大好き★代数幾何

1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41] Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。 59 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 22:21] 使い古された煽りの手口ですね。 60 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 22:56] >>59 あれを煽りと思うのか。悲しいやつだ。 あれは非常にいい問題だよ。問題の為の問題ではない。 豊富な内容を持っている。しかも、難問ではない。 61 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 23:07] >>60 コピペ用にいただきますた 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/07 23:22] >>58 代数幾何をやらない人間なので答えおしえてください。 63 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 23:30] >>62 問題自体の意味は分かるのか？ 例えば、Spec(A)とかProj(k[X_0,...,X_n])の意味。 64 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 23:30] >>58 代数幾何をやるダメ人間なので答えおしえてください。 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/07 23:31] >>63 なんとか意味はわかります。 66 名前：i [03/10/07 23:50] 誰かが考えました。 誰かは知らないんだけど 位相空間と層があればそれから多様体が構成できるんじゃない？ 幾何学的な空間のとらえ方が少しずつ実体よりもその存在のあり方にシフトしてきました 周りとの関係っていうかね、実体の存在より関係の存在が先っていうか えっと、考える故に我有りだっけ？そんなのと似てるかも 似てないか 67 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 23:54] 　　　　　　　↑ 詐欺に引っかかりやすいタイプ 68 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 23:57] >>65 Spec(A)上の可逆層とA上の階数１の射影加群が本質的には 同じものというのは？ 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 00:01] >>68 ピカール群とかいうやつですか？なんとなく聞いたことはあるという程度です。 ステートメントはみたことありますが証明をおったことはありません。 70 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 00:13] >>69 じゃあ基礎的なことからまったりと証明してやろう。 時間はかかるけどな。あせらず待て。 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 00:16] >>70 よろしくおながいします。気長にまちます。 72 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 20:14] じゃあ証明開始といくか。 基礎からいくから、かなり長いぞ。 今後、特別に断わらない限り、環と言ったら単位元を持つ 可換環とする。環準同型は単位元を単位元に写すものとする。 命題１ Xを環付き空間。Aを環とする。 Γ(X)をX上の大域切断のなす環とする。 このとき、Hom(X, Spec(A))とHom(A, Γ(X))は標準的に同型である。 証明せよ。 73 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 20:18] ↑同型というのはおかしいな。標準的な全単射が存在すると 置き換えてくれ。 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 20:38] >>72 これにだれかが答えないと先にすすんでくれないの？ 75 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 20:43] >>74 原則として誰かが答えるまで先に進まない。 そうしないと、諸君が理解してるかどうか分からないから。 76 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 20:53] 終了か(･∀･)、今後の展開はどっち？ 77 名前：珍々 ◆0OHTCmYTPk [03/10/08 20:55] たかが多項式　されど多項式 78 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 20:56] >>72の訂正。スマン。 Xは局所環付き空間。Hom(X, Spec(A))は局所環付き空間としての射の集合。 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 21:06] >>78 やっぱり･･･めっちゃ考えたのに･･･ 80 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 21:12] >>79 その考えは無駄じゃないよ。で答えは？ 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 21:14] >>75 答えいきつくまでにあと何ステップぐらいあるの？この原則だと答えみたい場合 ずっと２ｃｈ見続けて設問にづっと答えつづけないとダメだけどそんなの不可能なんですが。 あと２、３ステップですむんなら可能だけどそうじゃないならヘタしたら２、３週間つづけて ２ｃｈ漬けになってしまう。もしそれぐらいかかるならもう答えわかんなくてもいいし。 せめて何ステップで終わるのかだけでも先におしえてもらえません？ 82 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 21:23] >>81 そうだな、端折れば５ステップ、丁寧にやれば１０ステップくらいかな。 丁寧なほうがいいだろ？ 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 21:24] >>80 答えは結構めんどいんですが･･･ あたえられた環の準同型φ:A→Γ(X)に対し連続写像fをp∈Xにたいし合成写像 A→Γ(X)=O_X(X)→O_{X,p}によるO_{X,p}の極大イデアルの引き戻しをf(p)とする 写像とさだめる。つぎにspecA上の環の層の準同型f^#:O_specA→O_Xを f^#(specA):O_specA(A)=A→O_X(X)=Γ(X)がφになるようなものとする。 （そのようなf^#の存在の証明は略。） 逆の対応は与えられた(f,f^#):(X,O)→(SpecA,O_SpecA)に対し A=O_(specA)(specA)→f_*(specA)=O_X(X)=Γ(X)で定められる環準同型であたえられる。 　 この程度でいいすか？ 84 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 21:39] >>83 まあいいだろ。各自、詳細を詰めてくれ。 定義１ Xを環付き空間とする。O_X 加群の層 F が局所的に階数１の自由層であるとき 可逆層という。 85 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 21:51] 後は明日の夜。期待して待ってくれ。 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 21:55] 乙です 87 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 20:21] 昨日の続きと行こう。 可逆層についての基本事項を述べる。 命題２(層の張り合わせ) Xを位相空間とし{U_i}をXの開被覆とする。 各U_i上に層F_iが与えられており、任意のi,jに対して 同型ψ(i,j): F_i|U_i ∩ U_j → F_j|U_i ∩ U_j が存在するとする。 さらに、任意のi,j,kに対してψ(j,k)ψ(i,j) = ψ(i,k)が U_i ∩ U_j ∩ U_kで成り立つとする。 このとき、X上の層Fと同型η_i: F|U_i → F_iが存在し、 ψ(i,j) = η_j(η_i)^(-1)が成り立つ。 証明 開集合Uと各iに対して、U ∩ U_i上のF_iの切断s_i の列{s_i}で s_j = ψ(i,j)(s_i) となるもの全体をF(U)とする。 対応 U → F(U) は層となり、これが求めるもの。 詳細は各自にまかす。 QED. 88 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 20:33] 命題３ Xを環付き空間とする。O_XのO_X加群としての自己同型群はΓ(X)の 可逆元全体のなす群Γ(X)^*と標準的に同型である。 証明は自明だろう。 Xを環付き空間とし、LをX上の可逆層とする。 定義によりXの開被覆{U_i}が存在し、各U_iで LはO_Xと同型である。 この同型ψ_iを固定しておく。 i,jの任意の組に対してψ_jψ_i^(-1)は Lの U_i ∩ U_j における同型を与える。 従って、命題３よりΓ(U_i ∩ U_j)^*の元が定まる。 これをθ(i,j)と書く。 i,j,kに対して、θ(j,k)θ(i,j) = θ(i,k) がU_i ∩ U_j ∩ U_k で成り立つ。θ(i,i)はΓ(U_i) における単位元である。 命題４ 逆に上の関係式を満たすθ(i,j)があると、X上の可逆層L が定り、θ(i,j)は上記のように求めたものと一致する。 命題２から明らかだろう。 89 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 20:38] 命題５ Xを環付き空間とする。 1) L_1, L_2をX上の可逆層とする。 　L_1とL_2のテンソル積L_1(x)L_2も可逆層である。 2)LをX上の可逆層とするとHom~(L, O_X)も可逆層である。 ここでHom~はHomの層。この層をL^と書く。 3) L(x)L^はO_Xと同型である。 これを証明せよ。 命題５からX上の可逆層の同型類はアーベル群をなすことが分る。 これをXのピカール(Picard)群といい、Pic(X)と書く。 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/09 21:05] .>>89 以下前層Fの層化をF~と書く。 ―補題― 位相空間X上の前層Fとその層化F→F~についてある開集合Uが存在しF|Uが層であるなら 任意のV⊂UについてF(V)→F~(V)は同型。 ∵層化の具体的表示F~(V)={s∈Π[p∈V]F_p|∃V=∪V_λ∃s_λ∈F(V_λ)∀p∈V_λs_p=(s_λ)_p} をみれば(F|U)~=(F~)|Uがわかる。仮定よりF|U=(F|U)~。これから主張が成立。□ 　 ―命題５の証明― 1),2)X=∪U_λ=∪V_μをL_1|U_λ、L_2|V_μが自明層になるようにとる。 W=W_λμ=U_λ∩V_μ上で前層L_1(x)L_2|_W、Hom(L_1,L_2)|Wは層である。 ゆえに(L_1(x)L_2)~|W=(L_1(x)L_2)|W、Hom(L_1,L_2)~|W=Hom(L_1,L_2)|WであるがこれらはともにO|Wにひとしい。 3)前層の射f:L(x)Hom(L,O)→Oをa(x)f→f(a)でさだめられるものとする。L|W、Hom(L,O)|Wが自明になる W上でこれは同型写像。補題よりL(x)Hom(L,O)|WとL(x)Hom(L,O)~|Wは同型なので主張が成立。 　 こんなもんでいいすか？ 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/09 21:16] >101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux >最近、元総連関係者から得た話として >ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。 >「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に >圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは >黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された >東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと >して就職させることの見返りなのである。 >また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を >煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート >を張り付けることも要請している。」 >102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux >さらに、 >「これだけではない。プロ名無しとして就職させた >在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。 >そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板 >にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と >デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。 >２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。 >しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。 >しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。 >管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が >これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は >訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。 >しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、 >この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの >運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起 >や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」 92 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 21:16] 　 　 　 　 　 　　 ＿＿＿ . 　 　 　 　　　　 |（･∀･）| . 　 　　　　 　 　 |￣￣￣　　　ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝ共和国 　　　　　　　　　△ 　　　　　　　 △ｌ　| 　　　＿＿△|_.田 |△＿＿＿＿＿ 　　　　　　|__|__門_|__|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿ 93 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 21:48] >>73 集合の圏の同型は全単射 94 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 22:56] >>88 >i,jの任意の組に対してψ_jψ_i^(-1)は >Lの U_i ∩ U_j における同型を与える。 O_XのU_i ∩ U_j における同型を与える、の間違いだった。 95 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 22:58] >>93 普通は全単射と言うな。まあどうでもいいが。 96 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 23:12] >>90 なんか難しく考えてないかな。1) なんか、O_X(x)O_XがO_Xと同型 であることを使えば自明なんだが。 でもまあいいや。 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/09 23:16] >>93,>>95 （bifunctorとして）同型、と言う方が、 ただの全単射より内容が深い。 標準的な、だけでは意味が不明確。 98 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 23:49] いよいよ本題に入る。 kを体とし、S = k[x_0,...,x_r]をk上の多項式環とする。 Sは、n次同次多項式のなすk-部分加群S_nの直和であり、次数環と考えられる。 S+ = S_1 + S_2 + ...とおく。S+はSの同次イデアルである。 Sの同次素イデアルでS+を含まないもの全体をProj(S)と書く。 同時イデアルIを含むProj(S)の元全体をV+(I)と書く。 D+(I) = Proj(S) - V+(I) と書く。D+(I) の形の部分集合を 開集合としてProj(S)は位相空間となる。 fをSの同次元としたとき、局所化環 S_fは、次数環となる。 つまり、aを同次元としたとき、a/f^n の次数をdeg(a) - n deg(f) で定義する。S_fの0次部分のなす環をS_(f)と書く。 D+(f)にS_(f)を対応させてProj(S)に前層が定義される。 これの層化をProj(S)の構造層 O と定義する。 pをProj(S)の元としたとき、O_p は　S_p の0次部分のなす環S_(p) と同型である。fをS+の同次元としたとき、D+(f)はProj(S)の開集合 の基となる。D+(f)は局所環付き空間として Spec(S_(f))と同型である。したがって、Proj(S)はスキームである。 このスキームを体k上のr次射影空間と呼び、P^r_kまたは単にP^rと書く。 99 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 23:57] >>97 百も承知してるんだが、それを言いだすと、随伴関手とか 言わなきゃならなくなる。今は面倒なのでさらっと流してる。 標準的全単射で間違いってことはない。 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/10 05:13] >101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux >最近、元総連関係者から得た話として >ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。 >「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に >圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは >黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された >東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと >して就職させることの見返りなのである。 >また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を >煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート >を張り付けることも要請している。」 >102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux >さらに、 >「これだけではない。プロ名無しとして就職させた >在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。 >そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板 >にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と >デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。 >２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。 >しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。 >しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。 >管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が >これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は >訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。 >しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、 >この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの >運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起 >や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」 101 名前：１３２人目の素数さん [03/10/10 20:12] 昨夜の続き。 P^rを体k上の射影空間 Proj(k[x_0, ... x_r] とする。 U_i = D+(x_i)とおく。nを任意の整数とする（負の整数も可)。 θ(i,j) = (x_i/x_j)^nはΓ(U_i ∩ U_j)^*の元である。 θ(j,k)θ(i,j) = θ(i,k) がU_i ∩ U_j ∩ U_kで成り立つ。 従って、命題４よりX上の可逆層が定まる。この層をO(n)と書く。 さて、S上の次数付き加群Mがあると、S+の同次元fに対して、 D+(f)にM_fの次数0成分M_(f)を対応させることにより、 O加群の層M~が定まる。 S上の次数付き加群S(n)をそのp次成分を S(n)_p = S_(p + n)で定義する。 命題６ O(n) = S(n)~ である。 これを証明せよ。 102 名前：１３２人目の素数さん [03/10/10 20:59] ごくろう。 103 名前：１３２人目の素数さん [03/10/10 21:24] 射影スキームとというのはアフィンでないスキームとしては 最も重要なものである。完備な非射影スキームというのは、 かなり例外的なものであり通常考える必要はない。 従って、代数幾何をやるものは射影スキームに親しむ必要がある。 104 名前：１３２人目の素数さん [03/10/10 23:55] 命題７ Γ(P^r, O(n)) は S_nとk-加群として同型である。 これを証明せよ。 105 名前：１３２人目の素数さん [03/10/10 23:56] やだ。 106 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 00:21] ここで環付き空間の射による加群の層の順像と逆像について述べる。 X, Yを位相空間とし、f:X→Yを連続写像とする。 GをX上のアーベル群の層とする。 Gのfによる順像f_*(G)を、 f_*(G)(U) = G(f^(-1)(U))で定義する。 これは、Y上のアーベル群の層である。 FをY上のアーベル群の層とする。 VをXの開集合とし、Vの点xに対してO_f(x)の元を対応させる写像ψで、 局所的にO_Yの切断から誘導されるもの全体をΓ(V)として 得られる層をFのfによる逆像といい、f^(-1)(F)と書く。 詳しく述べると、xのある開近傍Wに対して f(W) を含むYの開集合Uと、U上のfの切断sが存在し、 ψ(p) = s_f(p) がWの全ての点pにおいて成り立つ。 命題８ Hom(f^(-1)(F), G) から Hom(F, f_*(G)) への全単射が存在する。 これを証明せよ。 順像と逆像は環の層でも同様に定義され命題８が成り立つ。 107 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 00:30] >>106 訂正： Vの点xに対してO_f(x)の元を対応させる　⇒ Vの点xに対して F_f(x)の元を対応させる　 局所的にO_Yの切断から誘導 ⇒ 局所的にFの切断から誘導 108 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 00:46] X, Yを環付き空間とし、f:X→Yを射とする。 定義から、射: O_Y → f_*(O_X) が存在する。 命題８より、随伴射: f^(-1)(O_Y) → O_X が存在する。 GをO_X-加群の層とする。f_*(G)はf_*(O_X)-加群の層となる。 射: O_Y → f_*(O_X) により、これはO_Y-加群の層となる。 これをO_X-加群 Gの f による順像と呼び、同じ記号f_*(G)で表す。 FをO_Y-加群の層とする。f^(-1)(F)はf^(-1)(O_Y)-加群の層となる。 射: f^(-1)(O_Y) → O_X により、O_X はf^(-1)(O_Y)-加群となり、 f^(-1)(O_Y)上のテンソル積f^(-1)(F) (x) O_X　が定義される。 これをO_Y-加群 Fの f による逆像と呼び、f^*(F)と書く。 命題９ Hom(f^*(F), G) から Hom(F, f_*(G)) への全単射が存在する。 これを証明せよ。 109 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 00:54] 命題１０ X, Yを環付き空間とし、f:X→Yを射とする。 LをY上の可逆層とすると、f^*(L)も可逆層である。 対応は、L → f^*(L) は 準同型 Pic(Y) → Pic(X) を与える。 これを証明せよ。 110 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 01:26] ここで局所環についての基本事項を復習しておく。 命題１１(中山の補題) Aを局所環、mをその極大イデアルとする。 Mを有限生成A-加群とする。 M = mM なら M = 0 である。 証明 M ≠ 0 と仮定する。 M は有限生成だからZornの補題より極大な部分加群 N が存在する。 L = M/N は 単純加群だから κ= A/m と同型である。 従って L ≠ mL 即ち L/mL = L (x) κ ≠ 0 M → L → 0 は完全だから、 M (x) κ→ L (x) κ → 0 も完全。 従って、M (x) κ ≠ 0 即ち、M ≠ mM QED. 系１ NをM の部分加群とし、M = N + mM とする。 このとき、M = N となる。 これを証明せよ。 系２ M/mM = M (x) κ はκ上の有限次ベクトル空間である。 この基底の代表元x_1, ... ,x_n はM の生成元である。 これを証明せよ。 111 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 01:42] >101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux >最近、元総連関係者から得た話として >ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。 >「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に >圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは >黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された >東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと >して就職させることの見返りなのである。 >また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を >煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート >を張り付けることも要請している。」 >102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux >さらに、 >「これだけではない。プロ名無しとして就職させた >在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。 >そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板 >にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と >デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。 >２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。 >しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。 >しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。 >管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が >これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は >訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。 >しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、 >この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの >運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起 >や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」 112 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 01:45] 命題１２ Xを局所環付き空間とし、LをX上の可逆層とする。 Xの点xに対してm_xをO_xの極大イデアルとする。 sをLの大域切断とする。s_x のL_x/(m_x)L_x における像 をs(x)と書く。s(x) ≠ 0 となるx の全体は開集合である。 これを証明せよ。 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/11 02:10] つか嫉妬してる人間がいるな。 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/11 02:24] shit? 115 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 07:54] X, Yを局所環付き空間とし、f:X→Yを射とする。 LをY上の可逆層とする。sをLの大域切断とする。 sはf^(-1)(L)の大域切断tを誘導する。 t (x) 1 はf^*(L)の大域切断である。 これをf^(*)(s)と書く。 命題１３ xをXの点とする s(f(x)) ≠ 0 なら f^(*)(s)(x) ≠ 0　である。 これを証明せよ。 116 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 08:05] 命題１４ X, Yを局所環付き空間とする。 {U_i}をXの開被覆とし、各i に対して射 f_i: U_i → Y が与えられていて、任意のi, j に対して f_i | U_i ∩ U_j と f_j | U_i ∩ U_j が一致するとする。 このとき、射 f: X → Y で f|U_i = f_i となるものが一意に 存在する。 証明は自明だろう。 117 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 08:22] 命題１５ Xを局所環付き空間とする。 LをX上の可逆層とする。sをLの大域切断とする。 命題１２より s(x) ≠ 0 となるx の全体は開集合である。 これをUと置く。t をLの任意の大域切断とする。 Γ(U)の元 f で t_x = f_x s_x が　U の任意の点 で成り立つものが一意に存在する。 これを証明せよ。 上のfをt/s と書く。 118 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 08:51] kを体。P^r = Proj(k[x_0, ... x_r]) をk上の射影空間とする。 命題７よりΓ(P^r, O(1)) は S_1とk-加群として同型である。 従って、x_0, ... x_r は、可逆層 O(1) の大域切断である。 x_i(p) ≠ 0 となる p の集合は D+(x_i) である。 このことから、P^rの各点pにおけるO(1)のストークO(1)_pは x_0, ... x_r の像により生成されることがわかる。 この事実を、O(1)は大域切断 x_0, ... x_r で生成されると言う。 119 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 09:03] Xをk上の局所環付き空間とする。すなわち、構造射 X → Spec(k) が与えられているとする。 命題１からこれは、環準同型 k → Γ(X) が与えられていることと 同値である。 f: X → P^r をk上の局所環付き空間としての射とする。 命題１０より、f^*(O(1))は可逆層である。 U_i = f^(-1)(D+(x_i)) と置く。 命題１３より、U_i の任意の点 p で f^*(x_i)(p) ≠ 0 である。 即ち、f^*(x_0), ... , f^*(x_r) は f^*(O(1)) を生成する。 120 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 09:25] 命題１６ Xをk上の局所環付き空間とする。LをX上の可逆層とする。 s_0, ... , s_r を L の大域切断で L を生成するものとする。 k-射 f: X → P^r で L = f^*(O(1)), s_0 = f^*(x_0), ..., s_r = f^*(x_r) となるものが一意に 存在する。 証明 s_i(p) ≠ 0 となる p の集合を X_i と書く。 命題１５よりこれは、開集合であり、 任意の j に対して s_j/s_i は Γ(X_i) の元である。 一方、U_i = D+(x_i) は P^r のアフィン開集合で Γ(U_i) = Spec(k[x_0/x_i, ... , x_r/x_i]) である。 従って、x_j/x_i → s_j/s_i により 準同型 k[x_0/x_i, ... , x_r/x_i] → Γ(X_i) が定まり、 命題１から射 X_i → U_i が定まる。 この射は、X_i ∩ X_j で一致する。従って命題１４より 射 X → P^r が定まる。残りは各自に負かす。 QED. 121 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 09:45] Aをk-代数とする。X = Spec(A)上の可逆層 L は準連接である。 従って、A-加群 M が存在して、M~ = L (同型) となる。 そこで、M~が可逆層となるようなA-加群Mの性質を調べる。 122 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:03] 命題１７ 局所環 A 上の有限生成射影加群 M は自由である。 証明 κ= A/m とおく。M/mM = M (x) κ はκ上の有限生成加群だから、 その基底の代表元はM の生成元である (命題１１(中山の補題)の系２)。 従って 有限自由な L と完全列 L → M → 0 が存在し、 L (x) κ→ M (x) κが同型となるものが存在する。 L → M　の核をN とする。 0 → N → L → M → 0 は完全である。 Mは射影的だから、この完全列は分解する。 従って 0 → N (x) κ→ L (x) κ→ M (x) κ → 0 も分解する 完全列である。よって、N (x) κ = 0 となる。 NはLの直和因子だから、有限生成である。 中山の補題より、N = 0 となる。即ち、L と M は同型。 QED. 123 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:17] ところで、照明の最後についてるQED.って何？ 124 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:24] 命題１８ Aを環。MをA-加群とする。 任意の素イデアル p に対して, M_p = 0 なら、M = 0 である。 これを証明せよ。 125 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:28] 命題１９ Aを環。f:M → N をA-加群の準同型とする。 f_p: M_p → N_p が任意の素イデアルに対して全射なら、 fも全射である。 これを証明せよ。 126 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:30] 命題１９ 有理数体上定義された楕円曲線はモジュラーである。 これを証明せよ。 127 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:32] >>126 訂正 命題１９⇒命題２０ 128 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:34] >>123 証明終わりという意味。ラテン語の頭文字。 英語の辞書に載ってるよ。 そんなことより、証明、分かってるのか。 129 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:39] 定義２ Aを環。MをA-加群とする。 有限自由なL_1, L_2で L_1 → L_2 → M → 0 が完全となるようなものが存在するとき、 Mを有限表示を持つ加群という。 130 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:54] 命題２０ Aを環。Mを有限表示を持つA-加群とする。 NをA-加群、pをAの素イデアルとする。 Hom(M, N)_p = Hom(M_p, N_p) が成り立つ。 ここで、Hom(M_p, N_p)はA_p-加群としてのHom 証明 N, p を固定する。 F(M) = Hom(M, N)_p G(M) = Hom(M_p, N_p) とおく。 F, G は加法的関手である。 射: F → G が存在する。 即ち、Hom(M, N)_p → Hom(M_p, N_p) これは、f:M → N に、f_p: M_p → N_p を対応させるもの。 M が有限自由のときは、これは同型である。 Mが有限表示を持つから、A_pによるテンソル積が完全列を保存すること (A_pの平坦性)と可換図式により、命題が成り立つ。 詳細は各自にまかす。 QED. 131 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 20:37] 定義３ Aを環とし、MをA-加群とする。 任意のA-加群の列 N' → N → N'' に対して これが完全であることと N'(x)M → N(x)M → N''(x)M が完全であることが同値となるとき、 Mを忠実平坦であるという。 命題２１ Aを環。MをA-加群とする。 以下は互いに同値である。 1) Mは忠実平坦である 2) Mは平坦で、N ≠ 0 なら N(x)M ≠ 0 3) Mは平坦で、M ≠ mM がAの任意の極大イデアルm に対して成り立つ。 これを証明せよ。 132 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 22:56] 命題２２ Aを環。Mを有限表示を持つA-加群とする。 0 → G → F → M → 0 が完全で、 Fが有限生成なら、Gも有限生成である。 証明 有限自由なL_1, L_2で L_1 → L_2 → M → 0 が完全となるようなものが存在する 従って以下の可換図式が成り立つ。 　　L_1 → L_2 → M → 0 ↓ 　　↓ 　↓ 0 → G → F → M → 0 ここで、M → Mは恒等写像。 Snake lemma より Coker(L_1 → G) = Coker(L_2 → F)　(同型) よって、Coker(L_1 → G)は有限生成。 Im(L_1 → G)も有限生成だから、Gも有限生成である。 QED. 133 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 23:18] 命題２３ 環Aを環Bの部分環で、BはA-加群として忠実平坦とする。 MをA-加群とする。M(x)B がB-加群として有限表示を持てば、 MもA-加群として有限表示を持つ。 証明 M(x)B はがB-加群として有限生成だから、 Mの部分加群Nで有限生成で、N(x)B → M(x)B が同型と なるものが存在する。BはA-加群として忠実平坦だから、 NはMと一致する。従ってMは有限生成。 よって有限自由なFと以下の完全列が存在する。 0 → G → F → M → 0 BはA-平坦だから、 0 → G(x)B → F(x)B → M(x)B → 0 は完全。M(x)BはB-加群として表示を持ち、 F(x)Bは有限生成だから、命題２２より G(x)Bも有限生成である。BはA-加群として忠実平坦だから 最初に述べた方法と同様にGも有限生成である。 QED. 134 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 23:32] 命題２４ 有限生成射影加群は、有限表示を持つ。 これを証明せよ。 135 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 23:45] 命題２５ BをA-代数で、BはA-加群として平坦とする。 Mを有限表示を持つA-加群とする。 NをA-加群とする。 Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B) (同型)が成り立つ。 ここで、Hom(M(x)B, N(x)B) はB-加群としてのHom 証明は、命題２０と同様。 136 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 23:55] 命題２６ 環Aを環Bの部分環で、BはA-加群として忠実平坦とする。 MをA-加群とする。M(x)B がB-加群として有限生成射影加群 なら、MもA-加群として有限生成射影加群である。 証明 命題２４より、M(x)B は有限表示を持つ。 従って命題２３より、M は有限表示を持つ。 従って命題２５より、任意のA-加群Nに対して Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B) (同型)となる。 任意の完全列　N → N' → 0　に対して、 N(x)B → N'(x)B → 0 も完全である。 M(x)Bは射影加群だから、 Hom(M(x)B, N(x)B) → Hom(M(x)B, N'(x)B) → 0 も完全。 従って、Hom(M, N)(x)B → Hom(M, N')(x)B → 0 も完全。 Bは忠実平坦だから、Hom(M, N) → Hom(M, N') → 0 も完全。 即ち、Mは射影加群である。 QED. 137 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 00:13] 命題２７ Aを環。{f_i} をAの元の有限列で、単位イデアルAを 生成するとする。A_f_i の直和環をBとする。 BはA-加群として忠実平坦である。 証明 各A_f_iはA-平坦だから、BもA-平坦である。 仮定より、{D(f_i)} はSpec(A)の開被覆である。 従って、pをAの素イデアルとすると、 p はあるD(f_i) に含まれる。pA_f_i はA の素イデアル である。これよりpB ≠ B が分かる。 命題２１より、BもA-忠実平坦である。 QED. 138 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 00:38] 命題２８ Aを環、MをA-加群とする。 X = Spec(A)とおき、O_X-加群 M~ を考える。 M~が可逆層なら、Mは有限生成射影加群である。 証明。 M~が可逆層であるから、Spec(A)の開被覆 {D(f_i)} で各M_f_iがA_f_iとA_f_i加群として同型なものがある。 M_f_iの直和 T を考える。 T = M (x) B である。 TはBとB-加群として同型だから、B-加群として 有限生成射影加群である。 命題２７より、BはA-加群として忠実平坦である。 従って、命題２６よりMは有限生成射影加群である。 QED. 139 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 00:45] >128 quantum electrodynamics. 電子をはじめ荷電粒子，電磁場からなるミクロな系を支配する力学体系を 量子電磁力学という.（中略） しばしば英語の頭字をとってQEDと略称される(→･････). ［岩波 理化学辞典，第3版,岩波 (1971)］ 量子電気力学 [文部省 学術用語集 物理学編(1954)] 140 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 00:45] 命題１７より、階数１の有限生成射影加群の層化がSpec(A)上の可逆層 となることは、明らかである。 これと、命題２８より、階数１の有限生成射影加群と可逆層は、 同型を除けば、同じものと考えることが出来る。 141 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 00:56] 命題１６と命題２８などから、我々の目的である 以下の定理が出ることは明らかだろう。 詳細は各自に任す。 主定理 kを体。Aをk上の(有限生成とは限らない)可換代数。 P^nをk上の射影空間、すなわちProj(k[X_0, ... X_n])。 Spec(A)からP^nへのk-morphisms全体, Hom(Spec(A), P^n)は、A上の階数１の射影加群で 階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子となって いるもの全体と1対１に対応する。 142 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 01:01] >>141 上の定理のkは体でなくても環であればいい。 今までの証明を見ればkが体であることを、どこにも使って ないことが分かるはずだ。 143 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 01:08] >>先生 乙！ TeX打ちでもするか 144 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 01:47] すでに知ってる人もいるだろうが、俺の種本を教えてあげよう。 命題１６の証明などは、HartshorneのAlegebraic Geometry, 命題２８の証明などは、BourbakiのCommutative Algebra(1-7). O(1)の解釈などは、SerreのFACを参考にした。 SerreのLocal Algebraも中山の補題の証明に使った。 命題１は、Hartshorneにも載っているが、局所環付き空間 でなくスキームを扱っていたと思う。局所環付き空間であの命題を 述べたのはEGAかな。よく覚えてない。 命題１６もXはスキームでなく局所環付き空間で成り立つが、 これに気づいたのは、今回の証明を書いているときだ。 あと主定理自体は、あるオンラインの代数幾何入門からヒントを得た。 今は著者名と題名を思い出せない。 145 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 02:07] スキームではない環付き空間で 代数幾何的に重要だったりおもしろそうな例ってどんなのがありますか？ 146 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 02:16] 門外漢でわからないけど、 「A上の階数１の射影加群で階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子と なっているもの全体と1対１に対応する」 っていうのは、 「A^(n+1)の階数１の直和因子全体と1対１に対応する」 って言う意味でいい？ 「A上の階数１の射影加群の同型類でA^(n+1)の直和因子で 代表されるもの全体と1対１に対応する」 というようにも読めるけど、そういう意味ではないよね？ 147 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 02:24] >>145 代数幾何的に重要かどうかは知らないが、 例えば代数的でない複素多様体。 148 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 02:29] >>146 ｢A^(n+1)の階数１の直和因子全体と1対１に対応する｣ という意味。 例えば、Aが体の場合を考えてみれば分かる。 この場合、階数１の直和因子とは、１次元の線形部分空間のことだ。 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/12 02:31] Milne先生のところ？＞オンラインの代数幾何講義 150 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 02:52] >>149 違う。ロシアまたは東欧系の名前の数学者だった。 151 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 03:38] 命題１６により可逆層がなぜ代数幾何で重要かがわかるだろう。 非特異代数多様体では可逆層と因子とは線形同値を除けば同じ ものと考えていい（証明せよ）。この見方からすると、O(1)には 射影空間の超平面が対応する。O(1)の逆像には、超平面の逆像が 対応するはずだが、超平面の逆像の定義は？　一般に因子の逆像とは何か？ 152 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 10:42] 命題１６でXをスキームでなく局所環付き空間として述べたのは、 そのほうが証明の本質がわかりやすいから。より一般化された問題の ほうが、その本質がよく分かる場合が多い。問題が難しかったら、 その問題を一般化せよというのは、よく言われる。 153 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 12:59] 命題２８の証明って、Bourbakiでしか見たことない。 基本的な命題なのに。Bourbakiの可換代数は、非常にいい。 Atiyah-MacDonaldの本は、Bourbakiのエッセンスをまとめたものだろう。 154 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 14:12] >>6 の続きって何なんでしょうか？ 代数空間とか代数スタックのことですか？ 155 名前：１３２人目の素数さん [03/10/13 19:35] Hartshorneの本の演習問題をここで解かないか？ 156 名前：珍々 ◆0OHTCmYTPk [03/10/13 19:39] オンラインで、一章の解答を見た記憶がある。 157 名前：１３２人目の素数さん [03/10/13 20:45] 俺も見た。だから2章から行こう。 158 名前：１３２人目の素数さん [03/10/13 21:22] >>156 リンク希望 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/14 17:16] 2ch発のHartshorne解答集ができたらおもしろいね。

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