大好き★代数幾何

1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41] Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。 199 名前：186 [03/10/18 02:48] >>197の修正版。超限帰納法をきちんと使ったらできた。 II.1.16(b) の証明： 左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。 以下、F' を F の部分層とみなす。 s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、 ∃ U の開被覆 {U_i}、t_i ∈ F(U_i) t_i → s|U_i。 添字の集合I に適当な整列順序を入れ、i, j (i < j) に対して c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。 c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、 および {c_ij} が c_jk - c_ik + c_ij = 0 (i < j < k) を満たすことが容易にわかる。 ここで、 ∃ {c_i} ∈ ΠF'(U_i) s.t. ∀ i, j (i < j) c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) ・・・ (*) を超限帰納法で示す。 k ∈ I を任意に1つとり、J := {j ∈ I | j < k} に対して ∃ {c_j} ∈ ΠF'(U_j) (j ∈ J) s.t. ∀ j, j' ∈ J (j < j') c_j' - c_j = c_jj' ∈ F'(U_j∩U_j') が成り立つと仮定する。 今、j''∈J を勝手に1つとり、c_j'' + c_j''k ∈ F'(U_j''∩U_k) の、 制限写像F'(U_k)→F'(U_j''∩U_k)による逆像の1つをc_k ∈ F'(U_k)とおく。 F' が軟弱であることからこのような c_k が常にとれる。 この c_k は c_k - c_j = c_jk (∀ j∈ J) を満たす。実際、 j < j'' の場合、c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = c_jj'' + c_j''k = c_jk、 j'' < j の場合、 c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = - c_j''j + c_j''k = c_jk。 よって K := J ∪ {k} についても仮定と同じ主張がなりたつことが示され、 結局 (*) が示された。 この {c_i} を使って、{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、 r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。 よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、これが求める s の逆像となる。 以上。 200 名前：１３２人目の素数さん [03/10/18 15:33] >>198 可算の場合だけで実用上は十分だろうな。 可算基を持たない位相空間というのは、代数幾何（に限らず他の数学でも） ではまず扱わない。 201 名前：１３２人目の素数さん [03/10/18 18:49] 話は変わるが、俺はHartshorneの講義を聞いたことがある。 コホモロジーがどうとか言ってた。講義の内容は さっぱり解らなかったが。w あれは、1973年頃だったと思う。 長髪にひげで、当時まだいたヒッピーみたいというのが 俺の印象だった。俺は修士課程のほやほやだった。 歳がばれるな。 202 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/18 21:18] グーグル的代数幾何学 203 名前：sage [03/10/18 23:01] >>201 >長髪にひげで、当時まだいたヒッピーみたいというのが 「ヒッピーみたい」というより真性ヒッピーかもね。 バークレー（≒ヒッピー発祥の地？）の先生だし。 204 名前：１３２人目の素数さん [03/10/18 23:44] >>203 Grothendieckに影響されたのかもしれない。 俺はあの当時、彼のことは知らなかった。　同僚に彼はヒッピーみたいだな と言ったら、奴は、あの人はハートショーンといって有名な数学者 なんだよと教えてくれた。ｗ ハーツホーンが正しいと知ったのはだいぶ後だ。 205 名前：１３２人目の素数さん [03/10/18 23:53] うｙｆ 206 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 01:05] HartshorneのAlgebraic Geometryを持っている奴って、このスレで どのくらいいるんだ？ >>197は持ってるのかな？ 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/19 01:52] Grothendieckってその頃、糞真面目に数学やってたころなんですけど。 208 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 02:16] >>207 あの頃はサバイバル運動なんかをしていて、数学から足を洗った頃 じゃないか？ それは別として、Grothendieckの考え方は、現役時代も今も変わって ないと思うが。反戦論者で自然志向。裸足で講義していた。 