分からない問題はここに書いてね460

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分からない問題はここに書いてね460

1 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/18(月) 23:25:16.78 ID:GetP2MDS.net]: さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね459
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1585492157/

(使用済です: 478)
459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 16:01:48.14 ID:lG0szLWb.net]: 「二桁の正の整数XとYがある。
　整数Xの十の位の数がa,一の位がb、整数Yの十の位の数がb,一の位がaである。
　ただし、a<bとする。
　積XYの百の位が2、一の位が8の時、整数Xを求めよ。」

としても、答えが唯一に定まる。
460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 16:29:12.94 ID:+IL2YLeK.net]: ルベーグ積分不可能だがリーマン積分可能な関数の具体例はどんなものがありますか？
461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 16:37:16 ID:m4MzqaBi.net]: >>437 (4.pdf)
　2けたの正の整数XとYがある。整数Xは, 十の位の数がa、一の位がbであり, 整数Y
は, 十の位の数がb, 一の位がaである。ただし, a<b とする。
　このとき, (1)～(4) の各問に答えなさい。

(1) 2つの整数XとYの積XYをa,bを用いて表わしなさい。
(2) ab=6, aa+bb=37 のとき、積XYの値を求めなさい。
(3) (2)のとき、整数Xを求めなさい。
(4) 積XYが 2268 のとき、整数Xを求めなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　〔佐賀県〕

-------------------------------------------------
(3)
(a+b)^2 = (aa+bb) + 2ab = 37 + 2･6 = 49,
　a+b = 7,
　(b-a)^2 = (aa+bb) -2ab = 37 - 2･6 = 25,
　b-a = 5,
　a=1, b=6.

(4)
　2268 = 101ab + 10(aa+bb) ≧ 121ab,　　∴ ab≦18
　2268 = 101ab + 10(aa+bb) ≦ (30 + 1/4)(a+b)^2,　　∴ a+b≧9
　(b-a)^2 = (a+b)^2 - 4ab ≧ 81 - 4･18 = 9,　　∴ b-a ≧ 3,
　(a,b) = (1,8) (1,9) ～ (1,18) (2,7) (2,8) (2,9) (3,6)
　abの一の位が8となるものは　(1,8) (1,18) (2,9) (3,6)
　題意に適すものを（虱潰しで）探す。
462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 17:57:06.28 ID:cce83oWe.net]: 交点の座標を求めなさいと言われ、答えが(2,5)だとします。このとき、解答欄に(x,y)=(2,5)と書いた場合、正解としていいのでしょうか？これを正解にするのはどうも違和感があるのですが、何か説得力のあるダメな理由はありますでしょうか？
463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 18:06:44 ID:XwoBuf9O.net]: >>446

> ルベーグ積分不可能だがリーマン積分可能な関数の具体例はどんなものがありますか？
無いよ。
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 18:11:01 ID:V+0qMkPB.net]: >>448
問題文中に出てこないので、xやyだと何かわかりません、ってこと？
465 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/15(月) 18:52:30.62 ID:bWoadYwV.net]: xy平面ならダメな理由がわからない
st平面とかの話ならともかく
466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 18:53:37.77 ID:cce83oWe.net]: >>450

私は、交点のx座標を求めなさいという問いに対して、x=2と解答するのも違和感があります。
この場合は問題文中にxがあるので、その反論だとなかなか説得力を感じ得ません。
そもそもこの場合だと、x=2でも全く違和感がないのが普通なのでしょうか？その辺りの自信もないのでどなたかお願いします。
467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 18:55:12.10 ID:cce83oWe.net]: >>451

ダメな理由が確かに見つからないんです。ですが違和感が0というわけでもなく書き込ませてもらった次第です。
468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 19:12:56.32 ID:qWGy1lbr.net]: >>448
交点の座標を求めよということは問題文に曲線または直線の方程式があるはずで、そこにx,yの文字が用いられているであろうから
xy平面であることは明らかで、何の問題もないであろう。

例えば「xの方程式 2x=5 の解を求めよ」との問題で、5/2 と答えるのが正解で x=5/2 と書くのは違和感があるとでもいうのか？これと同じことだぞ。
「5/2」はこの方程式の解だが「x=5/2」はこの方程式の解ではないからな。
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 19:16:58 ID:FRXVIMl9.net]: >>452
> >>450
>
> 私は、交点のx座標を求めなさいという問いに対して、x=2と解答するのも違和感があります。

違和感はない。
しいて言うなら、交点のx座標を求めなさいという問いに対する答えとしては、
交点のx座標は2である。と答えるのが良い気がする、という程度。
それと同じ意味を指していると読み取れる答えならば、正解とするのが妥当。

そして、x=2と答えるのも、2と答えるのも、まともな文章になっていない時点で違和感がある。
470 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/15(月) 19:27:00 ID:V+0qMkPB.net]: >>452
整理すると
直線y=ax+bと直線y=cx+dの交点の座標を求めなさい。
1) (2, 5)
2) (x, y)　=(2, 5)
3) x=2, y=5

1はOKってことだとおもうけど、2、3は減点かゼロってこと？
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 19:30:21.21 ID:E3RuoH8H.net]: (2,5) とだけ書かれていた場合、どちらが x 座標でどちらが y 座標かわからないので
むしろその「答え」のほうが問題
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 19:46:20.31 ID:V+0qMkPB.net]: たとえばトライ中学生の講義だとこんなかんじ
ttps://youtu.be/Juoc2EHIfLc?t=341
何の説明もなく>>456の1みたいな書き方してる
473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 19:48:22.54 ID:cce83oWe.net]: ご回答いただいた皆様ありがとうございます。私としては、>>456
で書かれてるように思っていました。

方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。どんな問題集の解答にもそのような書き方はなかったもので。また、x座標を求めなさいと言われてx=2と答えるのは、y軸に平行な直線を表しているように思えて違和感がありました。
学校の先生に聞いても、「マルだよマル」とだけ言われたので、こちらで質問させていただきました。もう少し勉強してみます。ありがとうございました。
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 19:55:26 ID:c9kHryWL.net]: これは難しい問題だな
厳密に言えば不正解だけど、正直そこまで厳密に理解してる人はそうそういない
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 20:18:26.52 ID:E3RuoH8H.net]: >>459
>(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、

そうとは限らない
実際、 (y, x) = (5, 2) と書いても何の問題もない
それとも教科書か何かにそのように定義されているのか？
「記号 (・, ・) の左側は必ず x 座標で、右側は必ず y 座標にしなければならない」とでも？
そうでなければただの思い込みでしょう
掛け算の順序問題と同じ
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 21:24:31.85 ID:qWGy1lbr.net]: >>459
＞方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。
ダブルスタンダードだな。その前半の解釈なら「座標は(2,5)です。」という意味で(x,y)=(2,5)と書くという解釈になるのではないか？

＞(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してる
この認識が誤りである理由は、>>461が指摘する点だけではない。
そもそも細かいことを言えば「(x,y)座標が(2,5)である」ことと「x座標が2でy座標が5である」ことは同値ではあるが異なる命題な
477 名前：ので 「交点の座標を求めよ」との問題の答えとして「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは最適な答え方ではない。正解の許容範囲ではあるが。 「交点のx座標とy座標を求めよ」という問題であれば、答えに「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは妥当だろう。 []: [ここ壊れてます]
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 21:37:42.84 ID:ifGf5gss.net]: 蛇足だから×って乱暴だな
479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 21:43:08 ID:cce83oWe.net]: >>461

