★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 　過去ログ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50 　関連スレ 面白い問題おしえて〜な 七問目 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50 恐ろしく難解な問題をだせ！ science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 22:40:30] >>808 訂正っす ×どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。 ○どうも(1/2)nC[2n,n]みたい。以下証明。 　 ×�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n] ○�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n] 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:24:19] >>808 普通に計算した方がはやいような・・・ 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:31:20] >>813 -((t+2+1/t)^n)'(1/(1-t))の原点の留数計算でやるって方法はあるんだけど あまりに味もそっけもないのでちょっと凝った方法をのせてみますた。 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:46:09] >>814 留数計算とか知らんけど Σ[k=0,n] k*C[2n,n-k] =Σ[k=0,n] (n-k)*C[2n,k] =nΣ[k=0,n]C[2n,k] - Σ[k=0,n] k*C[2n,k] =nΣ[k=0,n]C[2n,k] - 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1] =n(2^(2n)+C[2n,n])/2 - 2n(2^(2n-1))/2 =n/2C[2n,n] でいいんじゃね？ 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:50:30] >>815 なる。 Σ[k=0,n] k*C[2n,k] = 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1] これおもいつかんかったよ。だいたいこの手の計算答えが簡単になるときは 瞬殺する方法あとからでてきていやんなるんだよな。まだまだ修行がたりん。 817 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 02:34:50] 簡単なのを一題 　二つの自然数m,nに対し[m,n]はmとnの最小公倍数を表すものとする。 1≦a＜b＜c＜dとして (1/[a,b])^2 + (1/[b,c])^2 + (1/[c,d])^2 の最大値を求めよ。 818 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 11:24:34] (a,b,c,d)=(1,2,3,4) 1/4+1/36+1/144=(36+4+1)/144=41/144 (a,b,c,d)=(1,2,4,8) 1/4+1/16+1/64=(16+4+1)/64=21/64 41/144<21/64 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 13:20:20] >>809 指摘サンクス。 弓形の円周角をyとおくと、a->+0のときy->+0で、 a =　√(2 - 2cos y) lim[y->+0]y/a = √2(lim[y->+0]y/(1 - cos y)) = 1 820 名前：LettersOfLiberty [04/10/24 13:26:19] メールくれたら､解答送付してやる 821 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 13:49:53] >>819 lim[y->+0]y/(1 - cos y)＝∞ 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 13:56:36] >>821 訂正します。 lim[y->+0]y/a = √(2lim[y->+0]y^2/(1 - cos y)) = 1 823 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 14:18:22] ∠B=75°,∠C=45°の三角形ABCの辺AB上に点D辺AC上に点EをとるとBD=DE=ECとなった。 三角形ABCの面積と三角形ADEの面積の比を求めよ。 824 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/24 16:18:27] Re:>820 お前誰だよ？ 825 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 16:23:25] >>824 スレと関係ないレスは控えてくれよ。 お前も荒らしと変わらないぞ。 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 20:32:59] >>824 荒らしは消えろ！ 827 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 20:38:30] 一辺の長さが1の正三角形の内部に点Pを取る。 Pから正三角形の各辺におろした垂線の足によって構成される三角形の面積がある一定の値aになるような 点Pの軌跡のうち、長さが最大になる物を求めよ。