ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

1 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/01(水) 09:57:08.60 ID:2b7XvZNh.net] 前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/ 前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです 関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります） 資料としては、まずはこれ https://sites.google.com/site/galois1811to1832/ ガロアの第一論文を読む 渡部 一己 著 （2018.1.28） PDF https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0 ＜乗数イデアル関連＞ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照 https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik ＜層について＞ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 層 (数学) https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics) Sheaf (mathematics) https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques) Faisceau (mathématiques) あと、テンプレ順次 つづく 792 名前：集合で、実数Rを整列させようってか？） おサルさ あんた あたま カラっぽじゃねｗ ；ｐ） [] [ここ壊れてます] 793 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:10:51.77 ID:9VIHSgws.net] >>a choice function f for the family S of "all" nonempty subsets of A. >>"all"がこういってる >そこから "aα=f(A-{aξ：ξ<α})" をどうやって出すの？ 出すって？　fの定義域として？　そんな必要ないだろ なんでfの定義域をA-{aξ：ξ<α}に限定する必要があるんだ？ そんな馬鹿なことする必要まったくないって 大学数学の初歩からオチコボレた●ルには分からんか？ >おれの誘導は・・・ 無駄、全く必要なし！！！ 794 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:14:22.52 ID:9VIHSgws.net] >>731 > 先制攻撃をしておく 　どうぞ〜（鼻ホジホジ） > いま Aが 可算集合とするよ 　はいは〜い（鼻ホジホジ） >集合族 A-{aξ：ξ<α} を使った 選択関数に限れば順序数 α は、可算の範囲だよね >ところが、Aのべき集合全体をカバーする順序数は 2^A つまり 非可算だろ 　そうですね〜（鼻ホジホジ） >（あたかも 自然数Nを整列させるのに、2^N の 非可算集合で、実数Rを整列させようってか？） 　しつも〜ん（鼻ホジホジ） 　なんで2^Aを整列させる必要があるんですか？ 　そんな必要、全然ないよね 　●ル、頭、大丈夫？（鼻ホジホジ） 795 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:35:19.57 ID:SFFxcmct.net] >>719 >つまり、ある順序数αに対して α+1 があって 極限順序数はどうするの？　ξ+1=ωを満たす順序数ξは存在しないが。そういう粗雑さが間違いのもと。 >次に、関数fに食わせる集合は、f(A-{aξ：ξ<α}より aα減った集合だね >A-{aξ：ξ<α} - aα だね それを言うなら A-{aξ：ξ<α} - {aα} な。ほんとおまえは人の話を聞けん奴やのう。アホたれ小僧が。 >そうやって、A-{aξ：ξ<α}からなる集合族を あつめて >P'(Aのべき集合から 空集合を抜いた集合) の部分集合が出来上がる 作る必要が無い。aαが定義されればよいだけ。 >P'の部分集合を作る公理は、選択公理ではなく、置換公理を使うよ （常識でしょ？（＾＾） トンチンカン 独善持論吐くのやめて人の話を聞きなさい。聞いて理解しなさい。それができないからおまえは人として認められないんだよサル。 796 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 13:39:22.40 ID:C6l4Y3jA.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね >>729 >「Aの空でない部分集合から要素を取り出す選択関数」で十分なのに >なぜ、選択関数の定義域を「Aの空でない部分集合」から >より小さい集合族に限定する必要があるのだろうか？ それ>>730に書いたけど Aが可算だとするよ そうすると、選択関数の定義域を、P' (＝Aのべき集合から空集合を除いた集合) で考えても良いが、問題は そのままでは そもそも 順序数での添え字付けがないってことだ（そして もし 添え字付けすれば Aより一つランク上の無限の順序数の添え字要） そこで、Jechは より小さい集合族 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) にうまく落とし込んでいるってことだね で、集合族 A-{aξ：ξ<α} の順序数の添え字と 集合Aの要素aとが 過不足なく 対応して 集合Aに 順序数の添え字による 整列順序が入るってしかけだろ？ >可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって >考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？ 話は全く逆だよ 選択公理のパワーは、扱える集合族の添え字の大きさであり 集合族の添え字 一つから 一つの要素が出るので つまりは 要素の整列の長さが決まる 非可算とか可算とかね この根本的な 選択公理の理解に対する全体像 つまり ランドスケープが欠けているから トンチンカンなことを、ほざくのですｗｗ いま、可算集合Aがあって、可算選択公理を仮定する Jech の 集合族 A-{aξ：ξ<α} で、順序数の添え字 α は、可算で収まる ならば、集合族 A-{aξ：ξ<α} は、可算の集合族であり 可算選択公理で、可算集合Aは整列可能となる！■ 797 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:45:28.88 ID:SFFxcmct.net] >>729 >しかも◆yH25M02vWFhPは、限定に思いっきり失敗してるし その通り。 限定する、すなわちfを定義するために、fで定義されたaαを使っている。 なぜこれで善しと思ったのか。まさに猿知恵。 798 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:51:54.02 ID:wjWOd1UP.net] >Aが可算だとするよ >そうすると、選択関数の定義域を、Aのべき集合から空集合を除いた集合で考えても良いが、 >問題は そのままでは そもそも 順序数での添え字付けがないってことだ 定義域の集合族に属する⊂全部に添え字つける必要ないじゃん　 君、馬鹿なの？ 799 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:55:57.81 ID:YIzEI6dp.net] > 選択公理のパワーは、扱える集合族の添え字の大きさであり 誤　添え字の大きさ 正　濃度 > 集合族の添え字 一つから 一つの要素が出るので つまりは 要素の整列の長さが決まる ●ルが連想ゲームでそう思い込んでることはわかってるが みんながいってるのは、その連想ゲームが間違い●違いってことよ >この根本的な 選択公理の理解に対する全体像 つまり ランドスケープが欠けている ウソの全体像　ウソのランドスケープ　は　ウソの天才　つまり　正真正銘の●●を生む ●ル　君のことだよ　フハハハハハハ 800 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 14:00:09.01 ID:YIzEI6dp.net] いま、可算集合Aがある Jechの選択関数fの　集合族 P(A)-{φ} は非可算の集合族であるから 可算選択公理では、Jechの証明を実行できず、可算集合Aを整列させられない 残念だったな　●ル 無限乗積の収束も失敗 正則行列の判定も失敗 選択公理の適用も失敗 スリー� 801 名前：Aウトで大学退学な [] [ここ壊れてます] 802 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 14:04:27.39 ID:SFFxcmct.net] >>729より >可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって >考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？ Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。 ∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。 はい、雑談ザルの持論は独善妄想であることが証明されますた。残念！ 