中1の教科書には左がx座標で右がy座標ということは書いています。
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 21:51:02 ID:E3RuoH8H.net]: >>464
ふーん、じゃあ誤解の恐れがなければそれでもいいかもね
しかし、 (x, y) = (2, 5) のほうが正確な表現であることは間違いないので、
間違っても「蛇足でありバツ」ではない
むしろそのように解答する生徒のほうがあなたよりも数学を理解していると言えるでしょう
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 22:01:43.33 ID:sqOEFPjz.net]: 座標を求めるなら(2,5)が一番正確だが、
(x,y)=(2,5)と書かれてもまあ伝わる
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 22:30:35.78 ID:sqOEFPjz.net]: ちなみに厳密にいえば、方程式の解を「x=2」みたいに書き表すのも間違い
方程式の解は変数に代入すると等号が満足されるような値のことであって、だから「解は2である」という表現のほうが正しい
ただ歴史的にずーっと「x=2」と書いてるし、そこまでキッチリ考えてる人が殆どいない
だから伝わるような書き方であれば良いということになる
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 22:31:40.85 ID:RCsCqPnq.net]: >>465
その、「正確な表現」というのがよくわからないだけです。(●,●)で、座標を表すということは教科書に書いてあるので。だから蛇足というのは、(x,y)=(●,●)という書き方だと、「座標は座標は●●です」のように、同じことを二回書いてることになるから違和感があり、どんな教科書や問題集でも(x,y)=(,)のような書き方はしてないのだと思っています。
なぜ喧嘩腰なのか上から目線なのかはわかりませんが、私も友達同様中学生です。
484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 22:59:50 ID:E3RuoH8H.net]: >>468
なんだ中学生だったのか
つい採点する側の人かと思って厳しめに書いてしまった
なぜ (x,y) = (●,●) と書くべきかと言うと、
「 (●,●) で座標を表すとき、左側が x 座標で右側が y 座標」というのは中学校か、せいぜい高校まででしか通用しない「常識」だから
数学で (●,●) と書いたとき、これは必ずしも座標を意味するわけではなくて、一般には「順序対」というものになる
これは
「(a1, b1) = (a2, b2) となるのは a1 = a2 かつ b1 = b2 のとき、かつそのときに限る」
というように = が定義されていて、 (x, y) = (2, 5) というのは x = 2 かつ y = 5 の略記にすぎない
だから、 (y, x) = (5, 2) と書いても問題はない
また、 Wikipedia にあるように、「記号の意味は文脈に完全に依存」していることにも注意しないといけない
例えば、実数直線上の開区間を表すのに全く同じ記号を使う
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 23:10:51.38 ID:cXGUeLEg.net]: >>469
おおよそ合ってるんだけども、大学数学をかなり勉強していてもこう思うのは正直無理もない
(x,y)=…という書き方は方程式の解と同様厳密ではない
確かに直交座標系は順序対などを使って定義されるが、直交座標系を定義した時点で順序対のどちらがx軸かということが定義されている
そして順序対の左側がx軸であるということは、おそらく暗黙の了解
というのも高校数学では暗黙の了解は意外とある
例えば1/Xというのは高校数学までは多項式とは扱われないが、R[X]を多項式環と定める(特に、R[1/X]は考えない)とは言及していない

要するにあんまり細かいことは先生側も知らないので、とりあえず迎合するしかない
486 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/15(月) 23:20:34.87 ID:4U/+A0FS.net]: こちらを教えて欲しいです。
お願いします。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10226449630?fr=ios_other
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 23:29:45.55 ID:E3RuoH8H.net]: >>470
座標系の問題を言い出すとさらにややこしくて、高校でも極座標（系）をやるでしょ？
2次元の極座標では点の座標を動径 r と偏角 θ を使って (r, θ) で表すわけだから、直交座標と極座標が混在しているとき、
特に角度をラジアンで表すときは、 (2, 5) と書かれただけでは直交座標なのか極座標なのか判別できない
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/15(月) 23:49:37.70 ID:cXGUeLEg.net]: >>472
確かにわからないけど、そういう例は他にもある
例えば基底を忘れてしまうと線型写像の表現行列は何を表しているか分からなくなるが、基底が暗黙の了解で定まっていれば、表現行列をそのまま書いても問題はない

整理すると、(2,5)は暗黙のうちに直交座標系が定義されているので、そこは言及されているものとすれば一番正しい書き方
(x,y)=(2,5)のような書き方は、まあ厳密に言えば正しくないが、意味は伝わるし分かりやすいので問題ない
ただこう書くべきとは(数学的には正しくないので)俺には言えないかな

現実的な問題としては、先生が数学的に何が正しいのかわかるとは思えないから、うまーく周りに合わせるしかないというのが回答だけど
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 00:05:48.41 ID:3yLgVs0A.net]: みなさま色々なご意見ありがとうございました。
今当たり前のことがのちに当たり前ではなくなるのかと、色々怖くなりましたが勉強になりました。
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 01:31:48.26 ID:0OScLIAy.net]: 思い込みには気をつけるんだな
491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 03:43:30.88 ID:4svmpCM1.net]: A=a+√((a+b)(a+c))
B=b+√((b+c)(b+a))
C=c+√((c+a)(c+b))
とする

(ab+bc+ca)(A+B+C)=ABCを示せ

展開すれば確かにそうなるんですが、他に良い説明あれば教えてください
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 03:51:17.21 ID:G/kW9rJq.net]: 平面上に定点Oをとり、Oを原点とする2次元座標を導入することを考える。

（1）a,b,c,dを正の実数とし、2次元の定ベャNトルuおよびvｂ=(a,b),v=(c,d)と定める。ただしuはどのような実数kに対してもu≠kvを満たす。
s,tを実数とし、原点<0,0>を始点としてsu+tvが表す位置を座標<s,t>と定める（また、点<s,t>とも呼ぶ）。
特にs,tが共に整数のとき、点<s,t>を格子点と呼ぶ。
a,b,c,dのとり方に依らず、ある2つの格子点が存在し、その2点間の距離を無理数とする整数s,tがとれることを示せ。
ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。

（2）引き続き、（1）で定めた座標を考える。
さらにOを原点とする極座標{r,θ}を定める。ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
このとき、a,b,c,dのとり方に依らず、{r,θ}=<s,t>かつ<s,t>≠<0,0>となる実数の組(r,θ,s,t)が少なくとも1つ存在すると言えるか。
493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 04:52:38.21 ID:NJOHSbaF.net]: lim［n→♾］（1+1/n）^n=e=2.7182818284590...
lim［n→♾］（1+1/-n）^-n=e=2.7182818284590...
であることを証明せよ。但し
a:=1/a^n（0≠a ∉R,n ∉N）
494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 05:19:34.62 ID:iW1kgSuD.net]: xyz空間の単位円周C:x^2+y^2=1(z=0)上を、半径rの円板Dが以下のようにして動く。

(a)Dの中心は円周C':x^2+y^2=1(z=r)上を(1,0,r)から反時計回りに1周する。
(b)Dは平面z=0と常に垂直である。
(c)DとCの接点をPとすると、PにおけるDの速度ベクトルの向きは、PにおけるCの接線を反時計回りにθ回転させた方向と一致する(0≦θ<2π)。

