代数的整数論

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/12(月) 16:30:31 ] 代数的整数論に関するスレッドです。 348 名前：208 [2005/10/18(火) 14:15:55 ] 定義 A を環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。 φ: A → A_p を標準射とする。 (p^n)A_p の φによる逆像を p^(n) と書く。 これを p の記号的 n-乗(symbolic n-th power)という。 349 名前：208 [2005/10/18(火) 14:17:54 ] >>347 あそ。じゃあ、どこが嘘なのか説明してもらおうか。 説明できないなら、それこそお前が嘘つきってことになる。 350 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 14:20:58 ] うそなのは 簡単ってとこ あとはおしえたらへん ひんとは自然数以外にも一意性はなりたつのかな 351 名前：208 [2005/10/18(火) 14:22:12 ] 命題 A をネーター環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。 p の記号的 n-乗 p^(n) は、準素イデアルであり Ass(A/p^(n)) = {p} となる。 証明 p^n を含む素イデアルは p を含む(>>203)から p は V(p^n) = Supp(A/p^n) の極小元である。 よって p ∈ Ass(A/p^n) である(>>146)。 p^n = q_1 ∩ ... ∩ q_r を最短準素分解(>>188)とする。 Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 p ∈ Ass(A/p^n) だから、p_i = p となる i がただ１つある。 p_1 = p とする。φ: A → A_p を標準射とする。 q_1 は (p^n)A_p のφによる逆像である(>>198)。 証明終 352 名前：208 [2005/10/18(火) 14:27:12 ] >>350 ｗｗｗ... 笑わせるやろうだ。 そんなことだったのかよ。 もういいから失せろ 353 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 14:30:29 ] おまえな自然数をなめるなよ 354 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 14:32:02 ] >笑わせるやろうだ。 >そんなことだったのかよ。 >もういいから失せろ しったかこいてるぜ 355 名前：208 [2005/10/18(火) 15:09:28 ] >>353 じゃあ、どのくらい難しいのか、ここで自然数の素因数分解の一意性を Jordan-Holderを使って証明してみてくれ。 356 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 15:14:28 ] だからJordan-Holderだけじゃ証明できないだろ って指摘してるのがわからない 血の巡りのとことん悪いアホの癖に 偉そうにだらだらお勉強ノート書いて えっ お前何様なんだよ どこの教授様なんだよ 教授なら辞表かけ そうでないならもっと謙虚になれ このくそったれが 357 名前：208 [2005/10/18(火) 15:27:40 ] じゃあ他も使っていいから証明してみてくれよ。 358 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 15:28:23 ] やめろよ教えてくん 359 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 15:29:22 ] 結局教えてくんだったね 360 名前：208 [2005/10/18(火) 16:55:47 ] 命題 A をネーター環、p を A の素イデアルとする。 φ: A → A_p を標準射とする。 ∩p^(n) = Ker(φ) である。 ここで n はすべての正の整数を動く。 証明 ∩p^(n) = ∩φ^(-1)(p^nA_p) = φ^(-1)(∩p^nA_p) ここで、∩p^nA_p = 0 である(>>252)。 よって、∩p^(n) = φ^(-1)(0) = Ker(φ) 証明終 361 名前：208 [2005/10/18(火) 17:10:26 ] >>359 どっちが正しいかはっきりしたいだけ。 だから、証明してみてくれ。 362 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 17:18:31 ] どっちもこっちもありゃしないさ じょるだんへるだーだけで素因数分解の一意性なんか 証明できるわけないだろって いくら馬鹿だってそれくらいは理解できるだろ 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 17:57:14 ] 208の代わりに証明してみる。 Z/pZ が単純⇔pが素数は自明。 したがって、nを自然数とすると、Z/nZの組成列は Z/nZ ⊃ pZ/nZ ⊃pqZ/nZ ・・・ ⊃pq・・・rZ/nZ = 0 （p、q、・・・r は素数、pq・・・r = 1) という形をしている。 したがって商群の列の（順序を除いた）一意性から、素因数分解の一意性がでる。 おわり。 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 17:59:36 ] ｽﾏｿ 「pq・・・r = 1」じゃなくて「pq・・・r = n」 365 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 18:09:23 ] >>363 素直なよい子だね それを代数体の整数環でやったらどうかな そこでも素因数分解の一意性はなりたつかな 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 18:16:07 ] あ！？ 代数体の整数環の素イデアル分解の話は最初から誰もしてねーだろ。 