803 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 14:35:27.95 ID:SFFxcmct.net] >>730 >そこから >>709 Thomas Jechの "aα=f(A-{aξ：ξ<α})" をどうやって出すの？ｗｗ ；ｐ） どうやって出すも何も We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. と、Thomas Jechが定義してるんだけど？ 君はεN論法による数列の極限の定義をどうやって出したのか疑問で教員に尋ねたと？ で、納得する答えが得られなかったからブチギレて解析学の単位を放棄したと？ そりゃ大学1年の4月に落ちこぼれますわ。 >いま Aが 可算集合とするよ 可算なら選択公理不要。>>739で証明済み。 以下敢えて選択公理を使って証明するとして。。。 >>>709-710に書いたように、集合族 A-{aξ：ξ<α} を使った 選択関数に限れば >順序数 α は、可算の範囲だよね >ところが、Aのべき集合全体をカバーする順序数は 2^A つまり 非可算だろ だから？ >（あたかも 自然数Nを整列させるのに、2^N の 非可算集合で、実数Rを整列させようってか？） なんでNを整列するのにRの整列が要るの？　馬鹿なの？ てかなんで「あたかも」でつながるの？　ぜんぜんつながってないんだけど　「あたかも」で誤魔化そうとしても無駄なんだけど >おサルさ あんた >あたま カラっぽじゃねｗ ；ｐ） おサルもあたまからっぽも君 >先制攻撃をしておく 秒で迎撃されてて草 804 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 14:39:36.69 ID:LP4AFWMW.net] ◆yH25M02vWFhP　と掛けてキムジョンウンと解く その心は・・・ミサイルひとつもあたりゃしねぇ！ 805 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:19:06.05 ID:SFFxcmct.net] >>734 >血の巡りの悪い人がいるね それが君 >それ>>730に書いたけど Aが可算だとするよ >そうすると、選択関数の定義域を、P' (＝Aのべき集合から空集合を除いた集合) >で考えても良いが じゃ終了 >問題は そのままでは そもそも 順序数での添え字付けがないってことだ 使わない添え字がなんで要るの？　馬鹿なの？ >（そして もし 添え字付けすれば Aより一つランク上の無限の順序数の添え字要） じゃ終了 >そこで、Jechは より小さい集合族 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) >にうまく落とし込んでいるってことだね 妄想。aαを定義してるだけ。 >で、集合族 A-{aξ：ξ<α} の順序数の添え字と 集合Aの要素aとが >過不足なく 対応して 集合Aに 順序数の添え字による 整列順序が入るってしかけだろ？ 何ワケワカンナイこと言ってんの？ 過不足の無さはsup{α|aα is defined}によるんだけど。 ぜんぜん分かってないじゃん君。 806 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:19:49.19 ID:SFFxcmct.net] >>可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって >>考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？ >話は全く逆だよ >選択公理のパワーは、扱える集合族の添え字の大きさであり なんで添え字に拘るの？　使わない添え字は要らないんだけど。馬鹿なの？ >集合族の添え字 一つから 一つの要素が出るので つまりは 要素の整列の長さが決まる 長さはsup{α|aα is defined}ですけど？ 807 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:20:25.11 ID:SFFxcmct.net] >この根本的な 選択公理の理解に対する全体像 つまり ランドスケープが欠けているから >トンチンカンなことを、ほざくのですｗｗ aαを使って選択関数fを定義するとか言ってる君こそがトンチンカン。 なぜならaαの定義にfを使っている、すなわち循環参照になってるから。 なんで何度言っても理解できないの？　馬鹿だから？　じゃ数学諦めなよ。馬鹿に数学は無理だから。 808 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:21:40.67 ID:SFFxcmct.net] >いま、可算集合Aがあって、可算選択公理を仮定する >Jech の 集合族 A-{aξ：ξ<α} で、順序数の添え字 α は、可算で収まる >ならば、集合族 A-{aξ：ξ<α} は、可算の集合族であり >可算選択公理で、可算集合Aは整列可能となる！■ 809 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:21:52.29 ID:SFFxcmct.net] 大間違い。 Aが可算なら可算選択公理無しで整列可能。>>739で証明済み。 また敢えて選択公理を使って証明しても良いが、その場合可算選択公理では不足で選択公理が必要。 理由は上に書いた通り、君のfの定義は循環参照になっておりwell-definedでないから。 もういいかげん黙れば？　公開処刑されるのがそんなに楽しい？ 810 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:44:19.79 ID:SFFxcmct.net] ユーチューブに認知症の親の介護の動画があるんだけど、 通帳の隠し場所の記憶が無くて、介護してもらってる我が子を泥棒呼ばわり、何度説明しても一切聞く耳持たないんだよね 雑談ザルがそっくりなので思い出しちゃった 811 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:54:46.56 ID:SFFxcmct.net] 雑談ザルも持論が正しいと思い込んじゃって、こちらがいくら説明しても一切聞く耳持たないからね 循環参照では？という疑いの目で見直してごらん　思い込みはダメよ 812 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 17:59:01.55 ID:C6l4Y3jA.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね ID:SFFxcmct と ID:YIzEI6dp が、おサルか ；ｐ） >>735-747 >誤　添え字の大きさ >正　濃度 違うよ いま、任意無限集合Aを整列させる話だから 順序数との対応（順序同型）が問題になる だから、濃度でなく 整列順序の長さ つまりは 順序数との対応を考えるから 添え字の大きさ の方が正解です 下記の 尾畑研 東北大 の１〜１６章を全部百回音読してね >Aが可算なら可算選択公理無しで整列可能。>>739で証明済み。 　>>739より Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。 ∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、 ∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。 (引用終り) なるほど、その証明は 成り立っているようだが（Nを順序数の一部と見れば Jechの証明と同じかな） そもそも、”Aが可算集合”の範囲が問題となる 下記 カントールらは”無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている”とある ”ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算である”（いわゆる可算和定理 en.wikipediaにも記載あり） なので、やっぱ 可算選択公理 いるよね（可算選択公理があれば、可算と言えるのに それが 言えない場合が出る） (参考) www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 尾畑研 東北大 「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf) 第1章 略す 第16章 つづく 813 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 17:59:32.77 ID:C6l4Y3jA.net] つづき ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理 選択公理の変種 可算選択公理 →詳細は「可算選択公理」を参照 選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 可算選択公理 可算選択公理（英: Axiom of countable choice）とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。 応用 ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]。 実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。例えばすべての集積点 xがある数列の極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する数列S∖{x}が存在する」 という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)ACωを用いれば十分である。 