ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

1 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/01(水) 09:57:08.60 ID:2b7XvZNh.net] 前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/ 前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです 関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります） 資料としては、まずはこれ https://sites.google.com/site/galois1811to1832/ ガロアの第一論文を読む 渡部 一己 著 （2018.1.28） PDF https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0 ＜乗数イデアル関連＞ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照 https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik ＜層について＞ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 層 (数学) https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics) Sheaf (mathematics) https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques) Faisceau (mathématiques) あと、テンプレ順次 つづく 809 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:21:52.29 ID:SFFxcmct.net] 大間違い。 Aが可算なら可算選択公理無しで整列可能。>>739で証明済み。 また敢えて選択公理を使って証明しても良いが、その場合可算選択公理では不足で選択公理が必要。 理由は上に書いた通り、君のfの定義は循環参照になっておりwell-definedでないから。 もういいかげん黙れば？　公開処刑されるのがそんなに楽しい？ 810 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:44:19.79 ID:SFFxcmct.net] ユーチューブに認知症の親の介護の動画があるんだけど、 通帳の隠し場所の記憶が無くて、介護してもらってる我が子を泥棒呼ばわり、何度説明しても一切聞く耳持たないんだよね 雑談ザルがそっくりなので思い出しちゃった 811 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:54:46.56 ID:SFFxcmct.net] 雑談ザルも持論が正しいと思い込んじゃって、こちらがいくら説明しても一切聞く耳持たないからね 循環参照では？という疑いの目で見直してごらん　思い込みはダメよ 812 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 17:59:01.55 ID:C6l4Y3jA.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね ID:SFFxcmct と ID:YIzEI6dp が、おサルか ；ｐ） >>735-747 >誤　添え字の大きさ >正　濃度 違うよ いま、任意無限集合Aを整列させる話だから 順序数との対応（順序同型）が問題になる だから、濃度でなく 整列順序の長さ つまりは 順序数との対応を考えるから 添え字の大きさ の方が正解です 下記の 尾畑研 東北大 の１〜１６章を全部百回音読してね >Aが可算なら可算選択公理無しで整列可能。>>739で証明済み。 　>>739より Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。 ∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、 ∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。 (引用終り) なるほど、その証明は 成り立っているようだが（Nを順序数の一部と見れば Jechの証明と同じかな） そもそも、”Aが可算集合”の範囲が問題となる 下記 カントールらは”無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている”とある ”ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算である”（いわゆる可算和定理 en.wikipediaにも記載あり） なので、やっぱ 可算選択公理 いるよね（可算選択公理があれば、可算と言えるのに それが 言えない場合が出る） (参考) www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 尾畑研 東北大 「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf) 第1章 略す 第16章 つづく 813 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 17:59:32.77 ID:C6l4Y3jA.net] つづき ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理 選択公理の変種 可算選択公理 →詳細は「可算選択公理」を参照 選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 可算選択公理 可算選択公理（英: Axiom of countable choice）とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。 応用 ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]。 実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。例えばすべての集積点 xがある数列の極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する数列S∖{x}が存在する」 という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)ACωを用いれば十分である。 また、距離空間論において、可分距離空間の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる[1]。 ポール・コーエンはACωがZF集合論から証明できないことを示した。 en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice Axiom of countable choice Weaker systems ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold.[7] Equivalent forms There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9] 略す (引用終り) 以上 814 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 18:27:33.96 ID:C6l4Y3jA.net] >>748 >循環参照では？という疑いの目で見直してごらん　思い込みはダメよ ん？ 下記？ 　>>714より 引用 　aα=f(A-{aξ：ξ<α})　と定義したのだから 　aに先立ってfの定義が必要 　fの定義域がaでつくられるとか完全な循環論法 (引用終り) 現代的関数の定義は、対応関係で ”一定の法則性を持たせる必要はない”（下記） とあるよ f：A-{aξ：ξ<α} → aα で 終わってない？ 815 名前：(参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 関数 (数学) 現代的解釈 ディリクレは、x と f (x) の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要はないとした。つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。 集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 f のことであると解釈する。それは二項関係の特別の場合として関数を定義するということであり、その意味で関数は写像の同義語である[注釈 2]。 [] [ここ壊れてます] 816 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:32:57.09 ID:SFFxcmct.net] >>749 >だから、濃度でなく 整列順序の長さ つまりは 順序数との対応を考えるから >添え字の大きさ の方が正解です だから長さはsup{α|aα is defined}だと何度言えば分るの？ そもそもfの定義域P(A)-{{}}の元に添え字付けなんて要らない。なんで使ってもいない添え字が要ると思うの？　馬鹿なの？ >下記の 尾畑研 東北大 の１〜１６章を全部百回音読してね 何回音読しても君の持論が正しくなることは無い。 817 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:33:09.56 ID:SFFxcmct.net] >　>>739より >Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。 >∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、 >∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。 >(引用終り) >なるほど、その証明は 成り立っているようだが（Nを順序数の一部と見れば Jechの証明と同じかな） ぜんぜん違うけどｗ Jechの証明は選択公理を使っている。>>739は使っていない。天と地ほど違う。馬鹿なの？ >そもそも、”Aが可算集合”の範囲が問題となる 意味不明。 >下記 カントールらは”無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている”とある >>739は使っていないからまったくナンセンス。 >”ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算である”（いわゆる可算和定理 en.wikipediaにも記載あり） >なので、やっぱ 可算選択公理 いるよね（可算選択公理があれば、可算と言えるのに それが 言えない場合が出る） 不要。 >>739は可算集合の可算和を使っていないから。 口を開けば間違いばかりだね君。もう口閉じたら？　そんなに馬鹿自慢したい？　されても困るだけなんだがｗ 818 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:46:23.64 ID:SFFxcmct.net] >>751 >現代的関数の定義は、対応関係で ”一定の法則性を持たせる必要はない”（下記） >とあるよ 一定の法則性を持たせていないからまったくナンセンス。 そもそも選択関数は存在しか言えないのに、なんで一定の法則性という話になるんだよ。まったく分かってないね。 >f：A-{aξ：ξ<α} → aα >で 終わってない？ 終わってるのは君。 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は、aαを使ったfの定義ではなく、fを使ったaαの定義。 aαの定義にfが使われてるんだからaαを使ってfを定義したら循環参照になるだろと言ってるんだけど、人の話を聞けないの？　認知症かい？ 819 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:48:14.04 ID:SFFxcmct.net] もう認知症ザルは口開かなくていいよ。 人の話を聞かずに独善持論を繰り返してもまったくナンセンスだから。 820 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:50:26.69 ID:SFFxcmct.net] 認知症ザルに聞きたいんだけど 君、a0∈Aをどう選ぶつもり？ 821 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 19:36:51.03 ID:w5k5tJaP.net] >>751 >f：A-{aξ：ξ<α} → aα >で 終わってない？ それは定義ではない これが定義 f : S(⊂A)→x(∈S) a : α→f(A-{aξ：ξ<α}) 822 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 19:41:27.25 ID:w5k5tJaP.net] まず、集合族P(A)-{Φ}に対し選択公理を適用して、関数fの存在を示す その上で、この関数fを使って、順序数からAへの関数を帰納的に定義する これが、選択公理から整列定理を導く証明 分からん奴は大学数学無理 823 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 20:20:58.25 ID:n4GbW2On.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね >>754-758 　>>751より f：A-{aξ：ξ<α} → aα で 終わってるよね fは、現代的関数の定義として 入力と 出力の対応が示せれば それが関数です で、その特殊例として 関数f(x)がある式で書けるとかの 場合を否定はしないが 議論の必要ないよね (あほ二人の”アナグマの姿焼き")だろ？ｗ ；ｐ） 824 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 20:42:19.43 ID:n4GbW2On.net] >>752-753 さて 　>>667より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ ここで、Aのべき集合から空集合を除いた P'を考えて その部分集合として Aから一つずつ Aの要素を取り出して 集合族A-{aξ：ξ<α}を作る 集合族A-{aξ：ξ<α}を集めると、P'の部分集合になる 部分集合を作る公理は、置換公理を使う(>>667） この 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合は {A-{aξ：ξ<α}}を一つの要素と数えると、集合A と同じ濃度だ （∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか 一対一対応） よって、Aが可算ならば 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合も可算 なので、可算選択関数 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) と見ることができて 可算集合Aの整列が 可能 このJech類似の証明と 君の　>>739より Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。 ∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、 ∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。 (引用終り) を比較すると、Jech類似の証明もまた良さがある つまり、整列可能定理とは、集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという 有限集合で行うことを、任意の無限集合で実現するもの 上記の Jech類似の証明もまた 可算集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという ことをしている　”as desired”に （>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ） 君の >>739の証明では、可算Aと Nとのなにか 全単射の存在のみ言えるが 本来 整列可能定理が持っている ”as desired”に 集合Aから要素を一つずつ取り出して並べる が、言えていない。可算選択公理を仮定しない分 そこが弱い 825 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 20:45:10.81 ID:n4GbW2On.net] >>760 タイポ訂正 （∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか 一対一対応） 　　↓ （∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとが 一対一対応） 826 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 21:29:13.83 ID:SFFxcmct.net] >>760 >Aから一つずつ Aの要素を取り出して だからどうやって取り出すのか聞いてるんだけど >集合族A-{aξ：ξ<α}を作る （中略） >そこが弱い まったくデタラメのゴミ駄文。 任意の集合Aとある順序数λとの間に全単射が存在するなら整列順序(A,>)を構成できる。 Aが可算なら定義から自明にλ=ω。 任意の集合Aに対し選択関数を使ってλ=sup{α|aα is defined}を構成してるのがJechの証明。 827 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 23:02:49.85 ID:n4GbW2On.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね >>762 >>Aから一つずつ Aの要素を取り出して >だからどうやって取り出すのか聞いてるんだけど 　>>667より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ 終わってんじゃん これで！！ｗ ；ｐ） 828 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 23:27:26.23 ID:SFFxcmct.net] >>763 >>>Aから一つずつ Aの要素を取り出して >>だからどうやって取り出すのか聞いてるんだけど >aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり a0=f(A) じゃん つまり a0はfを使って取り出してるじゃん つまり a0,a1,a2,・・・ のいずれもfを使って取り出してるじゃん つまり a0,a1,a2,・・・ のいずれもfが未定義なら取り出せないってことじゃん で、おまえは a0,a1,a2,・・・ を使ってfを定義すると？　