大体それは「素因数分解」っていわねーよ、フツー。何言いたいんだおめーは？ 367 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 18:21:16 ] いであるのことなんか言ってないよ 数の話をいってるのさ 368 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 18:21:50 ] 208レベル大杉だな 369 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 18:22:28 ] もういいや すきにやって 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 18:23:06 ] 「数の話」って何よ。釣りか？ 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 18:23:39 ] 飛んで飛んで飛んで〜 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 21:08:59 ] イデアルの話じゃないのなら、何の話をしてるの？？ 言っとくけど俺、このスレ初カキコだから。イコール厨は勘弁して くれよな（聞いてるだけなんで、「教えてクン」呼ばわりされるの は別に構わんが・・・(^^; 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 21:27:14 ] 出るかもしれないけど自然数の素因数分解の一意性の証明っていうより 素因数分解の一意性の一般化になっているから重要だってことだよね まあJordan-Holderは （一般には作用域を持つ）加群の一種の「分解」になってるわけで 素因数分解の一般化だろうが仮にそうでなかろうが重要なのは間違いないね 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 21:35:01 ] どうでもいい。オナニーさせろや。 375 名前：208 [2005/10/19(水) 09:26:18 ] >>362 お前には、ここは無理。代数の基礎からやり直してこい。 376 名前：208 [2005/10/19(水) 09:35:41 ] >>359 しつこいな。お前、アフォだろ。 どっから、俺が教えてくんというのが出てくるんだよ。 演習問題を出して、それを嘘だと言われたら、誰でも 理由を聞くだろうが。それを、教えてくん呼ばわりするってのは(略 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 09:38:06 ] 「イデアルのことではなく、数の話である」という主張の意味を、一晩 寝ないで考えてみました（まあ嘘ですけど(w でも、結局全然分からんかった。 「イデアル」って、「理想数」というほどのニュアンスで命名されたん だよね？　だったら、「イデアルではなく数の話」っていうのは、つま りは「理想的でない数」の話ということだ。結局、何言ってんだか全然 分からんということだ！！ 378 名前：208 [2005/10/19(水) 10:17:51 ] >>340 と似たようなものだけど、次の命題を>>340と別の方法で 証明しておく。 命題 A を環、I, J, L を A のイデアルで I + J = A I + L = A とする。 このとき、I + JL = A となる。 証明 A = (I + J)(I + L) = I^2 + IL + JI + JL ⊂ I + JL 証明終 これと帰納法を使って、>>340 が出る。 379 名前：208 [2005/10/19(水) 10:21:50 ] 定義 A を環、A の素イデアルの列 p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n で各p_i が異なるものを長さ n の素イデアル鎖と呼ぶ。 長さ n の素イデアル鎖が存在し、長さ n + 1 の素イデアル鎖が 存在しないとき、n を A の Krull次元と呼ぶ。 A の Krull次元を、dim(A) または dim A と書く。 p を A 素イデアルとしたとき、dim A_p を p の高さといい、 ht(p) または ht p と書く。 これは、p = p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n となる素イデアル鎖の長さの最大である。 I をイデアルとしたとき inf{ht(p); I ⊂ p, p ∈ Spec(A)} を I の高さといい、ht(I) または ht I と書く。 380 名前：208 [2005/10/19(水) 10:56:05 ] 中山の補題(>>242)の系 A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。 M を有限生成 A-加群とする。 N を M の部分加群で、 M = N + IM とすると、M = N である。 証明 I(M/N) = (IM + N)/N = M/N よって、中山の補題より M/N = 0 証明終 381 名前：208 [2005/10/19(水) 11:08:56 ] 定理(Krullの単項イデアル定理) A をネーター整域、a を A の 0 でなく可逆でもない元とする。 p を Supp(A/aA) の極小元とする。 このとき、ht(p) = 1 となる。 証明 Supp(A/aA) = V(aA) であるから(>>176)、これの極小元というのは、 aA を含む素イデアルの集合の極小元ということである。 A を A_p で置き換えて A を局所環と仮定してよい。 よって、p は A の極大イデアルである。 よって、Supp(A/aA) = {p} となる。 Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(>>99)、Ass(A/aA) = {p} となる。 q を A 素イデアルで、q ⊂ p かつ q ≠ p とする。 q = 0 を示せばよい。 イデアルの列 q + aA ⊃ q^(2) + aA ⊃ q^(n) + aA ⊃ ... を考える。ここで q^(n) は q の記号的 n-乗(>>348)。 