Dが動いてできる曲面を分類せよ。
495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 11:26:38.90 ID:pgPo+umu.net]: >>478
一行目の前半はeの定義の表現のうちの1つであり、定義なのだから証明のしようがない。
eの他の定義との同値性を証明せよというのならわかるが、それならそれでeの定義が別に述べられていないとどうしようもない。
一行目の後半はeの近似値を小数点以下13桁求めよとのことだが、これもeの定義が明確でないとどうしようもない。
二行目は、一行目が示せれば直ちにわかることである。
但し書きはaの定義のように見えてaを用いている以上定義になっておらず、そもそも∉という表現ではaやnが一体何なのかわからない。
aは多分虚数なんだろうがそれならわざわざa≠0を書く必要がない。nは自然数ではない複素数ということなのか？複素数ではないことまであり得るのか？

総じて問題の趣旨が全く分からない。まさに分からない問題であると言えよう。
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 11:50:33.53 ID:pgPo+umu.net]: >>477
(1)
＞ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
この距離の定め方なら、<1,0>=1u+0vと<0,1>=0u+1vの距離は√2だから無理数である。
しかし、この問いであれば1～2行目に何の意味もないな。

(2)
いまいち意味の取りにくい文章であるが
＞ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
この条件を満たすようにとるだけなのだから、少なくとも1つどころかいくらでも存在するだろう。
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 12:10:30.96 ID:MA7a0AZ4.net]: >>476
まず
　A - a = A'　　B - b = B'　　C - c = C'
　s = a+b+c,　　t = ab+bc+ca,　　u = abc,
とおく。

(右辺) - (左辺) = ABC -t(A+B+C)
　= (A'+a)(B'+b)(C'+c) - t(A'+B'+C'+s)　　　(← 展開する)
　= {A'B'C' + aB'C' + bC'A' + cA'B'-a(b+c)A' -b(c+a)B' -c(a+b)C' +u} -st
　= A'B'C' - (st-u)
　　+ a{B'C'-(b+c)A'} + b{C'A'-(c+a)B'} + c{A'B'-(a+b)C'},

題意により
　A'B'C' - (st-u) = A'B'C'- (a+b)(b+c)(c+a) = 0,
　B'C' - (b+c)A' = 0,
　C'A' - (c+a)B' = 0,
　A'B' - (a+b)C' = 0,
だから、確かにそうなる。
498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 12:47:20.18 ID:4svmpCM1.net]: >>482
ありがとうございます。
うーん、やはりどこかである程度の展開は頑張らないとダメなんでしょうかね…
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 13:21:53.96 ID:4svmpCM1.net]: いま少し思ったのは
a,b,cについて斉次式なので其々を1/√(ab+bc+ca)倍したものを改めてa,b,cとおいて
それについて示しても良さそうですね

この場合、ab+bc+ca=1であり
A=a+√(a^2+1)
B=b+√(b^2+1)
C=c+√(c^2+1)
について

A+B+C=ABC

を示せばよい
(もしかすると余計に難しくなったかもしれません)
500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 13:49:02.08 ID:0OScLIAy.net]: マルチなのに無視されんかったんか
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 13:58:13.62 ID:MA7a0AZ4.net]: いま少し思ったのは
ab+bc+ca=1 で規格化すると
　a = 1/tanα,　b = 1/tanβ,　c = 1/tanγ,
　α+β+γ = π,　(⊿の3つの角)
とおける。このとき
　A = 1/tan(α/2) = tan((π-α)/2),
　B = 1/tan(β/2) = tan((π-β)/2),
　C = 1/tan(γ/2) = tan((π-γ)/2),
また
　(π-α)/2 + (π-β)/2 + (π-γ)/2 = (3π-α-β-γ)/2 = π,
よって　⊿の3つの角だから
　A+B+C = ABC.
502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 14:06:56 ID:4svmpCM1.net]: >>486
今ちょうど同じ方針で考え始めてました！

三角形条件のときのtanの関係式知らないんですが、何か良いサイトか参照先ありますでしょうか？
503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 14:16:40 ID:4svmpCM1.net]: いや、単純に3変数の加法定理でいいのか

tan(α+β+γ)=(ab+bc+ca-1)/(abc-(a+b+c))=0

よりα+β+γ=nπ(nはある整数)

cot((α+β+γ)/2)(AB+BC+CA-1)=ABC-(A+B+C)=0
504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 16:02:39.30 ID:NXbumSQO.net]: 3次元空間の異なる位置に点P_1,P_2,...,P_nを置いていく。
1≦i<j≦nなる任意の自然数i,jに対して、2点間の距離d(P_i,P_j)が有理数であるとき、点P_1,P_2,...,P_nはどのように配置されているか。
ただしn≧2とする。
505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 17:47:19.31 ID:LARge507.net]: 領域の不変性という以下の定理がブラウアーの不動点定理の系として得られるようなのですが
その証明が見つかりません
どこに載っているという情報だけでもいいのでご存知の方いたら教えてください

(領域不変性)R^nの開集合Uからの単射連続写像f:U→R^nは中への同相であり、f(U)はR^nの開集合
506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 18:31:32 ID:pgPo+umu.net]: >>489
n=3のとき　一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
n=4のとき　一直線上にあるかまたは正四面体の頂点をなす
それ以外のとき　すべて一直線上にある。
ただし正三角形や正四面体の1辺の長さは有理数であり、一直線上に並んでいるときはそのうち1点を原点とする数直線とみなしたときの有理数に対応する点上に並んでいる。

任意の3点P_s,P_t,P_uを選ぶ。これらが同一直線上にないとき、3点を頂点とする三角形P_sP_tP_uが存在する。
条件よりこの三角形の3辺はすべて有理数なので、余弦定理から cos∠P_s,cos∠P_t,cos∠P_u はすべて有理数である。
cosの値が有理数となる三角形の内角は60°,90°,120°のみであるから、内角の和が180°になるためにはすべて60°の正三角形しかありえない。
すなわち、P_1～P_nのうち任意の3点を選ぶとそれらは一直線上にあるかまたは正三角形の頂点上になければならない。

つまり、n≧3のとき一直線上にない点が1点でもあればその点は他の任意の2点との距離が等しいとなる。
3次元空間内でこの条件を満たせるのは正三角形と正四面体のみであるから、上記の解答となる。
507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 18:40:27 ID:vq+fSYnv.net]: >>491
>n=3のとき　一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす

【反例】P_1 = (0, 0, 0), P_2 = (3, 0, 0), P_3 = (3, 4, 0)
508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 18:41:22 ID:pgPo+umu.net]: >>491
盛大なる勘違いをしていた。>>491は根本的に間違いです。無視してくださいすみません。
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/16(火) 21:22:43.29 ID:MA7a0AZ4.net]: >>488
ABC予想が解決ですか｡｡｡
510 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/17(水) 01:14:00.51 ID:dd2G4ZPa.net]: >>480
すまん、a ∉Rはミス、a ∈Rだったわ
その二行目は一行目が示せれば直ちにわかるっていうのを具体的に教えてほしい
アホすぎてわからん
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/17(水) 01:22:00.02 ID:TiPmT7LZ.net]: >>478
>♾: PERMANENT PAPER SIGN (中性紙マーク)
nが中性紙に近づくとはどういう意味なのか知りたい
512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/17(水) 02:10:01.92 ID:jU+nQbRs.net]: >>478
>♾: PIG OR BOAR'S NOSE SIGN (豚・猪の鼻マーク)
nが豚・猪の鼻に近づくとはどういう意味なのか知りたい
513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/17(水) 10:40:03.36 ID:3vfYYD40.net]: >>495
つまり>>478のlim［n→∞](1+1/n)^n=e から lim［n→∞](1-1/n)^(-n)=e を示せばええんやな？

