ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

1 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/01(水) 09:57:08.60 ID:2b7XvZNh.net] 前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/ 前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです 関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります） 資料としては、まずはこれ https://sites.google.com/site/galois1811to1832/ ガロアの第一論文を読む 渡部 一己 著 （2018.1.28） PDF https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0 ＜乗数イデアル関連＞ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照 https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik ＜層について＞ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 層 (数学) https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics) Sheaf (mathematics) https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques) Faisceau (mathématiques) あと、テンプレ順次 つづく 702 名前：ﾈ潔なものを採用しよう (AC2) Ω を空でない集合族とする 　もしΦnot∈ Ωであれば写像f：Ω→ ∪XですべてのX∈Ω に対してf(X)∈Xとなるものが存在する. 　この写像fを集合族Ωの選択関数という つづく [] [ここ壊れてます] 703 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 19:58:17.37 ID:57hfZFiX.net] つづき ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。 命題 (Zorn の補題) 半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ。 この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。選択公理と同値な命題の一つ。 準備 この補題で使われている用語の定義は以下のとおりである。集合 P と順序関係 ≤ によって定まる半順序集合を(P, ≤) とする。順序関係において、元 s とt が s ≤ t かつ s ≠ t であるとき、s < tと表す。部分集合 T が 全順序 であるとは、 T の各元 s と t について、s ≤ t または t ≤ s が必ず成り立つことを言う。T が P に上界 u を持つとは、T の元 t がつねに t ≤ u を満たすことをいう。注意として、u は P の元であればよく、T の元である必要はない。P の元 m が 極大元 であるとは、P の元 x で、 m < x となるものは存在しないことをいう。 部分集合としての空集合は自明な鎖であり、上界を持つ必要がある。空な鎖の上界は任意の元なので、このことから 上記の命題においてP が少なくともひとつの元を持つこと、すなわち空集合でないことが分かる。よって、以下の同値な定式化が可能となる。 命題 Pを空でない半順序集合で、その任意の空でない鎖は P に上界を持つとする。このとき P は少なくともひとつ極大元を持つ。 これらの違いは微妙なものであるが、ツォルンの補題を使った証明において半順序として包含関係に代表されるような集合同士の関係を用いる場合、鎖を集合族として/その上界を鎖となった集合族の合併としてとる事があり、その際に空な族の合併は空集合になる一方で空なる鎖の上界は任意の「空でない集合」であるという不一致が、台集合に元として空集合が所属していない場合に起こるので、予め定義において空な鎖について考えなくてよいとの明言が議論を簡単にするという点で使い分けることができる。 ZF集合論において、ツォルンの補題は整列可能定理や選択公理と同値である。すなわち、ひとつを仮定すると残りを証明することができる。 (引用終り) 以上 704 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 20:29:03.17 ID:b1A8rVdb.net] >>648 >そうやって逃げるのが賢明だねｗｗ ；ｐ） 逃げてるのは、せっかく何が分からないか聞いてあげてるのに答えない君ね >”We let for everv α >aα=f(A-{aξ：ξ<α}) >if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.” >だよ 「選択関数に組み込む」がそれなの？ それでそれがどうしたと？ >選択関数fの 定義域を >集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、 >必然性もないでしょ！！ｗｗｗ ；ｐ） じゃあ定義域をAとしてAの元すべての並びを作ってみせて 705 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 22:30:33.59 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>651 (引用開始) >選択関数fの 定義域を >集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、 >必然性もないでしょ！！ｗｗｗ ；ｐ） じゃあ定義域をAとしてAの元すべての並びを作ってみせて (引用終り) 1）ふっふ、ほっほ 　>>631より 再度転記しますｗｗ T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics) Thomas Jechの 証明 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for everv α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ (引用終り) 2）で 上記 T Jechの証明で尽くされているんじゃない？ 　何も足さない。何も引かない。他には 何も必要ないｗ ｗ ；ｐ） 3）現代的定義では、関数とは 写像（対応）だよね 　いま 実数R→R の指数関数f(x) =a^x (a > 0)があったとする 　定義域 R を、有理数Qにする、あるいは整数Zに、あるいは自然数N に狭めることは可能だ 　なぜならば、関数とは 写像（対応）だから 　それぞれ 関数を Q→R,Z→R,N→R の対応と考えれば良いだけのこと 　逆に、定義域 R を、複素数Cに拡張することもできる。そのとき、値域もCになるが 　複素数関数 C→C f(z) =a^z | z∈C となる 　� 706 名前：ｱのように 現代的定義では、関数 即ち 写像（対応）の定義域は、自由度があるのです 3）選択関数についても同様だし 　そもそも、定義域は ”集合族”としか規定されていない 　だから、Thomas Jech のように aα=f(A-{aξ：ξ<α}) とすることに、だれも文句はないはずだ 　どこかの 偏屈の二人以外はね ｗ ；ｐ） 4）選択関数fの 定義域を 集合族P(A)-Φ 全体に広げろという 　別に構わんよ。>>643『∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A』とするんだって？ 　それは、選択公理そのものだから、それはだれも禁止していないし、選択公理を認めれば だれも それは否定できない 　だが、あっても邪魔には成らないが、Thomas Jechの証明の何の足しにもなっていない！！■ 以上 ｗ ；ｐ） [] [ここ壊れてます] 707 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 22:41:44.97 ID:b1A8rVdb.net] >>652 >選択関数fの 定義域を 集合族P(A)-Φ 全体に広げろという 誰も広げろなんて言ってない、なぜなら >using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A の通り、元から広がってるからｗ おまえが英文を読めてないだけｗ　控えめに言って大馬鹿ｗ 708 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 22:55:10.77 ID:b1A8rVdb.net] 雑談くんよう、Sって何だか分るかい？ the family S of all nonempty subsets of A　なんだから、S＝P(A)-Φだろ？ いやあ、雑談くんって馬鹿とは思ってたけどこれほどとはね　なんで君数学板なんかに居るの？　君には数学は無理だけど 709 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 23:09:21.99 ID:57hfZFiX.net] >>649 追加 www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研 第12章 順序集合 12.3 ツォルンの補題 すべての全順序部分集合が上界をもつような順序集合をツォルン集合と呼ぶ そうするとツォルンの補題定理(定理12.18)はツォルン集合には極大元が存在することを主張する 証明は長いのでいくつかの段階に分割する 3） 3）ここでは松村にしたがって集合と写像を用いた初等的な証明を紹介する 超限帰納法による証明もありそれは簡潔で直感的なのだがそのためには整列集合の理論を準備 する必要がある ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C ツォルンの補題 証明の概略 選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。 