Supp(A/aA) = {p} で p は極大だから、A/aA は 長さ有限である(>>345)。 よって、q^(n) + aA = q^(n+1) + aA となる n がある。 q^(n) ⊂ q^(n+1) + aA である。x ∈ q^(n) とすると、 x = y + az となる、y ∈ q^(n+1) と z ∈ A がある。 az = x - y ∈ q^(n) であり、Ass(A/q^(n)) = {q} で(>>351) a は q に 含まれないから、a は A/q^(n) に関して正則である(>>180)。 よって、z ∈ q^(n) となる。つまり、q^(n) ⊂ q^(n+1) + aq^(n) である。逆の包含関係は明らかだから、q^(n) = q^(n+1) + aq^(n) となる。よって、中山の補題の系(>>380)より q^(n) = q^(n+1) となる。同様に、q^(n+1) = q^(n+2) = ... である。 一方 >>360 より ∩q^(n) = 0 である。よって q^(n) = 0 である。q^n ⊂ q^(n) だから q^n = 0、A は整域だから q = 0 である。 証明終 382 名前：208 [2005/10/19(水) 11:20:29 ] Krullの単項イデアル定理(>>381) はネーター環の準素イデアル分解、 共通イデアル定理(>>252)、中山の補題、環の局所化など可換代数に おける基本的な道具や結果を動員して証明された。 だから今までの命題と較べてやや深い結果といえるだろう。 これは、Krullの次元定理の特別な場合だが、次元定理は、これを 利用して帰納法により証明される。 383 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 12:49:59 ] >>375 やっぱり無理だったなお前にはな やっぱり染みついた馬鹿はとれないな 顔にケチャップついてますよといわれても 余計なお世話だって道歩いてんだろうな まっこれ以上ヒント出しても無駄だから アホは死んでね クルルの次元定理なんて偉そうにいっても自然数の 素因数分解が理解できないのじゃ意味無いね 384 名前：208 [2005/10/19(水) 13:14:25 ] >>383 ヒントって何のヒントだよ。Jordan-Holderから自然数の素因数分解の 一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。 それを否定してるお前は初歩の代数の基礎がわかってないの。 これも動かせない事実。頭を冷やせ。 385 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 13:34:18 ] 「Bが部分環A上、忠実平坦とする。 このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」 ことを証明してくれ。 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 15:57:50 ] クルルの次元定理って、偉そうなの？(hagewara 387 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:05:32 ] >Jordan-Holderから自然数の素因数分解の >一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。 でないよ 自然数の素因数分解の本質は割り算にあるというのが 動かせない事実 それを使わない限り証明できるわけがない おまえこそアタマを冷やせ ここまで言ってわからなきゃ死ね 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 17:33:51 ] あんたが「何も使わないで」というのを、割り算も使わないでって意味だと 勝手に思い込んでただけじゃないのか？ >>208も別に割り算を使わないで証明できるとか そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、 お前は微積の授業で、平均値の定理からRolleの定理から何も使わないで出ます、 と先生が言ったら、 「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！ 平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、 ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？ 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 17:35:09 ] ヒントってどのレスのこと？ 馬鹿な私には分かんないんだけど あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ 390 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:41:54 ] >「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！ >平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、 >ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？ 噛みつくね 391 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:43:55 ] ＞>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか ＞そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、 だからお前も同類の馬鹿なんだよ な ジョルダンヘルダーから簡単にでるって じゃあどういう意味なんだよ 392 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:44:54 ] >あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ ばかよくレス読んでこい 393 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:55:03 ] >平均値の定理 そういうのよく思いつくね 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 17:58:13 ] 単に難しい道具を用意したりしなくても直接に出るって言ってるだけだろ？ 