また、その時のaの値を求めよ。 828 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 21:17:03] >>827 a=√3/16のとき点Pの軌跡は正三角形の内接円で長さは最大値π/√3をとる 829 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 21:24:16] 異なる5つの自然数a,b,c,d,eがあり、この中から2つの数字を選ぶ組み合わせは 10通りあるが、このうち9通りが互いに素な組み合わせだった。 このような5数a,b,c,d,eの積abcdeが取りうる平方数のうち最小のものを求めよ。 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 21:33:00] ４４１００。 831 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 22:10:02] お前ら……証明がほとんど無いですよ。 832 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 22:18:06] xの関数f(x)=(ax+b)(2+e^x)-1についてf(x)=0を満たす実数xが3つあり、それをα,β,γ(α＜β＜γ)とする。 ∫[α,γ]{f(x)/(2+e^x)}dx=0のとき、∫[β,γ]{f(x)/(2+e^x)}dxをγの式で表せ。 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 22:30:42] >>830 違う 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 02:34:50] >>829 (1,2,8,9,25)のときで3600、でよいのかな。 835 名前：１３２人目の素数さん [04/10/25 03:53:16] nを自然数とする。整式　ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+1 は２つの１次以上の実数係数多項式の積としてあらわせないことを示せ 836 名前：835 [04/10/25 03:55:48] 訂正；実数係数→整数係数　 nを自然数とする。整式　ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+1 は２つの１次以上の「整数」係数多項式の積としてあらわせないことを示せ 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 04:01:04] >>828 aの値が違うだろ。　a=3√3/64 838 名前：１３２人目の素数さん [04/10/25 04:13:38] 各頂点が格子点で、一辺の長さが１０の正方形ＡＢＣＤについて、三角形ＡＢＣの頂点を次の規則にしたがって動かす。 規則�T　毎回頂点の１つ隣り合う格子点（１はなれた点）のどこかに移動する。 規則�U　正方形から外に出てはいけない 規則�V　最終的に三角形ＤＣＢに到達しなければならない（ただし、Ａ→Ｄ、Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ｂ　と重なる）。 移動するたびに三角形ＡＢＣの面積（３点が同一直線上にあるとき面積は０とする）を計算し、 その最小値をｍであらわす。巧い移動方法によるｍの最大値を求めよ。 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 10:43:14] >>838 意味不明 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 10:46:22] 巧い巧い巧い 841 名前：１３２人目の素数さん [04/10/25 23:40:12] 正7角形には2種類の長さの対角線が存在するが、その長い方の長さをa、短い方の長さをbとする。 (1)a/b=2sin(3π/14)を示せ。 (2)sin(3π/14)を解に持つ整数係数の三次方程式を1つ求めよ。 842 名前：kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな mailto:kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな [04/10/25 23:42:00] kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな 843 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 00:50:00] 未消化問題が溜まってるな・・・ 844 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 00:50:52] ip.tosp.co.jp/i.asp?i=525maru 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 04:34:56] >>841 (1) 正七角形をABCDEFGとし、外接円の中心をOとする。 △ACFは、AC=AF=b, CF=aの二等辺三角形で、直線AOはAからCFに下ろした垂線かつ角Aの二等分線。 よって、∠CAO=(π-∠AOC)/2=(π-2*(2π/7))/2=3π/14より、 a=2b*sin∠CAO=2asin(3π/14) (2) 正七角形を座標上に、A(1,0)、以下左回りに順にBCDEFGと取る。 以下α=2π/7、θ=3π/14=π/2-α、sinθ=xとおく。 