論とはどちらが成功したといえるのでしょうか？ 450 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:13:16 ] [問] π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・ {p_i}_[i=1,∞]の内、素数であるものの集合をＸ、それ以外をＹ とした時に、Ｘ，Ｙの元の数を｜Ｘ｜、｜Ｙ｜とした時に、 ｜Ｘ｜/｛｜Ｘ｜＋｜Ｙ｜｝を見積もれ。 451 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:20:53 ] π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・ {p_i}_[i=1,∞]という数列が、完全にランダムである、つまり、 乱数であるか否かを示せ、また、もし乱数である場合、πという 数はどんな性質を持つ事になるか？更に、πを用いて乱数を順次 発生するプログラムを作るとするとどんなプログラムになるか？ 452 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:27:46 ] [問２] 完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在した時に、別の 完全にランダムな数列{r_i}_[i-1,∞]が存在しうるか？ 453 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:31:55 ] 存在し得るならば、それは唯一か？それとも任意に別の 完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在するのか？ 存在するとした時に、それを生成するプログラムを具体 的に書き下せるのか？それとも存在はするあ具体的には 書き下せいないのか？それを検討、証明せよ。 454 名前：208 [2005/10/20(木) 14:39:02 ] 命題 A をネーター環、x_1, ... , x_r を rad(A) (>>238) の元とすれば。 dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。 証明 r に関する帰納法。r = 1 のときは、>>446 そのもの。 r > 1 とし、B = dim(A/x_2A + ... + x_rA) とする。 x_1 の B における像を y とすると、再び >>446 より dim(B) ≦ dim(B/yB) + 1 B/yB は、A/x_1A + ... + x_rA に同型である。 よって、 dim(A/x_2A + ... + x_rA) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + 1 となる。 一方、帰納法の仮定より、 dim(A) ≦ dim(A/x_2A + ... + x_rA) + r - 1 となる。 よって、dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。 証明終 455 名前：208 [2005/10/20(木) 14:48:43 ] Krullの次元定理 A をネーター環、I をそのイデアルで、r 個の元 x_1, ... , x_r で生成されるものとする。p を I を含む素イデアルの中で極小な ものとすると、ht(p) ≦ r である。 証明 A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル としてよい。>>454 より dim(A) ≦ dim(A/I) + r である。 I を含む素イデアルは、p だけだから、dim(A/I) = 0 である。 よって、dim(A) ≦ r である。 あとは、dim(A) = ht(p) に注意すればよい。 証明終 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/20(木) 17:32:35 ] どこで使ってんだよって、、 そんなの割り算を使うから簡単には出ないって主張してる側が探して ここからここに行くときにどうしても使わざるを得ない、って主張するべきじゃねえのか？ もう基地外は無視しようぜ 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/20(木) 18:08:33 ] >>456 できないやつがごまかすなよ 降参しろよばーか こんなかんたんなことなのにな ほんとにおまえらってなさけない いっしょうじべたをはいずってろって 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/20(木) 18:14:08 ] >>456 いいか雑魚おれは基地概でもなんでもいい 答えをしっている おまえは答えがわからない単なるアホなんだよ 無視してくれるのがありがたいね 459 名前：208 [2005/10/20(木) 19:44:37 ] >>447 >使うか使わないかもわかりもしないで どっから、そういう結論になるんだよ。 俺は、使う使わないは問題が簡単かどうかに関係ないだろ って言ったんだよ。 素因数分解は自然数の整除が関係してんだから割り算くらい使うだろ 現に >>441 で n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) を使ってる。 で、使ったからどうだっていうの？ 460 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 00:49:41 ] 「Bが部分環A上、忠実平坦とする。 このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」 これが証明できるレベルの奴は折らんのか？ 461 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 08:38:08 ] しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。 ほれ 命題 自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。 