n=N+1 とおくと、n→∞ のとき N→∞ である。
(1-1/n)^(-n)={1-1/(N+1)}^(-N-1)
={N/(N+1)}^(-N-1)
={(N+1)/N}^(N+1)
=(1+1/N)^(N+1)
=(1+1/N)*(1+1/N)^N
→1*e=e
514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/17(水) 11:08:25.33 ID:RULVX7n4.net]: 今まで恋人がいなかった時間と、これから巡り会うまでの時間は無関係だとすると、
恋人に巡り会うまでの待ち時間の分布μは指数分布になる。つまり任意のs,t>0に対し、μ([s+t,∞))/μ([s,∞))=μ([t,∞))となると書いてあるのですが、
μ([s,∞))は何を表しているのでしょうか？
515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/17(水) 13:06:57.47 ID:ubQWTkww ]: [ここ壊れてます]
516 名前：.net mailto: >>497
まともにタイプできん奴をいじるんじゃない []: [ここ壊れてます]
517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/17(水) 13:21:46.05 ID:rkakzL0r.net]: https://i.imgur.com/mKxFG6x.jpg
518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/17(水) 13:34:42.04 ID:rkakzL0r.net]: >>501
よく考えたら答え3かなあ
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/17(水) 13:42:07.58 ID:lMu+/WT6.net]: BC=a,CA=b,AB=c,0<a≦b≦cの△ABCにおいて、∠CAB=α,∠ABC=β,∠BCA=γとする。
以下のx,y,zの大小を比較せよ。

x=(b/a)^2+(c/b)^2+(a/c)^2
y=(β/α)^2+(γ/β)^2+(α/γ)^2
z={βγ/(α^2)}^2+{γα/(β^2)}^2+{αβ/(γ^2)}^2
520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 09:42:13.50 ID:CYG0FbB2.net]: (1/a)+(1/b)-(1/c)=1/d
を満たす自然数の組(a,b,c,d)を考える。
以下の各場合について、このような(a,b,c,d)が無数に存在するかどうかを判定せよ。

（1）a=b=c=d

（2）a,b,c,dのうち、3つの数は等しい。残りの数はそれらと異なる。

（3）a,b,c,dのうち、ある2つの数は等しい。この数をx,残りの2数をy,zとすれば、x≠y≠zである。

（4）a,b,c,dはすべて異なる。
521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 10:51:55.03 ID:pULdTssQ.net]: ２変数多項式f(x,y)が任意のx,y,zに対して以下の二条件を満たすときの一般解を求めよ
（１）　f(x,y)=f(y,x)
（２）　f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))
522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 12:14:49.53 ID:yuRO46b1.net]: >>504
　1/a + 1/b = 1/c + 1/d,

(1)　無数にある。
(2)　ない。
(3)　無数にある。　(x,y,z) = (3n,2n,6n)　(4n,3n,6n)
(4)　無数にある。　(a,b; c,d) = (2m-1,2m+1; m, m(2m-1)(2m+1))
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 12:32:12.75 ID:yuRO46b1.net]: (3)　無数にある。　(x,y,z) = ((2m-1)n, mn, m(2m-1)n)
(4)　無数にある。　(a,b; c,d) = ((2m-1)n, (2m+1)n; mn, m(2m-1)(2m+1)n)

*)　１組あれば、そのa～dをn倍したものも可
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 15:21:21.18 ID:F4jhkTZx.net]: 有限生成アーベル群の部分群は有限生成である事を示してください。
明らかな命題かと思ったのですが証明が思いつきません。
525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 15:52:50.07 ID:PKg1Ay6A.net]: >>508
補題
L→M→N
が短完全列でL,Mが有限生成ならMも有限生成。
∵)x1‥xlがLの生成元、z1‥znがNの生成元となるものをとるとき、y1‥ylをM→Nによる像がz1‥znになるものをとれば、Mはx1‥xlとy1‥ynで生成される。

主張
M'が有限生成アーベル群Mの部分加群ならM'も有限生成アーベル群。
∵)Mの生成元の個数mによる帰納法。
Mが巡回群のときは容易。
m<Mで成立するとしてm=Mとする。
M部分加群LをM-1元で生成され、N=M/Lが巡回群であるようにとる。
M'がMの部分加群のとき、L'=L∩M'とおけば準同型定理によりN'=M'/L'はNの部分加群である。
帰納法の仮定からL'、N'は有限生成であり、補題からM'も有限生成である。
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 16:47:27.86 ID:MooqUMpf.net]: >>508
可換環R上の加群Mに対して、任意のMの部分加群が有限生成加群であるとき、ネーター的であると定義する
0→A→B→C→0をR加群の完全列としたとき、AとCがネーター的であればBもネーター的である(実は同値、証明は略)
言い換えればAによるCの拡大がネーター的となる
可換環Rがネーター的であることを、R自身の加群としてネーター的であることと定める
Rがネーター環であれば、環の直和を完全列における拡大とすることで、任意の自然数n≧1に対してR^nがネーター的となる
したがって、もしRがネーター環であれば、任意のR上の有限生成加群Mにはネーター加群であるR^nからの全射R-線型写像が存在するので、Mもネーター的となる…①

特にRとして有理整数環Zを取る
有限生成アーベル群とはZ上の有限生成加群に他ならず、Zはネーター環であるので、①よりZ上の有限生成加群はネーター的であり、したがって言い換えれば、有限生成アーベル群の任意の部分加群が有限生成アーベル群となる
最後に、任意の可換環Rに対して、ある0以上の自然数nに対してRがZ/nZに同型であれば、部分加群と部分群は同値となる
よって有限生成アーベル群の任意の部分群が有限生成アーベル群となることが示せた
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 16:59:04.59 ID:yuRO46b1.net]: >>550
　f(x,y) = a xy + b(x+y) + c,
ここに　bb-b-ac = 0.
528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 17:14:13.95 ID:F4jhkTZx.net]: >>509 ありがとうございます。理解できました。
>>510 ネーター云々は私にはレベルが高すぎました。申し訳ない。

M :=＜s1,s2,..,sM＞,　M' ⊂ M
L := ＜s2,..,sM＞ ⊂ M
N := M/L = ＜[s1]＞
L':= L∩M' {有限生成 ∵L'⊂L}
N':= M'/L' {有限生成 ∵M'/L'≃(M'+L)/L ⊂ M/L=N}
完全系列: 0→ L'=L∩M' → M' → M'/L'=N' → 0
補題より M' は有限生成
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 17:40:23.24 ID:O0ypD0fT.net]: 数直線上の点0に点Pが置かれている。
サイコロを振り、出た目の数だけPを数直線の正の方向に動かす。
例えばサイコロを3回振り、出た目が順に3,2,4である場合、Pは点3、点5、点9の順に止まる。
以下、サイコロは無限回振られるものとし、その仮定のもとでPが点nに止まる確率をa[n]とする。

（1）数直線上の点kを1つ選ぶ。その点にPが止まった場合、賞金が得られるとする。賞金を得る確率を最大化するよう、kの値を定めよ。

（2）lim[n→∞] a[n]を求めよ。
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 19:22:33.51 ID:ScdplQZO.net]: >>505
これ、連続関数ならどうなるんだろ？
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(Thu) 19:58:33 ID:yuRO46b1.net]: >>511 以外にもある？
532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 20:42:46.67 ID:++bXFhVL.net]: n=6のとき最大
(∵ 全てのコウは前6項の平均なのでその最大を超えることはなく、等号成立は前6項が等しい時のみ。)