b^2=AC^2=(1-cos2α)^2+(sin2α)^2=2(1-cos2α)=2(1+cos2θ)=4(1-x^2) a^2=AD^2=(1-cos3α)^2+(sin3α)^2=2(1-cos3α)=2(1+sin3θ)=2(1-x)(1+2x)^2 よって、 (a/b)^2=(1+2x)^2/(2+2x) (1)より、(a/b)^2=4x^2なので、 (1+2x)^2/(2+2x)=4x^2 8x^3+4x^2-4x-1=0 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 08:05:54] 問題だけ吊るす、単なるマスターベーションスレになってしまった悪寒。 847 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 09:50:00] 股間 848 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/26 13:11:37] Re:>842 早く消えろ。 849 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 13:25:52] ようし、俺もオナニーだ。 (問)三角形OABの辺OA上に点P,辺OB上に点Q,辺AB上に点Rをとると、 三角形PQRは正三角形になり、さらにPQ//ABになった。 OA↑=a↑,OB↑=b↑とし、OR↑をa↑とb↑で表せ。 850 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 14:10:42] 俺の自信作 Ｏを原点とするxy平面に　Ａ（0,3^(n+1)） B(3^(n+1),3^n) （ｎは正の整数）がある。ただし、 ｘ座標　ｙ座標がともに整数である点を格子点という。 （１）　辺ＡＢ上の端点以外の格子点をＰとする。任意のＰに対して、線分ＯＰ上の端点以外 の格子点の個数ｋは　ｋ＝3^m-1 (ｍは非負整数)　とあらわされることを示せ。 （２）三角形ＡＢＣの内部の格子点Ｑのうち、次の条件をみたすものの個数を求めよ。 （条件）　直線ＯＱとＡＢの交点は格子点である。 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 18:07:00] >>850 (2)Ｃ？ 852 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 18:42:55] >>850 (1) Ｐは、自然数pを用いて、(3p、3^(n+1)-2p) (p=1,2,…,3^(n-1))とできる。 直線OP：y=((3^(n+1)-2p)/3p))x (0＜ｘ＜3p)で、 pが3の倍数じゃないとき0=3^0-1コ、pが3のベキじゃない3の倍数のとき2=3^1-1コ、 p=3^q (qは自然数)のとき、3^q-1コって出たけどあってる？ 853 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 19:28:44] >>836 答えおながいします 854 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 19:35:40] >>836の問題は1999日本数学オリンピック本選第4問 855 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 19:58:27] >>854 答えおながいします 856 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 20:01:09] >>855 タイピングするの大変・・・ググったらどこかにないかな？ 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 20:05:56] >>855 もう少しは考えろよ 本に書いて無い別海を見つけてこそ 本望だろ 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 20:10:02] >>857 結構考えた。もう疲れた。 >>856 すくなくとも数オリの公式ＨＰっぽいとこには2000以降しかなかった。 859 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:04:38] >>836>>855 略解 ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+ 1 = g*h, 4n ＞ deg g ≧ deg h ＞ 0 とすると、 g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0 ところが f の定数項は平方数で無い。 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:13:04] >>859 ＞g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0 　 なるほど 　 ＞ところが f の定数項は平方数で無い。 　 gとhの定数項が等しくなるのはなぜ？ 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:18:51] わかった。なるほど。g,hの次数が2n以下だからか。なるほど。すばらしい。 862 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:21:36] まだわかって無いような文章の書き方だな。 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:25:52] f(ki)=i g(ki)=-i になることはないのかな？ 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:39:33] >>863 ほんとだ。その可能性あるじゃん。どうやって否定するんだろ？ 否定してください。