また、距離空間論において、可分距離空間の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる[1]。 ポール・コーエンはACωがZF集合論から証明できないことを示した。 en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice Axiom of countable choice Weaker systems ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold.[7] Equivalent forms There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9] 略す (引用終り) 以上 814 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 18:27:33.96 ID:C6l4Y3jA.net] >>748 >循環参照では？という疑いの目で見直してごらん　思い込みはダメよ ん？ 下記？ 　>>714より 引用 　aα=f(A-{aξ：ξ<α})　と定義したのだから 　aに先立ってfの定義が必要 　fの定義域がaでつくられるとか完全な循環論法 (引用終り) 現代的関数の定義は、対応関係で ”一定の法則性を持たせる必要はない”（下記） とあるよ f：A-{aξ：ξ<α} → aα で 終わってない？ 815 名前：(参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 関数 (数学) 現代的解釈 ディリクレは、x と f (x) の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要はないとした。つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。 集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 f のことであると解釈する。それは二項関係の特別の場合として関数を定義するということであり、その意味で関数は写像の同義語である[注釈 2]。 [] [ここ壊れてます] 816 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:32:57.09 ID:SFFxcmct.net] >>749 >だから、濃度でなく 整列順序の長さ つまりは 順序数との対応を考えるから >添え字の大きさ の方が正解です だから長さはsup{α|aα is defined}だと何度言えば分るの？ そもそもfの定義域P(A)-{{}}の元に添え字付けなんて要らない。なんで使ってもいない添え字が要ると思うの？　馬鹿なの？ >下記の 尾畑研 東北大 の１〜１６章を全部百回音読してね 何回音読しても君の持論が正しくなることは無い。 817 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:33:09.56 ID:SFFxcmct.net] >　>>739より >Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。 >∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、 >∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。 >(引用終り) >なるほど、その証明は 成り立っているようだが（Nを順序数の一部と見れば Jechの証明と同じかな） ぜんぜん違うけどｗ Jechの証明は選択公理を使っている。>>739は使っていない。天と地ほど違う。馬鹿なの？ >そもそも、”Aが可算集合”の範囲が問題となる 意味不明。 >下記 カントールらは”無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている”とある >>739は使っていないからまったくナンセンス。 >”ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算である”（いわゆる可算和定理 en.wikipediaにも記載あり） >なので、やっぱ 可算選択公理 いるよね（可算選択公理があれば、可算と言えるのに それが 言えない場合が出る） 不要。 >>739は可算集合の可算和を使っていないから。 口を開けば間違いばかりだね君。もう口閉じたら？　そんなに馬鹿自慢したい？　されても困るだけなんだがｗ 818 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:46:23.64 ID:SFFxcmct.net] >>751 >現代的関数の定義は、対応関係で ”一定の法則性を持たせる必要はない”（下記） >とあるよ 一定の法則性を持たせていないからまったくナンセンス。 そもそも選択関数は存在しか言えないのに、なんで一定の法則性という話になるんだよ。まったく分かってないね。 >f：A-{aξ：ξ<α} → aα >で 終わってない？ 終わってるのは君。 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は、aαを使ったfの定義ではなく、fを使ったaαの定義。 aαの定義にfが使われてるんだからaαを使ってfを定義したら循環参照になるだろと言ってるんだけど、人の話を聞けないの？　認知症かい？ 819 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:48:14.04 ID:SFFxcmct.net] もう認知症ザルは口開かなくていいよ。 人の話を聞かずに独善持論を繰り返してもまったくナンセンスだから。 820 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:50:26.69 ID:SFFxcmct.net] 認知症ザルに聞きたいんだけど 君、a0∈Aをどう選ぶつもり？ 821 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 19:36:51.03 ID:w5k5tJaP.net] >>751 >f：A-{aξ：ξ<α} → aα >で 終わってない？ それは定義ではない これが定義 f : S(⊂A)→x(∈S) a : α→f(A-{aξ：ξ<α}) 822 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 19:41:27.25 ID:w5k5tJaP.net] まず、集合族P(A)-{Φ}に対し選択公理を適用して、関数fの存在を示す その上で、この関数fを使って、順序数からAへの関数を帰納的に定義する これが、選択公理から整列定理を導く証明 分からん奴は大学数学無理 823 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 20:20:58.25 ID:n4GbW2On.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね >>754-758 　>>751より f：A-{aξ：ξ<α} → aα で 終わってるよね fは、現代的関数の定義として 入力と 出力の対応が示せれば それが関数です で、その特殊例として 関数f(x)がある式で書けるとかの 場合を否定はしないが 議論の必要ないよね (あほ二人の”アナグマの姿焼き")だろ？ｗ ；ｐ） 824 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 20:42:19.43 ID:n4GbW2On.net] >>752-753 さて 　>>667より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ ここで、Aのべき集合から空集合を除いた P'を考えて その部分集合として Aから一つずつ Aの要素を取り出して 集合族A-{aξ：ξ<α}を作る 集合族A-{aξ：ξ<α}を集めると、P'の部分集合になる 部分集合を作る公理は、置換公理を使う(>>667） この 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合は {A-{aξ：ξ<α}}を一つの要素と数えると、集合A と同じ濃度だ （∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか 一対一対応） よって、Aが可算ならば 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合も可算 なので、可算選択関数 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) と見ることができて 可算集合Aの整列が 可能 このJech類似の証明と 君の　>>739より Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。 ∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、 ∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。 (引用終り) を比較すると、Jech類似の証明もまた良さがある つまり、整列可能定理とは、集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという 有限集合で行うことを、任意の無限集合で実現するもの 上記の Jech類似の証明もまた 可算集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという ことをしている　”as desired”に （>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ） 君の >>739の証明では、可算Aと Nとのなにか 全単射の存在のみ言えるが 本来 整列可能定理が持っている ”as desired”に 集合Aから要素を一つずつ取り出して並べる が、言えていない。