(0,1 % 1)
(1,1 % 6)
(2,7 % 36)
(3,49 % 216)
(4,343 % 1296)
(5,2401 % 7776)
(6,16807 % 46656)

(0,1.0)
(1,0.16666666666666666)
(2,0.19444444444444445)
(3,0.22685185185185186)
(4,0.2646604938271605)
(5,0.30877057613168724)
(6,0.36023233882030176)
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 20:55:34.92 ID:pULdTssQ.net]: f(x,y)=(x+y)/(1-xy) とかもOKみたい

((x+y)/(1-xy)+z)/(1- (x+y)z/(1-xy)) -(x+(z+y)/(1-zy))/(1-x(z+y)/(1-zy))=0
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%2By%29%2F%281-xy%29%2Bz%29%2F%281-+%28x%2By%29z%2F%281-xy%29%29+-%28x%2B%28z%2By%29%2F%281-zy%29%29%2F%281-x%28z%2By%29%2F%281-zy%29%29&wal=header&lang=ja
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 21:51:08.22 ID:ScdplQZO.net]: >>517
それはタンジェントの加法定理になってるから
x=tanα
y=tanβ
f(x,y)=tan(α+β)

他にもf(x,y)=min(x,y)とかokだよね
535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(Thu) 22:14:48 ID:ScdplQZO.net]: 可換かつ結合的な演算●があるところへ全単射gがあれば
f(x,y)=g^-1(g(x)●g(y))
として可換かつ結合的な演算を得られるのか

>>511 はg(x)=ax+bで、●として通常の積を採用したものになってる

>>517 はg(x)=arctanxで、●として通常の和を採用したものになってる
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 22:58:37.92 ID:MpFvMcz/.net]: >>516
lim[n→∞] a[n]　はわかりますか？
直感的に1/6かなと思うのですが、きちんとした証明を与えられません。
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/18(木) 22:59:28.79 ID:xkP0ZjJZ.net]: >>520
2/7
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/19(金) 05:06:07.60 ID:GCb30kF+.net]: X1, ...., Xnを
539 名前：ベルヌーイ分布に従う独立な確率変数 T(X) = X1 + ... + Xn とすると、 X1,......,Xn,Tの同時確率分布が P(X1=x1,......,Xn=xn,T=t)=P(X1=x1)......P(Xn=xn) となる理由を教えて下さい。 []: [ここ壊れてます]
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/19(金) 06:18:12.97 ID:47T3iJLT.net]: ならない
541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/19(金) 13:52:04.59 ID:HefmQN8k.net]: >>521
せいかい

>>513を厳密に解きたい方はこちらへ
zakii.la.coocan.jp/enumeration/31_sugoroku.htm
他スレに貼られた応用問題もこれでいける
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/19(金) 14:03:16 ID:GCb30kF+.net]: >>523
>>522がですか？
543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/19(金) 14:32:01.89 ID:IfhMapdU.net]: >>503
　x ≦ y ≦ z,

(左側)
〔補題〕　⊿の辺と角は同順序
　0 ≦ (b-a)/2R = sinβ - sinα　　　(←正弦定理)
　　= 2sin((β-α)/2)cos((α+β)/2)　　(←和積公式)
　　= 2sin((β-α)/2)cos((π-γ)/2)　　(←α+β+γ=π)
　　= 2sin((β-α)/2)sin(γ/2),　etc.　　(終)

よって題意より
　0 < α ≦ β ≦ γ,
sin は上に凸だから
　1 > sinα /α ≧ sinβ /β ≧ sinγ /γ,

これより
　1 ≦ b/a = sinβ / sinα ≦ β/α,
　1 ≦ c/b = sinγ / sinβ ≦ γ/β,

f(u,v) = uu + vv + 1/(uv)^2　とおくと
　x = f(b/a, c/b)
　y = f(β/α, γ/β),
f(u,v) は u≧1, v≧1 では単調増加
∴　x ≦ y,

(右側)
　uvw=1 のとき　u+v+w ≦ u/w + v/u + w/v,　････ (*)
∴　y ≦ z,

*)　佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店(2013)
　　p.26　演習問題1.75
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/19(金) 18:27:26.70 ID:GCb30kF+.net]: >>522
どなたかおねがいまします
545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/19(金) 19:29:00.40 ID:IfhMapdU.net]: (補題) の略証
　a/sinα = b/sinβ = c/sinγ,　　(←正弦定理)

・α,β,γ ≦ 90°のとき (鋭角△、直角⊿)
　sin は 0～90°で単調増加だから成立。

・θ > 90°のとき (鈍角⊿)
　　θ ' = 180°- θ = (他の2角の和)
　および他の2角は鋭角だから、正弦定理より
　(a,b,c) と (他の2角, θ') は同順序。
　(他の角) < θ' < θ だから θ ’→ θ としてよい。

*)
　(u/w + u/w + w/v)/3
　= (u/w + u/w + uww)/3　　(← uvw=1)
　≧ u,　　　　　　　　　(← AM-GM)
巡回的にたす。
546 名前：波の人 mailto:age [2020/06/20(土) 14:08:16.68 ID:vxR4m7V3.net]: 桜じゃありません。本当にわからないです
(y^2＋1/y^2)/x^2＝1
の関数はどんなグラフになりますか？
この式がどこからどうでたかというと
y^2＋x^2＝r^2 の円の式の変形です
この円の式が一点を中心に回帰する理由がもしr^2のせいなら、r^2をx^2に変えて、グラフは2次元なので他の2要素をyに習合したら波形になるかもと考えた中学生並感の考えです
このyをm、xをsにそれぞれ置き換えたら(三角関数など使わずに)物理の単位で表せるようにならないかという展望なのですが、スレチすいません
とにかく、(y^2＋1/y^2)/x^2＝1で波になるか、または成らないとしたらこのような形式で波になる三角関数など使わない式を教えて欲しいのです

よろしくお願いします。
547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 14:16:43.70 ID:6/06+ZSW.net]: 「波になる」てどう言う意味？
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28y%5E2%2B1%2Fy%5E2%29%2Fx%5E2%3D1
548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 14:19:53.37 ID:CtYe69Zx.net]: 0<a<b<1、0<c<d<1、(a,b)と(c,d)を両端とする線分をLとする。
2つの放物線
C:y=px^2
D:y=(1/p)(x-1)^2
がともにLと共有点を持つような実数pの条件をa,b,c,dで表せ。
549 名前：イナ mailto:sage [2020/06/20(土) 15:15:20.09 ID:m+z4y6nz.net]: 前>>386
>>531
(a-1)^2/p＞b＞pa^2のとき、
pc^2＞d＞(c-1)^2/p
pa^2＞b＞(a-1)^2/pのとき、
(c-1)^2/p＞d＞pc^2
辺々掛けてc^2(a-1)^2＞bd＞a^2(c-1)^2
またはa^2(c-1)^2＞bd＞c^2(a-1)^2
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 16:13:42.11 ID:3GFxA0wR.net]: >>529
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y%5E2%2B1%2Fy%5E2%29%2Fx%5E2%3D1+%E3%81%AE%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95&lang=ja
551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 16:17:22.97 ID:3GFxA0wR.net]: >>529
三角関数使いたくなかったら
y=exp(i*x)+exp(-i*x)とかどうかなあｗ
552 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2020/06/20(土) 17:09:54.07 ID:Y1MEvwr9.net]: >>530
>>533
ありがとうございます。波にならないですね