割り算くらい代数学の勉強してる人間は理解しているとして話してるんじゃないのか？ そうすると難しい道具、の定義が無いとか言うのか？ >>208は別に今、数学を集合論から論理的に構築しているわけではないだろ？ 395 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:00:30 ] はなしにならん 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:24:12 ] 俺は>>390にビックリしたよｗ 大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ 397 名前：208 [2005/10/19(水) 18:26:05 ] 初めからアフォだと思ってたけどこれほどとは。 珍しい奴だな 398 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:28:57 ] >珍しい奴 はお前だよ >俺は>>390にビックリしたよｗ 冗談を真に受けるな 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:30:45 ] 都合が悪くなると冗談にしちゃうのか 400 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:31:28 ] >大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ 普通の学生だったら208みたいに平凡になってるってか おまえおもしろいね 401 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:32:35 ] >>399 ばか都合の問題でこまかしてんのはどっちだよ 402 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:33:53 ] ともかくだ おまえらは教育のし甲斐の無い奴らだってことが よくわかった 破門だ 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:34:06 ] そんなことより。 割算も使っちゃいけないってのは、なんでなの？ 404 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:35:12 ] >>399 いっとくが冗談だというのは冗談だよ 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:39:26 ] あのね、俺、別に煽ってる訳じゃないんだけど。 俺はヘヴィな2cherではないし、正直この数板くらいしか覗かないんだ けど、でも俺の知る限りでは、アンタみたいな思わせぶり炸裂の奴って、 経験的に言って馬鹿が多いんだよね。 俺はさ、208でも何でもないから（っていうか俺は>>372ね）、既出の 通り「教えてクン」呼ばわりされるのは全然構わないんだ。だから、ご ちゃごちゃ誤魔化してないで、はっきり教えて欲しいんだけど。 割算を使うということが、どのように問題なワケ？ 406 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:41:25 ] >>403 あのね 割り算を使っちゃいけないとは誰も言ってないよ 割り算をつかわなくてはいけないといっているのよ 必須アイテムは「わりざん」でジョルダンヘルダーじゃない ジョルダンヘルダーだけで素因数分解の一意性がでるかのように いってるといってるの 割り算が簡単でそれくらいだれでもわかるでしょというなら その段階でおわってるわけ 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:43:49 ] >>405 雑魚は引っ込んでろ。208が出てくればいい。 ちなみ、俺402じゃないからね。 408 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:44:25 ] >>405 これだけ言ってわからないってのはね >経験的に言って馬鹿が多いんだよね。 >>406 でわからないかね 409 名前：405 mailto:sage [2005/10/19(水) 18:47:58 ] ・・・なんか、つまんない話っぽいなぁ。 うーん、あくまでも俺が馬鹿だから理解できないのかなぁ？　いやね、 内容を見る限り、>>406その他が馬鹿で無知であるとは、あんまし思え ないんだけど。 でも、>>406の言ってることって、あまり面白い話ではなさそうだね。 それとも、あれかい？　ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分 解の一意性を使っているのかい？　そういう話なら、得るところも大き いんだけど・・・。 410 名前：405 mailto:sage [2005/10/19(水) 18:49:52 ] >>407 じゃあ、君は雑魚じゃないんだね？ それなら、君が分かるように解説したらどうなん？？ 411 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:52:43 ] >それとも、あれかい？　ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分 >解の一意性を使っているのかい？　そういう話なら、得るところも大き >いんだけど・・・。 そうそう　そう考えなくちゃね　あんたは208より数等上のアタマの使い方 知ってるよ 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:55:11 ] >>411 >>286のどこで本質的に使ってるの？ 413 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:55:30 ] >>409 つまらない話にもっていったのは208だからな しかたがないね ジョルダンヘルダー使って素因数分解の一意性証明した そのどこで割り算使ってるか208にはわかってるのかね 414 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:56:53 ] >>412 使ってないよ だからどこに隠れてるのかって 415 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:01:55 ] >>409 それでもまだつまらないってのか 416 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:11:07 ] >>410 ぺちゃくちゃうるさい。黙ってろ。 417 名前：208 [2005/10/19(水) 19:30:34 ] >>387の話が分かったひと(>>387以外)いたら説明してくれ。 俺にはさっぱりわからん。割り算を使わないと証明出来ないと してそれで俺が嘘をついたことになるのか？ 俺は割り算は使わないとは言ってない。 418 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:34:52 ] >>417 もういいから >俺は割り算は使わないとは言ってない。 そのとおりだよ 何度もいうように「すぐに」がうそだって言ったの でどこで割り算つかったんだよ 419 名前：208 [2005/10/19(水) 19:37:36 ] >>418 >もういいから もういいからじゃねえよ。 きっちり決着つけようじゃないか。 割り算のどこが難しいんだよ。 420 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:39:55 ] >>417 嘘の問題じゃないんだよ おまえが自分に誠実かが問われているんだよ 421 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:39:56 ] 割り算はすらすらなんだけど、文章題になると突然思考が止まるんですが。。。 422 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:41:24 ] >割り算のどこが難しいんだよ。 だれが難しいって言ったの 423 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:42:25 ] >きっちり決着つけようじゃないか。 だからどこで使ってるんだよ 424 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:43:23 ] >もういいからじゃねえよ。 だったら謝れよ 425 名前：363 [2005/10/19(水) 19:44:46 ] ちなみに>>363では、「Z/pZ が単純⇔pが素数は自明」ってとこに 「割り算」使ってる。 >>387は単に>>208にイチャモンつけたいだけだと思われ。無視しよう。 426 名前：208 [2005/10/19(水) 19:45:30 ] >>420 >嘘の問題じゃないんだよ >>293でお前が「うそつけ」と言ったのがこの騒ぎの発端なんだよ。 今更、嘘の問題じゃないもないだろ。 427 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:46:09 ] >>425 まちがい 428 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:47:40 ] >>426 この期におよんで自分の理解が浅はかだったことを そういう態度でごまかすのは見苦しいね 429 名前：363 [2005/10/19(水) 19:48:51 ] >>427 427=387か？ どこが間違い？ また最初から同じような話が繰り返されそうな悪寒・・・　 430 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:49:19 ] >>363 は208よりちょっとだけ賢いが もうちょっと素直にならないといけないな 431 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:50:28 ] あとは自分で勉強しなさい お父さんは帰るから 432 名前：208 [2005/10/19(水) 19:50:31 ] >>422 >だれが難しいって言ったの 簡単に出るといったら、嘘つき呼ばわりされた。 その理由は、割り算を使うからだと。 つまり、割り算は簡単でないと思ってんだろ。 簡単でないとは（ほぼ）イコール難しいだろ。 433 名前：363 [2005/10/19(水) 19:50:55 ] みなさん427=387=430はスルーしましょう。 434 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:51:55 ] >>432 見苦しい言い訳すんなよ 435 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:53:03 ] >>363 雑魚が 436 名前：208 [2005/10/19(水) 19:54:39 ] だめだこりゃ。話しにならない。 割り算が簡単でないだと。キ印だな 437 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:56:44 ] >>436 だからどこでつかってんだよ 438 名前：208 [2005/10/19(水) 20:03:19 ] >>437 そんなのどっちでもいいだろ。 割り算を使うにしろ、使わないにしろ簡単なことに変わりないんだから。 お前の、割り算にこだわるところが病的なんだよ。 トラウマでもあるのか。小学生のときに割り算がわからなくて 先生にどやしつけられて皆の前で恥を書いたとかｗ 439 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 20:04:13 ] >割り算が簡単でないだと。キ印だな おれはき印でいい おまえは嘘つきだ 440 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 20:07:25 ] >そんなのどっちでもいいだろ。 >使わないにしろ よくわかった やっぱりお前はわかっていないんだ 証明を完全に書ききってみることをおすすめする そしてお前が不誠実であることもよくわかった 素因数分解に割り算をつかわないならお前は大発見をしたことに なるよ 441 名前：208 [2005/10/19(水) 20:29:12 ] >>440 しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。 ほれ 命題 自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。 証明 n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を n の素因数分解とする。 G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する (各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。 G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を 持つ。G/H は巡回群であり、その位数は n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群 として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。 よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。 これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) の分解は一意に決まる。 証明終 442 名前：208 [2005/10/19(水) 20:43:44 ] >>440 使わないなんて言ってないだろ。 お前、日本語も駄目なんだな 443 名前：208 [2005/10/19(水) 20:45:27 ] >>439 >おまえは嘘つきだ 何故なのか、とっくりと聞こうじゃないか。 444 名前：208 [2005/10/20(木) 12:22:52 ] Krullの単項イデアル定理(>>381)の系 A をネーター環、 p ⊃ p_1 ⊃ p_2 を A の長さ２の素イデアル鎖(>>379)とする (よって、この３個の素イデアルは互いに異なる)。 x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。 このとき x を含む素イデアル q で p ⊃ q ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となるものが存在する。 証明 A を A_p で置き換えて、A は局所環で p はその極大イデアルと してよい。 Supp(A/(xA + p_2)) の極小元を q とする。つまり、q は xA + p_2 を含む素イデアルの中で極小である。 A は局所環だから、p ⊃ q となる。q ⊃ p_2 は明らか。 ネーター整域 B = A/p_2 と x' = x (mod p_2) に単項イデアル定理 (>>381)を適用すると、q/p_2 の高さは１であることが分かる。 よって p = q では有り得ない。何故なら、 p = q とすると、 q ⊃ p_1 ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となって、q/p_2 の高さが１ であることに矛盾するから。 よって、 p ⊃ q ⊃ p_2 は長さ２の素イデアル鎖である (q ≠ p_2 は明らか)。 証明終 445 名前：208 [2005/10/20(木) 12:24:43 ] 補題 A をネーター環、 p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖(>>379) とする。x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。 n - 1 個の素イデアル q_1, ... , q_(n-1) で p ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) ⊃ p_n が長さ n の素イデアル鎖 となり、x ∈ q_(n-1) となるものが存在する。 証明 n に関する帰納法と >>444 を使う。 446 名前：208 [2005/10/20(木) 12:32:43 ] 命題 A をネーター環、x を rad(A) (>>238) の元とすれば。 dim(A) ≦ dim(A/xA) + 1 となる。 証明 dim(A) が 0 または 1 のときは明らか。 よって、 p_0 ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖で x ∈ p_0 なら、長さ n-1 の素イデアル鎖 p_0 ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) で x ∈ q_(n-1) となるものが存在 することを示せばよい。n に関する帰納法を使う。 x ∈ p_1 なら帰納法の仮定を使えばよいから、x は p_1 に含まれない とする。よって、補題(>>445)を使えばよい。 証明終 447 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 13:56:07 ] >>440 >使わないなんて言ってないだろ。 >お前、日本語も駄目なんだな お前こそが日本語だめだろ しかも 使うか使わないかもわかりもしないで 証明したことにしてるんだし 448 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:00:00 ] ま　ともかくだ 問題点をつきつけられてわからぬバカは うそつき以上にたちがわるい いえばわかる程度の奴だとおもうから うそつきで我慢してやったがな 君にはがっかりだ

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