可算選択公理を仮定しない分 そこが弱い 825 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 20:45:10.81 ID:n4GbW2On.net] >>760 タイポ訂正 （∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか 一対一対応） 　　↓ （∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとが 一対一対応） 826 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 21:29:13.83 ID:SFFxcmct.net] >>760 >Aから一つずつ Aの要素を取り出して だからどうやって取り出すのか聞いてるんだけど >集合族A-{aξ：ξ<α}を作る （中略） >そこが弱い まったくデタラメのゴミ駄文。 任意の集合Aとある順序数λとの間に全単射が存在するなら整列順序(A,>)を構成できる。 Aが可算なら定義から自明にλ=ω。 任意の集合Aに対し選択関数を使ってλ=sup{α|aα is defined}を構成してるのがJechの証明。 827 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 23:02:49.85 ID:n4GbW2On.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね >>762 >>Aから一つずつ Aの要素を取り出して >だからどうやって取り出すのか聞いてるんだけど 　>>667より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ 終わってんじゃん これで！！ｗ ；ｐ） 828 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 23:27:26.23 ID:SFFxcmct.net] >>763 >>>Aから一つずつ Aの要素を取り出して >>だからどうやって取り出すのか聞いてるんだけど >aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり a0=f(A) じゃん つまり a0はfを使って取り出してるじゃん つまり a0,a1,a2,・・・ のいずれもfを使って取り出してるじゃん つまり a0,a1,a2,・・・ のいずれもfが未定義なら取り出せないってことじゃん で、おまえは a0,a1,a2,・・・ を使ってfを定義すると？　それ循環参照じゃん　だってfでfを定義すると言ってるんだから 馬鹿なおまえでも分かっただろ？　これで分からなきゃ死んだ方がいいよ >終わってんじゃん おまえがなｗ 829 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 23:38:58.77 ID:SFFxcmct.net] 人の話を聞く耳持たない独善ザルは無事に公開処刑されますた R.I.P. 830 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 05:52:30.39 ID:EVVFWOG9.net] >>760 >ここで、Aのべき集合から空集合を除いた P'を考えて、その部分集合として、 >Aから一つずつ Aの要素を取り出して 集合族A-{aξ：ξ<α}を作る STOP！ 「Aから一つずつ Aの要素を取り出して」のところ ここで、Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要 なぜか？ それは、要素を取りだす行為が有限回で完結しないから したがって部分集合が空でないなら、かならず要素が取り出せることを保証せねばならない それが選択公理　わかった？ 831 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 05:57:14.93 ID:EVVFWOG9.net] >>760 >集合族A-{aξ：ξ<α}を集めると、P'の部分集合になる >部分集合を作る公理は、置換公理を使う 　そもそも部分集合族A-{aξ：ξ<α}なんて要らない 　「Aから一つずつ Aの要素を取り出」すために 　「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」があればいい 　超限帰納法によって各取り出し行為に順序数を割り付けるのは 　選択関数を定義した後の話であって、選択関数の構成ではない 832 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 06:01:45.22 ID:EVVFWOG9.net] >>760 > 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合は > {A-{aξ：ξ<α}}を一つの要素と数えると、 > 集合A と同じ濃度 >（∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか 一対一対応） > よって、Aが可算ならば 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合も可算なので、 > 可算選択関数 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) と見ることができて > 可算集合Aの整列が 可能 ダメ そもそも集合族A-{aξ：ξ<α}をつくるのに 「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」 を使ってる 「Aの空でない部分集合全体」は非可算 したがって、可算選択公理ではできない 833 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 06:07:14.32 ID:EVVFWOG9.net] >>760 Jechの証明でいえること Aの整列には、集合族P(A)-{Φ}に対する選択公理が必要 濃度Oの整列には、濃度2^Oの選択公理が必要 もちろん逆もいえる Aが整列されていれば、Aの任意の空でない集合からその中の最小元が取り出せる 濃度Oの集合の整列から、濃度2＾Oの集合族の選択が可能となる 要するに◆yH25M02vWFhPの連想ゲームは全くトンチンカンでしたぁ！ 834 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 06:11:49.15 ID:EVVFWOG9.net] 可算濃度をアレフ0と表す 2^O=アレフ0　となる濃度Oは存在しない つまり、Jechの方法では 可算選択公理で可算集合の整列はできない 別のやり方では？知 835 名前：らん [] [ここ壊れてます] 836 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 12:24:37.15 ID:BOFoeGBB.net] 独善ザル、公開処刑されたのは自分だとやっと気づいたようだね ヒトに1歩近づいたね、あとω歩必要だがｗ 837 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 12:47:53.07 ID:en0YjtqX.net] >>771 仕方ない　工学部では「集合と位相」なんて教えないから これを機会に無論理的連想ゲームをやめるこった そのせいで、大学１年の微分積分も線形代数も落ちこぼれたんだから 原因がわかってよかったじゃないか　なぁ 838 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 12:50:31.34 ID:eA1X2gnh.net] ただ、率直に言って、選択公理からの整列を示す定理の証明は 今までの話題の中でも、もっともプリミティブだった これすら正確に読解できないとすると 数学書のどんな定理の証明も正確に読解できないだろう そのくらいプリミティブ 839 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 13:52:24.06 ID:BOFoeGBB.net] 整列定理の証明の胆は全単射φ:sup{α|aα is defined}→Aが存在することだと思う。が、 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem の証明ではsup{α|aα is defined}がwell-definedであることが示されていないね。 これで証明になってるのだろうか。 840 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 14:20:46.02 ID:uwj/IkOX.net] >>774 もし、sup{α|aα is defined}が存在しないなら、 順序数全体（集合ではなく固有クラス）からＡへの単射が存在することになる これはＡが集合であることと矛盾する したがってsup{α|aα is defined}は存在する 841 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 14:29:47.26 ID:UtpQjlAI.net] 整列定理は、松坂和夫の本や彌永親子の本ではツォルンの定理を経由して証明しておりゴタゴタしている 齋藤正彦の本の証明は、Jechの本と同一であり、参考図書を見たらJechのSet Theoryと書いてあった ブルバキの数学原論　集合論　２　では、 集合族P(A)-Aから、自分の要素でないAの要素を取り出す選択関数を使っていた この場合{}から始めることになるが、Aになったところで終わるという寸法　要するに裏返し §２整列集合　３．