それ循環参照じゃん　だってfでfを定義すると言ってるんだから 馬鹿なおまえでも分かっただろ？　これで分からなきゃ死んだ方がいいよ >終わってんじゃん おまえがなｗ 829 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 23:38:58.77 ID:SFFxcmct.net] 人の話を聞く耳持たない独善ザルは無事に公開処刑されますた R.I.P. 830 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 05:52:30.39 ID:EVVFWOG9.net] >>760 >ここで、Aのべき集合から空集合を除いた P'を考えて、その部分集合として、 >Aから一つずつ Aの要素を取り出して 集合族A-{aξ：ξ<α}を作る STOP！ 「Aから一つずつ Aの要素を取り出して」のところ ここで、Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要 なぜか？ それは、要素を取りだす行為が有限回で完結しないから したがって部分集合が空でないなら、かならず要素が取り出せることを保証せねばならない それが選択公理　わかった？ 831 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 05:57:14.93 ID:EVVFWOG9.net] >>760 >集合族A-{aξ：ξ<α}を集めると、P'の部分集合になる >部分集合を作る公理は、置換公理を使う 　そもそも部分集合族A-{aξ：ξ<α}なんて要らない 　「Aから一つずつ Aの要素を取り出」すために 　「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」があればいい 　超限帰納法によって各取り出し行為に順序数を割り付けるのは 　選択関数を定義した後の話であって、選択関数の構成ではない 832 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 06:01:45.22 ID:EVVFWOG9.net] >>760 > 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合は > {A-{aξ：ξ<α}}を一つの要素と数えると、 > 集合A と同じ濃度 >（∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか 一対一対応） > よって、Aが可算ならば 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合も可算なので、 > 可算選択関数 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) と見ることができて > 可算集合Aの整列が 可能 ダメ そもそも集合族A-{aξ：ξ<α}をつくるのに 「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」 を使ってる 「Aの空でない部分集合全体」は非可算 したがって、可算選択公理ではできない 833 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 06:07:14.32 ID:EVVFWOG9.net] >>760 Jechの証明でいえること Aの整列には、集合族P(A)-{Φ}に対する選択公理が必要 濃度Oの整列には、濃度2^Oの選択公理が必要 もちろん逆もいえる Aが整列されていれば、Aの任意の空でない集合からその中の最小元が取り出せる 濃度Oの集合の整列から、濃度2＾Oの集合族の選択が可能となる 要するに◆yH25M02vWFhPの連想ゲームは全くトンチンカンでしたぁ！ 834 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 06:11:49.15 ID:EVVFWOG9.net] 可算濃度をアレフ0と表す 2^O=アレフ0　となる濃度Oは存在しない つまり、Jechの方法では 可算選択公理で可算集合の整列はできない 別のやり方では？知 835 名前：らん [] [ここ壊れてます] 836 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 12:24:37.15 ID:BOFoeGBB.net] 独善ザル、公開処刑されたのは自分だとやっと気づいたようだね ヒトに1歩近づいたね、あとω歩必要だがｗ 837 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 12:47:53.07 ID:en0YjtqX.net] >>771 仕方ない　工学部では「集合と位相」なんて教えないから これを機会に無論理的連想ゲームをやめるこった そのせいで、大学１年の微分積分も線形代数も落ちこぼれたんだから 原因がわかってよかったじゃないか　なぁ 838 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 12:50:31.34 ID:eA1X2gnh.net] ただ、率直に言って、選択公理からの整列を示す定理の証明は 今までの話題の中でも、もっともプリミティブだった これすら正確に読解できないとすると 数学書のどんな定理の証明も正確に読解できないだろう そのくらいプリミティブ 839 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 13:52:24.06 ID:BOFoeGBB.net] 整列定理の証明の胆は全単射φ:sup{α|aα is defined}→Aが存在することだと思う。が、 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem の証明ではsup{α|aα is defined}がwell-definedであることが示されていないね。 これで証明になってるのだろうか。 840 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 14:20:46.02 ID:uwj/IkOX.net] >>774 もし、sup{α|aα is defined}が存在しないなら、 順序数全体（集合ではなく固有クラス）からＡへの単射が存在することになる これはＡが集合であることと矛盾する したがってsup{α|aα is defined}は存在する 841 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 14:29:47.26 ID:UtpQjlAI.net] 整列定理は、松坂和夫の本や彌永親子の本ではツォルンの定理を経由して証明しておりゴタゴタしている 齋藤正彦の本の証明は、Jechの本と同一であり、参考図書を見たらJechのSet Theoryと書いてあった ブルバキの数学原論　集合論　２　では、 集合族P(A)-Aから、自分の要素でないAの要素を取り出す選択関数を使っていた この場合{}から始めることになるが、Aになったところで終わるという寸法　要するに裏返し §２整列集合　３．ツェルメロの定理（ｐ２４−２５）　に　定理１（ツェルメロ）とあるが、 これがツェルメロの原証明かどうかはちょっとわからん 842 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 14:31:42.34 ID:UtpQjlAI.net] >>776 誤　ツォルンの定理 正　ツォルンの補題 843 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/29(水) 14:53:40.29 ID:s7oLTcE3.net] >>764-770 >「Aから一つずつ Aの要素を取り出して」のところ >ここで、Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要 選択関数と 普通の関数の区別分かっている？ en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set. Formally, this may be expressed as follows: ∀X[Φ not∈ X⟹∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A) ] ここは式が複雑なので原文を見るのが良いが、”f(A)∈A”が一番の要点、つまり 集合族の全てのAに対して f(A)=a ∈A が成立しているということ f(A) が、選択関数で fが選択関数だ f(Ai)のようにAに添え字iを付けた方が分かり易い （iは可算(自然数など)とは限らないが） ”∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)”なので f；X→Ai→ai∈Ai のように、→が2段になっている（なので{a 844 名前：i}は、Xの部分集合ではない） 下記の 尾畑研 f：R→R では、y=f(x)でx→y もっと書けば、順序対(x,y) で "公理論的集合論と写像" の如く、"直積集合の部分集合X x Y"だという www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-4_shazo.pdf 尾畑研 東北大 2018 第4章写像 公理論的集合論の立場では、考える対象はすべて集合であるから写像もまた集合として導入される 直積集合の部分集合X x Yで定理4.1 (ii)に述べた性質をもつものを写像の定義とする 必要に応じて対応としての写像f：X→Yを導入すればよい これを踏まえて >>763 Thomas Jech To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα:α<θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A■ ここで、Sが我々の考えているP'=P(A)-{Φ}だとして 集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 （明らかに、集合Aと同じ濃度） だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える） さらに、下記の包含関係が成立している A⊃A-{a0}⊃A-{a0,a1}⊃A-{a0,a1,a2}⊃・・⊃A-{aξ：ξ<α}⊃・・ だから、順序数の添え字付けも、この点からも首肯できる その上で、Jech氏証明の 選択関数 f：A-{aξ：ξ<α} → aα この関数は、A-{aξ：ξ<α} が集合族で定義域で 関数値の aαは、上記 包含関係の列の 前後の項の差分 だと思えば良い [] [ここ壊れてます] 845 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/29(水) 14:59:08.16 ID:s7oLTcE3.net] >>778 タイポ訂正 f(A) が、選択関数で fが選択関数だ 　↓ f(A) の fが選択関数だ かな 846 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:09:06.83 ID:kC12UE77.net] Sの部分集合の形成には、選択関数は必要 aα₌f(A-{aξ：ξ<α}) 「f(A) の fが選択関数」でしょ？ 847 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:21:43.24 ID:BOFoeGBB.net] >>778 >{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 >（明らかに、集合Aと同じ濃度） >だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要 大間違い。 a0:=f(A) つまり選択関数fは必要。 ほんと頭の悪いサルだねえ 848 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:25:15.80 ID:BOFoeGBB.net] いやあ、ここまで説明を重ねられてまだ理解できてないって衝撃的な頭の悪さだね 世の中広いね　ここまで頭の悪い人が居るんだね ああ、人でなくサルだからかｗ 849 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/29(水) 15:30:00.93 ID:s7oLTcE3.net] >>773 ご苦労さんｗ なんか、大学初年生に諭している気分だなｗ ；ｐ） １）証明は、君が独り言ちたように、一つではない 　”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要”>>766 　って それ あったかな？ｗ ２）いや、「Aの空でない部分集合」を考えるのは良いよ 　そして、個人として 　「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」を考えるのも君の勝手だ ３）だが、”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要” 　と言い出すと、話は別だよ ４）「Aの空でない部分集合からその要素への”選択関数”」無しでも 　Thomas Jech氏の証明が成り立つことは、>>778に示した（それは いままでも。何度もね） なんか、大学初年生に諭している気分だなｗ ；ｐ） 850 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/29(水) 15:35:35.99 ID:s7oLTcE3.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね >>781 >>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 >>（明らかに、集合Aと同じ濃度） >>だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要 >大間違い。 >a0:=f(A) つまり選択関数fは必要。 アホさる>>7-10 の強弁、無様 必死の論点ずらしだ 笑えるな 30年前 数学科修士まで学び あれから30年経った（薹（とう）の立った）男のザマがこれか？ あんた、数学の才能ないねｗ ；ｐ） 851 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:40:49.68 ID:en0YjtqX.net] >>783 >「Aの空でない部分集合からその要素への”選択関数”」無しでも > Thomas Jech氏の証明が成り立つことは、778に示した 　示せてないけど > なんか、大学初年生に諭している気分だな 　万年高３が何イキってるの? 852 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:43:40.34 ID:vOWqKixW.net] >>784 > 血の巡りの悪い人がいるね ◆yH25M02vWFhPのことね > ●の強弁、無様 > 必死の論点ずらしだ > 笑えるな 　自分で自分を笑うのかい？ > あんた、数学の才能ないね 　あんた＝◆yH25M02vWFhP 853 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:57:12.10 ID:BOFoeGBB.net] >>783 >　”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要”>>766 >　って それ あったかな？ｗ 選択関数無しでどうやって無限個の元を並べるつもり？ < 854 名前：br> あんたはナイーブに >Aから一つずつ Aの要素を取り出して とか言っちゃってるけどさ >４）「Aの空でない部分集合からその要素への”選択関数”」無しでも >　Thomas Jech氏の証明が成り立つことは、>>778に示した（それは いままでも。何度もね） 上の問いに答えられてないからただの妄想。 [] [ここ壊れてます] 855 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:00:34.22 ID:BOFoeGBB.net] >>784こそが、真の論点ずらし なぜなら「可算と限らない無限個の元をどうやって並べるのか？」に答えず逃げてるから 856 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:11:36.05 ID:BOFoeGBB.net] >>784 おサルさんは理解してないだろうけど >Aから一つずつ Aの要素を取り出して というナイーブな考えが通用するのはAが有限集合のときだけ。 つまりおサルさんは選択公理を無意識に自明なものとみなしてしまっている。 おサルさんはカントールがそうしていたことをしばしば口にするが、実はおサルさん自身だったｗ 857 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:28:00.28 ID:Cylmrq2N.net] そもそも、選択関数fの定義域をAと同濃度の集合に縮小する必要が全くない ◆yH25M02vWFhPが「可算整列定理には可算選択公理」とかいう 論理と無関係の連想ゲームを正当化したがってるだけ だから万年高校三年生って言われるんだよ 858 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:51:16.52 ID:BOFoeGBB.net] 「自分が思いついたことは価値あること」 そう信じたくて仕方無いんだろうね 自己愛性人格障害の症状かな 859 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/29(水) 18:13:21.64 ID:s7oLTcE3.net] >>778 補足 (引用開始) 集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 （明らかに、集合Aと同じ濃度） だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える） (引用終り) ＜補足＞ １）かように、Aのべき集合全体(空集合抜き)の選択関数は不要 ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく ３）調べると 可算集合Aを整列させるためには、従属選択公理が必要とある （下記の独 de.wikipedia ご参照。en.wikipediaにも類似記載あり。 　