209 名前：197 mailto:sage [03/10/19 03:20] >>206 持ってる 210 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 04:30] >>209 じゃあ、II.1.21(Some examples of sheaves on varieties)を 解いてくれ。君だけでなく、誰でもいい。 ついでに本を持ってない人のために問題を翻訳してくれるとなおいい。 211 名前：197 [03/10/19 05:24] OK。じゃ、とりあえず問題翻訳するぞ。 II.1.21 (Some examples of sheaves on varieties) Xを代数閉体k上の（第I章の意味での）代数多様体、O_X をX上の正則関数の 層（1.0.1）とする。 (a) Y を X の閉集合とする。各開集合 U⊆X について、Y∩U上のすべての点でゼロ になる正則関数からなる、環O_X(U)のイデアルをI_Y(U)とする。UにI_Y(U)を対応 させる前層は層になることを示せ。この層をYのイデアル層と呼ぶ。この層は 環の層O_Xの部分層である。 (b) Yを部分多様体とすると、商層O_X/I_Yはi_*(O_Y)（訳注：iによるO_Yのpull-back） と同型であることを示せ。ここでi: Y → X は包含写像、O_Y はY上の正則関数の層 とする。 ---疲れたので残りはまた後で 212 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/19 06:37] とりびある 213 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 10:55] >>211 有難う。 II.1.21 (a), (b) の両方を一挙に証明しよう。 開集合 U⊆X 上の正則関数 f に対して、f の U ∩ Y への 制限 f|U ∩ Y を対応させることにより 射 φ: O_X → i_*(O_Y) が得られる。 Xの各点での両者のストークにおいて、これは明らかに全射である。 従ってφは全射である。 φの核が I_Y であることは明らか。 従って、O_X/I_Yはi_*(O_Y) に同型である。 214 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 11:02] >>211 問題を解いて悪かったかな。 II.1.21 (c),(d),(e)の翻訳と解答はまかせた。 215 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 16:00] II.Ex.1.21 (c) さーて X=P^1(射影直線), YをXの異なる 2 点 P, Q∈Xからなる集合とします. このときX上の層の完全列 0→I_Y→O_X→F→0 が存在します. ここで F=i_* O_P (+) i_* O_Q です. ところがこれから引き起こされる大域切断たちの写像 Γ(X,O_X)→Γ(X,F)が全射ではないことを示しなさい. これは大域切断関手 F(X,・) が完全ではないことを示してます. (それが左完全だというのを示す(Ex.1.8)も見れ) (d) またしても X=P^1 とし, O を正則関数の層とします. κ を X の関数体 K に付随する X 上の定数層とします. 自然な単射 O→κ が存在することを示しなさい. 商層 κ/O が層の直和 Σ_{P∈X} i_P(I_P) と同型であることを示しなさい. ここで, I_P は 群 K/O_P を, i_P(I_P) で 点 P での I_P で与えられる摩天楼層(Ex.1.17)を 表します. (訳注:κをKのスクリプト体のかわりに用いました.標準的じゃないです) (e) 最後に, (d) の場合の列 0→Γ(X,O)→Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O)→0 が完全であることを示しなさい. (これは複素多変数における「Cousinの第一問題」と呼ばれるものの類似です. GunningとRossi[1,p.248]を見なさい.) 216 名前：197 [03/10/20 00:54] >>215 とりあえず (c) の解答。 まず、O_P と O_Q は k （定数層）と同型であることに注意する。 O_X → F を次で定義する。 X 上の開集合 U に対して、O_X(U) → F(U)：f → (f(P), f(Q))。 これの kernerl がI_Y(U)になることは明らか。あとは ∀x ∈ X について stalk 上の O_R → F_R が全射になることを示せばよい。 x = P（または Q）の場合、F_x = k (+) 0 (または 0 (+) k) = k（同型）であり、 O_x → F_x は正則関数 f にxでの値 f(x) を対応させる写像だから、明らかに全射。 x ≠P, Q の場合、F_x = 0 だからO_x → F_xは明らかに全射。これで 0→I_Y→O_X→F→0 が層としての完全列であることが示せた。 Γ(X, O_X)→Γ(X, F) が全射でないことは、Γ(X, O_X) = k、Γ(X, F) = k (+) k に注意すれば明らか。 以上 217 名前：197 [03/10/20 00:57] >>216 スマソ。途中の「O_R → F_R」は「O_x → F_x」の間違い。 218 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 00:58] ●●●マスコミの「盗聴、盗撮」は許されるのか？その８●●● natto.2ch.net/mass/kako/1011/10115/1011522150.html 84 名前： ○○○ 投稿日： 02/01/31 01:15 ID:l3fSW81R >>78 たぶん、君が書いている通りだよ。確信犯だ。テレ朝が、俺の電話を盗聴 したネタを使っているのは、ずいぶん前から確認している。俺だって、メディアに ネタを提供するために生きて行くつもりはない。ついでに書くが、フジの「恋のちから」 をチラッと見たが、盗聴からヒントを得ている。