ツェルメロの定理（ｐ２４−２５）　に　定理１（ツェルメロ）とあるが、 これがツェルメロの原証明かどうかはちょっとわからん 842 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 14:31:42.34 ID:UtpQjlAI.net] >>776 誤　ツォルンの定理 正　ツォルンの補題 843 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/29(水) 14:53:40.29 ID:s7oLTcE3.net] >>764-770 >「Aから一つずつ Aの要素を取り出して」のところ >ここで、Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要 選択関数と 普通の関数の区別分かっている？ en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set. Formally, this may be expressed as follows: ∀X[Φ not∈ X⟹∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A) ] ここは式が複雑なので原文を見るのが良いが、”f(A)∈A”が一番の要点、つまり 集合族の全てのAに対して f(A)=a ∈A が成立しているということ f(A) が、選択関数で fが選択関数だ f(Ai)のようにAに添え字iを付けた方が分かり易い （iは可算(自然数など)とは限らないが） ”∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)”なので f；X→Ai→ai∈Ai のように、→が2段になっている（なので{a 844 名前：i}は、Xの部分集合ではない） 下記の 尾畑研 f：R→R では、y=f(x)でx→y もっと書けば、順序対(x,y) で "公理論的集合論と写像" の如く、"直積集合の部分集合X x Y"だという www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-4_shazo.pdf 尾畑研 東北大 2018 第4章写像 公理論的集合論の立場では、考える対象はすべて集合であるから写像もまた集合として導入される 直積集合の部分集合X x Yで定理4.1 (ii)に述べた性質をもつものを写像の定義とする 必要に応じて対応としての写像f：X→Yを導入すればよい これを踏まえて >>763 Thomas Jech To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα:α<θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A■ ここで、Sが我々の考えているP'=P(A)-{Φ}だとして 集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 （明らかに、集合Aと同じ濃度） だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える） さらに、下記の包含関係が成立している A⊃A-{a0}⊃A-{a0,a1}⊃A-{a0,a1,a2}⊃・・⊃A-{aξ：ξ<α}⊃・・ だから、順序数の添え字付けも、この点からも首肯できる その上で、Jech氏証明の 選択関数 f：A-{aξ：ξ<α} → aα この関数は、A-{aξ：ξ<α} が集合族で定義域で 関数値の aαは、上記 包含関係の列の 前後の項の差分 だと思えば良い [] [ここ壊れてます] 845 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/29(水) 14:59:08.16 ID:s7oLTcE3.net] >>778 タイポ訂正 f(A) が、選択関数で fが選択関数だ 　↓ f(A) の fが選択関数だ かな 846 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:09:06.83 ID:kC12UE77.net] Sの部分集合の形成には、選択関数は必要 aα₌f(A-{aξ：ξ<α}) 「f(A) の fが選択関数」でしょ？ 847 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:21:43.24 ID:BOFoeGBB.net] >>778 >{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 >（明らかに、集合Aと同じ濃度） >だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要 大間違い。 a0:=f(A) つまり選択関数fは必要。 ほんと頭の悪いサルだねえ 848 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:25:15.80 ID:BOFoeGBB.net] いやあ、ここまで説明を重ねられてまだ理解できてないって衝撃的な頭の悪さだね 世の中広いね　ここまで頭の悪い人が居るんだね ああ、人でなくサルだからかｗ 849 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/29(水) 15:30:00.93 ID:s7oLTcE3.net] >>773 ご苦労さんｗ なんか、大学初年生に諭している気分だなｗ ；ｐ） １）証明は、君が独り言ちたように、一つではない 　”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要”>>766 　って それ あったかな？ｗ ２）いや、「Aの空でない部分集合」を考えるのは良いよ 　そして、個人として 　「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」を考えるのも君の勝手だ ３）だが、”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要” 　と言い出すと、話は別だよ ４）「Aの空でない部分集合からその要素への”選択関数”」無しでも 　Thomas Jech氏の証明が成り立つことは、>>778に示した（それは いままでも。何度もね） なんか、大学初年生に諭している気分だなｗ ；ｐ） 850 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/29(水) 15:35:35.99 ID:s7oLTcE3.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね >>781 >>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 >>（明らかに、集合Aと同じ濃度） >>だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要 >大間違い。 >a0:=f(A) つまり選択関数fは必要。 アホさる>>7-10 の強弁、無様 必死の論点ずらしだ 笑えるな 30年前 数学科修士まで学び あれから30年経った（薹（とう）の立った）男のザマがこれか？ あんた、数学の才能ないねｗ ；ｐ） 851 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:40:49.68 ID:en0YjtqX.net] >>783 >「Aの空でない部分集合からその要素への”選択関数”」無しでも > Thomas Jech氏の証明が成り立つことは、778に示した 　示せてないけど > なんか、大学初年生に諭している気分だな 　万年高３が何イキってるの? 852 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:43:40.34 ID:vOWqKixW.net] >>784 > 血の巡りの悪い人がいるね ◆yH25M02vWFhPのことね > ●の強弁、無様 > 必死の論点ずらしだ > 笑えるな 　自分で自分を笑うのかい？ > あんた、数学の才能ないね 　あんた＝◆yH25M02vWFhP 853 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:57:12.10 ID:BOFoeGBB.net] >>783 >　”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要”>>766 >　って それ あったかな？ｗ 選択関数無しでどうやって無限個の元を並べるつもり？ < 854 名前：br> あんたはナイーブに >Aから一つずつ Aの要素を取り出して とか言っちゃってるけどさ >４）「Aの空でない部分集合からその要素への”選択関数”」無しでも >　Thomas Jech氏の証明が成り立つことは、>>778に示した（それは いままでも。何度もね） 上の問いに答えられてないからただの妄想。 [] [ここ壊れてます] 855 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:00:34.22 ID:BOFoeGBB.net] >>784こそが、真の論点ずらし なぜなら「可算と限らない無限個の元をどうやって並べるのか？」に答えず逃げてるから 856 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:11:36.05 ID:BOFoeGBB.net] >>784 おサルさんは理解してないだろうけど >Aから一つずつ Aの要素を取り出して というナイーブな考えが通用するのはAが有限集合のときだけ。 