補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。 各鎖 T について、それより真に大きな元 b(T) が存在する。なぜなら、T は上界を持ち、さらにそれより大きな元が存在するからである。関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。 この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。 順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。 aiは次の超限帰納法で定義する。まず、a0 は P の元から勝手に選ぶ(これは P が空の鎖の上界を持ち、空でないことから可能である)。 他の順序数 w については、aw = b({av: v < w}) で定める。{av: v < w} は全順序であるので、この定義は正しい超限帰納法である。 en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma Zorn's lemma Proof sketch A sketch of the proof of Zorn's lemma follows, assuming the axiom of choice. Suppose the lemma is false. Then there exists a partially ordered set, or poset, P such that every totally ordered subset has an upper bound, and that for every element in P there is another element bigger than it. For every totally ordered subset T we may then define a bigger element b(T), because T has an upper bound, and that upper bound has a bigger element. To actually define the function b, we need to employ the axiom of choice (explicitly: let B(T)={b∈P:∀t∈T,b≥t}, that is, the set of upper bounds for T. The axiom of choice furnishes b:b(T)∈B(T). Using the function b, we are going to define elements a0 < a1 < a2 < a3 < ... < aω < aω+1 <…, in P. 略す 710 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/26(日) 23:22:53.50 ID:57hfZFiX.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>653-654 屁理屈だけは、一人前か 弥勒菩薩氏から、”基礎論婆”とか呼ばれるが その実、大学学部1年の基礎論で詰んだ男だったか？ｗｗｗ おまえは、>>652のThomas Jechの 証明の講釈を言っているのかな？ｗ ；ｐ） あるいは Thomas Jechの 証明に 疑義を呈していなかったか？ｗｗ 　>>643『∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A』なんて わざわざ 書かなくても良いぞ システム入力のデフォルトみたいなものだ（下記） グダグダ書いたら、証明が読みにくくなる 　>>652より ”We let for everv α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■” これで良いんじゃないの？ すっきりしているじゃん！ｗ ；ｐ） (参考) languages.oup.com/google-dictionary-ja Oxford Languagesの定義 デフォルト 2. コンピュータで、あらかじめ設定されている標準の状態・動作条件。初期設定。初期値。 ▷ default 711 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 23:30:17.00 ID:b1A8rVdb.net] 雑談くん、ぐうの音も出ずｗ 君に数学は無理なので諦めよう　お疲れ〜 712 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 06:50:57.10 ID:AW0Zd0to.net] >>642 ＞上記 A∖{aξ∣ξ<α}（>>631 Jech, Thomas (2002)）以外の定義域 P(A)-Φの ＞全ての 選択関数f の （値域の）値を 書け！！ 二行目　日本語がおかしい　 「選択関数ｆの全ての値（つまり値域）を書け」ならわかるが で、P(A)→Φ全体でA、A∖{aξ∣ξ<α}以外の集合に対してもその値はAの要素 つまり値域はA こんなこと自明なんだが、サルはヒトである私に尋ねないとわからんのか？ 713 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 07:05:17.31 ID:AW0Zd0to.net] >>652 > T Jechの証明で尽くされているんじゃない？ 　そうだよ　だから私ももう一人もそういってる 　君が勝手に、選択関数の定義域を狭めて 　「可算集合の整列はJechの証明でも可算選択公理で十分」 　とか●●発言してるんだが > Thomas Jech のように > aα=f(A-{aξ：ξ<α}) とすることに、 > だれも文句はないはずだ 　Thomas Jechが聞いたらこう叫ぶぞ 　”Nooooo!!!　私はそんなこと一言も言ってない 　　君が勝手にそう誤読してるだけ！！！” > 選択関数fの 定義域を 集合族P(A)-Φ 全体に広げろという > 別に構わんよ。 サルは日本語が読めないね 誤「選択関数fの 定義域を 集合族P(A)-Φ 全体に広げろ」 正「選択関数fの 定義域を 集合族A-{aξ：ξ<α}に狭めるな > それ(定義域がP(A)-Φ)は、 > 選択公理そのものだから、だれも禁止していないし、 > 選択公理を認めれば だれも それは否定できない そう、ヒトは誰も否定してない サルの君一匹が否定してる > だが、あっても邪魔には成らないが、 > Thomas Jechの証明の何の足しにもなっていない！！ 　Thomas Jech（というか元はZermelo）の証明は 　選択関数fを用いた関数aの帰納的定義を用いてるが 　あくまでfが先でaはそのあとである 　aが先で、fの定義域を後から改竄する不正行為は認められない 714 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 07:08:51.95 ID:AW0Zd0to.net] >>656 >わざわざ 書かなくても良いぞ >システム入力のデフォルトみたいなものだ >グダグダ書いたら、証明が読みにくくなる サルはそういう怠惰な精神だから大学１年の数学が理解できずに落ちこぼれる 正方行列＝正則行列、とかいっちゃうって●●か？ >”We let for every α > aα=f(A-{aξ：ξ<α}) > if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. > Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. > Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■” >これで良いんじゃないの？ fって何？ はい院試落第　サルは大学院に行けず社奴になりました、とさ 715 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 08:02:34.06 ID:F/4ZRvn3.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>660 (引用開始) >”We let for every α > aα=f(A-{aξ：ξ<α}) > if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. > Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. > Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■” >これで良いんじゃないの？ fって何？ (引用終り) 意味わからん お主は、Thomas Jechの 証明>>652 そのものについての 解釈に悩んでいるのか？ Thomas Jechの 証明が読めない その自白かい？ 弥勒菩薩氏から、基礎論を自慢する君を”基礎論婆”とあだ名される男よ その実、Thomas Jechの 証明が読めない 大学1年生の基礎論で、詰んでいました そう自白してるんだｗｗｗ ；ｐ） 716 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 08:09:18.39 ID:QFa4KSQO.net] > 意味わからん 　君、そもそも意味なんてわかったことあるの？ > お主は、Thomas Jechの 証明そのものについての解釈に悩んでいるのか？ 　お主ではないが、君が書いた英文五行の中に 　ｆが何なのか全く書いて 717 名前：ないから尋ねたんじゃね 　”おまえ　ｆが何なのか全く書いてないぞ”って 　これでいいと思ってるなら、やっぱり数学は無理だわな [] [ここ壊れてます] 718 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 09:52:33.27 ID:T6In1xa/.net] 人にはThomas Jechの証明の通りでいいだろと言い 自分はThomas Jechの証明で定義された選択関数を改竄する これを二枚舌と云う 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/27(月) 09:56:31.74 ID:xzwMfUAL.net] >>663 そもそもThomas Jechの証明を正しく理解せず aα=f(A-{aξ：ξ<α})　だけに食いついた と思われ 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/27(月) 10:17:25.66 ID:KNX/oygH.net] ＞大学1年生の基礎論で 　誤　基礎論 　正　集合と位相 https://www.utp.or.jp/book/b305977.html なお、東大では２年の後期 https://catalog.he.u-tokyo.ac.jp/detail?code=0505003&year=2023 721 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 12:12:14.93 ID:CtxJncrm.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ >>662-665 ご苦労様です >　お主ではないが、君が書いた英文五行の中に >　ｆが何なのか全く書いてないから尋ねたんじゃね >　”おまえ　ｆが何なのか全く書いてないぞ”って なるほど では、以下に 解説をば まず 海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします） Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). 冒頭　1．Axiomls of Set Theory, Axiomns of Zerlmelo-Fraenkel で 1.3. Axiom Scbema Of Sepamtion. If P is a propety (with parameter p), then for any X and p there exist a set Y = {u∈X : P(u,p)} that contains all those u∈X that have property P. 1.7. Axiom Schema of Replacement. If a class F is a function, then for any X there exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}. （なお、Jech氏は、ここで選択公理も記載し ZFCにも触れている） とある。これには 下記が参考になるだろう ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 ツェルメロ＝フレンケル集合論 3. 分出公理（無制限の内包公理） →詳細は「分出公理」を参照 部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される たとえば偶数は、整数 Zの合同式 x≡0(mod2) を満たす部分集合として表すことができる 一般に、集合 z の部分集合で1つの自由変項 x の式 ϕ(x) に従うものは、以下のように表現できる： {x∈z:ϕ(x)}. 分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの ϕ に1つずつ公理が対応するため、これは公理図式である）。 ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である 6. 置換公理 →詳細は「置換公理」を参照 置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する 厳密には、ZFCの言語で ϕ を 自由変項 x,y,A,w1,…,wn が含まれる任意の論理式とすると、次のように表される（ B は自由変項ではない） ： 略す ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E5%85%AC%E7%90%86 置換公理 多かれ少なかれこの公理は、ZFで証明可能な定理（たとえば集合の存在証明）や証明論的な無矛盾性の強さの点において、Zと比べて劇的にZFを強固にする。以下に重要な例を示す。 722 名前： 略 上記のように、順序数をすべての整列集合へ割り当てるのにも置換公理が必要である。同様に、基数を各集合に割り当てるフォン・ノイマンの割り当てには置換公理と選択公理が必要である。 (引用終り) （ここで、置換公理は、分出公理の上位互換であることを注意しておく) つづく [] [ここ壊れてます] 723 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 12:12:35.09 ID:CtxJncrm.net] つづき さて >>652より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ ここで、まず 集合族 A-{aξ：ξ<α} に 注目しよう （ なお A-{aξ：ξ<α} ⊂ A も注意しておく） これは、上記 1.7. Axiom Schema of Replacementで class F function, exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}. における F(X)のネタを仕込んでいると思え そして、次に the family S of all nonempty subsets of A の部分に注目すると Aのべき集合P(A)から空集合Φを覗いた P(A)-Φ の要素が、the family Sってことだね さらに、A-{aξ：ξ<α} ∈ P(A)-Φ だね ここから Axiom Schema of Replacementの class F function を使って P(A)-Φの部分集合として 集合族 A-{aξ：ξ<α} を要素とする 部分集合を構成できる {A,A-{a1},A-{a2},・・・}だね ここで、Axiom Schema of Replacementの class F function を使っていることを念押ししておく これが、選択関数と異なることは、”Y=F(X)={F(x):x∈X”とあって、F(X)の定義域は ただ一つ Xから分かる(いまの場合 X＝P(A)-Φ) さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて ０：A-Φ → a0 １：A-{a0} → a1 ２：A-{a1} → a2 　・ 　・ 　・ のように A-{aξ：ξ<α} が空集合になるまで続ける 一見 集合族の構成が （選択公理による）循環論法に見えるが、順序数による 超限再帰（あるいは超限帰納）を認めればよい （また そもそも、集合族 A-{aξ：ξ<α} を P(A)-Φ から取り出すところは、 置換公理関数で ”Y=F(X)={F(x):x∈X”の定義域は、 ただ一つ X＝P(A)-Φであるから 選択関数とは全く異なることは見易い） 上記の 選択関数による aα たちの構成は、選択公理により 許される■ 以上 724 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 12:33:01.72 ID:cJ26k4mE.net] >>666-667 御託は並べなくていいよ なんで656に書く時、下の二行削ったの？ それで必要な情報が全部抜けたんだけど　おまえ●●？ "Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A." 725 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 12:35:02.61 ID:cJ26k4mE.net] >>668のつづき 「Aを集合とする。Aを整序するには、Aを列挙する超限的一対一列（aα：α＜θ）を構成すれば十分である。 　これは、Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」 「Aは集合である」はともかく「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数f」を抜いたよな　なんで？ 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/27(月) 12:43:19.22 ID:xzwMfUAL.net] >さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて それは P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fそのまま ０：A → a0=f(A) １：A-{a0} → a1=f(A-{a0}) ２：A-{a0,a1} → a2=f(A-{a0,a1}) 　・ 　・ 　・ 超限帰納法はfを用いた、順序数からAの要素への関数aの定義で用いてるので 当然、その前にfが必要　 貴様はfの使用を隠蔽したから、循環論法に陥った ヘタな考え休むに似たり 727 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 12:58:29.11 ID:T6In1xa/.net] >>667 >さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて 馬鹿丸出し 728 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:05:13.27 ID:T6In1xa/.net] >>667 a0,a1,・・・が選択関数のアウトカムなのに A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数を構成すると？ これを馬鹿と言わず何と言えばよいのか？ 729 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:17:27.77 ID:T6In1xa/.net] そもそも整列定理において選択公理は仮定なのになんで選択関数を構成するんだよ ここまでの馬鹿も珍しい 雑談くんいいからもう黙りな 君が馬鹿なのはもう十分分かったから、これ以上の馬鹿アピールは無用だよ 730 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 13:20:51.05 ID:CtxJncrm.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ ご苦労様です。 >>668-670 >それは P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fそのまま それ、”選択”という日常語に 流されている 選択公理は、無限集合族を定義域とする関数だから、特別に公理が必要だ ”P(A)-Φ”という 定義域が ただ一つならば、置換公理の関数で間に合う つぎに >"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >（aα: α < θ) that enumerates A. > 731 名前：That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A." >「Aを集合とする。Aを整序するには、Aを列挙する超限的一対一列（aα：α＜θ）を構成すれば十分である。 >　これは、Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」 >「Aは集合である」はともかく「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数f」を抜いたよな　なんで？ いいかな 無限集合Aの 空集合を含まない べき集合P(A)-Φ（空集合を除いておく）で いま Aの濃度が可算であるとするして べき集合P(A)-Φ は非可算だ のように、無限の濃度ランクが一つアップする ことを 注意しておく さて、以前にも書いたが、 １）Aに 順序数の付番付け をするために、そのべき集合P(A)-Φの 順序数の付番付け が必要とする考えは 　無限後退になるので まずい。（そのまた べき集合・・・となるから） ２）また、べき集合P(A)-Φに 順序数の付番付けができたとしよう 　そのままでは、>>667の Jech氏の意図した {A,A-{a1},A-{a2},・・・} の 順序数の付番付けにならない 　∵ 例えば、Aが可算だとして べき集合P(A)-Φの 順序数の付番付けそのままでは 　非可算レベルの順序数の付番付けが混じってしまう から ３）よって、"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >（aα: α < θ) that enumerates A. 　That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A." 　のJech氏の意図は、べき集合P(A)-Φの部分集合として 　{A,A-{a1},A-{a2},・・・} が、置換公理で取り出せるってことだね 　そして、a1、a2、・・・は、決して一意ではなく、as desired であることも注意しておく（>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ） [] [ここ壊れてます] 732 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 13:24:16.84 ID:CtxJncrm.net] >>674 タイポ訂正 いま Aの濃度が可算であるとするして べき集合P(A)-Φ は非可算だ 　↓ いま Aの濃度が可算であるとして べき集合P(A)-Φ は非可算だ 733 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:25:06.95 ID:T6In1xa/.net] >>674 >選択公理は、無限集合族を定義域とする関数だから、特別に公理が必要だ >”P(A)-Φ”という 定義域が ただ一つならば、置換公理の関数で間に合う 馬鹿だねえ君は P(A)-ΦはAの空でない部分集合全体からなる集合族だろ なんで馬鹿アピールやめられないの？　もう十分だと言ってるのに 734 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:43:17.83 ID:T6In1xa/.net] >>674 f:P(A)-Φ→AはAの空でない任意の部分集合の代表元を定めている選択関数なんだよ このfを用いて a0=f(A) a1=f(A-{a0}) a2=f(A-{a0,a1}) ・・・ でAの元を並べ、α<β⇔aα<aβで(A,<)を定義することで、Aとsup{α|aα is defined}との順序同型写像を構成してるんだよ それによってAが整列集合であることが言えるのさ 君、ぜんぜん分かってないね　もう黙れば？　口開くとアホなことしか言わないから 735 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:51:25.90 ID:zED1d/2g.net] >>674 ＞Aに 順序数の付番付け をするために、そのべき集合P(A)-Φの 順序数の付番付け が必要とする考え 　 　だれも、そんな●ったことは言ってないが？ 　幻聴が聞こえるのか？　●ル 736 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:53:39.37 ID:zED1d/2g.net] >>674 > Jech氏の意図は、べき集合P(A)-Φの部分集合として{A,A-{a1},A-{a2},・・・} が、置換公理で取り出せるってことだね 　どこにもそんなこと書いてないが 　幻聴が聞こえるのか？　●ル 737 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:57:16.76 ID:zED1d/2g.net] >>674 　fを決めれば、a1、a2、・・・は一意だが 738 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:58:57.35 ID:zED1d/2g.net] >>674 > as desired 　●ルは英語も読めんのか　「望みどおり　整列が得られる」という意味だろ 739 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 14:01:54.21 ID:VZyTU7BU.net] ●ルに引導 １．Aを整列するのに、P(A)-φからAへの選択関数fは必要だが、P(A)-φ全体の整列など不要 ２．上記の選択関数fを決めれば、Aの整列は一意に決まるが、逆にAの整列から、上記の選択関数fは一意に決まらない 740 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 14:12:10.26 ID:T6In1xa/.net] >>674 これは酷い >さて、以前にも書いたが そしてまた間違えた 741 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 15:02:00.66 ID:CtxJncrm.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ >>676-683 　>>682 ID:VZyTU7BUと >>681 ID:zED1d/2g とは、同一人物か そうすると、>>683 の ID:T6In1xa/ と合わせて、相手は ”例の”あほ二人かｗ ；ｐ） さて １）”P(A)-ΦはAの空でない部分集合全体からなる集合族だろ”で 　いま、問題は 関数の定義域だろ？ 　つまり、選択公理の選択関数fの意義とは、fの定義域として 無限集合族が取れるってこと 　いま、簡単に 順序数で添え字された無限集合族 P0,P1,P2,・・,Pλ,・・があったとして 　（ここに 0,1,2,・・,λ,・・ ∈ON ） 　f：Pλ→pλ∈Pλ （pλ≠Φ ：空集合ではない） 　とできる。