- 215 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 16:00]
- II.Ex.1.21
(c) さーて X=P^1(射影直線), YをXの異なる 2 点 P, Q∈Xからなる集合とします.
このときX上の層の完全列 0→I_Y→O_X→F→0 が存在します.
ここで F=i_* O_P (+) i_* O_Q です.
ところがこれから引き起こされる大域切断たちの写像
Γ(X,O_X)→Γ(X,F)が全射ではないことを示しなさい.
これは大域切断関手 F(X,・) が完全ではないことを示してます.
(それが左完全だというのを示す(Ex.1.8)も見れ)
(d) またしても X=P^1 とし, O を正則関数の層とします.
κ を X の関数体 K に付随する X 上の定数層とします.
自然な単射 O→κ が存在することを示しなさい.
商層 κ/O が層の直和 Σ_{P∈X} i_P(I_P) と同型であることを示しなさい.
ここで,
I_P は 群 K/O_P を,
i_P(I_P) で 点 P での I_P で与えられる摩天楼層(Ex.1.17)を
表します.
(訳注:κをKのスクリプト体のかわりに用いました.標準的じゃないです)
(e) 最後に, (d) の場合の列
0→Γ(X,O)→Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O)→0
が完全であることを示しなさい.
(これは複素多変数における「Cousinの第一問題」と呼ばれるものの類似です.
GunningとRossi[1,p.248]を見なさい.)
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