即ち、”to construct a sequence using countable transfinite recursion” 　なお、Axiom of countable choice en.wikipedia は、”for every n∈N”つまり、順序数の長さでω（＝N）が限界） (参考) de.wikipedia.org/wiki/Axiom_der_abh%C3%A4ngigen_Auswahl Axiom der abhängigen Auswahl (google 英訳) axiom of dependent choice use The axiom of dependent choice is a sufficient fragment of the axiom of choice to construct a sequence using countable transfinite recursion . en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice Axiom of dependent choice Use The axiom DC is the fragment of AC that is required to show the existence of a sequence constructed by transfinite recursion of countable length, if it is necessary to make a choice at each step and if some of those choices cannot be made independently of previous choices. en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice Axiom of countable choice The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function. That is, given a function A with domain (where N denotes the set of natural numbers) such that A(n) is a non-empty set for every n∈N, there exists a function f with domain N such that f(n)∈A(n) for every n∈N. ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 可算選択公理 860 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:29:54.16 ID:BOFoeGBB.net] >>792 話を聞く耳持たない独善ザルはヒトとして認められません　残念！ 861 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:36:35.62 ID:BOFoeGBB.net] >>792 >{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 >（明らかに、集合Aと同じ濃度） Aそのものｗ >A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・ を得るにはaξが必要。 aξを得るにはfが必要。 fの定義域はP(A)-{{}}。 |P(A)-{{}}|>|A|。 よって >２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく は大間違い。 指摘？　笑わせるなｗ　おまえは指摘される側だｗ 862 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:42:32.07 ID:EVVFWOG9.net] ◆yH25M02vWFhPに捧げるｗ https://www.youtube.com/watch?v=d8sziroHzjQ 863 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:59:20.75 ID:EVVFWOG9.net] Jechの証明は Aの空でない部分集合Sから要素a∈Sを選ぶ選択関数 f と a∈AとS⊂AからS-{a}　 S1,S2,…⊂Aから∩Sn を導く関数を組み合わせるだけのこと 864 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/29(水) 22:0 ] [ここ壊れてます] 865 名前：4:56.41 ID:a/peK22S.net mailto: ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ >>649に引き続き 『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』の前に Zorn's lemma を、取り上げよう まず、マクラの続きです 下記 Akihiko Koga さん いいね （参考：いつもお世話になっている Akihiko Koga さん ） www.cs-study.com/koga/set/lemmaOfZorn.html#TransfiniteMethod Zorn の補題と選択公理のお話 (about Zorn's Lemma and Axiom of Choice) by Akihiko Koga 25th Jan. 2020 (Update) 1st Aug. 2018 (First) 目次 概要 動機 選択公理とZorn の補題の内容 Zorn の補題の成分表 Zorn の補題は何に使えるのか 主な証明方法の種類 何が難しいのか(長いチェインを作る証明について） 【幕間 - 集合論の数取りゲーム -】 証明（長いチェインを作る） 同値な命題 テューキーの補題(Tukey's lemma) ハウスドルフの極大原理(Hausdorff's maximal principle) 選択公理と類似の命題 選択公理より弱い命題 考察 ある応用における選択公理との対比(部分関数から全域関数への拡張) Zorn の補題における選択公理の役割 ある種の構成的定義に関する妥当性 （「上の規則で作られたものだけが〇〇である」） 集合のクラス V における再帰的定義について Zorn の補題における選択公理の役割 AGAIN [比較的重要] 考察その２（二つの上昇原理 v.s. 一つの選択関数） [比較的重要] 考察その３（上昇原理の考察 AGAIN．「...」の正体は？） (2020.1.22 追加) 歴史 参考文献 手っ取り早く Zorn の補題の証明や応用などを知りたい人向けの情報 そのほか より良い理解のために知っておいたほうが良いこと [] [ここ壊れてます] 866 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 23:50:14.59 ID:a/peK22S.net] メモ repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/279730 Gentzenから始まる証明論の50年 : 順序数解析を中心として (証明と計算の理論と応用) 新井, 敏康 Aug-2022 数理解析研究所講究録 抄録: おおよそ1930-80年における証明論の主な結果・アイデアを，順序数解析(ordinal analysis)を中心として述べていく．但しこの期間の問題に関わる限り，90年以降の結果も一部盛り込む．尚，記述や記法は後に整理されたかたちで述べるので原論文のままというわけではない．したがって証明論の通史や学史のようなものをこの原稿に期待しないで頂きたい．ここでは紙幅の制限により証明の詳細は省いてある．sequent calculi（とε-calucliも少々）については[A2020a]をご参照願いたい． www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2228-10.pdf Gentzen から始まる証明論の50年 - - 順序数解析を中心として 867 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 03:43:35.26 ID:1G3ukQJP.net] >>797 >Zorn's lemma を、取り上げよう >Akihiko Koga さん いいね 整列可能定理ならこっちが断然いいね Jechの証明について解説してるじゃん あんた、どこみてんの www.cs-study.com/koga/set/pointsOfSetTheory.html#WellOrder04 868 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 03:55:26.98 ID:1G3ukQJP.net] >>799 整列可能定理 任意の集合 X に対して，(X, ≤) が整列集合になる順序 ≤ が存在する． 整列可能定理は 選択公理を使わないと証明できない． 直観的には やっていることは以下のようなことである． 任意の集合の整列方法 ・”集合Aから元を選んで”積んでいきます ・どんどん、どんどん、積んでいきます ・★無限に積んだら、その上におもむろに一個の元を置きます。ここが大切です。 ・そしてその上にまた元を積んでいきます　これをAの元が尽きるまで繰り返します。 基本的にはこの方法しかない・・・ ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 選択公理を使ってるのは”集合Aから元を選んで”の箇所 ここで、Aの任意の空でない部分集合から元を選ぶ選択関数を使っている 869 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/30(木) 07:38:59.50 ID:o/pAlieb.net] >>799-800 ありがとう Akihiko Koga氏のサイトと資料は 旧ガロアスレで取り上げて、何度もお世話になっています 彼のサイトは、参考になるよね で？ 選択公理→整列可能定理の証明で 集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って 書いてあるかな？ 870 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 07:45:06.74 ID:o/pAlieb.net] Zornの補題に向けて、メモ貼ります saibanty0.blog.エフシーシー.com/blog-entry-355.html （URLが通らないので検索たのむ） ｻｲﾊﾞﾝﾁｮの不定記 +数学いろいろ 帰納法で学ぶツォルンの補題とそれを利用した証明 2021/07/24 0. はじめに 　みなさんはツォルンの補題を知っているだろうか。選択公理と同値であり、定理の証明にコイツを使うときはことごとく証明が長かったりするアイツである。 　私は学部１年の後期の授業でツォルンの補題やそれを利用した典型的な証明（Zermeloの整列定理、(0でない)ベクトル空間の基底の存在定理、無限集合を２乗しても濃度が変わらないこと）を習い、その難解さに震えたことを覚えています。 　しかしながら、ツォルンの補題を利用した典型的な証明はどれも似たような手順を踏んでいて、読んでいるうちに「これって帰納法にかなり近いというか、むしろ帰納法の究極形なのでは・・・？」とも思えてきて、なんとなくそうなのだろうなという理解で過ごしていました。 　それからしばらく経ち、先日久しぶりにそれらの証明を読み返してみたら、もう少し色々なことが見えてきたのでメモしておこうというのが今回の記事です。帰納法はどこまで一般的な状況に拡張できるのか？を考えていくと、ツォルンの補題の証明やツォルンの補題を利用した証明の気持ちが見えてくる、というのが主張です。 1. さまざまな帰納法 2. ツォルンの補題を使った証明 ('22 12/11追記)　進化チャート 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/30(木) 07:48:29.89 ID:dPVM7pkm.net] >>792 > （明らかに、集合Aと同じ濃度） > ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく 「同じ濃度(順序数)」では(無限)集合Aの要素を全て取り出したということは言えない 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/30(木) 07:57:41.45 ID:dPVM7pkm.net] >>801 > で？ > 選択公理→整列可能定理の証明で > 集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って 「Aのべき集合（空集合を除く）」であれば(無限)集合Aの要素の全てが一度は必ず使われているので集合Aの要素を全て取り出したと言える 873 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 08:02:59.74 ID:BKOpIti/.net] >>801 >選択公理→整列可能定理の証明で >集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って >書いてあるかな？ 選択公理→整列可能定理の証明 集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って 書いてあるかな？ 全部、◆yH25M02vWFhPの勝手な連想ゲームじゃない？ 874 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:08:19.75 ID:S0uv3c2L.net] >>801 >選択公理→整列可能定理の証明で >集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って >書いてあるかな？ using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A 思いっきり書いてあるんですけど？　あなた文盲ですか？ 875 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 10:09:01.06 ID:Xxyr0Rol.net] >>803-805 　まず >>763より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ １） >> （明らかに、集合Aと同じ濃度） >> ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく >「同じ濃度(順序数)」では(無限)集合Aの要素を全て取り出したということは言えない 上記の"aα=f(A-{aξ：ξ<α})"で、一対一対応が出来ている なので、aαの集合と A-{aξ：ξ<α}の集合の濃度は等しい（ベルンシュタインの定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86） ２） >「Aのべき集合（空集合を除く）」であれば(無限)集合Aの要素の全てが一度は必ず使われているので集合Aの要素を全て取り出したと言える 意味不明。上記”the family S of all nonempty subsets of A” から、どうやって A-{aξ：ξ<α} たちを取り出す？ 先制攻撃しておくが、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すよ つまり、A' ⊂ S で、部分集合を構成する公理は、置換公理（or 分出公理）を使うのが基本です ３） >集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って >書いてあるかな？ 話は逆だよ。Akihiko Koga氏の選択公理→整列可能定理の証明で 集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って 聞いたんだよｗ そして、先制攻撃しておく 上記のように、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すので 置換公理（or 分出公理）を使えば良い。集合A'は、Aと等濃度 但し、可算選択公理（列ω限定）ではなく、従属選択公理(任意可算列)が必要>>792 以上 なお、下記のen.wikipedia を引用しておく。Jech, Thomasの証明が元だ ここで、”as desired”にご注目 公理系は、基本 やりたい数学をやれるように選ぶべし 但し、「やりたい放題」では、矛盾や脱線が起きる ZFC公理系は、いろんな人が使って、「やりたいことやれるし、いままで 矛盾や脱線が起きてない」 そうい公理系だってことよ つづく 876 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 10:09:21.04 ID:Xxyr0Rol.net] つづき (参考)(再掲)>>631より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　 For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. (引用終り) 以上 877 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:16:53.18 ID:S0uv3c2L.net] >>801 「Aから元をどうやって取り出すのか？」にあなたは「Jechの証明で終わっている」と答えた。 その証明に「using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A」と書かれている。 はい、詰みです。 878 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:22:57.37 ID:S0uv3c2L.net] >>807 間違いを認められないおサルさんがなんか喚いてますが、まったくナンセンスですよ >>809で詰んでますから 879 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 10:35:02.06 ID:Xxyr0Rol.net] >>808 補足 >if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. >That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). ここ ”leave aα undefined if it is. ”は、 A∖{aξ∣ξ<α} が empty のときは 関数”aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})”が undefinedで良いってことだね（ちょっと 分かり難いが） そして、次の行で補足している（”That is”だね） ”or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated” だが、この意味は 集合Aの整列が完成すれば、あとの選択関数は”undefined”だってこと！ つまりは、選択関数は Aの整列までで 十分なのです！！ ；ｐ） 880 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:37:40.55 ID:9dHJAGwJ.net] >>807 >>集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って >>書いてあるかな？ >話は逆だよ。 >Akihiko Koga氏の選択公理→整列可能定理の証明で >集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要 >って 聞いたんだよ Akihiko Koga氏の証明では 集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数を使っている 日本語、読めないのかい？　二ホン●ル 881 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 10:41:55.32 ID:Xxyr0Rol.net] >>811 まあ、数学の常識があれば すぐ分かることだが 数学の常識の無い人は、迷走する典型だなｗ ；ｐ） 882 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:43:24.73 ID:9dHJAGwJ.net] >>813 工学部卒の君に大学数学の常識なんか全然ないけどな 883 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:44:12.26 ID:9dHJAGwJ.net] aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) だから　選択関数fなしには何もできません 884 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:45:23.81 ID:9dHJAGwJ.net] >>811 > 選択関数は Aの整列までで 十分なのです！！ 　君、関数の定義知ってる？ 君の関数理解　間違ってるよ 885 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:48:55.62 ID:aKOY/rSZ.net] 「個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数」 　そしてその独立変数の範囲は「Aの空でない部分集合全体」 　決して「A∖{aξ∣ξ<α}の全体」ではない 　なぜならA∖{aξ∣ξ<α}のaξで選択関数使ってるから循環してしまう 　整列と集合族の濃度の同一性なんて馬鹿な連想ゲームは不要 886 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:51:00.18 ID:aKOY/rSZ.net] 選択関数の定義域の中には、整列の構成に用いない要素が山ほどある だから、何？　見当違いな「効率化」は間違いの元 887 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:52:49.15 ID:aKOY/rSZ.net] ◆yH25M02vWFhPが大学1年の微分積分と線型代数で落ちこぼれたのは 論理が分かっておらず、数学書に書かれてる証明が読めないから まず、見当違いな連想ゲームをやめて、論理を理解しよう 888 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:54:07.41 ID:S0uv3c2L.net] >>811 define an element aα that is in A by setting aα=f(A-{aξ|ξ<α}) if this complement A-{aξ|ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。 選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？ >つまりは、選択関数は Aの整列までで 十分なのです！！ ；ｐ） 独善妄想。 using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A　の通り、選択関数の定義域はP(A)-{{}}。 君、もう詰んでるよ。詰んだら投了しないと人と認めてもらえないよ。サル扱いされるよ。それでいいの？ 889 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:58:05.13 ID:S0uv3c2L.net] >>813 >まあ、数学の常識があれば >すぐ分かることだが >数学の常識の無い人は、迷走する典型だなｗ ；ｐ） と、畜生界を迷走するサルが申しております。人間界に来たければ詰みを認めて投了しよう。 890 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:13:06.07 ID:PeOaATVi.net] 選択公理は　マセマのキャンパス・ゼミじゃ書いてない 手を動かしてまなぶシリーズには書いてあるっぽいが 891 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 11:23:30.14 ID:Xxyr0Rol.net] >>812 >Akihiko Koga氏の証明では >集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数を使っている 下記だね。見た これ、>>807-808の Jech, Thomas の証明と類似だね Jech, Thomas では、”we can do by induction”（超限帰納）と、 ”it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A” という 順序数αによる添え字付け手法を使っているんだ で、君は ある証明で ある手法が使われていることをもって 証明には、その手法が”必須”だと主張する しかし、ある手法が使われていることから、”必須”は言えない なお、下記の Akihiko Koga の記載は参考になるね（自分の数学認識をクリアにするために）。それは認める (参考) www.cs-study.com/koga/set/pointsOfSetTheory.html#WellOrder04 集合論の学習での重要なポイント Some Important Topics in Basic Set Theory by Akihiko Koga 10th Sep. 2018 (Update) 選択公理からの直接の証明 [前置き] まず，選択公理を使って，A 以外の P(A) の集合，すなわち A の真部分集合 X ⊂ A に対して，X 以外の元を 選ぶ関数 f f : P(A) - {A} → A f(X) ∈ A - X を一つ決めておく． 図略す 実は，この関数を決めた段階で．A の上に一つの整列順序がすでに決まっているのである． それは，X が整列されたとしたら，その後ろに f(X) を置くという順序である． 図略す もし，X を整列した部分に最後の元 y があれば，f(X) はその直後の元であり，y は f(X) の直前の元である．また，もし，X を整列した部分に最後の元が無い場合， つまり，... と無限に続く場合は，f(X) の直前の元はない．どちらにしても， f を決めた段階で，このように A の整列順序が１つ定まるはずである． 整列可能定理の証明は，この直観が正しいことを丁寧に示し� 892 名前：ﾄいくことになる． [前置き終わり] 以下，上の直観的な議論を実際に証明に落としていく． [Proof of 選択公理から整列可能定理] 任意の集合 A に整列順序を入れることができることを証明する． 実は，この証明は次の節の Zorn の補題の証明を焼き直した ものである． 略す [] [ここ壊れてます] 893 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:28:38.25 ID:S0uv3c2L.net] >>816 おサルさんは関数から分かってないね。 894 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:28:51.75 ID:S0uv3c2L.net] おサルさんよ https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/sakai0.pdf の13ページを見てごらん。これが分からなきゃ数学は無理なので諦めな。 895 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 11:30:38.40 ID:Xxyr0Rol.net] >>820 >Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。 >選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？ 関数とは、対応です（現代数学では） 対応の相手が、未定義ならば その部分は、関数として未定義だよ 896 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:32:02.38 ID:S0uv3c2L.net] >>817 おサルさんは「循環」がどうしても理解できないようだね。 そこが人間の知性を持たないサルの限界。 897 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:32:31.27 ID:Lfcn9eKQ.net] Koga氏の証明の元はおそらくブルバキ数学原論 なぜ、そういいきれるかといえば、 実際にブルバキ数学原論を確認したから 898 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:32:59.94 ID:Lfcn9eKQ.net] >>823 > 君は ある証明で ある手法が使われていることをもって > 証明には、その手法が”必須”だと主張する > しかし、ある手法が使われていることから、”必須”は言えない 　必須なんて誰もいってないけどな 　証明で、用いてる、といってるだけだが 　君、幻聴が聞こえるの？ 899 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 11:34:31.17 ID:Xxyr0Rol.net] >>826 補足 >Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。 >選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？ だから 必要な部分 ”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ” ここだけ つまみ食いして良いんだよ 美味しいところだけ、つまみ食い そうすれば、選択関数の節約になるよ 集合Aの濃度の範囲の選択関数に節約できるってことよ 900 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:36:43.18 ID:Lfcn9eKQ.net] >>826 > 関数とは、対応です（現代数学では） 　そこ、誰も否定してないけど 　で、P(A)-{φ}の要素のうち、A-{aξ|ξ<α}として現れないものは 　選択関数の定義域から削っていい、というのはどういう理屈？ 　君が勝手にそう思い込んでるだけだろ？ 901 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:38:33.15 ID:Lfcn9eKQ.net] >>830 > だから　必要な部分 > ”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ” > ここだけ つまみ食いして良いんだよ 　素人の馬鹿判断 > 美味しいところだけ、つまみ食い > そうすれば、選択関数の節約になるよ > 集合Aの濃度の範囲の選択関数に節約できるってことよ 　素人の馬鹿判断 902 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 11:39:37.90 ID:Xxyr0Rol.net] >>830 補足 (引用開始) 必要な部分 ”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ” ここだけ つまみ食いして良いんだよ 美味しいところだけ、つまみ食い そうすれば、選択関数の節約になるよ 集合Aの濃度の範囲の選択関数に節約できるってことよ (引用終り) つまみ食いするメリットは 可算集合Aに対して Jech, Thomas の証明を ちょっと変えるだけで 従属選択公理で、可算集合Aの整列が言える 順序数αは、可算の範囲（ωを超えるとしても）で済むのだから 903 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:39:39.03 ID:Lfcn9eKQ.net] つまみ食いとか節約とか しなくていいことをするから自爆する 下手な考え休むに似たり 904 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:40:34.80 ID:S0uv3c2L.net] >>826 これは酷い。 対応の相手は定義されている。 なぜなら選択公理が選択関数f:P(A)-{{}}→Aの存在を保証しており、存在例化によりfは一意に定まるから。 尚、定義域がP(A)-{{}}であることは a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A の通り。 なにひとつ理解していないおサルさんでしたとさ 905 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:45:29.84 ID:9dHJAGwJ.net] >>833 >つまみ食いするメリットは >可算集合Aに対して >Jech, Thomas の証明を ちょっと変えるだけで >従属選択公理で、可算集合Aの整列が言える >順序数αは、可算の範囲（ωを超えるとしても）で済むのだから DCじゃダメだね DCo(oは可算順序数)にしないと 906 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:49:05.65 ID:S0uv3c2L.net] >>823 じゃ選択関数f:P(A)-{{}}→Aを使ってない整列定理の証明を示して できないことを言うもんじゃないよおサルさん 907 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:52:59.30 ID:9dHJAGwJ.net] 考え無しに連想ゲームの結果を口に出し それが見当違いだと指摘されても 自分の誤りを認めたくないあまり ああだこうだと正当化する 自惚れ無能ほど見苦しいものはない 908 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 12:00:59.89 ID:Xxyr0Rol.net] >>833 補足 (引用開始) 必要な部分 ”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ” (引用終り) 選択関数 aα=f(A-{aξ|ξ<α}) の構成を 二つのステップに分ければいい 1st ステップ 定義域 {A-{aξ|ξ<α}｜α < θ} を構成する部分 ここは、the family S of all nonempty subsets of Aの部分集合になる だから、置換公理で間に合う 2nd ステップ f；A-{aξ|ξ<α} → aα これで選択関数が構成できた （Aが可算ならば、従属選択公理で間に合う） 909 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:06:51.58 ID:S0uv3c2L.net] >>830 >必要な部分 >”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ” >ここだけ つまみ食いして良いんだよ つまみ食いも何も、そもそもそれ、aαの定義であってfの定義ではない。 fの定義は a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A で尽きている。 allって書かれてるがなｗ　どこにも必要な部分なんて書かれてないぞ、おサルさん 自分で生み出した妄想に捕えられ身動きできないおサルさん、解放されて自由になるには人の話を聞く耳持つしかないよ 910 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:13:07.68 ID:S0uv3c2L.net] >>830 define an element aα that is in A by setting aα=f(A-{aξ|ξ<α}) if this complement A-{aξ|ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。 define の目的語は何？　an element aα では？　ならこの文はaαの定義であってfの定義じゃないじゃん ここまで言わんとダメなん？　おサルさん中学校からやり直せば？ 911 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:18:29.75 ID:S0uv3c2L.net] >>833 >つまみ食いするメリットは つまみ食いできるは妄想だからナンセンス 屁理屈こねる前に中学英語を学習しよう　君、他動詞の目的語が分かってないよ 912 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:24:27.91 ID:S0uv3c2L.net] >>833 >従属選択公理で、可算集合Aの整列が言える 可算集合Aの整列に選択公理（いかなる亜種も含め）は不要。 最小の極限順序数ωとの全単射φ:ω→Aが順序同型写像となるような順序(A,<)を構成できるから。 913 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:33:06.96 ID:S0uv3c2L.net] >>839 >1st ステップ >定義域 {A-{aξ|ξ<α}｜α < θ} を構成する部分 >ここは、the family S of all nonempty subsets of Aの部分集合になる >だから、置換公理で間に合う aξの定義にfを使っている。 >2nd ステップ >f；A-{aξ|ξ<α} → aα fの定義にaξを使っており、aξの定義にfを使っているから循環参照となっており、fはwell-definedでない。 >これで選択関数が構成できた できてません >（Aが可算ならば、従属選択公理で間に合う） 誤解にもとづく妄想です 以上、畜生界を彷徨い続けるおサルさんでした 914 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:39:12.88 ID:S0uv3c2L.net] おサルさん まだ投稿するならその前に他者のレスを全部読んで消化してね 言葉が通じないサルは人間扱いされないよ 915 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:40:38.59 ID:Lfcn9eKQ.net] 1st　ステップ Aの空でない部分集合からその要素への選択関数fを定義する 2nd　ステップ 上述のfを用いて順序数からAの要素への関数aを超限帰納法により定義する fが先、aが後　 fなしにaは定義すらできない 916 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:51:24.23 ID:S0uv3c2L.net] まあおサルさんは大学数学の前に中学英語からやり直した方が良い define an element aα・・・がfを定義する文と誤読してるようじゃ話にならない 917 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 13:24:34.40 ID:Xxyr0Rol.net] 　>>776より Thomas Jechの 証明 再録（>>667より） P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ 集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 （明らかに、集合Aと同じ濃度） だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は この段階では不要（置換公理が使える） さらに、下記の包含関係が成立している A⊃A-{a0}⊃A-{a0,a1}⊃A-{a0,a1,a2}⊃・・⊃A-{aξ：ξ<α}⊃・・ （要するに、Aから一つずつ減らす一つの全順序チェーンが、Sの部分集合として 取り出せたってこと。transfinite induction ） だから、集合族A-{aξ：ξ<α}に対する 順序数の添え字付けは、この点からも首肯できる この集合族に 選択関数を適用する Jech氏証明の 選択関数 f：A-{aξ：ξ<α} → aα この関数については、A-{aξ：ξ<α} が 集合族で定義域である 対応する関数値の aαは、上記 包含関係の列の 前後の項の差分 になっている■ 918 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 13:43:21.37 ID:x3N6C0kB.net] aα=f(A-{aξ：ξ<α}) 選択関数fなしに順序数からAの要素への関数aは定義不能 六甲山の●ルこと◆yH25M02vWFhPは 微積、線型代数に続き集合論でも●んだ 919 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 13:50:57.95 ID:PeOaATVi.net] ★　A→a0 ※　A,a0→A-{a0}　 ★　A-{a0}→a1 ※　A-{a0},a1→A-{a0,a1} ★　A-{a0,a1}→a2 ※　A-{a0,a1},a2→A-{a0,a1,a2} ・・・ ★の箇所が選択関数 ※は単に要素を１つ抜いてるだけ 馬鹿は★のところでその都度、好き勝手に要素を決める 920 名前：と誤解するだろうが 実際はAの任意の空でない集合に対してその要素をとる選択関数を一挙に決める だから、適用前に選択関数の定義域の制限なんてできない [] [ここ壊れてます] 921 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 14:26:36.37 ID:S0uv3c2L.net] >>848 >{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 >（明らかに、集合Aと同じ濃度） >だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は この段階では不要 a0ってなに？ 922 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 14:35:16.71 ID:S0uv3c2L.net] >>850 >馬鹿は★のところでその都度、好き勝手に要素を決めると誤解するだろうが それは不可だね。Aが有限集合でない限り。 だから選択公理が要る。 要するにおサルさんは選択公理を無意識に自明なものとみなしてしまっている。 おサルさんはカントールがそうしていたことをしばしば口にするが、実はおサルさん自身だったｗ 923 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 14:42:25.88 ID:S0uv3c2L.net] >Aから一つずつ Aの要素を取り出して 集合族A-{aξ：ξ<α}を作る（>>760） が >要するにおサルさんは選択公理を無意識に自明なものとみなしてしまっている。（>>852） の証拠。 なぜならAが無限集合のとき選択関数fが定義済みでない限りそのような取り出しは不可能だから。 924 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 17:15:48.31 ID:Xxyr0Rol.net] >>848 補足 ここで、選択公理のパワーを、従属選択公理DCに落としたときの問題点は 集合Aの（可算）濃度割当とか、順序数との対応付けで この点については、下記の 壱大整域 alg-d氏が参考になる 下記PDF 資料では、選択公理を使うとあるが しかし、スコットのトリック(英: Scott's trick)があって ZFC内で 選択公理なしで 正則性公理による方法がある なお、さらに付言すると 集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S を 下記に展開すると {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} だが こいつは属人性があって 例えば Bさんの集合族と選択関数は a→a' (a≠a')でも良い つまり {A,A-{a'0},A-{a'0,a'1},A-{a'0,a'1,a'2},・・,A-{a'ξ：ξ<α},・・} とできる また別のCさんが a→a'' (a≠a'')で {A,A-{a''0},A-{a''0,a''1},A-{a''0,a''1,a''2},・・,A-{a''ξ：ξ<α},・・} とできる 各人勝手気ままだ 上記の集合族以外のSの要素は、もっと気ままで どう決めようが、集合族 {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} とは、何の関係もない！ｗ ■ (参考) alg-d.com/math/ac/ 壱大整域 選択公理 ★お知らせ★　このページの内容が紙の本になりました。アマゾンで購入できます （URLは通らないので略 アマゾン 選択公理: 同値な命題とその証明 ペーパーバック – 2021/11/30 alg-d (著) 出版社 &#8207; : &#8206; Independently published (2021/11/30) ） alg-d.com/math/ac/tsudoi3.pdf 第三回関西すうがく徒のつどい 数学の諸定理と選択公理の関係 alg d 2013 2 濃度選択公理がないとまずヤバイのが濃度に関する話題で，まずはその辺りを見ていきます． 4 弱い選択公理 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF スコットのトリックとは真クラス上の同値関係についての同値類の定義を、累積的階層のレベルを参照することによって与える方法である この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]。この方法は Dana Scott (1955) によって導入された。 順序数の代表元を集合として定義する問題を超えて、スコットのトリックは基数の代表元を得たり、もっと一般的な同型類（英語版）にも用いることができる。例えば、全順序集合の順序型はその一例である en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick Scott's trick The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955). Beyond the problem of defining set representatives for ordinal numbers, Scott's trick can be used to obtain representatives for cardinal numbers and more generally for isomorphism types, for example, order types of linearly ordered sets (Jech 2003:65). 略す 925 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 17:40:16.08 ID:1G3ukQJP.net] >>854 思考できない馬鹿●ルは黙れよ 926 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 20:06:06.52 ID:S0uv3c2L.net] >>854 >{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} >こいつは属人性があって まったくトンチンカン。 なぜなら選択関数は存在さえすればよく、定義域のどの元の写像先も任意でよいから。 そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。 君、脳みそ持ってないの？　使わないと持ってる意味無いよ 927 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 20:15:25.80 ID:S0uv3c2L.net] 選択関数の属人性とか言う馬鹿はじめて見たｗ 世の中広いねえ　こんな馬鹿もいるんだね 928 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 20:43:52.31 ID:o/pAlieb.net] >>856-857 >なぜなら選択関数は存在さえすればよく、定義域のどの元の写像先も任意でよいから。 ”選択関数は存在さえすればよく、定義域のどの元の写像先も任意でよい” は正しい！ だ か ら、{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} は属人性があってよい というか、そもそも一意ではない！！ >そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。 それ、君の勘違いだよ 箱入り無数目でも、議論が噛み合わなかったがね ；ｐ） （多分、御大も 同じ意見と思うけどね） そもそも、公理というものは、公理の適用条件に合致すれば 必要か不必要かに関わらず、適用してよい （不要なのに、適用したときは、牛刀でニワトリを割くにはなるけどね） そうして おかなければ、選択公理を用いて ある定理を証明したときに その定理の適用のために、選択公理を使って良いか 使わないかの場合分けが必要になるよ。それってバカでしょ？ｗ ；ｐ） >選択関数の属人性とか言う馬鹿はじめて見たｗ 選択関数は、抽象的だ 抽象的だから、いろんな場面で使える しかし、ある場面で 選択関数を具体化しては いけない ということはない 選択関数を具体化できる場面があっても、それは可だ 929 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 20:48:37.85 ID:o/pAlieb.net] >>858 補足 例えば、最初は”ぐー”で ｗ ；ｐ） ある無限集合Aに対して、 先頭有限n個の要素 a0,a1,・・,an-1 個を 取り出して並べる その後ろに、残りの A-{a0,a1,・・,an-1}について 整列可能定理を適用した列を並べる そうすると、先頭有限n個の要素は、自由だ！ｗ 別に、非可算の実数Rの整列において まず、自然数を並べる 0,1,2,・・・ 次に、負の整数 -1,-2,-3,・・・を 次に、上記以外の有理数 1/2,1/3,・・・を（適当に） 次に、上記以外の代数的数をならべる 次に、好きな超越数 πとかeとか を並べる 次に、残った実数に対して、整列可能定理を適用して 整列させる 全てを 直列につなぐ すなわち、非可算の実数Rの先頭の 可算部分は、自由度がある 整列可能定理があれば、残りの部分が 整列可能定理で並べられるよ 要するに、整列可能定理の本質は公理だから、 具体的であっても、抽象的であっても なんでもありです！！ｗｗｗ ；ｐ） 930 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 21:14:10.77 ID:S0uv3c2L.net] >>858 >>そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。 >それ、君の勘違いだよ じゃ反例示して 君の屁理屈は不要 931 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 21:19:53.13 ID:S0uv3c2L.net] >>858 >しかし、ある場面で 選択関数を具体化しては いけない ということはない 選択関数を具体的に構成できるなら選択公理不要。 君、選択公理もぜんぜん分かってないんだね。 だからaαを使って選択関数fを定義するとかアホなこと言って失笑されちゃうんだよ。 932 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 21:25:20.76 ID:S0uv3c2L.net] おサルさん、なんで>>851から逃げるの？ 馬鹿であることがバレるのが恐いから？　大丈夫だよ　もうとっくにバレてるから 933 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 23:48:19.16 ID:o/pAlieb.net] >>860-861 >>>そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。 >>それ、君の勘違いだよ >じゃ反例示して はっ？ なに言ってるの？ 公理でしょ？ 大は小を兼 934 名前：ねるだ 整列可能定理： 簡単に言えば、任意集合Aから、一つずつ要素を取り出して整列することができるってこと で、任意集合Aとして、自然数Nに適用して良い 勿論、我々は 自然数Nのように素性の分っている集合は ある規則で整列出来ることは知っている しかし、勝手気まま 気の向くままに 自然数Nから 一つずつ要素を取り出して整列させることができるか？ それが、可能かどうか？ 『可能』というのが、整列可能定理で、選択公理と同値だね >>しかし、ある場面で 選択関数を具体化しては いけない ということはない >選択関数を具体的に構成できるなら選択公理不要。 >君、選択公理もぜんぜん分かってないんだね。 はっ？ なに言ってるの？ 不要と禁止は違うよ 選択公理： 空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる （あるいは『どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができる』） ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 ここで、”空集合を要素に持たない任意の集合族”だから、この集合族が もし有限個の集合族であっても構わない 任意有限n個の集合族ならば、1個の集合から一つ選ぶことをn回繰り返せば良いから、選択公理は不要 選択公理は不要だが、有限族への適用は禁止ではない [] [ここ壊れてます] 935 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/31(金) 00:11:50.32 ID:6DephDfl.net] >>861 >おサルさん、なんで>>851から逃げるの？ ？ >>851か？ (引用開始) >{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 >（明らかに、集合Aと同じ濃度） >だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は この段階では不要 a0ってなに？ (引用終り) 　>>859に書いた通りだよ、再録すると 例えば、最初は”ぐー”で ｗ ；ｐ） ある無限集合Aに対して、 先頭有限n個の要素 a0,a1,・・,an-1 個を 取り出して並べる その後ろに、残りの A-{a0,a1,・・,an-1}について 整列可能定理を適用した列を並べる そうすると、先頭有限n個の要素は、自由だ！ｗ (引用終り) まあ、a0は 任意のAの要素 もっと言えば、自分の好きな 任意のAの要素として a0を取って良い 例えば、実数Rを整列させるとき ある人は、円周率πが好きで、先頭はπとして良いし ある人は、サッカーが好きで、自然数 11（番）を最初にするとかね で、ZFCには ルールがあって 直接πや 11を選ぶのではなく 一旦、A-{π}やA-{11}という Aから一つ要素の減った部分集合の族を作る そうやって、以下2番目に好き、3番目に好き とやって {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} という集合族を作る これが、”the family S of all nonempty subsets of A”>>848の Sの部分集合だ （familyは、訳すと”族”だ） S⊃{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} ZFCのルールでは、部分集合を作るための公理がある 分出公理：分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの ϕ に1つずつ公理が対応するため、これは公理図式である）ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 分出公理の上位互換が、置換公理だね この集合族 {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} に、選択公理を適用する 選択公理は、公理の常だが あらゆる場面に適用できるように 抽象的表現になっている しかし、具体的であることを妨げない ｆ：A-{aξ：ξ<α} → aα とする ってこと >>848の Thomas Jechの 証明の通りです■ 936 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 01:52:52.48 ID:ZEnaPUQ0.net] >>864 >その後ろに、残りの A-{a0,a1,・・,an-1}について 整列可能定理を適用した列を並べる 整列可能定理を使って整列可能定理を証明すると？ あなた馬鹿なんですか？ 