つまり、なにか無限集合族から 各 必ず一つの要素を取り出す関数が、選択関数だ 　順序数の添え字が 無制限ならば、フルパワー選択公理 　順序数の添え字が 加算ならば、可算選択公理 　両者の中間が、従属選択公理 ２）一方、P(A)-Φから、その 742 名前：部分集合を作り出す 置換公理の関数は 　あくまで 定義域は ただ一つ P(A)-Φ のみ あとは、意味不明のたわごとだから 流すよ ｗｗ ；ｐ） [] [ここ壊れてます] 743 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 15:17:04.55 ID:rUPCt/3e.net] >>684 >>684 > P(A)-Φから、その部分集合を作り出す 置換公理の関数 　何勝手にJechが行ってないこと妄想してんだｗ 　そもそもJechの本の証明はもともとZermeloのもので 　置換公理とか出てくる以前 744 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 15:34:37.82 ID:aGjuVqGz.net] ●ルのウソ理屈は意味不明の戯言だから全部流すよ 745 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 16:04:57.05 ID:LSdHrjXv.net] だったら何も書くな 746 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 17:10:22.59 ID:T6In1xa/.net] >>684 >いま、問題は 関数の定義域だろ？ 定義域はP(A)-Φで何の問題も無い 道理の分らぬ馬鹿が言いがかり付けてるだけ 747 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 17:12:47.91 ID:T6In1xa/.net] >>684 >２）一方、P(A)-Φから、その部分集合を作り出す 置換公理の関数は >　あくまで 定義域は ただ一つ P(A)-Φ のみ こそが意味不明のたわごと 748 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 17:14:54.53 ID:T6In1xa/.net] なんで雑談くんは馬鹿自慢がとまらないんだ？ 頭オカシイのか？ 749 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 17:26:48.99 ID:AW0Zd0to.net] >>690 高校時代、数学秀才だったことが忘れられないんでしょうな 高校までの数学なんて、「算数」なのにね 750 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 18:28:08.37 ID:CtxJncrm.net] >>685-691 ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ >だったら何も書くな ID:LSdHrjXv は、御大か 午後の巡回ご苦労様です 箱入り無数目スレで、いかにも自分たちが 選択公理−選択関数が分かっているかのように ほざくが その実、この＜公開処刑＞の通りｗ 選択公理−選択関数が、さっぱり分かってない やつらですｗ　；ｐ） >> P(A)-Φから、その部分集合を作り出す 置換公理の関数 >　何勝手にJechが行ってないこと妄想してんだｗ まず、論点を整理しよう ・Jechの証明 >>667 を、是とするか あるいは否とするか？ 立場をはっきりさせろ 　否とするならば、どの点が 証明として問題なのか？ そこをはっきりさせろ 　証明として問題点が指摘できないならば、是にしかならんｗ ；ｐ） ・補足すると、Jech氏のテキストの初版は1978年で 　おそらく、Jech氏自身も大学講義に使ったろう 　だから、疑問点や問題点は、それなりに指摘され、タイポなども 修正されているだろう ・次に、JechのTheorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)の 　証明中の関数 ”We let for every α 　aα=f(A-{aξ：ξ<α}) 　if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.” 　が分からない 　というので、>>667に私の見解を書いた ・で、この見解に不満ならば、てめえの見解を書いたらいいでしょｗ 　自分の見解を書けないならば、黙ってな！！ ってことよｗｗ ；ｐ） 751 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 18:41:10.02 ID:T6In1xa/.net] >>692 見解もクソもJechの証明の通り。 君の見解とやらがアホなだけ。 どうアホかは既に書いたから読んで理解しな。馬鹿を治したいならね。 752 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 18:46:46.16 ID:AW0Zd0to.net] >>692 >Jechの証明を、是とするか あるいは否とするか？ 立場をはっきりさせろ 　●ルよ、おまえがJechを否定してんだよ　馬鹿！ 753 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 18:47:42.28 ID:T6In1xa/.net] 否定してることにさえ気づかない馬鹿だからどうしようも無い 754 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 20:20:05.04 ID:F/4ZRvn3.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ ふっふ、ほっほ >>693-695 必死でハグラカシにかかる あほ二人 ”アナグマの姿焼き" の完成かなｗ ；ｐ） 755 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 20:48:43.00 ID:F/4ZRvn3.net] >>665 ありがとうございます 追加の情報貼っておきます 酒井拓史氏 学部と修士が東大で、DRは名古屋大で 博士 (学術)(2005年12月 名古屋大学)か 公理的集合論入門は、やはり東大2年後期と思うが、未確認です (参考) catalog.he.u-tokyo.ac.jp/detail?code=0505101&year=2024 東京大学授業カタログ 2024年度版 応用数学XE 時間割／共通科目コード 0505101 FSC-MA4751L1 公理的集合論入門 / Introduction to Set Theory 756 名前：集合論は数学に現れる無限集合について調べる分野です．特に，公理系に基づいて展開される集合論は公理的集合論と呼ばれます．関数・関係・数学的構造をはじめとする数学の書概念は集合を用いて表され，集合論の標準的な公理系 ZFC （Zermelo-Fraenkel の公理系 ZF +選択公理 AC）は数学全体を展開できる包括的な公理系になっています．この講義では，ZFC のもとで展開される集合論の基礎を解説し，さらに連続体仮説の ZFC との無矛盾性や，選択公理の ZF との無矛盾性についても解説します． 酒井　拓史 授業計画 次の項目を順に解説する予定です． 1. ZF の紹介 2. 無限集合の濃度と連続体仮説 3. 順序数と超限帰納法 4. 選択公理とその帰結 5. 連続体仮説と選択公理の無矛盾性 参考書 [1] 田中一之 編「ゲーデルと20世紀の論理学 第４巻 集合論とプラトニズム」東京大学出版会，2007年． [2] ケネス・キューネン著，藤田博司訳「集合論 -独立性証明への案内-」日本評論社，2008年． [3] Kenneth Kunen, “Set Theory”, College Publications, 2011. つづく [] [ここ壊れてます] 757 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 20:49:14.20 ID:F/4ZRvn3.net] つづき researchmap.jp/hsakai 酒井　拓史 基本情報 所属東京大学 大学院数理科学研究科 教授 学位 博士 (学術)(2005年12月 名古屋大学) 和歌山県出身。 公理的集合論、特に巨大基数に興味を持って研究しています。 学歴 3 2002年4月 - 2005年12月名古屋大学, 大学院人間情報学研究科, 物質・生命情報学専攻 2000年4月 - 2002年3月東京大学, 大学院数理科学研究科, 数理科学 1996年4月 - 2000年3月東京大学, 理学部, 数学科 www.ms.u-tokyo.ac.jp/teacher/sakaihiroshi.html u-tokyo ホーム教員紹介 酒井　拓史（SAKAI Hiroshi） (引用終り) 以上 758 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 20:59:04.41 ID:F/4ZRvn3.net] >>697 ふと思ったが 酒井　拓史氏に >>667より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ これについて なんでも良いが 彼の ご意見を聞いて このスレにアップしてもらえると ありがたいね だれが アホかハッキリするだろう （＾＾ 759 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 21:05:36.11 ID:T6In1xa/.net] >>699 もうはっきりしている アホは >さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて とか言ってる君一人 760 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 21:39:27.25 ID:F/4ZRvn3.net] >>700 まだ言ってるのか？ アホなやつだな〜！ｗｗｗ ；ｐ） 761 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/27(月) 21:51:36.53 ID:F/4ZRvn3.net] >>700 (引用開始) >さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて とか言ってる君一人 (引用終り) ふっふ、ほっほ ・下記の通り、選択関数の活躍の舞台は、集合族だ ・集合の族が 無ければ・・・、 　例えば 定義域が たった 一つの集合ならば 　普通の関数で間に合って、 　選択関数の出番なし！ ・定義域が、可算以上の無限の（集合）族の場合こそ 　そこは選択関数の独壇場なのです！！ ；ｐ） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理 定義 空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、 各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、 新しい集合を作ることができる。 あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族 Ａ に対して写像 f:Ａ→∪Ａ:=∪A∈Ａ A であって任意の A∈Ａ に対し f(A)∈A なるものが存在する、 と写像を用いて言い換えることが出来る （ここで存在が要求される写像 f を選択関数（英語版）という）。 762 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 21:58:20.12 ID:T6In1xa/.net] >>702 >・定義域が、可算以上の無限の（集合）族の場合こそ >　そこは選択関数の独壇場なのです！！ ；ｐ） P(A)-Φは集合族と教えて 763 名前：あげたのにまだ分からんの？ アホなやつだな〜！ｗｗｗ ；ｐ） [] [ここ壊れてます] 764 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 22:23:53.98 ID:T6In1xa/.net] >>504 >”the family S of all nonempty subsets of A.”は、ZFのべき集合公理から従う >Aのべき集合公理を、いつものようにP(A)と書く。P(A)は、空集合Φを含むので >the family S＝P(A)＼Φ と書ける 良く考えたらS＝P(A)＼{Φ}じゃんｗ　騙されたｗ 765 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 00:56:56.30 ID:SFFxcmct.net] >>702 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E6%97%8F 部分集合族 全体集合 Ω が与えられたとき、Ω 上の集合族とは Ω の冪集合 𝒫(Ω) の部分集合のことを言う。即ち、Ω 上の集合族 S はその任意の元が Ω の部分集合となる集合である。 P(A)-{Φ}は集合族だと教えてやったんだから自分で確認しろよアホｗ 766 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 06:31:29.37 ID:w5k5tJaP.net] >選択関数の活躍の舞台は、集合族だ >集合の族が 無ければ・・・、 　だから、P(A)-{Φ}が集合族じゃん 　◆yH25M02vWFhPは馬鹿なの？ 　道理で大学１年の４月で落ちこぼれるわけだ 　所詮は高卒の”算数秀才”だったか（嘲） 767 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 06:35:15.29 ID:w5k5tJaP.net] 選択公理による整列定理の証明は、 有限集合から１つずつ要素を選んで整列させるのと 実は同じ発想 ただ注意すべきは、その都度選ぶと考えるのではなく あらかじめ集合の空でない部分集合それぞれから、 要素を選ぶ関数を与える、ということ ここを理解しようとせず 「その都度選べばいいじゃん」 と馬鹿なこと言ってると大学に入って死ぬ ◆yH25M02vWFhPがいい例 まあ、東大理�Tでも９割は死んで 工学部に行き社奴に成り下がるが 768 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 09:24:28.37 ID:SFFxcmct.net] 雑談くん、公開処刑されたのは自分だったことにやっと気づいたのかな？ R.I.P. 769 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/28(火) 11:18:59.62 ID:C6l4Y3jA.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね では、再度>>666-667の説明を 補足しよう 　>>667より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 　Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ １）これで、キモは aα=f(A-{aξ：ξ<α}) だ 　f 選択関数、A-{aξ：ξ<α} が、定義域（入力）の集合族で 順序数の添え字が α 　値域（出力）が aαで、Aの要素a∈Aに、順序数の添え字 α がついて aα となっている ２）そうすると、定義域（入力）の集合族 A-{aξ：ξ<α} が、どうやって出来たのか？ 　それが、問題となる 　Jechは、”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”と記す 　以下、くだけた表現を使う 　繰り返しになるが 集合Aのべき集合P(A) （Aの任意部分集合）は、空集合を含む 　そこで、空集合を除いたものを P(A) -Φ と書く（これは定義です。Φは空集合） 　そして、P(A) -Φ を再度 P'と略記しよう ３）上記の Jech証明と照らすと、A-{aξ：ξ<α} ∈ P' である 　なので、P' から A-{aξ：ξ<α} を要素として取り出して 部分集合 を 形成することを考えると ４）やっていることは、P' から まず Aを取る 　次に Aから一つ要素が減った A-{a0} を取り 　さらに、二つ要素が減った A-{a0,a1} を取り・・と続ける ５）Jech 流の表記では、A-{aξ：ξ<α}となる 　こうして、P'の部分集合 として 集合族の A-{aξ：ξ<α}が取り出せて 　aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり f：A-{aξ：ξ<α} → aαができる 　この関数は、選択公理で許される 選択関数である 　P'の部分集合 として 集合族 A-{aξ：ξ<α} を取り出すところは、置換公理が使える(>>667) 　また、順序数の添え字 α による 超限帰納（or 超限再帰）も使える ６）さらに付言しておくと、集合Aから最初に どの要素を取り出して、次に どの要素を取り出して ・・・ 　と続けることを考えると、集合Aの並びは 大きな自由度があり、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は P' 全体に広がる可能性がある 　つまり、いま A={a,b,c,d}と４つの要素からなるとすると 　最初の文字は4通り、次は3通り・・ となり 全体で4！通りになる（要素 有限nなら 770 名前：n！通りになる） つづく [] [ここ壊れてます] 771 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/28(火) 11:19:31.42 ID:C6l4Y3jA.net] つづき で、まとめると、P' にそのまま 選択関数を適用しても、 直ちには aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は出ない 上記のように A-{aξ：ξ<α} からなる 集合族を 部分集合として P' から切り出して その 順序数で添え字付けされた 集合族からの 選択関数の出力として、 順序数で添え字付けされた aα を出すべし この 添え字順序数α による 順序が、整列順序で、 集合Aの要素の全部に渡り、集合Aに 整列順序が入る ”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.” は、ヒントでしょ？ 数学科生なら、この１行のヒントで ”aα=f(A-{aξ：ξ<α})”の構成を悟れ！ ということ■ 以上 772 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:23:33.12 ID:yAHxbqo/.net] >>709 >キモは aα=f(A-{aξ：ξ<α}) だ そう、キモはfだ　 Aの任意の空でない部分集合からその要素を選ぶ関数 この関数の存在を選択公理で保証する まちがっても、aではない この簡単な事実が、●ルには分からない 773 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:27:07.48 ID:yAHxbqo/.net] >>709 > 定義域（入力）の集合族 A-{aξ：ξ<α} が、どうやって出来たのか？ 　