＞>>859 865 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:45:20] >>863 f = g*h で、f は偶関数だから g が奇関数とすると h も奇関数となって、 f の定数項が無くなる。よって g, h は偶数次の項を持つ。 g(ki) が虚数とすると、 |g(ki)| ＞ 1 となる。 h についても同様。 よって、f = g*h に矛盾。 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:50:53] >>865 すばらしい。完全に解決。 g(ai)h(ai)=1からg(ai)、h(ai)ともにZ[i]の単元かつ互いに逆元、 さらに共に(偶数次の項しかないので)実数なので (g(ai),h(ai))=(1,1) or (-1,-1)しかゆるされないんだね。 867 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:58:10] だから >>859 で略解と断った上に >>862 でも警告したのに。 まだ分かっていないようだな。偶数次の項も奇数次の項もありうる。 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 22:01:55] >>867 ああ、そうか。奇関数じゃないっていってるだけで偶関数っていってるわけじゃないのか。 でももういいや。後は自分でできそうだから。 869 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 22:06:03] >>851 申し訳ない。三角形ＡＢＣ→三角形ＯＡＢ　 Ｏを原点とするxy平面に　Ａ（0,3^(n+1)） B(3^(n+1),3^n) （ｎは正の整数）がある。ただし、 ｘ座標　ｙ座標がともに整数である点を格子点という。 （１）　辺ＡＢ上の端点以外の格子点をＰとする。任意のＰに対して、線分ＯＰ上の端点以外 の格子点の個数ｋは　ｋ＝3^m-1 (ｍは非負整数)　とあらわされることを示せ。 （２）三角形ＯＡＢの内部の格子点Ｑのうち、次の条件をみたすものの個数を求めよ。 （条件）　直線ＯＱとＡＢの交点は格子点である。 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 22:33:34] >>869 とりあえずv(n)をv(n)=max{e | 3^e|n}で定義するとき AB上の格子点をP(3p,3^(n+1)-2p)、p=3^e･q (3,q)=1とするとき (3p、3^(n+1)-2p)=(3^(e+1)･q、3^e(3^(n+1-e)-2q))=3^eであるから 線分OP上の両端を除く格子点でOに一番ちかい格子点は (3q、3^(n+1-e)-2q)でありよって両端以外の格子点は (3qr、(3^(n+1-e)-2q)r) (1≦r≦3^e-1) よってその数は3^e-1=3^v(p)-1個になった。 で結局その総和は �納p=1,3^n-1](3^v(p)-1)=�納p=1,3^n-1]3^v(p)-3^n+1 で �納p=1,3^n-1]3^v(p) =3の倍数の数×3 +(9の倍数の数-3の倍数の数)×9 +(27の倍数の数-27の倍数の数)×27 ･･･ +(3^(n-1)の倍数の数-3^(n-2)の倍数の数)×3^(n-1) を計算すればいいと思うんだけど。あってる？ 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 22:45:09] 馬鹿ばっか 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 23:51:49] >>869 難しすぎ。こんなの東大入試でねーよ 873 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 23:53:27] 後期は結構な難問出るぜ 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:08:49] とっくに東大入試のレベルなんか無視されてるとおもうが。 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:33:02] んじゃ、俺が少し簡単目の問題を出してやる。 各項が1,2,3によって構成される数列がある。この数列に対し次の二つの操作を行う。 操作1 　数列の項のうち、全ての1と2を置き換える。すなわち、数列が１，３，２，１，２であれば 　２，３，１，２，１と置き換えられる。 操作２ 　数列の項のうち、全ての2と3を置き換える。すなわち、数列が１，２，１，３，２，１であれば 　１，３，１，２，３，１と置き換えられる。 この二つの操作を用いて、数列{a(1),a(2),…,a(n)}を次のように変換していくことを考える。 数列aに操作1を施して得られる数列をb、操作2を施して得られる数列をcとし、新たな数列を b(1),b(2),…,b(n),a(1),a(2),…,a(n),c(1),c(2),…,c(n) とする。最初に数列を{1,2,3}からスタートさせ 1,2,3 2,1,3,1,2,3,1,3,2 1,2,3,2,1,3,2,3,1,2,1,3,1,2,3,1,3,2,3,1,2,1,3,2,1,2,3 と上の規則に従ってのばしていく。 k回規則を適用した結果の数列をd_k(n)とおく。 　　以下、問題文は続く 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:35:43] 数列d_k(n)は任意の自然数kに対し、次の条件を満たすことを示せ。 1) どのような自然数m,nに対しても、d_k(m+i)=d_k(m+n+i) 0≦i＜n が成立しない。 　すなわち、途中で数列の繰り返しが生じない。 　1,2,3,2,3 ( 2,3の繰り返し )などのようなものが生じない。 2) 上のように、数列が途中で繰り返しを持たないように、各項が1,2,3のみで構成される 　無限列を作成せよ。 