つまりおサルさんは選択公理を無意識に自明なものとみなしてしまっている。 おサルさんはカントールがそうしていたことをしばしば口にするが、実はおサルさん自身だったｗ 857 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:28:00.28 ID:Cylmrq2N.net] そもそも、選択関数fの定義域をAと同濃度の集合に縮小する必要が全くない ◆yH25M02vWFhPが「可算整列定理には可算選択公理」とかいう 論理と無関係の連想ゲームを正当化したがってるだけ だから万年高校三年生って言われるんだよ 858 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:51:16.52 ID:BOFoeGBB.net] 「自分が思いついたことは価値あること」 そう信じたくて仕方無いんだろうね 自己愛性人格障害の症状かな 859 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/29(水) 18:13:21.64 ID:s7oLTcE3.net] >>778 補足 (引用開始) 集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 （明らかに、集合Aと同じ濃度） だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える） (引用終り) ＜補足＞ １）かように、Aのべき集合全体(空集合抜き)の選択関数は不要 ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく ３）調べると 可算集合Aを整列させるためには、従属選択公理が必要とある （下記の独 de.wikipedia ご参照。en.wikipediaにも類似記載あり。 　即ち、”to construct a sequence using countable transfinite recursion” 　なお、Axiom of countable choice en.wikipedia は、”for every n∈N”つまり、順序数の長さでω（＝N）が限界） (参考) de.wikipedia.org/wiki/Axiom_der_abh%C3%A4ngigen_Auswahl Axiom der abhängigen Auswahl (google 英訳) axiom of dependent choice use The axiom of dependent choice is a sufficient fragment of the axiom of choice to construct a sequence using countable transfinite recursion . en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice Axiom of dependent choice Use The axiom DC is the fragment of AC that is required to show the existence of a sequence constructed by transfinite recursion of countable length, if it is necessary to make a choice at each step and if some of those choices cannot be made independently of previous choices. en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice Axiom of countable choice The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function. That is, given a function A with domain (where N denotes the set of natural numbers) such that A(n) is a non-empty set for every n∈N, there exists a function f with domain N such that f(n)∈A(n) for every n∈N. ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 可算選択公理 860 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:29:54.16 ID:BOFoeGBB.net] >>792 話を聞く耳持たない独善ザルはヒトとして認められません　残念！ 861 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:36:35.62 ID:BOFoeGBB.net] >>792 >{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 >（明らかに、集合Aと同じ濃度） Aそのものｗ >A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・ を得るにはaξが必要。 aξを得るにはfが必要。 fの定義域はP(A)-{{}}。 |P(A)-{{}}|>|A|。 よって >２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく は大間違い。 指摘？　笑わせるなｗ　おまえは指摘される側だｗ 862 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:42:32.07 ID:EVVFWOG9.net] ◆yH25M02vWFhPに捧げるｗ https://www.youtube.com/watch?v=d8sziroHzjQ 863 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:59:20.75 ID:EVVFWOG9.net] Jechの証明は Aの空でない部分集合Sから要素a∈Sを選ぶ選択関数 f と a∈AとS⊂AからS-{a}　 S1,S2,…⊂Aから∩Sn を導く関数を組み合わせるだけのこと 864 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/29(水) 22:0 ] [ここ壊れてます] 865 名前：4:56.41 ID:a/peK22S.net mailto: ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ >>649に引き続き 『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』の前に Zorn's lemma を、取り上げよう まず、マクラの続きです 下記 Akihiko Koga さん いいね （参考：いつもお世話になっている Akihiko Koga さん ） www.cs-study.com/koga/set/lemmaOfZorn.html#TransfiniteMethod Zorn の補題と選択公理のお話 (about Zorn's Lemma and Axiom of Choice) by Akihiko Koga 25th Jan. 2020 (Update) 1st Aug. 2018 (First) 目次 概要 動機 選択公理とZorn の補題の内容 Zorn の補題の成分表 Zorn の補題は何に使えるのか 主な証明方法の種類 何が難しいのか(長いチェインを作る証明について） 【幕間 - 集合論の数取りゲーム -】 証明（長いチェインを作る） 同値な命題 テューキーの補題(Tukey's lemma) ハウスドルフの極大原理(Hausdorff's maximal principle) 選択公理と類似の命題 選択公理より弱い命題 考察 ある応用における選択公理との対比(部分関数から全域関数への拡張) Zorn の補題における選択公理の役割 ある種の構成的定義に関する妥当性 （「上の規則で作られたものだけが〇〇である」） 集合のクラス V における再帰的定義について Zorn の補題における選択公理の役割 AGAIN [比較的重要] 考察その２（二つの上昇原理 v.s. 一つの選択関数） [比較的重要] 考察その３（上昇原理の考察 AGAIN．「...」の正体は？） (2020.1.22 追加) 歴史 参考文献 手っ取り早く Zorn の補題の証明や応用などを知りたい人向けの情報 そのほか より良い理解のために知っておいたほうが良いこと [] [ここ壊れてます] 866 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 23:50:14.59 ID:a/peK22S.net] メモ repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/279730 Gentzenから始まる証明論の50年 : 順序数解析を中心として (証明と計算の理論と応用) 新井, 敏康 Aug-2022 数理解析研究所講究録 抄録: おおよそ1930-80年における証明論の主な結果・アイデアを，順序数解析(ordinal analysis)を中心として述べていく．但しこの期間の問題に関わる限り，90年以降の結果も一部盛り込む．尚，記述や記法は後に整理されたかたちで述べるので原論文のままというわけではない．したがって証明論の通史や学史のようなものをこの原稿に期待しないで頂きたい．ここでは紙幅の制限により証明の詳細は省いてある．