★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 　過去ログ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50 　関連スレ 面白い問題おしえて〜な 七問目 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50 恐ろしく難解な問題をだせ！ science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50 767 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 16:21:21] (mod8) 0^2≡0,1^2≡1,2^2≡4,3^2≡1,4^2≡0,5^2≡3^2≡1,6^2≡4,7^2≡1, よって、任意の自然数nにおいてn^2≡0,1,4 題意を満たす(x,y,z)の組がもしあればx^2+y^2+z^2≡0,4で x,y,zはどれもmod8で0か4でなければならない。 つまり、x,y,zは全て偶数でなければならない。 x=2＊x1,y=2*y1,z=2*z1,(x1,y1,z1は自然数)とおける。 この時、条件は x1^2+y1^2+z1^2=(8m+7)4^(n-1)とかける。 この操作を繰り返し、 xn^2+yn^2+zn^2=(8m+7)を得る。 この時、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数となる。 しかしながら、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数ならば xn^2+yn^2+zn^2≡1,3(mod8)であるから、この様な組み合わせは存在しない。 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 16:30:09] >>764 2005/［2005/k］≧k+1を満たす最小の自然数kを求めればよい 2005=kp+q (p,q整数、0≦q＜k)とすると2005/p≧k+1 p=(2005-q)/kを代入して整理するとq(k+1)≧2005 q＜kよりk≧45　k=45,46,47・・・と代入してk=53で題意を満たす。 769 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 16:40:45] [2005/53]=37,[2005/37]=54 [2005/52]=38,[2005/38]=52 770 名前：東大教授 [04/10/22 16:44:45] >>767>>768 お見事。皆さんにはちょっと簡単すぎましたね。悪しからず 771 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:00:10] 正六角形のすべての頂点に1〜3のいずれかの数字を与える。 平面内で回転して重なるものは同一とみなすとき、数字の与え方は何通りか。 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 17:43:45] 関数方程式か。　へぇ…… 俺も一つ。 f(f(x))=-xを満たす関数fを一つ求めよ。 773 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:49:11] f(x)=x^i 774 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:50:00] f(x)=ixだっただ 775 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:53:26] おっと、>>772はｆ：R→Rね。 776 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:10:49] >>772 連続関数でか? 777 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:13:12] f(x)=0 (x=0) =1/x (｜x｜≧1) =-1/x (0＜｜x｜＜1) 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:13:12] 別に連続でなくてもいいぞ。　ってか、連続だとねーだろ 779 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:13:41] f(x)≡0 780 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:18:34] ○>>777 ×>>779 781 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:20:47] 距離hだけ離れた互いに平行な2平面上にそれぞれ面積Sの三角形があり、 その二つの三角形は合同で対応する3辺がすべて平行である。 このとき、二つの三角形の頂点である6つの点を頂点とする多面体の体積を求めよ。 782 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:35:07] なんかあれなのか？ Sh以外の意外な組み合わせがあるのか？ わくわく 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:40:56] Shともうひとつある 784 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:45:50] >>781 三角形がねじれてる場合か 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:51:44] >>784 それだ。 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:54:21] 8面体か 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 19:00:53] ということは(4/3)Sh？ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 19:02:32] >>787 その通り 789 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 19:05:55] 続けていってみよう！ Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k] = n*(4^(n-1)) を示せ、　C(m,n) = (m!)/((n!)((m-n)!))だよん 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 19:45:59] >>789 できた。 Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k] =Σ[k=0,n] (k^2)C[2n,n-k] =Σ[k=0,n] ((n-k)^2)C[2n,k] =(1/2)Σ[k=0,2n] ((n-k)^2)C[2n,k] =(1/2)Σ[k=0,2n] (n-k)(n-k-1)C[2n,k] =(1/2)(Σ[k=0,2n] C[2n,k]t^(n-k))''|t=1 =(1/2)(t^n(1+1/t)^(2n))''|t=1 =(1/2)((t+2+1/t)^n)''|t=1 =(1/2)(n(n-1)(t+2+1/t)^(n-2)(1-1/t^2)+n(t+2+1/t)^(n-1)(2/t^2)))|t=1 =n*(4^(n-1)) 791 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 19:51:02] んじゃ、これは？ Σ[k=1,n] k*C[2n,n-k] k^2をkに変えた奴 792 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 23:00:19] 次の性質を満たす正の実数 p がある． 任意の正の整数 n に対して， a_n＝(p−1−1/1!−1/2!−．．．−1/n!)・(n+1)! で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ． このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して， p^q は無理数となる事を示せ． ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい． 793 名前：LettersOfLiberty [04/10/22 23:09:07] おまえらしね 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 00:48:25] xについて恒等式 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d).....(x-z)=0 が常に成立するためのa,b,c,d......zの必要十分条件を求めよ。 795 名前：792 [04/10/23 01:51:59] >>792はちと難し過ぎたかな。 では 「p が無理数である事を示せ」 は？ 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 02:03:00] >>794 まだそんな事やってんのか、氏ねよ。 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 05:24:18] x>0のとき、2^(-x) + 2^(-1/x)の最大値を求めよ。 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 07:19:31] >>797 ん？微分したら終わりじゃないのか。 799 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 07:46:43] >>792 ｐは明らかにネイピアの数だね。 マクローリン展開か．．． 800 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 09:20:37] >>795 ｐが有理数とすると ｐ＝ｊ/ｋ（ｊ，ｋは自然数）とおける． そのとき， ｊ/ｋ＝1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!+a_n/(n+1)! 両辺を ｎ!倍すると （ｊ/ｋ）ｎ!＝（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!+a_n/(n+1) ｎ≧ｋ のとき （ｊ/ｋ）ｎ! は自然数． （1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ! は常に自然数で， ｎ+1≧3 のとき， 0＜a_n/(n+1)＜１ よって， ｎ≧max｛ｋ，2｝ のとき， a_n/(n+1)＝（ｊ/ｋ）ｎ!-（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ! において，右辺は整数となるので矛盾． 801 名前：800 mailto:sage [04/10/23 09:22:33] >>792も同様にしてできる． 802 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/23 10:26:42] Re:>793 お前誰だよ？ 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 11:54:42] ，．厨 804 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 12:40:33] 939 805 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 18:20:18] 半径1の円を長さaの弦で二つの弓形に分けたとき 面積が小さい方の弓形の面積をSとする。 lim[a→0]S/(a^3)の値を求めよ。 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 18:39:15] >>805 細かいことだが，a→+0 と書いて欲しい． 807 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 20:05:05] >>805 やってみますた。 f(x) = x - sin x - (1/6)x^3 ± x^4とおくと、(以下複合同順) f'(x) = 1 - cos x - (1/2)x^2 ± 4x^3 f''(x) = sin x - x ± 12x^2 f'''(x) = cos x - 1 ± 24x f''''(x) = -sin x ± 24 ±f''''(x) > 0, f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0　だから、 x>0のとき±f(x)>0。すなわち、 -x^4 < x - sin x - (1/6)x^3 < x^4 両辺をx^3(>0)で割って、 -x < (x - sin x)/(x^3) - 1/6 < x ∴lim[x->+0](x - sin x)/(x^3) = 1/6 …(1) 題意の弓形の円周角はaだから、 S = (1/2)a - (1/2)sin a lim[a->+0]S/(a^3) =(1/2)lim[a->+0](a - sin a)/(a^3) =1/12 (∵(1)) 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 20:36:30] >>791 どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。 　 (補題) �納m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2C[2n,n]/4^n (証明) C[2n+2,n+1]=(4n+2)/(n+1)C[2n,n] + 帰納法。以下略 (命題) �納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n] (証明) 以下のような試行をかんがえる。動点Pを最初原点におき 確率(1/2)でx軸方向に+1、確率(1/2)でy軸方向に+1うごかす。この試行を2n回 くりかえす。各段階で直線y=xから遠のいたとき1点、近づいたとき-1点をあたえる。 試行の終了時動点は(n+k,n-k) (-n≦k≦n)であらわされる点のいづれかにいる。 (n+k,n-k)に到達する確率はC[2n,n+k]/4^nでありそのときの全得点は|2k|である。 したがって全得点をあたえる確率変数Eの期待値は E=�納k=-n,n]|2k|C[2n,n+k]/4^n･･･(1) 一方でl回目の試行の時点でえられる得点の期待値はlが奇数のとき0であり lが偶数のときはC[l,l/2]/2^l×1である。(=点(l/2,l/2)に到達している確率×その場合の条件付期待値) よって全期待値は E=�納m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2nC[2n,n]/4^n･･･(2) (1)、(2)より�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n] 809 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 20:54:33] >>807 「弓形の円周角はa」じゃないよ。 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 21:03:41] 答えはあってるし、まあ良し 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 21:11:36] よかないよ。 その誤差が結果に影響しないことを ちゃんと評価しなければ駄目駄目だ。 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 22:40:30] >>808 訂正っす ×どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。 ○どうも(1/2)nC[2n,n]みたい。以下証明。 　 ×�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n] ○�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n] 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:24:19] >>808 普通に計算した方がはやいような・・・ 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:31:20] >>813 -((t+2+1/t)^n)'(1/(1-t))の原点の留数計算でやるって方法はあるんだけど あまりに味もそっけもないのでちょっと凝った方法をのせてみますた。 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:46:09] >>814 留数計算とか知らんけど Σ[k=0,n] k*C[2n,n-k] =Σ[k=0,n] (n-k)*C[2n,k] =nΣ[k=0,n]C[2n,k] - Σ[k=0,n] k*C[2n,k] =nΣ[k=0,n]C[2n,k] - 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1] =n(2^(2n)+C[2n,n])/2 - 2n(2^(2n-1))/2 =n/2C[2n,n] でいいんじゃね？ 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:50:30] >>815 なる。 Σ[k=0,n] k*C[2n,k] = 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1] これおもいつかんかったよ。だいたいこの手の計算答えが簡単になるときは 瞬殺する方法あとからでてきていやんなるんだよな。まだまだ修行がたりん。 817 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 02:34:50] 簡単なのを一題 　二つの自然数m,nに対し[m,n]はmとnの最小公倍数を表すものとする。 1≦a＜b＜c＜dとして (1/[a,b])^2 + (1/[b,c])^2 + (1/[c,d])^2 の最大値を求めよ。 818 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 11:24:34] (a,b,c,d)=(1,2,3,4) 1/4+1/36+1/144=(36+4+1)/144=41/144 (a,b,c,d)=(1,2,4,8) 1/4+1/16+1/64=(16+4+1)/64=21/64 41/144<21/64 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 13:20:20] >>809 指摘サンクス。 弓形の円周角をyとおくと、a->+0のときy->+0で、 a =　√(2 - 2cos y) lim[y->+0]y/a = √2(lim[y->+0]y/(1 - cos y)) = 1 820 名前：LettersOfLiberty [04/10/24 13:26:19] メールくれたら､解答送付してやる 821 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 13:49:53] >>819 lim[y->+0]y/(1 - cos y)＝∞ 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 13:56:36] >>821 訂正します。 lim[y->+0]y/a = √(2lim[y->+0]y^2/(1 - cos y)) = 1 823 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 14:18:22] ∠B=75°,∠C=45°の三角形ABCの辺AB上に点D辺AC上に点EをとるとBD=DE=ECとなった。 三角形ABCの面積と三角形ADEの面積の比を求めよ。 