877 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 00:39:49] xの方程式x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して 2個以下であるような実数bの条件を求めよ。ただしeは自然対数の底である。 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:59:33] f(x)=x^2-b,g(x)={(e^x+1/e^x)-a}^2=(coshx-a)^2 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:04:49] ふむ、それで？ 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:15:44] >>877 b≦0になるような気がする。あってるかどうかだけでもキボン。 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:19:32] f´(x)=2x,g´(x)=2(coshx-a)sinhx 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:21:47] 返事ないな〜。オイラの解法があってればb≦0みたいなんだけど。 しかしがんばって書いて穴あったらハズかしいし。 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:25:48] >>880 違うよf(x)=x^2-b, g(x)=-(2coshx-a)^2 の間違いじゃない？ 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:28:03] >>883 オレ=>>880=>>882だけど>>878や>>881じゃないよ。b≦0じゃないの？ 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:36:55] 違うよ。b≦0で成立するのは明らかだけどbが割と小さな正の値でも成り立つよ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:37:46] f(x)=x^2-b,g(x)=-{(e^x+1/e^x)-a}^2=-(coshx-a)^2 とおいて、グラフを調べる。 共に隅関数なので正だけで可。 大切なのは相対的位置だけでbとa^2の大小関係、 b^0.5とcoshx=aなるxとの大小にも注意が必要。 範囲を場合分けすれば共に凸や凹関数なのでイメージはつかみ易い。 くれぐれも交点は念入りに注意深く調べる必要がありそう。 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:44:00] 相対的位置だけではありませんでした。 g(x)の形状はaに依存するので絶対的位置も要考慮。 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:46:35] ちがうのか･･･どこまちがってんだろ？答えだけでも教えて。ほんとにその範囲で 解一個しかないか計算機でたしかめてみたい。 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:50:38] b≦1/4で試して 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:52:44] 間違いが見つからん･･･どこおかしいんだろ？オイラこうやったんだけど↓まちがってる？ 　 x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して2個以下 ⇔t+(cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 が多少の議論のもとでわかる。つぎにu=cosh(√t) (t≧0)の逆関数をt=g(u) (u≧1)とすると t+(cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)+(u-a)^2=b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)=-(u-a)^2+b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。 　 こうやったんだけど･･･おかしいのかな？ 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:55:23] 訂正 　 x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して2個以下 ⇔t+(2cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 が多少の議論のもとでわかる。つぎにu=2cosh(√t) (t≧0)の逆関数をt=g(u) (u≧1)とすると t+(2cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)+(u-a)^2=b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)=-(u-a)^2+b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:57:09] >>889 b≦1/4だとぶつからないの？今日はねむいから明日計算してみよ。おやすみなさいませでごじゃる。 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 03:41:23] >>889 わかった。最後の ＞だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。 