sequent calculi（とε-calucliも少々）については[A2020a]をご参照願いたい． www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2228-10.pdf Gentzen から始まる証明論の50年 - - 順序数解析を中心として 867 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 03:43:35.26 ID:1G3ukQJP.net] >>797 >Zorn's lemma を、取り上げよう >Akihiko Koga さん いいね 整列可能定理ならこっちが断然いいね Jechの証明について解説してるじゃん あんた、どこみてんの www.cs-study.com/koga/set/pointsOfSetTheory.html#WellOrder04 868 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 03:55:26.98 ID:1G3ukQJP.net] >>799 整列可能定理 任意の集合 X に対して，(X, ≤) が整列集合になる順序 ≤ が存在する． 整列可能定理は 選択公理を使わないと証明できない． 直観的には やっていることは以下のようなことである． 任意の集合の整列方法 ・”集合Aから元を選んで”積んでいきます ・どんどん、どんどん、積んでいきます ・★無限に積んだら、その上におもむろに一個の元を置きます。ここが大切です。 ・そしてその上にまた元を積んでいきます　これをAの元が尽きるまで繰り返します。 基本的にはこの方法しかない・・・ ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 選択公理を使ってるのは”集合Aから元を選んで”の箇所 ここで、Aの任意の空でない部分集合から元を選ぶ選択関数を使っている 869 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/30(木) 07:38:59.50 ID:o/pAlieb.net] >>799-800 ありがとう Akihiko Koga氏のサイトと資料は 旧ガロアスレで取り上げて、何度もお世話になっています 彼のサイトは、参考になるよね で？ 選択公理→整列可能定理の証明で 集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って 書いてあるかな？ 870 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 07:45:06.74 ID:o/pAlieb.net] Zornの補題に向けて、メモ貼ります saibanty0.blog.エフシーシー.com/blog-entry-355.html （URLが通らないので検索たのむ） ｻｲﾊﾞﾝﾁｮの不定記 +数学いろいろ 帰納法で学ぶツォルンの補題とそれを利用した証明 2021/07/24 0. はじめに 　みなさんはツォルンの補題を知っているだろうか。選択公理と同値であり、定理の証明にコイツを使うときはことごとく証明が長かったりするアイツである。 　私は学部１年の後期の授業でツォルンの補題やそれを利用した典型的な証明（Zermeloの整列定理、(0でない)ベクトル空間の基底の存在定理、無限集合を２乗しても濃度が変わらないこと）を習い、その難解さに震えたことを覚えています。 　しかしながら、ツォルンの補題を利用した典型的な証明はどれも似たような手順を踏んでいて、読んでいるうちに「これって帰納法にかなり近いというか、むしろ帰納法の究極形なのでは・・・？」とも思えてきて、なんとなくそうなのだろうなという理解で過ごしていました。 　それからしばらく経ち、先日久しぶりにそれらの証明を読み返してみたら、もう少し色々なことが見えてきたのでメモしておこうというのが今回の記事です。帰納法はどこまで一般的な状況に拡張できるのか？を考えていくと、ツォルンの補題の証明やツォルンの補題を利用した証明の気持ちが見えてくる、というのが主張です。 1. さまざまな帰納法 2. ツォルンの補題を使った証明 ('22 12/11追記)　進化チャート 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/30(木) 07:48:29.89 ID:dPVM7pkm.net] >>792 > （明らかに、集合Aと同じ濃度） > ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく 「同じ濃度(順序数)」では(無限)集合Aの要素を全て取り出したということは言えない 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/30(木) 07:57:41.45 ID:dPVM7pkm.net] >>801 > で？ > 選択公理→整列可能定理の証明で > 集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って 「Aのべき集合（空集合を除く）」であれば(無限)集合Aの要素の全てが一度は必ず使われているので集合Aの要素を全て取り出したと言える 873 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 08:02:59.74 ID:BKOpIti/.net] >>801 >選択公理→整列可能定理の証明で >集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って >書いてあるかな？ 選択公理→整列可能定理の証明 集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って 書いてあるかな？ 全部、◆yH25M02vWFhPの勝手な連想ゲームじゃない？ 874 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:08:19.75 ID:S0uv3c2L.net] >>801 >選択公理→整列可能定理の証明で >集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って >書いてあるかな？ using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A 思いっきり書いてあるんですけど？　あなた文盲ですか？ 875 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 10:09:01.06 ID:Xxyr0Rol.net] >>803-805 　まず >>763より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ １） >> （明らかに、集合Aと同じ濃度） >> ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく >「同じ濃度(順序数)」では(無限)集合Aの要素を全て取り出したということは言えない 上記の"aα=f(A-{aξ：ξ<α})"で、一対一対応が出来ている なので、aαの集合と A-{aξ：ξ<α}の集合の濃度は等しい（ベルンシュタインの定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86） ２） >「Aのべき集合（空集合を除く）」であれば(無限)集合Aの要素の全てが一度は必ず使われているので集合Aの要素を全て取り出したと言える 意味不明。上記”the family S of all nonempty subsets of A” から、どうやって A-{aξ：ξ<α} たちを取り出す？ 先制攻撃しておくが、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すよ つまり、A' ⊂ S で、部分集合を構成する公理は、置換公理（or 分出公理）を使うのが基本です ３） >集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って >書いてあるかな？ 話は逆だよ。Akihiko Koga氏の選択公理→整列可能定理の証明で 集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って 聞いたんだよｗ そして、先制攻撃しておく 上記のように、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すので 置換公理（or 分出公理）を使えば良い。集合A'は、Aと等濃度 但し、可算選択公理（列ω限定）ではなく、従属選択公理(任意可算列)が必要>>792 以上 なお、下記のen.wikipedia を引用しておく。Jech, Thomasの証明が元だ ここで、”as desired”にご注目 公理系は、基本 やりたい数学をやれるように選ぶべし 但し、「やりたい放題」では、矛盾や脱線が起きる ZFC公理系は、いろんな人が使って、「やりたいことやれるし、いままで 矛盾や脱線が起きてない」 そうい公理系だってことよ つづく 876 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 10:09:21.04 ID:Xxyr0Rol.net] つづき (参考)(再掲)>>631より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　 For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. (引用終り) 以上 877 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:16:53.18 ID:S0uv3c2L.net] >>801 「Aから元をどうやって取り出すのか？」