関数解析＆ルベーグ積分

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:　 [03/01/25 00:45] について語りましょう。 237 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 13:15] 漏ﾚ､落ちこぼれちゃってﾙﾍﾞｰｸﾞの有界収束定理が理解出来ずにかなり困ってます｡ どなたか定理の内容､使用例(使用上の注意も含めて)､それと証明を講義よりも教科書よりも数倍丁寧に教えてくれないでしょｰか? 238 名前：mathmania ◆uvIGneQQBs [03/06/15 14:12] Re:>230 開区間上の非有界関数のルベーグ積分も、無限区間上の関数のルベーグ積分も 広義ルベーグ積分とは云わずに、ルベーグ積分と云っている。 ただそれだけのことだ。 239 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 14:25] >>237 どこが分からないのか聞きましょうか？ 240 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/15 14:40] （・3・）　エェー　くれないYO！ >>237 30講をよく読めYO！ 　　　　　　　　　　自分でよく考えて，その上でわからないとこをポイントしぼって質問しないと， 　　　　　　　　　　ぼるじょあでも軽く放置だYO！ 241 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 14:41] >>237 数学をやめる。 242 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 15:46] >>238 おお、そうなんですか。有難う御座います。 ルベーグってぎりぎりで広げられるだけ広げたんですね。 勉強する気になってきたゾ（ｗ 243 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 16:05] >>237 定理の内容： ルベーグ積分の有界収束定理とリーマン積分におけるアルツェラの収束定理とは対応していて、 連続函数と可測函数の違いがあるが、同じものである。 極限と積分の順序交換が可能であることを保証してくれる。 244 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 16:08] >>238 うそをつくな。 広義積分は存在するが、ルベーグ積分は存在しない例がある。 例えば(sin x)/xなど。 つまり、一般にはそういうものはないということ。 245 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 16:25] Lebesgue 積分の拡張にもなっているとかいう Henstock-Kurzweil 積分について教えてください 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/15 16:26] このスレをざっと見る限り、ルベーグ積分を勉強したい人はまずは志賀浩二さんの本を 嫁ということですか? 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/15 16:44] 石村園子「すぐわかるルベーグ積分」東京図書 そのうち出そうだな。妙に売れるようなら鬱だ。 すでに出ている、超DQN向き本 松浦 武信, 高橋 宣明, 吉田 正広 物理・工学のためのルベーグ積分入門 東海大学出版会 って、どうよ。先生と生徒の会話形式（ｗ で、 「ほとんどいたるところ」証明は省略されている。 248 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU [03/06/15 16:49] >>246 ×志賀浩二さんの本を ○伊藤清三さんの本を 249 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/15 17:24] 志賀浩ニさんの本って位相関係しか見た事ない 250 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 17:49] >>243 Lebesgueの項別積分定理が分からないというのは、 Arzelaの項別積分定理とか積分記号下での微積分に関する定理とか 解析学の部分の勉強が十分ではないということだね。 こういう部分が十分に分かっていないからLebesgue積分を考える動機とかも 理解できない。 まず解析入門とかを読むべきでしょう。 251 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 18:02] Lebesgue積分を考える動機というのはやっぱり 連続函数から可測函数にまで扱う函数の範囲を広げると 連続函数と可測函数の違いがどう理論に影響を与えるかということですよね。 函数列の極限が超函数（distribution）となる場合には 函数解析とかも考える動機となるという意味でも Arzelaの定理は押さえておくべきですよね。 252 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 19:17] Arzelaの定理は知らないﾔｼの方が多いだろう。 高木の解析概論では出てこない。証明が面倒だからかな？ 小平の解析入門では定理5.10に出ている。 高木の解析概論ではLebesgueの項別積分の定理を項別積分の定理と呼んでいる。（定理90） 253 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 19:59] >>252 解析概論のP.159に「その証明はむずかしいから、ここでは述べない」 と書いてあるね。 254 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 21:08] >>251 結局、その辺りの定理は一様収束とか有界収束とかいった関数列の収束と関係していて ある種類の「扱う函数」に対して「どんな収束」を使うと「どういった微分積分」が成り立つか という視点が重要。 その微積分を使えば関数列の収束で近似して値を求めることができるというのが外測度の考えにも繋がっていく。 255 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 22:36] www.bd.wakwak.com/~infomation/asnet/img/bar-1.gif www.adultshoping.com/addclickport.cgi?pid=1055460684 一円も払わずに大もうけ早い者勝ち 256 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 23:05] >>252 Arzelaの定理はLebesgueの項別積分定理の特別の場合でしょう。 無理してリーマン積分の範囲で証明することもないといえる。 257 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 23:31] >>256 定理の内容や証明について聞かれたから答えただけ。 そういう主義ならいうことはなにもない。 自分の好きなようにやればいい。 258 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 07:51] Arzelaの定理の応用例ってどんなものがありますか？ ただし、Arzelaの定理を使うまでもないというもの（たとえば一様収束する場合）は別ですが。 259 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 14:38] >>247 ﾜﾗﾀ 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 14:49] Ascoli-Arzelaの定理の応用例についてはこの本に詳しい。 俣野博「微分と積分３」岩波講座　現代数学への入門 特に「§3.6変分問題への応用」に詳しい解説がある。 曲線に関する古典的変分問題というのがあるのだけれど、 その中でも [1]測地線 [2]光の経路 [3]等周問題 が特に知られている。 重要なのはこれらが解を持つということで、そこにAscoli-Arzelaの定理が使われる。 こういう問題意識はワイエルシュトラスが持ち込んだ。 ディリクレやガウスなどの変分法を用いた調和関数の構成法をディリクレ原理と呼び、 偏微分方程式論では重要ですが、これに欠陥がある事がワイエルシュトラスによって指摘され、 ここから近代解析学が発展してきたのです。 そういう歴史的にも重要なマイルストーンと思えば良いでしょう。 Ascoli-Arzelaの定理の周辺を押さえておかないと その後の学習に支障をきたします。 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 16:25] 解析学の入門時に、実数を勉強するけれども、そのときに「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」というのが出てくる。 ε-δ論法、デデキント切断、カントールの区間縮小法などに比べて、あまり印象に残っていないかもしれない。 この「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」の無限次元版として「アスコリ-アルツェラの定理」は位置付けられる。 「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」では、与えられた「数列や点列」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。 これに対して、「アスコリ-アルツェラの定理」では、与えられた「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。 「アスコリ-アルツェラの定理」では、「関数列あるいは関数族」が連続関数である。 「ルベーグの有界収束定理」では、「関数列あるいは関数族」が可測関数である。 「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」 　↓ 「アスコリ-アルツェラの定理」 　↓ 「ルベーグの有界収束定理」 この流れがあるので「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」が理解できているかが最初のポイント、 「アスコリ-アルツェラの定理」では一様収束でなく有界収束も成り立つ部分が２番目のポイント、 「ルベーグの有界収束定理」では連続関数でなく可測関数になっているのが３番目のポイント。 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 16:54] >>237は無反応だけど、ここまでの話について来れなかったのでは（ｗ 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 18:18] >>256 それは広義積分も含んでいるのかな？ 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 19:13] 「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」＝（BW） 「アスコリ-アルツェラの定理」＝（AA） 「ルベーグの有界収束定理」＝（LC） （BW）与えられた　 　「数列あるいは点列」　の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。 （AA）与えられた連続「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。 （LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 19:19] それぞれの極限がどういうことを言っているかという例を挙げる。 （BW）有理数の列→無理数 （AA）連続関数列→不連続関数 （LC）可測関数列→可測でない関数 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 19:24] つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが ルベーグ積分の理論です。 267 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 19:45] >>260 >Ascoli-Arzelaの定理の周辺を押さえておかないと その後の学習に支障をきたします。 それはそうですが、項別積分に関するArzelaの定理とはちょっと違うような気がするんですが。 関係はあるでしょうが。 268 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 20:13] Ascoli-Arzelaの定理 Arzelaの定理 とりあえず、二つの定理の概要きぼんぬ。 前者は解析学んだ人なら、一度は聞いたことのある基本的な定理ですが、 後者は「漏れは」聞いたことがないっす。 それとも同一のものでしょうか？ 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 20:38] >>268 漏れも聞いたことがないです。 検索してもよく分からなかった。 270 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 20:39] 項別積分に関するArzelaの定理 実数値函数列 f_n(x), n = 1, 2, ... が区間[a, b]で連続で、一様に有界、 つまり、nに無関係な定数Mが存在して[a, b]でつねに、|f_n(x)| ≦ M とする。さらにf_n(x)は、[a, b]で連続函数f(x)に点別収束するとする。 このときf_n(x)の[a, b]における積分は、f(x)の[a, b]における積分に収束する。 271 名前：269 mailto:sage [03/06/16 20:46] >>270 言われてみればそんな定理を聞いたことがあるような。 確かに有界収束定理に含まれてますね。 272 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 21:00] >>265 >(AA）連続関数列→不連続関数 一様収束する連続函数列の極限も連続ですが。 >(LC）可測関数列→可測でない関数 収束する可測関数列の極限も可測関数だが。 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 21:16] >>272 そういう揚げ足取りやめれば？ それとも、わざわざそういう特殊な例も考えられるようになるという意味で書いてあるのが 読み取れないほどのまぬけなのか？（藁 >>267-271 Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理 という関係です。 Ascoliがノルム空間での形にArzelaの定理を変形して関数解析で使いやすくした。 基本的にはArzelaの定理と同じと思っていい。 274 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 21:26] >>273 すると、Ascoli-Arzelaの定理からArzelaの定理が出てくると？ 面白い。（あなたでも、どなたでも）説明してくれませんか？ 275 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 21:30] >>273 >そういう揚げ足取りやめれば？ 揚げ足とりのつもりなんてこれぽっちもないです。 本心からあなたの言ってる意味が分からないのです。 Ascoli-Arzelaの定理から、どうやったら不連続関数が出てくるのでしょうか？ 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 22:34] Ascoli-Arzelaの定理の応用例を挙げておく。 ２階楕円型方程式の理論におけるRellichのコンパクト性定理の証明で使用する。 変分問題におけるディリクレ原理は、ソボレフ空間を土台とした楕円型方程式の L^2理論として完成された。 それはスペクトル理論と楕円型境界値問題の可解性との関係を示した。 その出発点となるのがRellichのコンパクト性定理である。 また、ヒルベルト-シュミットの対称核積分方程式論における固有値問題でも、 その固有値の存在定理の証明でAscoli-Arzelaの定理を使用する。 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 22:36] >>274-275 やだね。 278 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 22:41] >>277 出来ないからじゃない？　藁 279 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/16 22:42] （・3・）　エェー　AAの極限は連続関数だC， 　　　　　　　　　　LCの極限は可測関数だYO！ 280 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 22:43] >>276 参考書希望。 281 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 22:49] 私は、>>258ですが。 >Arzelaの定理の応用例ってどんなものがありますか？ と書いたのは、Ascoli-Arzelaの定理の応用例を聞いたわけではないです。 Arzelaの定理の応用を聞いたのです。Arzelaの定理とAscoli-Arzelaの定理は違います。 282 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 22:50] BWもAAも、近似定理の類ではないと思いますが。 極限の存在を保証する定理では？ 283 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 22:52] 可測関数の極限が（存在すれば）可測なのは、有界収束定理以前の話だと思いますが。 測度の単調収束定理から来ているのでは？ 284 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 23:23] >>283 だれも可測関数の極限が可測なのは、有界収束定理から来るとは言ってないですが。 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 23:27] Ascoli-Arzelaの定理 点集合Ｄ上の連続関数の族Ｆが以下の条件を満たすとする。 [1](同等連続性)ＦはＤの各点で同等連続。 [2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。 このとき、Ｆの元からなる任意の関数列f_1,f_2,f_3,…は、 Ｄ上でコンパクト一様収束する部分列をもつ。 Arzelaの定理 或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。 [1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。 [2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。（f(ｘ)＝lim（n→∞）f_n(ｘ)） このとき、f(ｘ)がＤで連続ならばΣf_n(ｘ)を項別に積分可能である。 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 23:29] Ascoli-Arzelaの定理の証明はよく見かけるが、 Arzelaの定理の証明は小平「解析入門」でしか見たことが無い。 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 23:39] >>278-280 ＞参考書希望。 やだね。 288 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 23:43] >>286 前に書いたようにArzelaの定理はLebesgueの有界収束定理からすぐ出る。 289 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 23:45] >>287 なにむくれてんだ？　間違いを指摘されたからか？ 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 23:56] >>288 歴史的に、Arzelaの定理とLebesgueの有界収束定理とどちらが先に証明されたか知ってるか？ そう言う意味で書いてみた。Arzelaの定理はハウスドルフによる初等的証明がなされたのは 1927年だが、ArzelaはLebesgueの有界収束定理から導いたのか？ 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 00:52] Ascoli-Arzelaの定理の証明は対角線論法で証明する。 Arzelaの定理はハウスドルフの初等的証明による以外は分からない。 そもそもArzelaの定理とAscoli-Arzelaの定理はどちらが先に発見されたんだ？ 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 02:19] Arzelaの定理って聞いたこと無いなと思ったら、有界収束ではない一様収束バージョン の定理が書いてあった。しかもこのバージョンの定理には名前がついてない。 リーマン積分の範囲ではArzelaの定理のように有界収束まで条件を緩める必要が無いのと、 有界収束の説明をするのが大変だから、それとArzelaの定理の証明が難しいという理由なんだろうな。 でもせめて名前ぐらいあっても良いのに。例えば、Arzelaの項別積分の一様収束定理とかさ。 長いけど。 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 02:31] こういう２つの流れがあるのは分かった。 Borzano-Weierstrassの定理 　↓ Ascoli-Arzelaの定理 Arzelaの項別積分定理 　↓ Lebesgueの有界収束定理(Lebesgueの項別積分定理) でもAscoli-Arzelaの定理とArzelaの項別積分定理とをうまくつなげる事はできるのかな？ 条件部分は同じだからうまく出来そうな気がするんだけど。 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 03:21] >>293 志賀30講のP.159-162より （ ★ ）f(x)が連続　⇒　G(x)＝∫(a〜x)f(x)dxは微分可能 （★★）f(x)が有界で積分可能　⇒　G(x)＝∫(a〜x)f(x)dxは連続 といえるけど、これからAscoli-Arzelaの定理とArzelaの項別積分定理とをうまくつなげる事ができないかな？ 295 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 06:12] >>270と>>285のArzelaの定理が 同じものに見えないのですが・・・ 296 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 07:41] >>290 もちろんLebesgueの有界収束定理が先だろ。 だがどちらが先とかいう数学史的事実は、有る定理の証明を我々が学ぶ場合に関係ない。 簡単なほうがいいだろ、普通？ 初等的証明というのは一般的にいって難しく、透明でないのだよ。 だからこそ初等的証明がされるのは時代が後になるのだ。 297 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 08:03] Arzelaの定理が発表されたのは1885年だっけ Osgoodが1897年に再発見するわけだ Lebesgue積分の理論が世に出たのは1902年 298 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 08:09] >>297 当然、Arzelaの定理のHausdorfによる初等的証明の時期(1927)と較べたのだよ。 議論の流れからいって、言わずもがなと思っていたが。 299 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 08:21] ていうかむしろArzelaの定理の初等的でない証明を知りたいが。 一体何を使って証明してるんだ？ 300 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 09:48] 300ゲッツ&リターン>>299 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 09:54] アンドリバース>>300 302 名前：人間の商品化、全体主義への一歩 [03/06/17 09:54] ●●●マスコミの 「盗聴／盗撮」 は許されるの？その７Ａ●●● natto.2ch.net/mass/kako/1004/10049/1004950940.html 38 名前： 文責：名無しさん 投稿日： 01/11/09 19:17 ID:/Jozo2co フジのスーパーニュースを見ていたら、盗聴、盗撮をしていた。 とにかくレポーターとか、テレビ局の人間と話しをする時は、 カメラやマイクで隠し撮りをしていることを、常に念頭に置くべし。 マスコミをとにかく用心するに超したことはない。 取材を受けて、物がなくなったというのもよく聞く。 39 名前： >38 投稿日： 01/11/09 21:33 ID:qM1FVdrM 蛆は自爆か（Ｗ カミングアウトをするより、盗聴を止めろ 置かれた盗聴機はいつ撤去するんだよ？ そんなことを電波に流されたからって、不安で寝れやしない。 40 名前： 文責：名無しさん 投稿日： 01/11/09 22:32 ID:GPVrbaOJ マスコミ相手にしても仕方ないぜ。まじで自分らの生活を死守する方が大事。 テレビ・ラジオは出来る限り無視しよう。ついつい見聞きするから調子に乗らせる。 今後世の中どうなっていくかわからんのだから、必要な情報のみ入手して身の保全を 図れ。いい加減な娯楽メディアは放っておくべし。 303 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 09:56] アーンドスキップスキップ>>301 304 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 14:09] 折れは「Arzelaの定理」を、有界収束定理のリーマン積分版（収束先も積分可能と いう条件を付け加えただけ）と理解していて、ここまでの議論でも何人かはそう理 解しているように見える（たしか小平に載ってるのとかハウスドルフの証明うんぬ んってやつもそれだったはず）。 しかし、>>285の「Arzelaの定理」は違う主張のようだ。関数項級数の項別積分とい う形になっているための違い（余分な条件もそのせいか）とも思ったが、>>285に書 いてある主張って、なんだか変じゃない？ S_n(x) = Σ[k=1〜n]f_k(ｘ) の有界性やS(x)=lim[n→∞]S_n(x)の存在やその積 分可能性のことと、{f_n(x)}の一様有界性やf(x)=lim[n→∞]f_n(x)のことはとり あえず別でしょ？ （だいたい、lim[n→∞]S_n(x) が存在するためには f_n(x)→0 が必要じゃ？） >>285の「Arzelaの定理」のソースきぼん。 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 14:15] 杉浦光夫の解析入門�TのP.310によれば 一様収束のバージョンを「項別積分の定理」、 有界収束のバージョンを「Arzelaの定理」と呼ぶらしい。 杉浦の本の索引にも「Arzelaの定理」の項目は無かったので探し難かった。 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 15:11] 項別積分とArzelaの定理はこうだと思うんだけど。 項別積分定理 連続関数を項にもつ級数Σ（n=1〜∞）f_n(ｘ)が有界領域Ｄ上で一様収束すれば、 Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。 Arzelaの定理 連続関数を項にもつ級数Σ（n=1〜∞）f_n(ｘ)が有界領域Ｄ上で有界収束すれば、 Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。 これを>>285風に書きかえると Arzelaの定理 或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。 [1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。 [2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。 このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。 どこかおかしいかな？ 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 15:19] >>306の最後は間違えた。こうなるんじゃないの？ Arzelaの定理 或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。 [1](同等連続性)各級数Σ（n=1〜∞）f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。 [2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜Σ（n=1〜∞）f_n(ｘ)｜＜∞。 このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 16:05] >>307もおかしいな。こうかな？ Arzelaの定理 或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。 [1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。 [2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup｜S(ｘ)｜＜∞。（S(ｘ)＝Σf_n(ｘ)） このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 16:16] >>290,>>296-298の話って笑うよな。しかも>>304でやり返してるよ（ｗ ＞当然、Arzelaの定理のHausdorfによる初等的証明の時期(1927)と較べたのだよ。 ＞議論の流れからいって、言わずもがなと思っていたが。 明らかにテキトーなことを言っただろうに といってみるテスト 310 名前：まおまお mailto:sage [03/06/17 16:44] 変化速度についていけないので、よく分かりませんが、（>>304の指摘 にもあったように）f_n(x)の一様連続性ってのは、やっぱり関係して くるんでしょうか？ 仮に関係してくるんだとして、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」って いう書き方だと、各f_n(ｘ)がそれぞれ（独立に）一様連続であるように 見えませんか。これって確か、「全部のf_nが同条件で」一様連続でした よね？　それとも、>>308の場合は違うのかしらん。 311 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 16:54] >>310 「一様連続」と「同等連続」は異なる概念。 312 名前：まおまお mailto:sage [03/06/17 17:13] あ、そうなん？ 313 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 17:13] ええと、確かこうだったよな： f(x)が一様連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀x,y s.t. |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε {f_n(x)}がaで同等連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀n, |x-a|<δ ⇒ |f_n(x)-f_n(a)|<ε 要するに、|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε というεとδの関係が、区間の中の 点x,aに対して一様というのが「一様連続」で、{f_n(x)}の関数族に対して 一様というのが同等連続（等連続、同程度連続）。 だから、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」は（「各」の使い方がわかり にくいが）、「点を固定するごとにｎを動かした全体について」という意味 にとらなければならない。 （「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが） 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 17:26] >>281 Arzelaの定理の応用例 小平邦彦「解析入門」でArzelaの定理（定理5.10と定理8.10）が出てくるのは、 定理5.10→補題6.1と定理6.19→累次積分（P.317）→定理8.10と定理8.11 という各定理です。 特に多変数関数に関してその威力を発揮します。これについてはP.298に制限無しの効用が 解説されています。 315 名前：まおまお mailto:sage [03/06/17 17:35] >>313 おお、解説thanks！ >（「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが） うん、私もそれが、分からなくてね（Arzela-Ascoliには必要だが）。 で、>>304的視点からの、再々確認なんだけど。 {f_n(x)}が同等連続だからと言って、{S_n(x)}が同等連続とは限らない、 ってのは、合ってますかね？ 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 17:41] Walter Rudin "Real and Complex Analysis"に書いてあるAscoli-Arzelaの定理も紹介しておこう。 11.28 Theorem (Arzela-Ascoli) Suppose that F is a pointwise bounded equi-continuous collection of complex functions on a metric apace X, and that X contains a countable dense subset E. Every sequence {f_n} in F has then a subsequence that converges uniformly on every compact subset of X. 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 17:53] Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis" ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/007054235X/ref=lm_lb_8/249-3201986-7805966 この本にはArzelaの定理って載ってるのかな？ 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 18:04] Arzelaの定理って載ってる本少ねえんだな。 Arzelaの定理は知らないまま解析入門をやって、 Lebesgueの項別積分定理に出会っている香具師の方が多いだろう。 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 18:44] Lebesgueの項別積分定理(Lebesgue's Dominated Convergence Theorem)ってさあ、 Fatou's lemmaを使うけど、Arzelaの定理もそうなん？ 小平の本ではHausdorfによる初等的証明が載ってるけど、方針が全然違うよね。 320 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 20:12] >>308 区域っていう用語は聞いたことがないんですが、 Euclid空間の有界領域のこと？ 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 21:58] 初等的証明＝Lebesgue積分を使わない という意味なら、Arzelaの最初の証明もおそらく初等的だっただろう。 別にHausdorffが最初に初等的証明をしたわけではあるまい。 ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。 322 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:19] >ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。 そのとうり。小平の本は、初等解析学の本だからLebesgue積分の結果を使うことが出来なかったので、 あえてHausdorffの初等的証明を載せたのだと思う。ただし、Arzelaの定理の重要性を知らしめたのは、 さすがですね。このところは、小平の本の目玉の一つかな？ 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:20] >>321 わからんなら書くな。恥の上塗り。 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:25] >>321-322 ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ 325 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:34] ごめんなさい。321,322さん（もちろん別人なのは知ってました）、つい悔しまぎれで書いてしまいました。 326 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:35] >>325 分かればいい。二度とするな。 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:51] >>325-326 ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:55] >>321-322 そんなことは>>243が既に書いている。 Arzelaの最初の証明について、想像ではないことを書け。 329 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:59] あ、また悔しまぎれ。俺もしつこいね。お母ちゃん、なんで俺を生んだの？ 330 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 00:00] yahooo.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 00:37] >>329 誰と勘違いしてるのか知らないが、お前等のせいで「Arzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない」という話から前に進まない。 自重してくれないかな。迷惑なんだよ。 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 01:54] 自分で進めりゃいいのに 333 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 02:00] >>328 Arzelaの時代にはLebesgue積分という概念がなかったのだから Arzelaの最初の証明は上の意味で初等的だったに決まってるダロ？ なんか文句有るのか？ 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 03:34] えらく吠えている香具師がいるが、どうして Arzelaの最初の証明を 自分で調べてから言わないのだろう・・・ 335 名前：334 mailto:sage [03/06/18 04:50] 俺の大学には、Arzelaの論文はない。 夏休みにでも、取ってくるか。 ここまで祭りになったんだし、Arzelaの論文くらい自分で調べようね。 336 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 07:21] >>335 Arzelaってイタリア人ぽい名前だから、ひょっとしてイタリア語かも。 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 11:50] >>317 一様収束のときの定理は載ってる。 Arzelaの定理そのものは載ってないけど、関連のある記述のあたりでは Lebesgueの有界収束定理が載ってる11章を参照しろって書いてある。

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