824 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/24 16:18:27] Re:>820 お前誰だよ？ 825 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 16:23:25] >>824 スレと関係ないレスは控えてくれよ。 お前も荒らしと変わらないぞ。 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 20:32:59] >>824 荒らしは消えろ！ 827 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 20:38:30] 一辺の長さが1の正三角形の内部に点Pを取る。 Pから正三角形の各辺におろした垂線の足によって構成される三角形の面積がある一定の値aになるような 点Pの軌跡のうち、長さが最大になる物を求めよ。また、その時のaの値を求めよ。 828 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 21:17:03] >>827 a=√3/16のとき点Pの軌跡は正三角形の内接円で長さは最大値π/√3をとる 829 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 21:24:16] 異なる5つの自然数a,b,c,d,eがあり、この中から2つの数字を選ぶ組み合わせは 10通りあるが、このうち9通りが互いに素な組み合わせだった。 このような5数a,b,c,d,eの積abcdeが取りうる平方数のうち最小のものを求めよ。 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 21:33:00] ４４１００。 831 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 22:10:02] お前ら……証明がほとんど無いですよ。 832 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 22:18:06] xの関数f(x)=(ax+b)(2+e^x)-1についてf(x)=0を満たす実数xが3つあり、それをα,β,γ(α＜β＜γ)とする。 ∫[α,γ]{f(x)/(2+e^x)}dx=0のとき、∫[β,γ]{f(x)/(2+e^x)}dxをγの式で表せ。 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 22:30:42] >>830 違う 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 02:34:50] >>829 (1,2,8,9,25)のときで3600、でよいのかな。 835 名前：１３２人目の素数さん [04/10/25 03:53:16] nを自然数とする。整式　ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+1 は２つの１次以上の実数係数多項式の積としてあらわせないことを示せ 836 名前：835 [04/10/25 03:55:48] 訂正；実数係数→整数係数　 nを自然数とする。整式　ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+1 は２つの１次以上の「整数」係数多項式の積としてあらわせないことを示せ 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 04:01:04] >>828 aの値が違うだろ。　a=3√3/64 838 名前：１３２人目の素数さん [04/10/25 04:13:38] 各頂点が格子点で、一辺の長さが１０の正方形ＡＢＣＤについて、三角形ＡＢＣの頂点を次の規則にしたがって動かす。 規則�T　毎回頂点の１つ隣り合う格子点（１はなれた点）のどこかに移動する。 規則�U　正方形から外に出てはいけない 規則�V　最終的に三角形ＤＣＢに到達しなければならない（ただし、Ａ→Ｄ、Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ｂ　と重なる）。 移動するたびに三角形ＡＢＣの面積（３点が同一直線上にあるとき面積は０とする）を計算し、 その最小値をｍであらわす。巧い移動方法によるｍの最大値を求めよ。 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 10:43:14] >>838 意味不明 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 10:46:22] 巧い巧い巧い 841 名前：１３２人目の素数さん [04/10/25 23:40:12] 正7角形には2種類の長さの対角線が存在するが、その長い方の長さをa、短い方の長さをbとする。 (1)a/b=2sin(3π/14)を示せ。 (2)sin(3π/14)を解に持つ整数係数の三次方程式を1つ求めよ。 842 名前：kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな mailto:kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな [04/10/25 23:42:00] kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな 843 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 00:50:00] 未消化問題が溜まってるな・・・ 844 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 00:50:52] ip.tosp.co.jp/i.asp?i=525maru 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 04:34:56] >>841 (1) 正七角形をABCDEFGとし、外接円の中心をOとする。 △ACFは、AC=AF=b, CF=aの二等辺三角形で、直線AOはAからCFに下ろした垂線かつ角Aの二等分線。 よって、∠CAO=(π-∠AOC)/2=(π-2*(2π/7))/2=3π/14より、 a=2b*sin∠CAO=2asin(3π/14) (2) 正七角形を座標上に、A(1,0)、以下左回りに順にBCDEFGと取る。 以下α=2π/7、θ=3π/14=π/2-α、sinθ=xとおく。 b^2=AC^2=(1-cos2α)^2+(sin2α)^2=2(1-cos2α)=2(1+cos2θ)=4(1-x^2) a^2=AD^2=(1-cos3α)^2+(sin3α)^2=2(1-cos3α)=2(1+sin3θ)=2(1-x)(1+2x)^2 よって、 (a/b)^2=(1+2x)^2/(2+2x) (1)より、(a/b)^2=4x^2なので、 (1+2x)^2/(2+2x)=4x^2 8x^3+4x^2-4x-1=0 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 08:05:54] 問題だけ吊るす、単なるマスターベーションスレになってしまった悪寒。 847 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 09:50:00] 股間 848 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/26 13:11:37] Re:>842 早く消えろ。 849 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 13:25:52] ようし、俺もオナニーだ。 (問)三角形OABの辺OA上に点P,辺OB上に点Q,辺AB上に点Rをとると、 三角形PQRは正三角形になり、さらにPQ//ABになった。 OA↑=a↑,OB↑=b↑とし、OR↑をa↑とb↑で表せ。 850 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 14:10:42] 俺の自信作 Ｏを原点とするxy平面に　Ａ（0,3^(n+1)） B(3^(n+1),3^n) （ｎは正の整数）がある。ただし、 ｘ座標　ｙ座標がともに整数である点を格子点という。 （１）　辺ＡＢ上の端点以外の格子点をＰとする。任意のＰに対して、線分ＯＰ上の端点以外 の格子点の個数ｋは　ｋ＝3^m-1 (ｍは非負整数)　とあらわされることを示せ。 （２）三角形ＡＢＣの内部の格子点Ｑのうち、次の条件をみたすものの個数を求めよ。 （条件）　直線ＯＱとＡＢの交点は格子点である。 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 18:07:00] >>850 (2)Ｃ？ 852 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 18:42:55] >>850 (1) Ｐは、自然数pを用いて、(3p、3^(n+1)-2p) (p=1,2,…,3^(n-1))とできる。 直線OP：y=((3^(n+1)-2p)/3p))x (0＜ｘ＜3p)で、 pが3の倍数じゃないとき0=3^0-1コ、pが3のベキじゃない3の倍数のとき2=3^1-1コ、 p=3^q (qは自然数)のとき、3^q-1コって出たけどあってる？ 853 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 19:28:44] >>836 答えおながいします 854 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 19:35:40] >>836の問題は1999日本数学オリンピック本選第4問 855 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 19:58:27] >>854 答えおながいします 856 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 20:01:09] >>855 タイピングするの大変・・・ググったらどこかにないかな？ 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 20:05:56] >>855 もう少しは考えろよ 本に書いて無い別海を見つけてこそ 本望だろ 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 20:10:02] >>857 結構考えた。もう疲れた。 >>856 すくなくとも数オリの公式ＨＰっぽいとこには2000以降しかなかった。 859 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:04:38] >>836>>855 略解 ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+ 1 = g*h, 4n ＞ deg g ≧ deg h ＞ 0 とすると、 g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0 ところが f の定数項は平方数で無い。 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:13:04] >>859 ＞g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0 　 なるほど 　 ＞ところが f の定数項は平方数で無い。 　 gとhの定数項が等しくなるのはなぜ？ 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:18:51] わかった。なるほど。g,hの次数が2n以下だからか。なるほど。すばらしい。 862 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:21:36] まだわかって無いような文章の書き方だな。 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:25:52] f(ki)=i g(ki)=-i になることはないのかな？ 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:39:33] >>863 ほんとだ。その可能性あるじゃん。どうやって否定するんだろ？ 否定してください。＞>>859 865 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:45:20] >>863 f = g*h で、f は偶関数だから g が奇関数とすると h も奇関数となって、 f の定数項が無くなる。よって g, h は偶数次の項を持つ。 g(ki) が虚数とすると、 |g(ki)| ＞ 1 となる。 h についても同様。 よって、f = g*h に矛盾。 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:50:53] >>865 すばらしい。完全に解決。 g(ai)h(ai)=1からg(ai)、h(ai)ともにZ[i]の単元かつ互いに逆元、 さらに共に(偶数次の項しかないので)実数なので (g(ai),h(ai))=(1,1) or (-1,-1)しかゆるされないんだね。 867 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:58:10] だから >>859 で略解と断った上に >>862 でも警告したのに。 まだ分かっていないようだな。偶数次の項も奇数次の項もありうる。

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