証明 n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を n の素因数分解とする。 G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する (各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。 G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を 持つ。G/H は巡回群であり、その位数は n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群 として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。 よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。 これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) の分解は一意に決まる。 証明終 Thanks. This is interesting. 462 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 08:39:36 ] >>「Bが部分環A上、忠実平坦とする。 このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」 Is this easy when $A$ is Noetherian? 463 名前：208 [2005/10/21(金) 09:12:20 ] >>460 ちょっと考えたけどわからん。 ところで、質問するならその背景を少し説明してくれ。 その問題のソースとか。 大体、それが成立つ保障はあるのか？ 成立たない問題をいくら証明しようとしても無駄だからな。 464 名前：208 [2005/10/21(金) 09:26:22 ] Krullの次元定理(>>455)の別証 r に関する帰納法を使う。 A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル としてよい。 dim(A) ≦ 0 のときは明らかだから dim(A) ≧ 1 とする。 p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_s を長さ s の素イデアル鎖とする。 p_1 は、 p に含まれ p と異なる素イデアルの中で極大とする。 このような素イデアルが存在するのは、A がネーター環であること により保障される。 I は p_1 に含まれないから、p_1 に含まれない x_i がある。 x_1 が p_1 に含まれないとしてよい。 (x_1)A + p_1 を含む素イデアルは p のみだから、 Ass(A/x_1A + p_1) = {p} である。よって p^n ⊂ (x_1)A + p_1 となる n > 0 がある。 I ⊂ p だから、各 i ≧ 2 で (x_i)^n ∈ (x_1)A + (y_i)A となる p_１の元 y_i がある。 J = (y_2, ... , y_r) とおく。I の生成元 x_1, ... , x_r は mod (x_1)A + J で、べき零だから、I の十分高いべきは、(x_1)A + J に含まれる。よって、(x_1)A + J を含む素イデアルは p のみである。 さて、p_1 ⊃ q ⊃ J となる素イデアルがあるとする。 (x_1)A + q ⊃ (x_1)A + J だから、(x_1)A + q を含む素イデアルも p のみである。よって、単項イデアル定理(>>381)により整域 A/q において x_1 mod q で生成される単項イデアルの高さは 1 である。 よって、dim(A/q) = 1 である。これは、p_1 = q を意味する。 よって、p_1 は J を含む素イデアルの中で極小である。 J は r - 1 個の元で生成されるから、帰納法の仮定より、 ht(p_1) ≦ r -1 である。つまり、s - 1 ≦ r -1 である。 よって、s ≦ r である。これは、ht(p) ≦ r を意味する。 証明終 465 名前：208 [2005/10/21(金) 09:36:17 ] Krullの次元定理(>>455)は、可換代数においてネーター環における 準素イデアル分解定理の次に得られた大定理だろう。 代数的整数論では１次元の環、とくにDedekind環を扱うので、 表面的には高次元の環はあまり関係ないとも言える(実は関係はある)。 しかし、Krullの次元定理は、このスレの今までの知識で証明 出来るので述べてみた。 466 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 11:53:57 ] Raynaud「Anneaux Locaux Henseliens」の第８章94ページの定理３の（２） 「局所環Bが局所環A上local-ind-etaleのとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」 とある。 証明は、Aが整閉整域ならBもそうであることはBがA上local-ind-etaleであることから分かる。と書いている。これは俺も納得している。 逆は明らかなのか説明は書いてない。おそらく一般的に成り立つと思われる。 たとえば、AがBの部分環であることは次のようにして分かる． ｆ：A->Bをstructure morphismとして，I=Ker(f)とおく． すると，（A/I）○B＝A○Bであることから，I○B=0であることが分かるが, BはA上local-ind-etaleであるから，A上忠実平坦であるので，I=0である． 但し，○はテンソル積の意味． 最後に，A上local-ind-etaleとは次のように定義される： 局所環（A,m）上etale環Cをｍの上にlie-overする素イデアルpで局所化した環C_pをlocal-etale環と呼び， local-etale環のfiltrant帰納系（morphismはlocal　morphism，すなわち極大イデアルの逆増が極大イデアル）の極限をA上local-ind-etaleと呼ぶ． だから，上の主張は，Bがlocal-etaleの場合でも成り立つのでそれが手がかりにもなる． 