にあなたは「Jechの証明で終わっている」と答えた。 その証明に「using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A」と書かれている。 はい、詰みです。 878 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:22:57.37 ID:S0uv3c2L.net] >>807 間違いを認められないおサルさんがなんか喚いてますが、まったくナンセンスですよ >>809で詰んでますから 879 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 10:35:02.06 ID:Xxyr0Rol.net] >>808 補足 >if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. >That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). ここ ”leave aα undefined if it is. ”は、 A∖{aξ∣ξ<α} が empty のときは 関数”aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})”が undefinedで良いってことだね（ちょっと 分かり難いが） そして、次の行で補足している（”That is”だね） ”or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated” だが、この意味は 集合Aの整列が完成すれば、あとの選択関数は”undefined”だってこと！ つまりは、選択関数は Aの整列までで 十分なのです！！ ；ｐ） 880 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:37:40.55 ID:9dHJAGwJ.net] >>807 >>集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って >>書いてあるかな？ >話は逆だよ。 >Akihiko Koga氏の選択公理→整列可能定理の証明で >集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要 >って 聞いたんだよ Akihiko Koga氏の証明では 集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数を使っている 日本語、読めないのかい？　二ホン●ル 881 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 10:41:55.32 ID:Xxyr0Rol.net] >>811 まあ、数学の常識があれば すぐ分かることだが 数学の常識の無い人は、迷走する典型だなｗ ；ｐ） 882 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:43:24.73 ID:9dHJAGwJ.net] >>813 工学部卒の君に大学数学の常識なんか全然ないけどな 883 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:44:12.26 ID:9dHJAGwJ.net] aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) だから　選択関数fなしには何もできません 884 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:45:23.81 ID:9dHJAGwJ.net] >>811 > 選択関数は Aの整列までで 十分なのです！！ 　君、関数の定義知ってる？ 君の関数理解　間違ってるよ 885 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:48:55.62 ID:aKOY/rSZ.net] 「個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数」 　そしてその独立変数の範囲は「Aの空でない部分集合全体」 　決して「A∖{aξ∣ξ<α}の全体」ではない 　なぜならA∖{aξ∣ξ<α}のaξで選択関数使ってるから循環してしまう 　整列と集合族の濃度の同一性なんて馬鹿な連想ゲームは不要 886 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:51:00.18 ID:aKOY/rSZ.net] 選択関数の定義域の中には、整列の構成に用いない要素が山ほどある だから、何？　見当違いな「効率化」は間違いの元 887 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:52:49.15 ID:aKOY/rSZ.net] ◆yH25M02vWFhPが大学1年の微分積分と線型代数で落ちこぼれたのは 論理が分かっておらず、数学書に書かれてる証明が読めないから まず、見当違いな連想ゲームをやめて、論理を理解しよう 888 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:54:07.41 ID:S0uv3c2L.net] >>811 define an element aα that is in A by setting aα=f(A-{aξ|ξ<α}) if this complement A-{aξ|ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。 選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？ >つまりは、選択関数は Aの整列までで 十分なのです！！ ；ｐ） 独善妄想。 using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A　の通り、選択関数の定義域はP(A)-{{}}。 君、もう詰んでるよ。詰んだら投了しないと人と認めてもらえないよ。サル扱いされるよ。それでいいの？ 889 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:58:05.13 ID:S0uv3c2L.net] >>813 >まあ、数学の常識があれば >すぐ分かることだが >数学の常識の無い人は、迷走する典型だなｗ ；ｐ） と、畜生界を迷走するサルが申しております。人間界に来たければ詰みを認めて投了しよう。 890 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:13:06.07 ID:PeOaATVi.net] 選択公理は　マセマのキャンパス・ゼミじゃ書いてない 手を動かしてまなぶシリーズには書いてあるっぽいが 891 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/30(木) 11:23:30.14 ID:Xxyr0Rol.net] >>812 >Akihiko Koga氏の証明では >集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数を使っている 下記だね。見た これ、>>807-808の Jech, Thomas の証明と類似だね Jech, Thomas では、”we can do by induction”（超限帰納）と、 ”it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A” という 順序数αによる添え字付け手法を使っているんだ で、君は ある証明で ある手法が使われていることをもって 証明には、その手法が”必須”だと主張する しかし、ある手法が使われていることから、”必須”は言えない なお、下記の Akihiko Koga の記載は参考になるね（自分の数学認識をクリアにするために）。それは認める (参考) www.cs-study.com/koga/set/pointsOfSetTheory.html#WellOrder04 集合論の学習での重要なポイント Some Important Topics in Basic Set Theory by Akihiko Koga 10th Sep. 2018 (Update) 選択公理からの直接の証明 [前置き] まず，選択公理を使って，A 以外の P(A) の集合，すなわち A の真部分集合 X ⊂ A に対して，X 以外の元を 選ぶ関数 f f : P(A) - {A} → A f(X) ∈ A - X を一つ決めておく． 図略す 実は，この関数を決めた段階で．A の上に一つの整列順序がすでに決まっているのである． それは，X が整列されたとしたら，その後ろに f(X) を置くという順序である． 図略す もし，X を整列した部分に最後の元 y があれば，f(X) はその直後の元であり，y は f(X) の直前の元である．また，もし，X を整列した部分に最後の元が無い場合， つまり，... と無限に続く場合は，f(X) の直前の元はない．どちらにしても， f を決めた段階で，このように A の整列順序が１つ定まるはずである． 整列可能定理の証明は，この直観が正しいことを丁寧に示し� 892 名前：ﾄいくことになる． [前置き終わり] 以下，上の直観的な議論を実際に証明に落としていく． [Proof of 選択公理から整列可能定理] 任意の集合 A に整列順序を入れることができることを証明する． 実は，この証明は次の節の Zorn の補題の証明を焼き直した ものである． 略す [] [ここ壊れてます]

---

---

[ 続きを読む ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef