(c) U_i, P_i は (b) (>>972)と同じものとする。 P = (P_1 x P_2 x ... x P_n)/S とおく。 U を 各 U_i の共通集合とし、 f: U → (X x P)/S を U → X と U → P_i から得られる射とする。 X' を U の f による閉像とする。 g: X' → X を X への射影、h: X' → P を P への射影とする。 このとき, h は閉埋入である。
証明 U → (X x P)/S → X は埋入だから、U → (X x P)/S も埋入 である(>>975)。 p_i: P → P_i を射影とする。V_i = (p_i)^(-1)(U_i) とおく。 まず、h^(-1)(V_i) が X' の被覆であることを証明する。 U_i は X の被覆だから、g^(-1)(U_i) は X' の被覆である。 よって、g^(-1)(U_i) ⊆ h^(-1)(V_i) を示せばよい。 (続く)
977 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 11:56]
Harstshorne II Ex. 4.10 (c) の証明の続き
U'_i = g^(-1)(U_i) とおく、 以下の図式が可換なことを示せばよい。
Ｕ'_i → Ｐ ↓ ↓ Ｕ_i → Ｐ_i
U'_i = X' ∩ (U_i x P)/S であり、f: U → (X x P)/S の 閉像はX' であり、f(U) ⊆ U'_i であるから、U → U'_i の 閉像は U'_i である。 よって以下の図式を考える。
h^(-1)(V_i) → V_i が閉埋入であることを示す。 Q_i を P_i を除いた残りの P_j の積とする。 V_i = (U_i x Q_i)/S であるから、 h^(-1)(V_i) = X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S である。 (U_i x Q_i)/S → U_i → X のグラフを Z_i とする。 Z_i は (X x U_i x Q_i)/S の閉部分スキームであり、 その (U_i x Q_i)/S への射影は同型である。 X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S は f(U) の (X x U_i x Q_i)/S に おける(部分スキームとしての)閉包であり、f(U) ⊆ Z_i で あるから、X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S ⊆ Z_i である (スキームとしての包含)。 よって、X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S → (U_i x Q_i)/S は閉埋入 である。 V_i の合併集合を V とする。 h^(-1)(V_i) は X' の被覆であるから、h(X') ⊆ V である。 h^(-1)(V_i) → V_i が閉埋入であるから、 X' → V は閉埋入であり、V → X は開埋入であるから h: X' → P は埋入となる。 一方、X' → S は 固有であるから、X' → P も固有であり、 h(X') は P の閉集合である。よって h は閉埋入である。
979 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 12:31]
Harstshorne II Ex. 4.10 の解答の続き (d) g^(-1)(U) → U は同型である。
証明 g^(-1)(U) = X' ∩ (U x P)/S は f(U) の (U x P)/S における （部分スキームとしての）閉包であることに注意する。 f(U) は U → P のグラフであるから、f(U) は (U x P)/S の 閉集合である。よって g^(-1)(U) = X' ∩ (U x P)/S = f(U) である。よって、g^(-1)(U) → U は同型である(逆の同型は f)。
...,､ - ､ ,､ ' ヾ 、 丶,､ -､ ／ ヽ ヽ ＼＼:::::ゝ ／ヽ/ i i ヽ .__.ヽ ヽ::::ヽ ヽ:::::l i. l ﾄ ヽ ヽ .___..ヽ 丶::ゝ r:::::ｲ/ l l. i ヽ ＼ ＼/ﾉﾉﾊ ヽ l:/ /l l. l i ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ', ', 'l. i ト l ﾚ'__ '"i:::::iﾞ〉l^ヾ |.i. l . l l lミ l ／r'!:::ヽ '‐┘ .} / i l l ／￣￣￣￣￣￣￣ l l l.ヾlヽ ゝヾ:ﾉ , !'" i i/ i＜ 今年も数学がんばってね iﾊ l (.´ヽ _ .／ ,' ,' ' | |l. l ｀ ''丶 .. __ イ ＼＿＿＿＿＿＿＿ ヾ! l. ├ｧ ､ ／ﾉ! / ｀ ‐- 、 ／ ヾ_ / ,,;'' /:i /,, ',. ｀ / ,,;'''／:.:.i
991 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 02:49]
補題 Kを体、v をその離散付値、L を K の有限次拡大体とする。 L の付値で v の拡大になっているものは離散付値である。
補題 Kを体、v をその離散付値、L を K の有限生成拡大体とする。 L の離散付値で v の拡張になっているものが存在する。
証明 A を K の付値環、m を A の極大イデアルとし、πをその生成元 とする。L の K 上の超越基を x_1, x_2, ..., x_n とする。 B = A[x_1, ...,x_n] とおく。 A は UFD だから B も UFDである(Gaussの定理)。 よってπは B の既約元であるから、πB は B の素イデアルで あり、B の πB による局所化 B_πB は離散付値環である。 B の商体を M とすると、B_πB は M の離散付値 w を 引き起こす。w は v の拡張である。 L は M の有限次拡大体だから補題より w は L の 離散付値に拡張される。
993 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 02:51]
補題 A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、 K をその商体とする。m の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、 mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。
証明 m の生成元 x_1, ..., x_n で 各 x_i が 0 でないものをとる。 Hartshorne I Th. 6.1A より K の付値環 R で A を支配する ものが存在する。v を R に付随する付値で G をその値群と する。g_i = v(x_i/x_1) と置く。g_k = min{g_1,...,g_n} と する。各 i に対して v(x_i/x_k) = g_i - g_k >= 0 である。 よって、x_i/x_k ∈ R であり、 A[x_1/x_k, ..., x_n/x_k] ⊆ R となる。 必要なら x_1, ..., x_n の番号を付け替えて x_k = x_1 と 仮定してよい。よって B ⊆ R である。R は A を支配するから R の極大イデアルは mB を含む。よって mB ≠ B である。 i ≧ 2 のとき、x_i ∈ (x_1)B だから mB = (x_1, x_2, ..., x_n)B ⊆ (x_1)B である。 逆の包含関係は明らかだから、mB = (x_1)B である。
994 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 03:05]
補題(Krull-Akizuki) A を１次元のネーター整域、K をその商体とする。 L を K の有限次拡大体とする。A の L における整閉包は Dedekind整域である。
証明は例えば、Bourbaki VII §2.5 を参照。
995 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 03:38]
Hartshorne Ex.4.11 (a) の解答
A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、 K をその商体とする。L を K の有限生成拡大体とする。 補題(>>993)よりm の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、 mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。 (x_1)B の極小素イデアルを p とする。 Harsthorne I Th.1.11A(Krullの単項イデアル定理)より B_p の 次元は１である。m ⊆ p であるから B_p は A を支配する。 補題(>>994)より B_p の K における整閉包 B~ は Dedekind整域である。B~ の任意の極大イデアルを M とする。 B~_M は離散付値環である。B_p ∩ M は B_p の極大イデアル である(Cohen-Seidenberg)から B~_M は B_p を支配する。 補題(>>992)より L の離散付値環で B~_M を支配、即ち A を支配するものが存在する。