467 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 12:14:45 ] >> 466 Olivier, J.-P. Going up along absolutely flat morphisms. J. Pure Appl. Algebra 30 (1983), no. 1, 47--59. I think your question is related to the content of this paper and not so trivial. So I strongly recommend you to read it. Absolutely flat morphism is more general than ind-etale maps. 468 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 13:29:21 ] >>459 わははははははっは わははははははっは これは大笑いだね 大恥さらしだね こんなバカみたことないね 「割り算」の意味すら理解してないんだな ここまでバカだとは信じられないね もうあんまり嬉しがらせないでよね 笑い死にしたらどうすんだよ ついでだけど>>461の証明もみっともないよ もういいわ 喋っても無駄なバカの集まりだった Ass の集まりだよ 469 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 13:44:20 ] >>459 の回答はいつまでも晒しておきたいくらい愚かだな 470 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 15:03:36 ] >>60 亀レスながら…　 Weber の代数学教程第3巻のみ邦訳有。 （ただし、代数関数の部分は省略されています） 片山氏が邦訳したものが私家版で出版されています。 在庫の有無は津田塾に尋ねると良いでしょう。 確か送料込みで４ｋ弱だったはず。 （紙代＋製本代を実費負担、という感じです） 471 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 15:38:07 ] >>467 本当にありがとうございます。早速手に入れて読んでみます。 467さんは、この代数幾何・整数論・可換環論などの専門家なのですね。 恐れ入りました。 Raynaudの本はもう８章で終わらそうと思っています。 なんか８章の最後が飛びすぎてて、９章以降読んでも完全に分かりそうな気がしなくなった。 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 16:00:15 ] >>468 こんなに痛いやつは次世代のワイルズ以来だが、 同一人物か？ 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 16:05:08 ] そんな事を言っても208の自演だと言い出すに決まっている。 相手をすると病状が悪くなるらしい。俺はこのスレ好きだから 無視してやって欲しい。オネガイ。 474 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:37:03 ] >>472>>473 おまえらも同レベルのバカなのね おまえらも一緒にさらしてやるわ 475 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:44:13 ] >>472>>473 ねんのため言っておいてやろう たとえば>>425>>363 は「割り算」の意味を理解してるね >>459が冗談で言ってるんじゃなかったら 真性のアホだよ それがわからないｵﾏｴﾗは同類ということだよ 476 名前：208 [2005/10/21(金) 16:49:02 ] 整数論ってのはトンデモを引き寄せるんだよな。 自然数という素朴な対象を相手にしてるからとっつきやすいんだろうな。 奴もJordan-Holderなんて頭素通りなんだろうね。 分かるのは四則演算くらい。だから、素因数分解と聞いて飛びついた。 ところが、期待してた証明と違うんで八つ当たり。 こんなとこだろ。 477 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:56:40 ] >>476 おまえが何を言おうと今回は大恥かいてるよ それすらわからないんだな 重症だな >>459というﾊﾞｶ丸出しを引き出せて俺は心底満足してる しかしおまえの名誉のためつけ加えてやろう 他の数学の書き方はまあちゃんとしてるから 症状は自閉症だろ 478 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:59:42 ] >>476 ところで今更>>459が冗談だなんて言わないよな 479 名前：208 [2005/10/21(金) 17:31:59 ] はっきりさせようじゃないか。 普通の人間にわかるように説明してみろ。 お前のいう割り算とはどういう意味で、それが何故簡単じゃないのか。 480 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 17:46:49 ] おいおい >>425でも読んでアタマ冷やせよ これ以上恥の上塗りするのかね とんでもない教えてくんだね いままでの罵詈雑言を考えたらね おれはおまえのようなバカに教えてやる義理はないよ おまえはエライからなんでもわかってるんだろ しかしヒントだけいってやろう おまえだって素因数分解の一意性の普通の証明しってるだろ それを反省してみなよ 481 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 17:53:11 ] >>479 いっとくがおれは>>459が出たから ここで引き下がって痛くも痒くもない わかる人間がよめばはっきりするからな 悔し紛れに逃げたとかほざいても 恥の上塗りだって覚えておきなよ おれはその方がおもしろいけど

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