盗聴は盗聴。いいかげんにしろ。 87 名前： 86 投稿日： 02/01/31 04:04 ID:7TpZZIy4 >>84 調べ直したが、「恋のチカラ」はデザイナーの話だね。 その番組には俺のネタも多数含まれているよ。 主役の「藤子」も読みは「ふじこ」ではなく「とうこ」で、 去年のHNK大河ドラマ「北条時宗」の水軍の娘と同じ発音だね。 >>55 >人によっては「脅迫」すら感じとるようだ。 デザイナーの話の「恋のチカラ」が始まったのは2002年1月10日だが、 その次の日の1月11日に「グラフィックデザイン第一人者　田中一光氏死去」というニュースがあった。 死因は急性心不全で、死亡は偶然だろうけど、その日（2002/01/11）夜のＴＶ朝日「トリック２」は 「毎年1月11日になると誰かが死ぬ」という話だった。 219 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 01:02] >101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux >最近、元総連関係者から得た話として >ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。 >「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に >圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは >黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された >東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと >して就職させることの見返りなのである。 >また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を >煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート >を張り付けることも要請している。」 >102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux >さらに、 >「これだけではない。プロ名無しとして就職させた >在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。 >そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板 >にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と >デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。 >２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。 >しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。 >しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。 >管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が >これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は >訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。 >しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、 >この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの >運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起 >や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」 220 名前：197 [03/10/20 02:37] >>215 次に (d) の解答。 「自然な単射 O→κ が存在すること」は自明なので省略。 層準同型 κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P) を次で定義する。 X の開集合 U に対して κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P) f → {f~}_P∈U（f~はf の K/O_P での類を表す）。 これが well-defined であること、つまり高々有限個の P∈U を除いて f~ = 0 になることは、有理関数 f が高々有限個の点を除いて正則であることからい える。また、kernel がO(U)になることも定義から明らか。 さらにこの層準同型は、各点 P∈X の茎上でみると、 κ_P = K → Σ_{P∈X} i_P(I_P) = K/O_P f → f~ となっており、これは明らかに全射なので、元の層準同型κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P) も層として全射。以上からκ/O がΣ_{P∈X} i_P(I_P)と同型であることが示された。 221 名前：197 [03/10/20 06:16] >>215 最後に (e) の解答。 以下の補題を使う 【補題】k を体、k(t) を不定元 t の有理関数体、 R := {r/s∈k(t) | s(0) ≠ 0} （0 で正則な有理関数）とする。このとき ∀f∈k(t)-R ∃g∈k(t) s.t. m a_j g(t) = Σ --- (a_j ∈ k) j=1 t^k かつ f ~ g mod R。 （証明は省略。