ここがまちがってるや。b≦1/4なら確かに一回しかぶつかんないや。 894 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 12:56:05] f(t)をtについての連続な関数とし、 0≦t≦1の範囲の最小値を0、最大値を1とする。 二点 ( -t,t^2 ) ( f(t) , ( f(t) )^2 ) によって作られる線分が0≦t≦1の範囲で通過する領域の面積の範囲を求めよ。 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 16:01:29] 1/6＜S≦4/3かな 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 16:53:58] 思いっきり間違えた。ちと簡単すぎたよ f(t)をtについての連続な関数とする。 二点 ( -t,t^2 ) ( f(t) + 1 , ( f(t) )^2 ) によって作られる線分が0≦t≦1の範囲で通過する領域の面積の範囲を求めよ。 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 17:00:00] （１／３，４／３］。 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 18:50:45] [13/24,∞) 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 20:55:31] >>898 んな、単純になるか？ 900 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/27 21:31:20] 俺からも1問　単発問題だけど、 eは自然対数の底として， 　(ax/(2x+1))*e＜(1+(1/x))^x (0＜x) が成り立つような定数ａの最大値を求めよ． 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 21:35:24] >>899 f(t)≡-1/2で最小じゃない？　最大値はいくらでも大きくできるし 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 21:39:37] a*eを1つの文字にしてないのはヒントなのかなあ 903 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 21:46:29] >>901 いや、証明を聞いているのだが 普通に考えれば、 x-y座標に置いて A( 0,0 ) B(-1,1) C( a+1, a^2 ) D(b+1,b^2) と置いて、線分ACとBDが 1) 交点を持たない、または、D(C)のみを共有する場合 2) D以外の交点を持つ場合 の二つに分け、１）の場合、放物線y=(x-1)^2上、C,Dの間に１点をとりそれをEと置けば、 線分AE、BE、放物線AB( これで言いたいことは分かるよね？ )で囲まれる部分の面積 は線分AC,BD、放物線AB,CDで囲まれる部分の面積より小さい。 従って、S≧m またはS＞mを満たす最良のmを検討するためには、1)の場合関数ｆが定数関数のみの 場合を検討すればよい。 この場合、この部分の面積は 線分AE、BE、ABによって囲まれる三角形の面積、と線分AB、放物線ABで囲まれる 面積の二つの和になる。　後者の面積は一定なので、△ABEの面積を最小にする場合を検討すればよい。 このような、場合はABに平行な直線が放物線y=(x-1)^2に接するところを求めればよく、その場合の面積は…… 2)の場合、線分AC,BDの交点をEとおく。 明らかに求める部分の面積は、 (放物線AB、線分AE,BEで囲まれる部分の面積) ＋ (放物線CD、線分CE,DEで囲まれる部分の面積) 以下であるため、このような部分の面積に注目すればよい。 また、線分ACが放物線y=(x-1)^2と交点を持てば、それを新たにCと置き直して、面積を小さくすることができるため ACとこの放物線は交点を持たないと考えて良い。　同様にBDとこの放物線も交点を持たない。 このような場合……で計算がめんどくさくて、やってないのだが、どーなのよ？ そんな単純になるんかね？ 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 22:24:02] >>903 あー、確かに。 はみ出し削りで考えると四角形ABCDが平行四辺形のとき最小になりそうだが、このときは線分ACが 放物線y=(x-1)^2と2点で交わり無駄があるので、ACがy=(x-1)^2の接線かつBE=EDで最小になると思う。 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 22:25:24] 接点は頂点寄りで 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 23:04:58] スマソ。はみ出し削りならAE/AC=BD/BE=1/√2か 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 23:08:06] 訂正AE/AC=BE/BD=1/√2 書き間違いorz 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 00:33:11] >>875-876 できた。しかし･･･すげーながい。も少しがんばって短くなるようなら解答うｐしてみる。 結局ポイントは条件をみたすm,nがあるとすればmもnも3の倍数であるものが 存在するってことしめすとこみたいだけど。 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:25:18] >>875-876 がんばったけどこれより簡単にならん。 まず記号の整理。 w0,w1,w2,･･･ を有限列の列でw0=2,w1=123,w3=213123132,･･･とする。 