937 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 01:56:52.37 ID:ZEnaPUQ0.net] [Zornの補題]空でない順序集合A内で全ての鎖が上に有界であれば、Aは少なくとも一つの極大元を含む。 [定理]選択公理⇒Zornの補題 [証明] 選択公理により選択関数f:P(A)-{{}}→Aが存在する。 すべての順序数αに対し、{x∈A|xは{aξ|ξ<α}の外部上界} が空でないならAの元aαを aα=f({x∈A|xは{aξ|ξ<α}の外部上界}) で定義せよ、あるいは空であるならaαを未定義のままとせよ。 その時、C:={aα|aαは定義されている}は外部上界を持たず、またCはAの鎖であるから仮定によりCは少なくとも一つの上界を持つ。よってCは内部に唯一の上界supCを持ち、supCはCの極大元である。 938 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 02:27:36.38 ID:ZEnaPUQ0.net] [補足] Zornの補題は「A内の全ての鎖が上に有界」という条件がある。 仮にこの条件が無い場合、C:={aα|aαは定義されている}は内部上界を持つとは言えない。 例えば、αが任意の自然数の時その時に限りaαが定義されている場合、Cは内部上界を持たない。実際内部上界an∈Cを持つとするとan<a(n+1)∈Cだから矛盾。 939 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 02:42:03.34 ID:ZEnaPUQ0.net] >>863 >はっ？ >なに言ってるの？ 反例の意味を理解してね。 この場合の反例とは「選択関数を構成できず、かつ、選択関数の写像先が問題になるような命題」のことだよ。 はい、逃げずに示してね。 >はっ？ >なに言ってるの？ 選択関数を具体的に構成できるなら選択公理は不要と言っている。 理解できない君が馬鹿なだけ。 940 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 02:46:22.53 ID:ZEnaPUQ0.net] >この場合の反例とは「選択関数を構成できず、かつ、選択関数の写像先が問題になるような命題」のことだよ。 ちなみに箱入り無数目も整列定理もZornの補題も選択関数の写像先は任意でよいので反例にはなりません。 早く反例示してね。 941 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:25:16.02 ID:uxf2uT9e.net] >>857 選択関数は確かに１つではないが、 それはどこぞの●ルの 「選択関数削ってOK」 という主張の正当性を裏付けるものではない ●ルは六甲山に帰れ 942 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:27:08.62 ID:uxf2uT9e.net] >>858 >（多分、御大も 同じ意見と思うけどね） 　結局、御大の権威にすがる●ル 　典型的な社奴のヒエラルキー能 　どんだけ会社に飼いならされてんだ 943 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:33:50.62 ID:uxf2uT9e.net] >>859 >(前略) ●ルは、Jechの証明における選択公理の使用が全く理解できませんでしたとさ Ａのいかなる空でない部分集合についても 「この集合では、この要素を選ぶ」 という対応の一覧が存在すれば、それで第一段階ＯＫ あとはＡから順序数の順にそって取り出すときに 上記の対応に基づいて取り出せばいい　それが第二段階 選択公理は第一段階の話 第二段階は選択公理と無関係 ●ルは、どうやら第二段階を先に考え 各々の取り出しの回数制限が、 ●●選択公理の●●であらわされる制限 だと思ってるらしい んなこたぁない 公理のステートメントの文章が読める奴は そんな初歩的な誤り犯さない 文章読めない奴が勝手に想像してドツボにハマる 連想ゲーム、憶測ゲームから卒業しないと 大学数学は理解できないよ 944 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:37:00.92 ID:uxf2uT9e.net] >>861 > aαを使って選択関数fを定義するとかアホなこと言って失笑されちゃう 　そもそも関数が分かってないんだろうな　●ルは 　「使おうが使うまいが、あらかじめ対応の全てを用意する」ということが想像できない 　ヒトとして致命的な欠陥だな　●ルとしては問題ないんだろうけど 945 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:46:35.38 ID:uxf2uT9e.net] >>863 > 選択公理： > 空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、 > 各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる >（あるいは『どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、 > それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができる』） その通り 問題は選択公理を全く使用せずに 集合族　A-{aξ：ξ<α} を定義できるか？ そしてその回答は不可 なぜなら　aξ=f(A-{aψ：ψ<ξ})　であって 選択関数f　を　思いっきり用いてるから ●ルのやってることは、 「選択公理に適用する集合族を構成するのに 　選択公理によって得られる選択関数を使う」 という循環論法 946 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:53:05.61 ID:uxf2uT9e.net] >>864 >ｆ：A-{aξ：ξ<α} → aα とするってこと ●ルは文章が正しく読めないｗ ｆ：P(A)-{Φ}→A　f(x)∈x これが全て で、A-{aξ：ξ<α}∈P(A)-{Φ}であるとき xにA-{aξ：ξ<α}を入れた場合のf(x)（∈x）をaαとする というだけのこと 別にA-{aξ：ξ<α}の全体を定義域とする、なんてことは 誰もいってないしいう必要もない ●ルは 「可算整列定理は可算選択公理で十分」 なんてまったく思索ゼロの連想ゲーム発言をしてしまい それは誤りだと認めたくないから屁理屈こいてるだけ こっちは●ルが論理分かってないって分かってるから 「なに●ルが人間面してんだ？　自分の顔、鏡で見ろ」 と思ってるだけ 947 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:59:14.05 ID:uxf2uT9e.net] ●ルは自分が数学を理解するだけの能力があると思い込んでるようだが 残念ながらそれは嘘である 彼はいまだに大学１年の４月の挫折の原因を� 948 名前：ｳしく認識できておらず したがって壁を乗り越えることができない 欠陥（論理に対する無理解）を認識し これを乗り越える努力（具体的には論理の理解）を行わない限り どれほど数学書をチラ見流し見したところで何も理解できないだろう 論理を理解することがチラとか流しとかいう残念な状態からの脱却 [] [ここ壊れてます] 949 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 07:20:09.93 ID:BnEwySZf.net] １０００回繰り返しても足りないようだ 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 09:02:41.87 ID:eaAKgyxV.net] >>877　論理が分かってないならね 951 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 09:09:45.36 ID:BnEwySZf.net] 「度し難し」と言い捨てて去れないのはなぜ？ 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 09:11:42.60 ID:dbqYgDlX.net] >>879 教育のし甲斐があるから 953 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 09:58:03.90 ID:BnEwySZf.net] 手ごたえを感じているなら構わないが 954 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 10:12:35.12 ID:ZEnaPUQ0.net] >>879 愚問 去りたい君が去れば良いだけ 955 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 10:16:09.45 ID:BnEwySZf.net] 単なる通りすがりの素朴な疑問だが 異様さを感じたので言ってみただけ べつに居つきたいわけではない 956 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 10:21:11.26 ID:ZEnaPUQ0.net] じゃ去れ 957 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 10:23:15.54 ID:BnEwySZf.net] そう言われると居つきたくなる 958 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 11:36:16.31 ID:6zgJq69L.net] >>881 診断が当たってる手ごたえは思いっきり感じる 治療がすすんでる手ごたえは全く感じないが 959 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 11:38:15.45 ID:Z+Iwznf5.net] >>885 君は、選択公理からの整列定理の証明、理解できたの？ 960 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 11:47:19.03 ID:G8oJyMZ9.net] >>883 >異様さを感じた うん、◆yH25M02vWFhPの 「現代数学の系譜 雑談」とかいうHN 膨大な量のコピペ そして初歩レベルでトンチンカンな発言 すべてが異様だね 数学板の○大奇人の一人だね 961 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 12:20:27.40 ID:BnEwySZf.net] >>887 そういう余計なお世話が異様 962 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 12:56:54.95 ID:ZEnaPUQ0.net] 選択公理やら整列定理やらに興味無いのにここに居座るのが異様 963 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:19:23.74 ID:BnEwySZf.net] >選択公理やら整列定理やらに興味無いのにここに居座るのが異様 選択公理やら整列定理は非常に重要だと思っているので それをおちょくりの材料に使うのが見過ごせない 964 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:25:44.08 ID:ZEnaPUQ0.net] >選択公理やら整列定理は非常に重要だと思っているので ならそれらについて嘘八百吐き放題の輩になんで何も言わないの？ 965 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:28:23.02 ID:BnEwySZf.net] >>892 それはコスパまたはタイパの問題 966 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:30:42.58 ID:ZEnaPUQ0.net] じゃなんてここに居るの？コスパ最悪やろ 967 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:31:20.89 ID:BnEwySZf.net] 君にとって何が有効な時間の使い方かに 興味がある 968 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:45:50.85 ID:ZEnaPUQ0.net] うわっきもっこいつ 他人より自分の時間の使い方考えたら？ 969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 14:04:55.60 ID:fK8dKB13.net] >>891 証明を正しく理解できないくせに ペラペラしゃべりたがる奴のほうが よっぽど数学をおちょくってる おまえ、頭オカシイの？ 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 14:06:37.68 ID:fK8dKB13.net] ＞コスパまたはタイパ 　小賢しいだけの大馬鹿が大好きな言葉 　学問は壮大な無駄の山上に立つ実に小さな金字塔 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 14:08:44.33 ID:2ZhXacCX.net] O澤TK夫とかいう奴は OK同様に頭オカシイ OKのどんな逸話を聞いても 数学は人を賢くせず 愚かしさを悪化させる 最悪の麻薬だと思う 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 14:16:15.81 ID:eaAKgyxV.net] どんな数学者も自分の愚かしさによる失敗を 容易に受け入れることができないが そうしたところで○違いといわれるだけである 973 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 15:02:40.45 ID:ZEnaPUQ0.net] [定理]Zornの補題⇒選択公理 [証明] Sを空でない集合の空でない族とする。 ∀s∈Sに対して、∀x,y∈s.x≦y⇔x=y により(s,≦)を定義する。 この時、∀s∈Sに対して、{c|cはsの鎖}={{x}|x∈s} が成り立ち、∀x∈s.xは{x}の上界 であるから、sの全ての鎖は上に有界である。 よってZornの補題より∀s∈Sについてsは少なくとも一つの極大元を持つ。そのうちの一つをmsとする（存在例化）。 よって選択関数f:S→∪[s∈S]s を f(s)=ms で定義できる。 974 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 16:01:06.60 ID:ZEnaPUQ0.net] >>901はちょっと保留　なんかおかしい　考え中 975 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 16:54:07.74 ID:ZEnaPUQ0.net] >>901は証明になってなかった。 任意のs∈Sについて存在例化を適用できるからといって、Sの無限個の元すべてに適用できるとは言えない。それができるならそもそも選択公理は自明。 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 18:05:47.48 ID:RjxG7czP.net] 粗大ごみ教授は論文書くと昂奮して一時間50レス、1日200レスする 977 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 19:14:50.36 ID:BnEwySZf.net] OK＝岡潔？ 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 20:08:02.83 ID:uxf2uT9e.net] OK=oll korrect 979 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/02/01(土) 08:27:52.47 ID:lDxwqd7y.net] >>877 ID:BnEwySZf は、御大か ＞１０００回繰り返しても足りないようだ なるほど、下記 いつもお世話になっている alg-d 壱大整域氏 選択公理→ (整列可能定理) これ分かり易いかも ”写像 g:λ→X∪{∞} を g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”で 　順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと） なる g を 導入しているんだ で、写像 g の全単射を 言う なるほどね そうすると、置換公理を使う証明は、無理筋かも 循環論法になる恐れがある、多分 （不可能の証明は 難しいので いまは深入りしないことに） (参考)（蛇足だが P(X)は、Xの冪集合。なお。原サイトの方が見やすいよ） alg-d.com/math/ac/wo_z.html alg-d 壱大整域 トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題 2011年11月13日更新 整列可能定理とZornの補題 定理次の命題は(ZF上)同値． 1.選択公理 2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理) 3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題) 証明 (1 ⇒ 2) Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す． 順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る． 選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る． Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく． 写像 g:λ→X∪{∞} を g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} ) で定義する． α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである． ∵β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である． よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる． これは ¬|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する． そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ: γ→X は全単射である． ∵∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか． よってこれによりXを整列する事ができる． (2 ⇒ 3)略す (3 ⇒ 1)略す おまけ (2⇒1)略す 980 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 11:03:52.79 ID:YIkJbYsl.net] >>907 >選択公理を A := P(X)-{φ} に適用して，選択関数 f: A→X を得る． ほらみろ、fの定義域は 981 名前：P(X)-{φ}じゃん >写像 g:λ→X∪{∞} を >g(α ) := f( X-{g(β)|β<α} ) >で定義する． ほらみろ、ここでfの定義なんてしてないじゃん 当たり前だよね、fを使って定義されたgを使ってfを定義したら循環になるんだから >これ分かり易いかも 分かってないの君だけ [] [ここ壊れてます] 982 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 11:07:50.16 ID:CqhFjAXa.net] やめたら？ 983 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 11:30:51.36 ID:O6ZvKR+h.net] >>909 ◆yH25M02vWFhPが 非論理的な連想ゲームを やめたら？という提案に 全面的に賛同 984 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 11:51:27.35 ID:CqhFjAXa.net] >>910 yH25M02vWFhP？ ちょっと見つからない 985 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 11:56:13.60 ID:O6ZvKR+h.net] >>911 お迎えが近い 986 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/02/01(土) 13:47:03.95 ID:lDxwqd7y.net] >>909 >やめたら？ ID:CqhFjAXa は、御大か プロ数学者がいうのは プロ数学者から見て レベルの低い 数学初級者丸見えの つまらんレスを ”止めれ！” ということだろう 『１０００回繰り返しても足りない』（>>877より） とのプロのアドバイス レベルの低い 数学初級者丸見えの つまらんレスの 相手を １０００回繰り返して 意味が無いという なるほどと思って検索すると >>907の いつもお世話になっている alg-d 壱大整域氏の 選択公理→ (整列可能定理) が すぐ見つかった(>>907) alg-d 壱大整域氏 >>907の 証明 (1 ⇒ 2) の本質は Xの冪集合 P(X)＼{ ∅ } に 選択公理の選択関数 を適用すると それが 如何なる 選択関数を採用したとしても ”写像 g:λ→X∪{∞} を g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )” なる g を 導入して 　順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと） の 全単射 写像 g が構成できる 順序数と Xとの 全単射 が構成できるということは、 即ち Xに整列順序が導入できたということ レベルの低い 数学初級者丸見えの つまらんレスの 相手を １０００回繰り返して 意味が無いという アドバイス なるほど よく分りましたｗ ；ｐ） 987 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 13:59:39.07 ID:YIkJbYsl.net] >>913 >Xの冪集合 P(X)＼{Φ} に 選択公理の選択関数 を適用すると 選択関数の定義域の濃度は|X|ではなく|P(X)| よって誰かさんの独善持論は嘘デタラメでしたとさ 988 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 14:01:09.15 ID:YIkJbYsl.net] >>913 >順序数と Xとの 全単射 が構成できるということは、 >即ち Xに整列順序が導入できたということ 証明できる？ 989 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 14:05:54.02 ID:YIkJbYsl.net] まあ初級問題だから簡単にできるだろうね まさかできないのに分かったふりしてることは無いだろう 990 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/02/01(土) 14:55:42.18 ID:lDxwqd7y.net] >>916 　>>808(参考)(再掲)>>631より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　 For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. (引用終り) ここで ”Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired,” の部分、”the order < on A defined by aα<aβ”だね αとβが順序数で 順序数の添え字を使って、Aに順序を導入する 順序数は、整列順序であるから Aに整列順序が導入できた 991 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/02/01(土) 14:56:18.91 ID:lDxwqd7y.net] 次スレを立てた ここを使い切ったら、次スレへ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/l50 ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 992 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 15:06:52.35 ID:YIkJbYsl.net] >>917 >順序数は、整列順序であるから >Aに整列順序が導入できた 順序数の通常の大小関係が整列順序だとなぜAに整列順序が導入できたことになるか分かる？ 993 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:12:57.66 ID:O6ZvKR+h.net] >>913 それは数学初級者である自分のレベルの低さを批判した発言ですね 994 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:16:16.82 ID:O6ZvKR+h.net] ＞次スレを立てた 　いい加減　己の無能をさらし続けるのはやめたら 　微分積分ダメ 　線型代数ダメ 　集合論　ダメ 　 　要するに大学初級の数学　全部ダメ 　真面目に論理を勉強しないかぎり 　連想ゲームでは間違い続けるばかりだよ 995 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:20:56.44 ID:O6ZvKR+h.net] https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/1 大学１年の数学も分からん数学初級者に ガロア第一論文も乗数イデアルもわかるわけない 996 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:25:14.77 ID:O6ZvKR+h.net] https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/2-3 論理が読めない人が、おとぎ話だけ読んでも 自己愛を肥大させて発●するだけだからやめときなさい 997 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:27:42.26 ID:O6ZvKR+h.net] https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/4-7 論理が読めない人が、おとぎ話だけ読んでも 自己愛を肥大させて発●するだけだからやめときなさい 鳥無き里のコウモリ　は　あなた 998 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:32:45.24 ID:O6ZvKR+h.net] https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/8 昔、ある人に 「ｎ本のベクトルが線型独立かどうか、どうやって判別する？」 と尋ねたら、 「シュミットの直交化法を使う」 とのたまった もちろん、それでできないことはないが、分かってる大学生はそういうことは言わない 階段化の方法を使えばいい　なぜそれで独立だと示せるかも、簡潔に答えられる ここが理学部数学科と工学部なんちゃら工学科の分岐点である 999 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:37:17.60 ID:O6ZvKR+h.net] https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/9-10 二項関係Rは　xRy & yRz のとき xRz を満たすとき　推移律を満たす、という ＜は推移律を満たすが、∈は推移律を満たさない たったこれだけのことが理解できないとしたら、 そいつは言葉と論理を知るヒトではなく 言葉も論理も知らぬサルである 1000 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:38:40.48 ID:O6ZvKR+h.net] 理学部数学科に入って生きていけるのはヒトだけだ サルは工学部なんちゃら工学科で職業訓練受けて 社奴でもなんでもなればいい　ほかに能がないのだから 1001 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:41:18.52 ID:O6ZvKR+h.net] 生成AIは言葉を理解しているわけではない やってることは只の連想ゲームでありサル芸である 1002 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:47:05.18 ID:O6ZvKR+h.net] もちろん工学部の中にもヒトはいる ただしそれは断じて◆yH25M02vWFhPではない 1003 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 17:01:35.10 ID:O6ZvKR+h.net] 数学は囲碁将棋のような下らぬ勝負事ではない 勝負はサルのすること 1004 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 07:19:55.41 ID:bvvTKD+8.net] 囲碁はくだらないものだがそれでも という前置きで 道を説くのにたとえとして用いたのが 孟子 魔方陣はくだらないものだがと前置きして 魔方陣の作り方を解説したのが 高木貞治 1005 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 07:53:19.64 ID:eC5TmypE.net] 別に囲碁や魔法陣で遊んではいけないとはいってないんじゃね？ すべてを白か黒かで考えるのは●違い 1006 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:02:53.43 ID:eC5TmypE.net] ◆yH25M02vWFhPは、実数論、線形代数に続き、集合論でも初歩で敗北した 要するに定義に基づいて定理を論理で証明するという道筋をたどらず ただ直感で納得しようとする精神で連想ゲームするからエテ公から抜け出せない まあ、エテ公は三角関数の加法定理の公式だけ丸暗記して 計算機械になりはてなさいってこった どうせエテ公は「数学とは方程式の解法」としか思ってないんだろう やれガロア理論がーとかいってるけど、要するに方程式の解法以外興味がない だからいくらガロア理論の本を読んでも自分が欲しい情報がどこにもなくて目が滑りまくる チラ見しかできないというのはそういうこと 1007 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:05:43.54 ID:eC5TmypE.net] ◆yH25M02vWFhPは、実数の定義の意味が理解できない 極限の定義だけでは役に立たない 役に立つのはコーシー列であれば極限が存在するという定理 この定理の前提として実数の定義が必要 という認識がないなら、ヒトではなくサルの段階 1008 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:10:49.73 ID:eC5TmypE.net] ◆yH25M02vWFhPは、線形独立と基底の意味が理解できない 線型空間を抽象的に定義しても、基底が有限個なら数ベクトル空間と同型になることが示せる だから、数ベクトル空間での具体的な扱いに還元できる 線型独立の判定に数ベクトルに対する「階段化」の手続きが使えるのはそういうこと この認識がないなら、ヒトではなくサルの段階 1009 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:14:18.65 ID:eC5TmypE.net] ◆yH25M02vWFhPは、選択公理が一種の「無限版ドモルガンの法則」であると理解できない 無限個の任意の空でない集合に対してそれぞれ要素がとれるなら 任意の空でない集合とその要素の対、という選択関数が存在する 集合論とは一種の無限論理である この認識がないなら、ヒトではなくサルの段階 1010 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:18:05.50 ID:eC5TmypE.net] 大学１年の数学は、算数における九九のようなものである わかってしまえば大したことではないし わかることなしには何も正しい計算ができない もちろん、九九を覚えてなくても足し算すればいいが、時間を浪費する 九九だけ覚えればいいかもしれんが、九九の表の作り方が分からなければ覚え間違いを正せない 所詮理系の大学１年生全員に教えることなんてその程度のことだが それを知らずして大学出ましたなんてデカい面するのはいい笑いもの 1011 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:23:05.36 ID:eC5TmypE.net] 理学部数学科は別に数学者養成所でなくていい 数学者を養成するのは大学院 中学・高校の数学教師といえども 数学がいかなる学問か知っておいたほうがいい そのための大学の学部なのである 金が大学の数学教授 銀が中学高校の数学教師 銅が数学つかう理系出身者 鉄は算数しか知らんそこらの一般人 まあ、正直言って、そこらの一般人だけでこの世は回るんだが、それは内緒 1012 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:54:06.43 ID:eC5TmypE.net] 数学の研究の全てが後世に伝わるとは限らない 大して面白くないと思ったら伝わらない 1013 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:55:20.37 ID:eC5TmypE.net] 一次元より多次元、低次元より高次元、が価値があるとは限らない 1014 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:56:52.65 ID:bvvTKD+8.net] 一次元の場合が面白かったら 高次元化してみたくなる 1015 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 09:00:50.03 ID:bvvTKD+8.net] 複素解析の場合 一次元の理論は１９世紀数学の最高峰であり 岡潔、小平邦彦、広中平祐らによる 高次元化は素晴らしかった 1016 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 10:20:02.70 ID:eC5TmypE.net] >>941 >一次元の場合が面白かったら高次元化してみたくなる 　だからといって、より面白くなるとは限らない 1017 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 10:21:25.15 ID:eC5TmypE.net] >>942 具体的に言える？ 1018 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 10:29:12.30 ID:eC5TmypE.net] 共形場理論も面白いのは空間１次元時間１次元の２次元の場合 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%A2%E5%A0%B4%E7%90%86%E8%AB%96 「一般に(2+1次元以上の時空では)共形変換群は有限個の生成子からなる有限次元リー群である。 　しかし、空間1次元＋時間1次元(d=2)の2次元共形場理論場合に限り、 　共形変換群SO(2,2)は正則関数の等角写像の変換群（無限次元リー群）に拡張される。 　この場合共形変換群SO(2,2)は無限個の生成子からなる代数(ヴィラソロ代数)の部分代数となる。」 1019 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 10:43:23.18 ID:5scbwZz/.net] メモ貼ります tenasaku.com/academia/ 藤田博司 愛媛大 tenasaku.com/academia/notes/lss07_fujita_release 1020 名前：.pdf ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田博司(愛媛大学理学部) 2007 年数学基礎論サマースクール 静岡大学にて2007年9月4日〜7日 執筆にあたっては, Solovayの原論文のほか, Jechのモノグラフの第2版[6]と第3版[7], Kanamoriのモノグラフ[8], Kunen の教科書[10]などを参考にしました. その他の参考文献については末尾の文献リストをごらんください. [6] T. Jech, Set Theory (2nd Ed.), Springer (1997) tenasaku.com/academia/notes/historyDST20150429.pdf 記述集合論誕生秘話 藤田博司2015 年4月29日 tenasaku.com/academia/notes/20040301.pdf 記述集合論ノート (2004年2月) 記述集合論ノート藤田博司2004年2月17日〜18日,神戸大学 researchmap.jp/fujitahiroshi/ 藤田 博司 フジタ ヒロシ researchmap.jp/fujitahiroshi/presentations?limit=100 講演・口頭発表等 researchmap.jp/fujitahiroshi/presentations/15026805/attachment_file.pdf アンリ・ルベーグ『解析的に表示できる函数について』と記述集合論 藤田博司 第175回 数学文献を読む会 2016年6月17日 [] [ここ壊れてます] 1021 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 10:53:09.14 ID:xCU1/P+P.net] >複素解析の場合 >一次元の理論は１９世紀数学の最高峰であり その要点は SiegelのTopicsの第１，第２巻に書いてある >岡潔、小平邦彦、広中平祐らによる >高次元化は素晴らしかった そこからの展開の一端が SiegelのTopicsの第３巻に書いてある 1022 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/02(日) 17:15:45.87 ID:f3BDXVWP.net] >>945 面白いというより まさに奥行きがあって奥深い。 