A-{aξ：ξ<α}⊂P(A)　だから 　空でない限りfの定義域 　空だったらaαは未定義 　aの定義に先んじてfが必要 　fの定義域はP(A)-{φ} 　この簡単な事実が、●ルには分からない 774 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:29:29.92 ID:yAHxbqo/.net] >>709 > P'の部分集合 として 集合族の A-{aξ：ξ<α}が取り出せて > aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり f：A-{aξ：ξ<α} → aαができる > この関数は、選択公理で許される 選択関数である fはaなしに定義できる　単に入力の集合の要素を返すだけだから 　そしてその定義域は集合族P(A)−{φ} 　この簡単な事実が、●ルには分からない 775 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:32:18.69 ID:yAHxbqo/.net] >>709 > P'の部分集合 として 集合族 A-{aξ：ξ<α} を取り出すところは、置換公理が使える 　そこはどうでもよろしい 　aα=f(A-{aξ：ξ<α})　と定義したのだから 　aに先立ってfの定義が必要 　fの定義域がaでつくられるとか完全な循環論法 　 　この簡単な事実が、●ルには分からない 776 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:35:03.66 ID:yAHxbqo/.net] >>709 > P' にそのまま 選択関数を適用しても、 > 直ちには aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は出ない 　 　その通り 　そんな自明なこと、だれも否定してない 　aの定義にfが出てくるのだから 　fの定義域を、aを使って構成できるわけないだろ 　そもそもそんな必要がない　P(A)-{φ}でよい 　この簡単な事実が、●ルには分からない 777 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:37:49.36 ID:yAHxbqo/.net] >>710 >A-{aξ：ξ<α} からなる 集合族を 部分集合として P' から切り出して >その 順序数で添え字付けされた 集合族からの 選択関数の出力として、 >順序数で添え字付けされた aα を出すべし 選択関数の定義域はP(A)-{φ}でよい aαを求めるのに、選択関数の定義域の全てでの値が必要というわけではないが そのことは、定義域がP(A)-{φ}より小さい、ということとは全く異なる この簡単な事実が、●ルには分からない 778 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:41:14.72 ID:6Ob7TBNE.net] >>710 > ”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.” > は、ヒントでしょ？ 誤　fiunction 正　function 君は全く読まずにコピペするんだね　どんだけいい加減な仕事してんだ さて、上記の文章は君の誤りをズバリ指摘する答えでしょ a choice function f for the family S of "all" nonempty subsets of A. "all"がこういってる ●ルよ、おまえは初歩から間違っている、と 779 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:44:25.49 ID:yAHxbqo/.net] >>710 > 数学科生なら、この１行で ”aα=f(A-{aξ：ξ<α})”の構成を悟れ！ aがinduction で作られる 右辺の中のfがaxiom of choiceで存在が保証されるchoice function 悟るもなにも、ズバリそうかいてあるじゃん ●ルは、英語読めないのか？ 780 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 12:03:35.88 ID:C6l4Y3jA.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ >>711-718 あほ が、がんばるねｗ >誤　fiunction >正　function ああ、訂正ありがとう そこ、海賊版のPDFは、テキストがコピーできないので このページを印刷かけて、スキャナーからOCRして PDF出力を得たが そこで、OCRの誤変換が出たんだね >　aα=f(A-{aξ：ξ<α})　と定義したのだから >　aに先立ってfの定義が必要 >　fの定義域がaでつくられるとか完全な循環論法 そこ by induction でしょ つまり、ある順序数αに対して α+1 があって 次に、関数fに食わせる集合は、f(A-{aξ：ξ<α}より aα減った集合だね A-{aξ：ξ<α} - aα だね そうやって、A-{aξ：ξ<α}からなる集合族を あつめて P'(Aのべき集合から 空集合を抜いた集合) の部分集合が出来上がる P'の部分集合を作る公理は、選択公理ではなく、置換公理を使うよ （常識でしょ？（＾＾） 781 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:25:31.58 ID:9VIHSgws.net] >>719 > A-{aξ：ξ<α}からなる集合族を あつめて P'(Aのべき集合から 空集合を抜いた集合) の部分集合が出来上がる 　で？ 　fの定義域を、Aのべき集合から 空集合を抜いた集合　ではなく　 　A-{aξ：ξ<α}からなる集合族　に限定する理由が全くない 　って文章　●ルには意味わかる？　 　わかんない？　どこがどうわかんない？ 　関数の定義域って言葉の意味　知ってる？　●ル 782 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:27:17.37 ID:SFFxcmct.net] >>709 >繰り返しになるが 集合Aのべき集合P(A) （Aの任意部分集合）は、空集合を含む >そこで、空集合を除いたものを P(A) -Φ と書く P(A)-{Φ}な。 P(A)-Φ=P(A)やぞ。空集合除けてないぞｗ なんで教えてやってんのに聞かんの？　人の言うことを聞けないと馬鹿は治らないって言ってるよね？ 783 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:27:39.33 ID:SFFxcmct.net] >　こうして、P'の部分集合 として 集合族の A-{aξ：ξ<α}が取り出せて P'に属す集合を取り出す必要は無い。 取り出す必要があるのはP'に属す任意の集合それぞれの元。 それが選択関数f。 784 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:27:56.83 ID:SFFxcmct.net] >　aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり f：A-{aξ：ξ<α} → aαができる だからｗ fが存在しているからaαを定義できるのに、なんでaαからfを作るんだよｗ　脳みそ腐ってんの？ 785 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:28:12.87 ID:SFFxcmct.net] >　この関数は、選択公理で許される 選択関数である いやいやｗ　選択関数を構成できるなら選択公理要らんやろｗ 選択公理は選択関数の存在を「許している」＝「禁止していない」のではなく「保証している」。 君、選択公理ぜんぜん分かってないね。 786 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:28:28.38 ID:SFFxcmct.net] >６）さらに付言しておくと、集合Aから最初に どの要素を取り出して、次に どの要素を取り出して ・・・ >　と続けることを考えると、集合Aの並びは 大きな自由度があり fで一意に定まるから自由度は無い。 787 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:28:41.87 ID:SFFxcmct.net] >aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は P' 全体に広がる可能性がある 可能性は無い。 α>β ⇒ A-{aξ：ξ<α}⊂A-{aξ：ξ<β} ∧ A-{aξ：ξ<α}≠A-{aξ：ξ<β} が成立っているから。 さすが大学1年4月に落ちこぼれただけのことはあるね　こりゃ酷い 788 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:42:59.67 ID:yjMaZKJe.net] >>726 箱入り無数目のスレッドの議論で気づいたけど ◆yH25M02vWFhPは集合論の初歩から分かってないから 集合論で決めてない勝手ルールをバンバン持ち出す 高校までの「計算秀才」にありがちな独善的な態度 みっともないったら、ありゃしないって 789 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:51:49.57 ID:SFFxcmct.net] >>710 >で、まとめると 間違いをまとめても間違ったまとめにしかならない。 >”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.” >は、ヒントでしょ？ ヒントじゃなく答えそのもの。 >数学科生なら、この１行のヒントで ”aα=f(A-{aξ：ξ<α})”の構成を悟れ！ ということ 悟らなくても We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. と明記されてますがなｗ 書かれていることをきちんと読んで理解することこそ大切。なぜなら正しい証明には必要なことがすべて書かれているから。決して読者に何らかの悟りを要求するようには書かれていない。 君のように何か悟った気になってもそれただの独善妄想だよ。だから大学1年4月に授業に付いていけず落ちこぼれたんだよ。 790 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:58:02.80 ID:yjMaZKJe.net] 率直に言って、Jechの本の証明は 「なんだ、それだけのことか」 という感じのもの （注：別にJechはディスってない） 「Aの空でない部分集合から要素を取り出す選択関数」で十分なのに なぜ、選択関数の定義域を「Aの空でない部分集合」から より小さい集合族に限定する必要があるのだろうか？ しかも◆yH25M02vWFhPは、限定に思いっきり失敗してるし 可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって 考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？ そりゃおまえが考えなしに発言するから悪いんだろ？ 恥かくのが嫌なら永遠に黙れ この大学数学オチコボレの工学部卒の社奴が 791 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 13:06:58.04 ID:C6l4Y3jA.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね >>720-727 おサルさ>>7-10 必死で論点をチラシて、ゴマカシているけどｗ で、>>717より >a choice function f for the family S of "all" nonempty subsets of A. >"all"がこういってる そこから >>709 Thomas Jechの "aα=f(A-{aξ：ξ<α})" をどうやって出すの？ｗｗ ；ｐ） おれの誘導は、>>709-710に書いた これ否定するんだねｗｗ ；ｐ） で、どうするの？ｗｗｗ 先制攻撃をしておく いま Aが 可算集合とするよ >>709-710に書いたように、集合族 A-{aξ：ξ<α} を使った 選択関数に限れば 順序数 α は、可算の範囲だよね ところが、Aのべき集合全体をカバーする順序数は 2^A つまり 非可算だろ （あたかも 自然数Nを整列させるのに、2^N の 非可算 792 名前：集合で、実数Rを整列させようってか？） おサルさ あんた あたま カラっぽじゃねｗ ；ｐ） [] [ここ壊れてます] 793 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:10:51.77 ID:9VIHSgws.net] >>a choice function f for the family S of "all" nonempty subsets of A. >>"all"がこういってる >そこから "aα=f(A-{aξ：ξ<α})" をどうやって出すの？ 出すって？　fの定義域として？　そんな必要ないだろ なんでfの定義域をA-{aξ：ξ<α}に限定する必要があるんだ？ そんな馬鹿なことする必要まったくないって 大学数学の初歩からオチコボレた●ルには分からんか？ >おれの誘導は・・・ 無駄、全く必要なし！！！ 794 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:14:22.52 ID:9VIHSgws.net] >>731 > 先制攻撃をしておく 　どうぞ〜（鼻ホジホジ） > いま Aが 可算集合とするよ 　はいは〜い（鼻ホジホジ） >集合族 A-{aξ：ξ<α} を使った 選択関数に限れば順序数 α は、可算の範囲だよね >ところが、Aのべき集合全体をカバーする順序数は 2^A つまり 非可算だろ 　そうですね〜（鼻ホジホジ） >（あたかも 自然数Nを整列させるのに、2^N の 非可算集合で、実数Rを整列させようってか？） 　しつも〜ん（鼻ホジホジ） 　なんで2^Aを整列させる必要があるんですか？ 　そんな必要、全然ないよね 　●ル、頭、大丈夫？（鼻ホジホジ） 795 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:35:19.57 ID:SFFxcmct.net] >>719 >つまり、ある順序数αに対して α+1 があって 極限順序数はどうするの？　ξ+1=ωを満たす順序数ξは存在しないが。そういう粗雑さが間違いのもと。 >次に、関数fに食わせる集合は、f(A-{aξ：ξ<α}より aα減った集合だね >A-{aξ：ξ<α} - aα だね それを言うなら A-{aξ：ξ<α} - {aα} な。ほんとおまえは人の話を聞けん奴やのう。アホたれ小僧が。 >そうやって、A-{aξ：ξ<α}からなる集合族を あつめて >P'(Aのべき集合から 空集合を抜いた集合) の部分集合が出来上がる 作る必要が無い。aαが定義されればよいだけ。 >P'の部分集合を作る公理は、選択公理ではなく、置換公理を使うよ （常識でしょ？（＾＾） トンチンカン 独善持論吐くのやめて人の話を聞きなさい。聞いて理解しなさい。それができないからおまえは人として認められないんだよサル。 796 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/01/28(火) 13:39:22.40 ID:C6l4Y3jA.net] ”＜公開処刑 続く＞ （『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と 　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞ 血の巡りの悪い人がいるね >>729 >「Aの空でない部分集合から要素を取り出す選択関数」で十分なのに >なぜ、選択関数の定義域を「Aの空でない部分集合」から >より小さい集合族に限定する必要があるのだろうか？ それ>>730に書いたけど Aが可算だとするよ そうすると、選択関数の定義域を、P' (＝Aのべき集合から空集合を除いた集合) で考えても良いが、問題は そのままでは そもそも 順序数での添え字付けがないってことだ（そして もし 添え字付けすれば Aより一つランク上の無限の順序数の添え字要） そこで、Jechは より小さい集合族 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) にうまく落とし込んでいるってことだね で、集合族 A-{aξ：ξ<α} の順序数の添え字と 集合Aの要素aとが 過不足なく 対応して 集合Aに 順序数の添え字による 整列順序が入るってしかけだろ？ >可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって >考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？ 話は全く逆だよ 選択公理のパワーは、扱える集合族の添え字の大きさであり 集合族の添え字 一つから 一つの要素が出るので つまりは 要素の整列の長さが決まる 非可算とか可算とかね この根本的な 選択公理の理解に対する全体像 つまり ランドスケープが欠けているから トンチンカンなことを、ほざくのですｗｗ いま、可算集合Aがあって、可算選択公理を仮定する Jech の 集合族 A-{aξ：ξ<α} で、順序数の添え字 α は、可算で収まる ならば、集合族 A-{aξ：ξ<α} は、可算の集合族であり 可算選択公理で、可算集合Aは整列可能となる！■ 797 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:45:28.88 ID:SFFxcmct.net] >>729 >しかも◆yH25M02vWFhPは、限定に思いっきり失敗してるし その通り。 限定する、すなわちfを定義するために、fで定義されたaαを使っている。 なぜこれで善しと思ったのか。まさに猿知恵。 798 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:51:54.02 ID:wjWOd1UP.net] >Aが可算だとするよ >そうすると、選択関数の定義域を、Aのべき集合から空集合を除いた集合で考えても良いが、 >問題は そのままでは そもそも 順序数での添え字付けがないってことだ 定義域の集合族に属する⊂全部に添え字つける必要ないじゃん　 君、馬鹿なの？ 799 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:55:57.81 ID:YIzEI6dp.net] > 選択公理のパワーは、扱える集合族の添え字の大きさであり 誤　添え字の大きさ 正　濃度 > 集合族の添え字 一つから 一つの要素が出るので つまりは 要素の整列の長さが決まる ●ルが連想ゲームでそう思い込んでることはわかってるが みんながいってるのは、その連想ゲームが間違い●違いってことよ >この根本的な 選択公理の理解に対する全体像 つまり ランドスケープが欠けている ウソの全体像　ウソのランドスケープ　は　ウソの天才　つまり　正真正銘の●●を生む ●ル　君のことだよ　フハハハハハハ 800 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 14:00:09.01 ID:YIzEI6dp.net] いま、可算集合Aがある Jechの選択関数fの　集合族 P(A)-{φ} は非可算の集合族であるから 可算選択公理では、Jechの証明を実行できず、可算集合Aを整列させられない 残念だったな　●ル 無限乗積の収束も失敗 正則行列の判定も失敗 選択公理の適用も失敗 スリー� 801 名前：Aウトで大学退学な [] [ここ壊れてます] 802 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 14:04:27.39 ID:SFFxcmct.net] >>729より >可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって >考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？ Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。 ∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。 はい、雑談ザルの持論は独善妄想であることが証明されますた。残念！

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