定義はw0=2、w(i+1)=(12)wi+wi+(23)wi。ただし+は列の連結、 (12)wiはwiの1と2を入れ替えた列、(23)wiはwiの2と3を入れ替えた列。 以下w[k]でwの第k項をあらわすとする。ただし添え字は0からかぞえる。 また|w|はwの長さを表すとする。 たとえばw1=123に対しw1[0]=1、w1[1]=2、w1[2]=3、|w1|=3。 でまずは簡単な補題から。 (補題) w=wp、l=|wp|、w'=w(p-1)とおく。 (1)mが3の倍数のとき{w[m],w[m+1],w[m+2]}={1,2,3} 　とくにm<nが共に3の倍数のとき第m項から第n-1項までの総和は2(n-m)。 (2)w[3i+1]=w[i+l/3]=w'[i] (3)wの先頭2文字と最後の2文字は(1,2,2,3)か(2,1,3,2)。(この繰り返し。) (証明) 簡単な帰納法で定義から容易にでる。以下略。 (命題) 各w=wpと非負整数mと正の整数n>0にたいしてwの第m項から第m+n-1項からなる 部分列uと第m+n項から第m+2n-1項からなる部分列vが共に定義可能であるとき それらはひとしくない。 (続く) 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:26:18] (続き) (証明) l=|w|とおく。 p=0,1ならあきらか。p=1〜P-1までは成立するとしてp=P≧2と仮定する。 n=1のとき。m=l/3-1かm=2l/3-1でなければu+vは (12)w(p-1)かw(p-1)か(23)w(p-1)のいづれかの部分列なので帰納法の仮定よりありえない。 ゆえにm=l/3-1かm=2l/3-1であるが w(p-1)の先頭,末尾が(2,2)のときは第l/3-1項、第l/3項は(1,2)、第2l/3-1項、第2l/3項は(2,3)、 w(p-1)の先頭,末尾が(1,3)のときは第l/3-1項、第l/3項は(3,1)、第2l/3-1項、第2l/3項は(3,1)、 なのでありえない。 n=2のとき。l/3-3≦m≦l/3-1か2l/3-3≦m≦2l/3-1でなければu+vは (12)w(p-1)かw(p-1)か(23)w(p-1)のいづれかの部分列なので帰納法の仮定よりありえない。 またm≡1(mod3)でなければu+vの要素には補題1より{1,2,3}のすべてをふくむので ababの形になりえない。よってm=l/3-2、2l/3-2のいづれかしかありえない。 しかしそれも補題(3)よりn=1の場合同様ありえない。 （続く） 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:27:22] (続き) 一般のとき。まずn≡0 (mod3)をしめす。 (I)m+n≡1(mod3)のとき。まずn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡0(mod3)。 w[m+n-1]=u[n-1]=a、w[m+n]=v[0]=b、w[m+n+1]=v[1]=c、w[m+2n-2]=v[n-2]=dとおく。 このときw[m+2n-1]=v[n-1]=a。補題(1)より wの第m項から第m+n-2項の和=wの第m+n+2項から第m+2n-3項の和+6 よってa+6=a+b+c+d。一方{a,b,c}={1,2,3}よりa+b+c=6。∴a=d。 ∴w[m+2n-2]=w[m+2n-1]であるがこれはn=1の場合の結論に反する。 次にn≡2(mod3)と仮定する。このときm≡2(mod3)。 w[m]=u[0]=a、w[m+n-1]=u[n-1]=b、w[m+n+1]=v[1]=cとおく。 このときw[m+n]=v[0]=a。補題(1)より wの第m+1項から第m+n-2項の和=第m+n+2項から第m+2n-1項の和 よってa+b=a+c。∴b=c。これは{a,b,c}={1,2,3}に反する。 (II)m+n≡2(mod3)のとき。この場合は(I)と同様。 (III)m+n≡0(mod3)のとき。まずn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡2(mod3)。 w[m]=u[0]=a、w[m+2n-1]=v[n-1]=bとおくと(I)同様にしてa=b。 するとw[m+n-1]=u[n-1]=a、w[m+n]=v[0]=aとなるがこれはn=1の場合の結論に反する。 次にn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡1(mod3)。 w[m]=u[0]=a、w[m+1]=u[1]=b、w[m+2n-2]=v[n-2]=c、w[m+2n-1]=v[n-2]=d、 とおくと(I)同様にしてa+b=c+d。よって(a,b)=(c,d) or (d,c)。すると w[m+n-2]=u[n-2]=c、w[m+n-1]=u[n-1]=d、w[m+n]=v[0]=a、w[m+n+1]=v[1]=b、 となるが(a,b)=(c,d)でも(d,c)でもn=1の場合かn=2の結論に反する。 (I)〜(III)よりn≡0(mod3)がいえた。 すると m≡0(mod3)のときはw'[m/3+i]=w[m+3i+1]=w[m+3i+n+1]=w'[m/3+i+n/3] (0≦i＜n/3)、 m≡1(mod3)のときはw'[(m-1)/3+i]=w[m+3i]=w[m+3i+n]=w'[(m-1)/3+i] (0≦i＜n/3)、 m≡2(mod3)のときはw'[(m+1)/3+i]=w[m+3i+2]=w[m+3i+n+1]=w'[(m+1)/3+i+n/3] (0≦i＜n/3)、 となりいづれにせよ帰納法の仮定に反する。 912 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 19:29:15] いづれ

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