1023 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 19:07:52.10 ID:eC5TmypE.net] https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1738367013/21 >Xの元を すきな順番に整列できる P(X)-{φ}からその要素を選択する選択関数をどう決めるか次第でね ただ選択関数を決めてしまったら順番は一意だけど https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1738367013/33 >>順番は選択関数で一意に定まる。 > 典型的な、大学数学 オチコボレさんか？ ◆yH25M02vWFhP がな まさか自分が大学数学理解できてるとうぬぼれてる？ 1024 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 19:16:41.47 ID:eC5TmypE.net] 逆に整列からP(X)-{φ}の各々の最小元を選ぶ選択関数を作る方法では P(X)-{φ}の任意の選択関数が実現されるわけではない 1025 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:29:32.94 ID:eC5TmypE.net] https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1738367013/50 > 数学の証明は、その背後の数学的構造を反映する鏡であり > 数学の証明を理解することは、背後の数学的構造を理解すること つまり実数も線形空間も集合も数学的構造を誤解してるから 証明がまったく読めず誤解した、ということですね 1026 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:36:31.46 ID:eC5TmypE.net] １と異なる0.999…が存在しないこと ⇔ [0,1)∩[0.9,1)∩[0.99,1)∩…＝{}であること 1027 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:37:16.84 ID:eC5TmypE.net] 実数の連続性（じっすうのれんぞくせい、continuity of real numbers）とは、 実数の集合がもつ性質である。 有理数はこの性質を持たない。 1028 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:37:47.48 ID:eC5TmypE.net] 実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。 また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。 1029 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:38:44.41 ID:eC5TmypE.net] 実数の連続性と同値な命題は多数存在する。 1030 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:39:39.25 ID:eC5TmypE.net] デデキントの公理 (A,B)を実数の集合Rの切断とすれば、 Aに最大元があってBに最小元がないか、 Bに最小元があってAに最大元がないか のいずれかである。 1031 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:41:15.82 ID:eC5TmypE.net] 上限性質 Rは上限性質 (least upper bound property) をもつ。 つまり、Rの空でない上に有界な部分集合は上限を持つ。 これは双対性の原理から次と同値である。 Rは下限性質 (greatest lower bound property) をもつ。 つまり、Rの空でない下に有界な部分集合は下限を持つ。 これらの上限性質をもつ（つまり、下限性質をもつ）ことを ワイエルシュトラスの公理を満たすともいう。 1032 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:42:16.63 ID:eC5TmypE.net] 有界単調数列の収束定理 1033 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:42:36.05 ID:eC5TmypE.net] アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす 1034 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:43:15.51 ID:eC5TmypE.net] ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 1035 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:43:57.91 ID:eC5TmypE.net] アルキメデス性を持ち、かつ、コーシー列は収束する 1036 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:44:28.32 ID:eC5TmypE.net] 中間値の定理 1037 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:45:00.18 ID:eC5TmypE.net] 最大値の定理 1038 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:45:34.02 ID:eC5TmypE.net] ロルの定理 1039 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:45:57.54 ID:eC5TmypE.net] ラグランジュの平均値の定理 1040 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:46:57.51 ID:eC5TmypE.net] コーシーの平均値の定理 1041 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:48:41.98 ID:eC5TmypE.net] ハイネ・ボレルの定理 1042 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:55:24.58 ID:eC5TmypE.net] 体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して Aが正則行列である、すなわち、 AB=E=BAを満たす n 次正方行列 B が存在すること と同値な条件は多数存在する 1043 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:55:59.50 ID:eC5TmypE.net] AB = E となる n 次正方行列 B が存在する BA = E となる n 次正方行列 B が存在する 1044 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:56:29.44 ID:eC5TmypE.net] A の階数は n である 1045 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:57:05.98 ID:eC5TmypE.net] A は左基本変形のみによって単位行列に変形できる A は右基本変形のみによって単位行列に変形できる 1046 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:57:33.13 ID:eC5TmypE.net] 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない 1047 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:57:53.32 ID:eC5TmypE.net] A の行列式は 0 ではない 1048 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:58:17.96 ID:eC5TmypE.net] A の列ベクトルの族は線型独立である A の行ベクトルの族は線型独立である 1049 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:58:45.88 ID:eC5TmypE.net] A の固有値は、どれも 0 でない 1050 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:15:25.18 ID:RHKFtm92.net] 選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは 公理的集合論における公理のひとつで、 どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、 それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。 1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。 1051 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:15:56.76 ID:RHKFtm92.net] 以下の命題は全て選択公理と同値である。 つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、 逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。 1052 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:16:19.54 ID:RHKFtm92.net] 整列可能定理：任意の集合は整列可能である。 1053 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:17:05.43 ID:RHKFtm92.net] ツォルンの補題；順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。 1054 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:17:32.23 ID:RHKFtm92.net] テューキーの補題：有限性（英語版）を満たす空でない任意の集合族は包含関係に関する極大元を持つ。 1055 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:18:08.18 ID:RHKFtm92.net] 比較可能定理：任意の集合の濃度は比較可能である。 1056 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:18:45.24 ID:RHKFtm92.net] 直積定理：無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。 1057 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:19:05.67 ID:RHKFtm92.net] 右逆写像の存在：全射は右逆写像を有する。 1058 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:21:45.75 ID:RHKFtm92.net] ケーニッヒ（Julius König）の定理：濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。 1059 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:22:36.40 ID:RHKFtm92.net] ベクトル空間における基底の存在：全てのベクトル空間は基底を持つ（ただし、正則性公理が必要になる） 1060 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:23:17.07 ID:RHKFtm92.net] チコノフの定理：コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクトになる。 1061 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:23:57.08 ID:RHKFtm92.net] クルルの定理：単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。 1062 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:33:33.69 ID:RHKFtm92.net] 選択公理は別に成り立たなくても矛盾しない 1063 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:34:02.65 ID:RHKFtm92.net] 箱入り無数目で、確率Pで勝てる戦略があってもなくても矛盾しない 1064 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:35:07.08 ID:RHKFtm92.net] 選択公理が成り立つなら箱入り無数目で確率Pで勝てる戦略が存在する 箱入り無数目で確率Pで勝てる戦略が存在しないなら選択公理は成り立たない 1065 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:14:16.73 ID:RHKFtm92.net] 手を動かしてまなぶ ε-δ論法 1．数列の極限と連続の公理　 2．連続関数 3．関数項 1066 名前：級数と一様収束　 4．関数の微分 5．リーマン積分 6．リーマン積分の応用 [] [ここ壊れてます] 1067 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:15:09.04 ID:RHKFtm92.net] 1．数列の極限と連続の公理　 　§1　数列の極限（その１） 　§2　数列の極限（その２） 　§3　連続の公理（その１） 　§4　連続の公理（その２） 1068 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:15:26.34 ID:RHKFtm92.net] 2．連続関数 　§5　関数の極限 　§6　関数の連続性とワイエルシュトラスの定理 　§7　中間値の定理と逆関数 1069 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:15:54.83 ID:RHKFtm92.net] 3．関数項級数と一様収束　 　§8　級数 　§9　関数項級数とべき級数 　§10　上極限と下極限 　§11　一様収束 　§12　指数関数と三角関数 1070 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:16:26.00 ID:RHKFtm92.net] 4．関数の微分 　§13　微分に関する基本事項 　§14　べき級数の項別微分 　§15　三角関数と双曲線関数 　§16　対数関数とべきの一般化 　§17　逆三角関数 1071 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:16:49.17 ID:RHKFtm92.net] 5．リーマン積分 　§18　定義と基本的性質 　§19　可積分条件（その１） 　§20　可積分条件（その２） 　§21　連続関数の一様連続性とリーマン積分 　§22　項別積分と項別微分 1072 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:17:16.16 ID:RHKFtm92.net] 6．リーマン積分の応用 　§23　広義積分 　§24　曲線の長さ 1073 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:18:58.68 ID:RHKFtm92.net] 手を動かしてまなぶ 集合と位相 1．集合 2．写像と二項関係 3．濃度と選択公理 4．ユークリッド空間 5．距離空間（その１） 6．位相空間 7．連結性とコンパクト性 8．距離空間（その２） 9．分離公理とコンパクト性の一般化 1074 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:19:35.60 ID:RHKFtm92.net] 1．集合 　§1　集合の定義 　§2　集合の演算 　§3　全体集合 2．写像と二項関係 　§4　写像 　§5　全射，単射と合成写像 　§6　集合系と集合族 　§7　二項関係 　§8　商集合とwell-definedness 3．濃度と選択公理 　§9　濃度 　§10　ベルンシュタインの定理 　§11　整列集合 　§12　選択公理 1075 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:20:35.01 ID:RHKFtm92.net] サラヴァ 1076 名前：1001 [Over 1000 Thread.net] このスレッドは１０００を超えました。 新しいスレッドを立ててください。 life time: 33日 5時間 23分 27秒 1077 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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