難しくない） 222 名前：197 [03/10/20 06:20] スマソ。分数をかいたがヘンになった。修正版 --- 最後に (e) の解答。 以下の補題を使う 【補題】k を体、k(t) を不定元 t の有理関数体、 R := {r/s∈k(t) | s(0) ≠ 0} （0 で正則な有理関数）とする。このとき ∀f∈k(t)-R ∃g∈k(t) s.t. g(t) = Σ a_j/t^j (j = 1, ... m, a_j ∈ k) かつ f ~ g mod R。 （証明は省略。難しくない） 223 名前：197 [03/10/20 06:24] （222の続き）(e) の証明： Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O) が全射であることを示せばよい。 以下、(d)によりΓ(X,κ/O) = Σ_{P∈X} K/O_P とみなす。 {(f_P)~} ∈ Σ K/O_P をとる（f_P∈K、(f_P)~ はK/O_Pにおけるその類）。 (f_P)~ ≠ 0 なる（つまりf_Pが正則でない）点を P_1, P_2, ... , P_nとする。 P_1, P_2, ... , P_n のいずれとも異なる点Qを勝手に1つとり、以下、 U= X - {Q} =~ A^1 (1次元affine空間）=~ k で考える。 また、O_P_i ⊂ K = k(t) （t：不定元）と見なし、P_1, P_2, ... , P_n に対応 する k の元を p_1, p_2, ... , p_nとする。 いま、補題から、各 f_P_i に対して、 g_i(t) = Σa_{i,j}/(t - p_i)^j (j = 1, ... m_i, a_{i,j} ∈ k) f_P_i ~ g_i mod O_P_i なる g_i が存在する。 h := g_1 + g_2 + ... + g_n とおけば、各 i について g_i 以外は P_i で正則だから、h ~ g_i ~ f_P_i mod O_P_i。したがって、この h ∈K は、 元の{(f_P)~} ∈ Σ K/O_P の逆像となっている。 以上 224 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 19:33] II.Ex.2.16はどうかな？ 225 名前：197 [03/10/20 20:37] >>224 とりあえず翻訳。 II. Ex. 2.16 X をスキーム、f ∈ Γ(X, O_X) とし、X の部分集合 X_f を、f の x ∈ X での茎 f_x が局所環 O_x の極大イデアル m_x に含まれないような点 x ∈ X 全体とする。 (a) U = Spec B を X の開「アフィン」サブスキーム、f~ = B = Γ(U, O_X|U) を f の制限とするとき、U ∩ X_f = D(f~) となることを示せ。また、これから X_f が X の開集合であることを示せ。 (b) X が準コンパクト(quasi-comapct)であると仮定する。A = Γ(X, O_X) とし、 a∈AをそのX_fへの制限が0になるような元とする。ある n>0 が存在して (f^n) a = 0 となることを示せ（ヒント：Xの開アフィン被覆を使え）。 (c)いま、各 U_i∩U_j が準コンパクトとなるような有限開アフィン被覆U_iを、 X が持つと仮定する（この仮定はたとえばsp(X)がネーター空間なら満たされる）。 b∈Γ(X_f, O_X_f) とする。ある n>0 が存在して (f^n)b が A のある元の制限と なることを示せ。 (d) (c)の仮定の下で、Γ(X_f, O_X_f) =~ A_f となることを示せ。 226 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/20 20:47] とりびある 227 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/20 21:08] もちろん問題が解けるようになることは大事なことであるが、 それ以上に幾何学的な解釈が与えられるようになる方が重要。 228 名前：197 [03/10/20 21:09] スマソ。(a) の「f~ = B = ...」は 「f~ ∈ B = ...」の間違い。 まず(a)の解答。定義から、 U ∩ X_f = {p ∈ Spec B| f_p ≠ 0 mod pB_p}、 D(f~) = {p ∈ Spec B| g が p の元でない} だから、g ∈ B、p ∈ Spec B について g_p ∈ pB_p ⇔ g∈p であることを示せ ばよい。定義に戻れば、g_p ∈ pB_p ⇔ ∃s∈B-p ∃h∈p sg = h であるが、 pが素イデアルであることから、これは g∈p と同値。 229 名前：197 [03/10/20 21:12] 間違い多くてゴメン。 > D(f~) = {p ∈ Spec B| g が p の元でない} は、正しくは D(f~) = {p ∈ Spec B| f が p の元でない} ね。 230 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 21:19] >>225 (a)X_fが開集合であることは、Xが局所環付き空間でも成り立つな。 231 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/20 21:22] 釣り師 232 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/20 21:38] 一匹も釣れなかった>>231を晒し上げ 233 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/20 21:39] >>230の間違い・・ギャ〜！ 234 名前：197 [03/10/20 21:42] 次に(b)の解答。 X が準コンパクトなのでXの有限開アフィン被覆U_i = Spec B_iをとれる。 a|U_i = b_i、f|U_i = f とおく。(a) および a|X_f = 0 より、 b_i = 0 in B_i_g。B_i_g の定義から ∃n_i>0 (g_i^n) b_i = 0。 よって、n := max{n_i} とすると各U_i上で((f^n) a)| U_i = 0。 よって、(f^n) a = 0 in A。以上 235 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/20 21:43] またナンセンスなことを・・。 236 名前：197 [03/10/20 21:43] ああ、また間違い... 「f|Ui = f」は「f|U_i = g_i」ね。 237 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME mailto:sage [03/10/20 21:51] そんなことやっていたら、読了に半年以上かかっちゃうよ。 238 名前：197 [03/10/20 22:49] >>230 だね。証明はこれでよい？ x ∈ X_f とする。f_x ∈ O_x - m_x だから f_x は O_x で可逆。よって ∃g_x∈O_x - m_x s.t. f_x g_x = 1。これは x の近傍 V と g_x の代表元 g ∈ O_X(V) をとって (f|V) g = 1 とできることを意味する。 よって、∀y∈V f_y は可逆、つまりf_y ∈ O_y - m_y、つまり V ⊂ X_f。 よってX_fは開集合。 239 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 22:58] >>238 OK 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [03/10/20 23:12] 定数層って何なんですか？ 241 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 23:23] >>240 Aをアーベル群とする。 Aに離散位相を入れる。 位相空間 X 上の A に値をとる連続関数のなす層を Aに値をとる定数層という。 これは、A に値をとる関数で局所的に定数となるもののなす層と 言ってもいい。 242 名前：197 [03/10/20 23:41] >>240 任意の開集合 U に対して A を対応させる前層を作り、それを 層化するって考えてもいいね。結局241と同じものになるけど。 243 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/21 06:50] >>239の晒し上げ 244 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/21 07:30] 大好きで〜す！！代数幾何 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/21 07:46] 2ch は突発的に高度な話題が展開されるから、侮れない。 少し前の複素解析のような雰囲気だ。 246 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/21 07:49] このスレのどこが高度なんだ？ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ 247 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/21 07:49] さいと 248 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/21 08:05] ネーター環って何？ 249 名前：240 mailto:sage [03/10/21 09:20] >>241 ｻﾝｸｽです。Aに離散位相を入れるところがﾐｿですね。 あと、可逆層というのが解らないのですが･･･。 250 名前：１３２人目の素数さん [03/10/21 19:44] >>249 >>84あたりから説明してある。 読んでみて、それでも解らないときは、どこがわからないか質問してくれ。 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/21 22:29] シツモソです。むかしR-schemeの圏sch/RからR代数の圏上の関手の圏へ Fully-faithfull なうめこみ X→(R→Hom(specR,X)) があると習った記憶があるんですが この埋め込みは右随伴か左随伴かもってないでしょうか？ この関手としてschemeを解釈する手法のおすすめの教科書ってなんかありますか？ 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/21 22:31] 訂正です シツモソです。むかしR-schemeの圏sch/RからR代数の圏上の関手の圏へ Fully-faithfull なうめこみ X→(A→Hom(specA,X)) があると習った記憶があるんですが この埋め込みは右随伴か左随伴かもってないでしょうか？ この関手としてschemeを解釈する手法のおすすめの教科書ってなんかありますか？ 253 名前：240 mailto:sage [03/10/22 17:30] >>250 いろいろとすみません。可逆層はだいたい分かりました。 実は、以前から分からなくて困っていることがあります。 最近あまり読んでいないのですが、motivic cohomology に関する論文などを見ておりますと、H(X,Z(n))やH(X,Q(n)) などの形のコホモロジーが頻繁に出てきます。 ここでXはscheme、Zは整数環、Qは有理数体です。 実は、この中のｎの意味が分かりません。どうやら、Z(n)やQ(n) は、それぞれZ(1)、Q(1)をｎ回テンソル積したものらしいです。 Z(1)やQ(1)などはいったい何を表しているのでしょうか。 説明もなしにいきなり出てくるものですから･･･。 よろしければご教示よろしくお願いします。 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/22 17:39] >>253 手元のフーズモラー「ファイバー束」によると（p.183） > 成分が Ｆ にある n × n 行列からなる多元環に記号 Ｆ(n) を用いる。 とあるね。 要するに M_n(Ｆ) のことか。 255 名前：240 mailto:sage [03/10/22 21:02] >>254 ありがとうございます。 Jannsenの「Motives」という本を見ていたら思い出しました。 (n)というのはTate Twistと呼ばれるもので、どうやらZ(k)= (SpecZ,id,k)と表されるTate Objectのことらしいです。 www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/vol-08/04.pdf の中で定義が記されていますが、Chow Correspondenceによるもので どうも分かりにくいです。もっと単純な説明はないものか･･･。 256 名前：１３２人目の素数さん [03/10/22 21:07] >>252 EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。 Mumfordの"Lectures on Curves on an Algebraic Surface"も いいかもしれない。はずしてたらスマン。 因みに、それがFully-faithfullな埋め込みであることを誰か証明 してくれないかな。難しくないよ。 257 名前：１３２人目の素数さん [03/10/22 21:46] >>252 もっといいのがあった。 www.refuter.com/max/mathtexts.php ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI). 258 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/22 22:00] グラタンディックのディセントage 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/22 23:26] ＞定数層って何なんですか？ ＞可逆層というのが解らないのですが･･･。 ＞motivic cohomology ＞に関する論文などを見ておりますと ＞Jannsenの「Motives」という本を見ていたら思い出しました ネタですか？なんかバランス悪すぎません？ 260 名前：１３２人目の素数さん [03/10/22 23:34] >>259 ネタというより、probe かな？ ここのleader の知識を試すみたいな。 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/22 23:34] >>259 それおれもおもた。 262 名前：１３２人目の素数さん [03/10/22 23:48] で II.Ex.2.16 (c) (d) の解答は？ 197でなくても誰でもいいでしょ？ 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 00:08] >>260 当人ですか？わざとらしすぎて>>255にもマジレスしていいのやら 悪いのやら・・・ 264 名前：197 [03/10/23 00:23] >>262 197だ。II. Ex.2.16 (c) の解答。 (a) より、各 U_i = Spec B_i 上で、 b|U_i∩X_f = c_i/(f|U_i∩X_f)^m_i, c_i∈B とかける。よって、iによらない十分大きいmをとって d_i := (f|U_i)^(m - m_i) * c_i ∈B_i とおけば、任意の i, j について (d_i - d_j)|U_i∩U_j∩X_f = 0。 ここで、U_i∩U_j を X と考えて (b) を適用すると、 (f^l_i_j) * (d_i - d_j)|U_i∩U_j = 0 となる l_i_j が各 (i, j)について存在する。 よってi, j によらない十分大きい l をとって e_i := (f|U_i)^l * d_i ∈B_i とおけば、任意の i, j について (e_i - e_j)|U_i∩U_j = 0。 よって{e_i} はグローバルに貼り合わせることができ、 それを e∈Γ(X, O_X) = Aとし、さらにn := m + l とすれば e | X_f = (f^n) * b となる。以上 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 00:24] まあ他人を試すようなマネするような香具師にろくな香具師はいないわけで･･･ 266 名前：197 [03/10/23 00:54] >>262 最後、II. Ex.2.16 (d) の解答。 f|X_f は Γ(X_f, O_X) で可逆だから、A→A_f のuniversal property より （適当な図式が可換になる）A_f → Γ(X_f, O_X) が存在する。 A_f → Γ(X_f, O_X) が単射であることが(b)より、全射であること が(c)よりいえる。 以上 267 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 07:50] 有難う。 II. Ex.2.17 に行こうか。 268 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 10:17] 勝手に行ってろ。 269 名前：197 [03/10/23 11:06] >>267 OK。とりあえず翻訳 II. Ex. 2.17 (アフィン性の判定条件） (a) f: X→Yをスキームの射とする。Y の開被覆 U_i が存在し、 各iについて誘導射f^-1(U_i) → U_iが同型であるとする。 このとき f は同型であることを示せ。 (b) 「スキームXがアフィン」と「有限個の元 f_1, ..., f_r ∈ A = Γ(X, O_X) が 存在して、各開集合X_f_iがアフィンかつf_1, ..., f_r が A の単位イデアルを生成 する」は同値であることを示せ（ヒント：（Ex. 2.4)と(Ex. 2.16d)を使え）。 270 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:09] >>269 真昼間から2chかよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ おめでてーなーｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ 271 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:18] いまどきスキームなんて流行らねーんだよ！ これからは位相空間の時代。 とくに整係数ホモロジ−なんかがヤバイ。 272 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:19] もちろん群論・微分積分学的位相空間ね。 273 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:20] そもそも位相空間の定義って、難し過ぎないか？？ 開集合ってなんだよ！！！ ぜんぜん開いてねーじゃん！！ 晒しあげ 274 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:22] しかも開集合であるかどうかの約束って何だよ！！ そこまでいうなら、すべての集合を開集合にしちまえよ！！ するとどんな写像も連続になるから、そこで微分積分学が展開出来る。 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 11:26] 離散位相 276 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:27] ロベ−グ積分はいい線いっていると思う。 しかし、開集合を「定義」しているからぜんぜんだめ。 そのうち、大天才が現れて、開集合なしの積分論が展開されるだろうけどね。 277 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:30] >>275 何もかもが開いている香具師だろ？ それだけ考えれば、難しいことは起こらないのにね。 たとえば良くある問題 （・∀・）は開集合であることを示せ。 [新理論による解答] すべての集合は開集合である。 とくに（・∀・）も開集合である　　u.e.d かなり微分積分学の見通しが良ったじゃねーかよ！！！ どこか問題ある？？ 278 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:36] すると 開集合＝閉集合にならないか？ 矛盾か？ 279 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:45] 明らかに矛盾だな。 ってことはすべてを開集合にしたらマズイわけだ・・。 だから、開集合にいろいろな条件がつくわけか。 少し分かってきた。 俺のD論は「開集合の危機」みたいなテーマで書こうかなｗ。 280 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:51] まだしっくり来ないな＞開集合 S田先生に質問してきまつ。 でも、この人滅多に見ないんだよな・・。 281 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 12:01] すべての図形は位相空間である。 ↑は正しいの？ 282 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 12:02] 正確には「目に見える図形」だな・・。 トーラスとかは目に見えない図形だけど、 位相空間になるらしいからな。 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 12:32] オマコンボール 284 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 13:05] 積を有する圏を値に持つpresheafの層化ってどうやるの？ 285 名前：282さんへ [03/10/23 13:33] ドーナツは良く見えるとおもうのですが、、、、 286 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 17:47] >>256-257 ＞EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。 ＞ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の ＞Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI). 　 フラ語は“えるけらーる”と“じゅしじゃぽね”ぐらいしかしらないのでできれば英語が いいんですが。なんかないすかね。もうこのテク開発されてだいぶたってると思うので 英語のいい教科書がありそうなもんだと思うんですが。 希望としては外出のうめこみが左随伴をもってほしいんですが。 関手F:Alg/R→Setsがschemeで表現される十分条件でなるべくゆるいやつ知りたいんですが なんかありませんか？たしか“1の分割”がどうこうとかいうのがあったような気がするんですが。 うるおぼえスマソ。 287 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 19:43] >>286 残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。 Grothendieckが精力的に（分野によってはペンペン草も生えない程）に やった仕事を翻訳ではなくわざわざ英語で書き直すようなヒマな数学者は いないだろう。 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 19:58] >>287 ＞残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。 　 そうっすか。まあそのうちやろうとおもてたのでそれはそれでいいんですが。 で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit 保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも 自信ないんですが。 289 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 20:12] ぜんぜん違う。 外に出て頭冷やして来い。 これこそ真の「外出」だな（爆笑）。 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 20:18] >>289 pull backが保存されない例かprojective limitが保存されない例しってるの？ 291 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 21:05] >>288 保つと思う。自信は無い。ｗ A → B を忠実平坦なR-環準同型とする。 Fを問題の関手とすると、 F(A) → F(B) ⇒ F(B(x)B) は完全となる。 ここで、⇒ は二つの標準的射をあらわし、この核としては差核を取る。 一般にはこれだけで十分条件とはならないだろうが、詳しくは 知らない。なにせ、俺もFGAは読んでない。ｗ 292 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 21:14] 難しい質問もいいが、演習問題を解いてくれ。 遠くの美人より身近の女だ。 293 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 21:20] 命題が偽なので解けません。 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 21:33] >>293 どんな反例があるの？ 295 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 23:11] 反例1 あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞妹 反例2 あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞ﾏﾏﾝ 反例3 あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞幼なじみのゆみ 296 名前：197 [03/10/24 00:07] >>286 "The Geometry of Schemes", David Eisenbud, Joe Harris, Springer GTM 197 のVI章 "Schemes and Functors" が参考になるかも。 漏れはよく読んでないが、件の関手 Alg/R→Setsがschemeで表現される必要十分条件とか が書いてあるぞ。 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/24 00:11] >>296 ｿﾚﾀﾞ!!!!そういう情報が欲しかった。ありがとう。夜おそくまで2chやってていいこともあるもんだ。 と自分をあまやかしてみるてすと。 298 名前：197 [03/10/24 18:41] Hartshorn II Ex. 2.17 (a) （>>269）の解答： 仮定から f が位相空間上で homeo になることは明らか。 付随する層の準同型も、stalk 上でみれば iso になることは明らか。以上。 ... って何かこれ、問題としては簡単すぎないか? この説明でなんか抜けある？ 299 名前：197 [03/10/24 18:49] 続いてHartshorn II Ex. 2.17 (b)（>>269）の解答： (b)X_f_i = Spec B_i とおく。Ex. 2.4（＝このスレの>>72, >>78）より、 φ: X → Spec A という標準射がある（位相空間上の連続写像は、x に {g∈A | g_x∈m_x⊆O_x}を対応させるもの。層の準同型も自然に定まる）。 各iについてφ-1(D(f_i)) = X_f_i であることがφの定義から容易に出る。 また、仮定 (f_1, ..., f_r) = (1) より、X = ∪ X_f_i（∵∀i f_i_x∈m_x とするとO_x で (f_1_x, ...., f_r_x) ≠ (1) となるから）。また、X_f_i が アフィンであることおよびX_fの定義より、X_f_i∩X_f_jはSpec B_iの開集合 D(f_j|X_f_i)となるから特に準コンパクト。よって {X_f_i} はEx. 2.16 (c) の 条件を満たすので、Ex. 2.16 (d)からΓ(X_f_i) =~ A_f_i、つまり X_f_i =~ Spec A_f_i。誘導射φ_i: X_f_i → D(f_i)は、左側をこの同型で Spec A_f_iとみなし、右側を標準的な同型で Spec A_fiとみなせば、実は恒等射 に等しいことがφの定義からわかる。以上と(a) から、結局φはiso、 よってXはアフィン。以上。

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