(y^2+1/y^2)=(x^2+1/x^2)
この式ならどうでしょう？このサイトでもグラフ化されなかったのですが
553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 17:11:07.71 ID:Y1MEvwr9.net]: >>534
虚数も使いたくないです
554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 17:23:14.86 ID:Y1MEvwr9.net]: 色々式変えてみたのですが、yとxだけで波になるのは難しいようですね

もし見つかりましたら教えてください
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 17:26:58.90 ID:2707bbaz.net]: 波になるってのが何かわからんとわからん
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 17:32:42.42 ID:3GFxA0wR.net]: >>535 のグラフ作れるよ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28y%5E2%2B1%2Fy%5E2%29%3D%3D%28x%5E2%2B1%2Fx%5E2%29&lang=ja

微分方程式ならできるけど、これも嫌だとするともうお手上げか
y + (d/dx)^2 y == 0
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%2B+%28d%2Fdx+d%2Fdx+y%29+%3D%3D+0&lang=ja
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 17:44:21 ID:Y1MEvwr9.net]: >>539
微分記号そのものを指数化すると円や波にできるんですか！
…でも物理の単位を作りたいのでNGです
558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 17:48:32 ID:hsq8T7LL.net]: テイラー展開を有限項で切れば途中までは波っぽくなるだろうけど
数学的には>>538だな
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 17:53:22.15 ID:UxxrWUEm.net]: >>540
＞物理の単位を作りたいのでNGです
マクスウェル方程式知らないの？
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 18:02:40.03 ID:3GFxA0wR.net]: >>540
単位なんか時定数かければ揃えられる

((2π/T)^2)y + (d/dx)^2 y == 0
xの単位が秒なら、周期Tの単位も秒
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 18:19:07.40 ID:rSe2B6jP.net]: T=0 ｔ＝T
Φ→（１＋ｒ）ΦY０
Y０→YT（U）＝uY0　　（PU時）
→YT（D）＝ｄY０　（PD時）
C０→CT（U）
　→CT（D）
市場は完全流動的、売値＝買値、取引コスト０、無裁定と仮定する。
時刻ｔ＝０に於ける安全証券（銀行預金等）額をΦ０、原資産 (株等)の価格
をY０、この原資産の (コール)オプションの価格をC０、オプション行使価
格を Kとする。そしてこの時刻ｔ＝０で、この安全債権と原資産をΔ０単
位保有するポートフォリオを組んだとする。このときｔ＝０における全資
産X０は
　X０：＝Φ０＋Δ０Y0
である。オプション契約時刻ｔ＝０、オプション満期時刻ｔ＝T以外の時刻は考えず、
市場利子率 (銀行利子率)をｒ≧０、満期時刻ｔ＝Tで原資産価格は確率Puで、YT（U）＝uY0,
u>1と値上がりし、確率PdでYT（D）＝ｄY０,0□ｄ＜１と値下がりするとする。時刻ｔ＝Tでのオプション価格をCTとする。
そして
562 名前：時刻ｔ＝Tでの総資産をXTとおく。即ち XT：＝（１＋ｒ）Φ０＋Δ０TY である。ここにYT、CT、XTはそれぞれ値 YT＝YT（U）,YT（D）　CT＝CT（U）,CT（D）　XT＝XT（U）,XT（D） を取る確率変数である。 以上のことから次の（１）～（４）を証明せよ （１）０□ｄ＜１＋ｒ＜u （２）X０＝C０ （３）XT=CT （４）CT＝（YT－K）^＋：＝｛YT－K（YT－K≧０）｝ ｛　　０（YT－K<０）｝ []: [ここ壊れてます]
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 18:21:08.89 ID:RpizhPTb.net]: y = 4 (-1)^[x/π] {x/π} (1-{x/π})

[ z ] = floor(z)　∈ Z　は z を超えない最大の正数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 18:41:10 ID:tzFG6qz7.net]: Rで描いてみた

f <- function(x,y) (y^2 + y^-2)*x^-2
x=y=seq(-20,20,len=200)
z=outer(x,y,f)
contour(x,y,z,levels = 1, bty='n',drawlabels = F,asp=1)

https://i.imgur.com/dkMbt7t.png

g <- function(x,y) x^2+x^-2 - y^2 -y^-2
w=outer(x,y,g)
contour(x,y,w,levels=0, bty='n', drawlabels=F, asp=1)

https://i.imgur.com/N4r48Nu.png
565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 18:47:41 ID:gxQjJnHj.net]: 三角関数は、単振動とかで現れる波そのものなんだから、三角関数使いたくないということは、
すなわち、単振動とか扱えないものを作りたいということでしょ。
何がやりたいの？
566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 19:00:42 ID:RpizhPTb.net]: >>545
y = 1 - 2(4 {x/π} (1-{x/π}) )^2

[ z ] = floor(z)　∈ Z　は z を超えない最大の整数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 19:19:13.35 ID:RpizhPTb.net]: >>545
|y - sin(x)| ≦ 0.05601
　＠ x = (n±0.1502333)π
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 19:43:09.76 ID:RpizhPTb.net]: >>535　>>539
g(x,y) = y^2 + 1/(y^2) - x^2 - 1/(x^2)
　= (y^2 - x^2) + (x^2 - y^2)/(xy)^2
　= (y^2 - x^2){(xy)^2 - 1}/(xy)^2
　= (y-x)(y+x)(xy+1)(xy-1)/(xy)^2,
よって
　y = ±x,　　　(45°線、原点を除く)
　y = ±1/x,　　(直角双曲線)
の4つに退化する。
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 19:49:27.58 ID:B6UCbhfA.net]: >>537
y=x(x-1)は下向きの山が一つあります

y=x(x-1)(x-2)は上向きの山一つ、下向きの山2つあります

y=x(x-1)(x-2)(x-3)は上向きの山1つ、下向きの山2つあります

こんな感じでどんどん山を増やしてって無限個の山を作れば、波の形も再現できそうですね

波は、このようなxに関する無限次関数として表すことができるということが数学的に証明されています

で、このようにして作った波というのは、実は三角関数として表すことができるということもわかります
逆に、三角関数以外では波は作れないのですよ

ですから、三角関数をお勉強しましょうね
近道はないのです
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 21:22:16.39 ID:FErV7Cg/.net]: >>522
お願いします
571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 21:32:57.14 ID:6/06+ZSW.net]: ベッセル関数や楕円関数の波もある
572 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/20(土) 22:08:11.18 ID:a2GfXqVt.net]: 非斉次微分方程式の特解って、グリーン関数の方法を使わなければ人によって変わりますよね？なんでそれで大丈夫なんですか？
573 名前：波 mailto:sage [2020/06/20(土) 22:34:44 ID:xNDcWa2+.net]: >>551
(x-1)(x-2)(x-3)の123と増えていくものをsにしてyとxをmに習合できませんか？

三角関数は単位にできませんし、πという物理の単位もありません。微分や積分も物理の単位では^1/n、^nになりますし、周期または周波数のs/syc、syc/sのサイクルも物理的な実体はないですし

円をy^2＋x^2＝r^2と三角関数を使わないで表現できるように、三角関数を何かしらの計算方法としてyとxの直接的な計算記号に落とし込んでyとxだけで表現できないかという
574 名前：ことです 完成目標はsin刃とcos刃の単振動です []: [ここ壊れてます]
575 名前：波 mailto:sage [2020/06/20(土) 22:40:27 ID:xNDcWa2+.net]: たぶんyとxをmに習合するとyの面範囲になって確率表現になると思うんですけど
あ、まったくわからないです
576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 22:41:06 ID:Kd3tCo0e.net]: 2＋7=4
4＋6=9
3＋9=？
577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 22:41:51 ID:xNDcWa2+.net]: いま思っただけです
578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/20(土) 23:40:30 ID:3GFxA0wR.net]: 習合という単語にとんと聞き覚えがないので
辞書を引いてみたんだよね

「哲学上または宗教上で、相異なる諸種の教理や学説が融合すること。神と仏を結びつけて、その本地垂迹を考えた、神仏習合思想はその一つ。」

なるほど。宗教の話をしていたのか
道理で話が通じないわけだ。
579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 00:54:50.67 ID:2Oslh1MN.net]: >>555
足し算の記号はΣで表しますけど、掛け算の記号は大文字のΠで表します

Π(x-m)=....(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)......
580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 10:08:29.44 ID:TWkOlglI.net]: 偏微分方程式の変数分離法って方法がありますが、その解の線形結合で表される解以外の解があることってあるんでしょうか？
あんがい応用系の本には載ってないもので…
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 10:42:59.50 ID:Wwj5EQcX.net]: （１）　x^n + y^n = z^n + 1
（２）　x^n + y^n = z^n - 1
nは３以上の整数のとき方程式（１）（２）の整数解x,y,zは必ず存在するか？
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 11:08:29 ID:GMWA6QXT.net]: 1)x=1 y=z=0
2)x=y=0 z=1
583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 11:46:01.14 ID:v7KbAOUS.net]: >>561
線形なら無い
584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 11:47:20.03 ID:6R/grUKn.net]: TをXの確率変数として、Pr(x,t)を考えます。
XとYは離散確率変数とします。
T(x)=tとならないxに対して、Pr(x,t)=0となることの証明と、
T(x)=tとなるxについては、Pr(x,T(x))=Pr(x)となることの証明を教えて下さい。
585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 11:50:04.50 ID:cHlUFTfv.net]: 当たり前
586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 11:53:31.95 ID:TWkOlglI.net]: >>564
ありがとうございます
非線形ならある場合もあるんですね。まあ非線形で変数分離できるとは限らんでしょうが
587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 14:03:31.74 ID:TNWiRm1q.net]: nは自然数の定数とする。
1≦k≦nの条件のもとで、(n,k)+(n+k,k)を最大にする自然数kをnで表せ。
ただし(a,b)は二項係数を表し、aCbとも書く。
588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 14:21:02.37 ID:Wwj5EQcX.net]: >>562
非自明な解は6^3+8^3=9^3-1だけ見つかった。他にあるかどうかは不明
589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 16:05:00 ID:nFN2fLDa.net]: >>568
k = n

（適当な証明）
n = 1 のときは明らか。
n > 1 のとき、次の主張が成り立つ。
主張「 1 ≦ k < n のとき、 (n,k) + (n+k,k) < (2n,n) 」
主張が正しければ、 k = n のときに最大となることがわかる。

補題1「 1 ≦ k < n のとき、 (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) 」
（補題1の証明）
数列 (n+k)!/k! を考えると、これは k について単調増加であるので、
(2n-1)!/(n-1)! ≧ (n+k)!/k! より (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) が従う。

補題2「 1 ≦ k < n のとき、 (n+k,k) > (n,k) 」
（補題2の証明）
明らか。あるいは、ヴァンデルモンドの畳み込みから、
(n+k,k) = Σ[j=0,k] (n,j)(k,k-j) > (n,k) より成り立つ。

（主張の証明）
パスカルの三角形より、
(2n,n) = (2n-1,n-1) + (2n-1,n) であり、二項係数の対称性から
(2n-1,n) = (2n-1,n-1) であるので、
(2n,n) = 2(2n-1,n-1)
あとは補題1と補題2から主張が従う。

エレガントな証明は他の人に譲ります
590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 16:13:18 ID:Wwj5EQcX.net]: >>569　>>562 有名なのがあった
9^3+10^3=12^3+1^3=1729 []; [ここ壊れてます]
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 16:21:56 ID:Wwj5EQcX.net]: (9t^4)^3+(9t^3+1)^3=(9t^4+3t)^3+1 (オイラー）で無限個あるそうな.-1の方もn=3のときは無限個あるそう
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 16:42:20 ID:6R/grUKn.net]: >>565
お願いします
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 19:08:17.24 ID:ScL+3aN1.net]: >>573
>>566で返答が得られていると思うけども。

この手の自明なことを証明せよということは、定義に忠実に従った記述が求められているわけで
Pr(x,t)やPr(x)の定義が正確に記述されてない以上こちらで勝手に決めつけて答えにくいわけで
自明ですね、となるわけだ
595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 20:07:20.38 ID:KCThDFGX.net]: >>568
　a_k = (n,k) + (n+k,k)
とおく。
パスカルの△より 1≦k≦m に対し
　(m,k) = (m-1,k) + (m-1,k-1) > (m-1,k)
よって
　a_{k+1} - a_k = (n,k+1) - (n,k) + (n+k,k+1)
　　> (n,k+1) - (n,k) + (n+k-1,k)
　　≧ (n,k+1)　　　　　　　　(1≦k<n)
∴ a_k は単調増加
596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 20:08:37.59 ID:6R/grUKn.net]: >>574
直感的に明らかではあるんですけど証明ができないです。。。
Pr(x,t)は確率変数(X,T)の同時確率測度
Pr(x)はXの確率測度でPr(t)はTの確率測度です
597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/21(日) 20:59:39.08 ID:ScL+3aN1.net]: >>576
直感的に明らかなのではなく、定義から明らかなのです。

確率変数、離散確率変数、確率測度、同時確率測度の定義を述べればそれでほぼ証明できたも同然のはずなのです。
つまり証明できないということはあなたがこれらの定義をわかっていないのだと思うのですが、それでは証明のしようもないのです。
598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 10:35:54.84 ID:HOq0vlXr.net]: >>572
n=3 の場合
　y^3 = z^3 - x^3 + 1
　　　= (z-x)(zz+xz+xx) + 1
　　　= (z-x){(2x+z)^3 - (z-x)^3}/9x + 1,
ここで 9x = (z-x)^4 とすれば
　y^3 = {(2x+z)/(z-x)}^3,
　y = (2x+z)/(z-x)
　　= 3x/(z-x) +1
　　= (1/3)(z-x)^3 + 1,
　z = x + (z-x),
これより
　x = 9t^4,
　y = 9t^3 + 1,
　z = 9t^4 + 3t,
599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 13:00:47.55 ID:qRmIzlOs.net]: xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線をL_Pとする。
CはL_Pにより2つの曲線に分割されるが、Pの位置に関わらず、この2つの曲線はL_Pに関して線対称でないことを示せ。
600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 13:32:25.31 ID:ehbh7JVm.net]: lim[x→∞]曲率半径=1
lim[x→-∞]曲率半径=0
601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 13:35:46.44 ID:hAoLuEgD.net]: lim[x→∞]曲率=1
lim[x→-∞]曲率=0
602 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/22(月) 15:29:36.80 ID:FzufUNm3.net]: f(x)(x+1)＝4(x+1)の時と、f(x)(x+1)＝(2x+3)(x+1)の時では解答に差が出るのでしょうか？
前者はx≠-1のただし書きがなかったのですが、どういう事なのでしょうか？
603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 15:34:47.67 ID:BAIvlHuK.net]: エスパーを待て
604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 17:13:41.14 ID:0/eLdBm+.net]: >>579
初等的に解いてみた

「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線」を
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける接線に垂直な点Pを通る直線」と解釈する

曲線 C 上の任意の点 P を P(x, y) = (a, e^a) とすると、 e^a ≠ 0 より、直線 L_P は
L_P: y = - e^(-a) (x-a) + e^a = - e^(-a) x + ae^(-a) + e^a
となる。
曲線 C 上の任意の点 Q(x, y) = (x_1, e^x_1) に対し、
点 Q と直線 L_P に関して線対称な点を R(x, y) = (x_2, y_2) とするとき、
(e^(-2a) + 1)y_2 = - 2 e^(-a) x_1 + (e^(-2a) - 1)e^x_1 + 2(ae^(-a) + e^a)
が成り立つ。

曲線 C を直線 L_P によって分割した2つの曲線が直線 L_P に関して線対称であると仮定して矛盾を導く。
上の点 Q, R に対し、線対称の仮定から、 x_1 → +∞ のとき y_2 → 0 でなければならない。
しかし、上の y_2 の表示から、
a ≧ 0 のとき y_2 → -∞ (x_1 → +∞)
a < 0 のとき y_2 →
605 名前：+∞ (x_1 → +∞) となるので矛盾。 []: [ここ壊れてます]
606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 17:37:31.54 ID:DpfREwGB.net]: ていうか
e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
もし線対称線があるなら、それはe^xの傾きが45度
つまりx=0での法線でなければならない
しかしこの点では明らかに線対称でないから不可能
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 18:43:51.70 ID:oXHhmpkM.net]: >>585
＞e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
いやさすがにe^xがx→+∞でy軸に平行に向かうは無いわ。
608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 18:49:18.07 ID:0/eLdBm+.net]: >>585
y = e^x は x → -∞ のとき直線 y = 0 に漸近するので、
線対称線があると仮定して y = e^x を折り返すと x → +∞ のときも漸近線が存在することになるが、
実際には x → +∞ のときに漸近する直線は存在しないので矛盾。
という論理なら正しいと思います
609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 18:52:12.15 ID:DpfREwGB.net]: >>586
言い方がアレだが傾きは∞(つまりy軸の傾き)に向かう
それ以外のどの傾きにも向かっていかないわけだから
線対称にするなら少なくとも45度のところでなければならない、てのは論理的に問題ない
610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/22(月) 18:55:19.25 ID:DpfREwGB.net]: >>587
その方がシンプルで語弊もなくていいですね
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/23(火) 00:33:55.60 ID:AI4CeC5C.net]: >>583
来ないみたいね
612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/23(火) 08:37:16.55 ID:aDKneL6R.net]: 任意の自然数nに対してr^nが無理数となり、r^n-rが有理数となる実数rが存在するならば、それらを全て求めよ。
613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/23(火) 11:17:32.20 ID:5kvsRr7n.net]: ＞＞591
存在しない。

r^2-r=r(r-1) および r^3-r=r(r-1)(r+1) が有理数であるからその商r+1も有理数である。つまりrは有理数である。
しかし、rが有理数であればr^nが無理数となることはない。矛盾するのでこれを満たすrは存在しない。
614 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/23(火) 16:27:19.84 ID:FjhXp1Fi.net]: 1/(x^2+1)が実数の範囲で一様連続かどうかという問題で、微分係数の形にしないと上手く証明出来ないかなと思ったのですが、δをどのようにとったら上手く証明できますか？
615 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/24(水) 03:51:36 ID:s7K3jYNh.net]: 以前lim［n→ ∞］（1＋1/x）^nとかについて聞いた者なんだけど、また質問させて欲しい
x= ∈Rの時
lim［n→∞］（1＋1/x）^n=lim［n→∞］（1＋1/-x）^-x=e
を証明せよ

Rの指数法則
0<a,b a≠1,b≠1 x,y ∈ Rに対して
（1） R a^x＋y=a^x・a^y
（2） R （a^x）^y=a^xy
（3） R （ab）^x=a^x・b^x
（4） R a^0=1,1^0=1
（5） R a^-x:=1/a^x
（6） R a^1/n=n√a
（7） R a^無理数
616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 06:28:04.91 ID:vyYURpQJ.net]: >>594
nとxがごちゃまぜになっているようなので正確に書いてくれるか。

あと質問自体とは全く無関係ではあるが
そのRの指数法則って書いているものは表記がおかしい部分があるもののおおむね意味は分かるが
最後の「a^無理数」これだけ意味が分からんのだがどういうことだ？
617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 09:51:26.93 ID:NoItLLRp.net]: >>593
f(x) := 1/(x^2+1)
|f(x+h)-f(x)| = ... = |(2hx + hh)/{((x+h)^2+1)(x^2+1)}|
≦ |2hx|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)| + |hh|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|
≦ |2hx|/|x^2+1| + |hh|　　{∵ |1/((x+h)^2+1)|≦1, 1/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|≦1}
≦ |h| + |hh|　　{∵ |2x/x^2+1|≦1}
≦ (|h|+1/2)^2 - 1/4

∀ε＞0, ∃δ = √(ε+1/4) - 1/2
|h| < δ ⇒ |f(x+h)-f(x)| < ε
618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 12:49:29 ID:RJnJ6BC8.net]: https://i.imgur.com/HYNgQUw.jpg
お願いします！
619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 13:10:05 ID:854FP7B1.net]
620 名前：target="_blank">>>594
まず、コミュニケーションを勉強するんだな []: [ここ壊れてます]
621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 13:29:12 ID:NoItLLRp.net]: >>597
容積:V = Sx*hx = Sy*hy
5分でXに溜まる量: Sx*h = 5*V/18
5分でYに溜まる量: Sy*6h = 5*V/15
∴ hx/hy = Sy/Sx = 18/(6*15) = 1/5

数的推理
満水量: (Sx - Sy)*hx = T*V/15
∴ 時間 T = (Sx*hx - Sy*hx)*15/V
　= (1 - hx/hy)*15
　= 4/5 * 15 = 12分

工学的推理 (容器Yは浮力で浮きあがるはず)
V = T*V/15
∴ 15分 (に一番近い 14分が答え)
622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 13:51:32.89 ID:77W9lbT7.net]: >>597
容器Xの底面積s,高さh、容器Yの底面積S,高さHとおく。sh=SH=V...(1)
ホースAの注水能力はV/18、ホースBの注水能力はV/15
容器XにAで注水した5分後の水量a、容器Yに注水した5分後の水量bは、それぞれ
a=5V/18、b=V/3
bの水面の高さH'がaの水面の高さh'の6倍だから、
H'=6h'
→b/S=6*(a/s)
→H=5h
(1)に代入して
sh=5Sh
→S=(1/5)s
したがってXの中にYを置いたときに出来るドーナツ状の容器の底面積は(4/5)sであり、容積は2sh/3
ここに毎分V/15=sh/15で注水するから、求める時間は(2sh/3)/(sh/15)=10［分］
623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 15:49:51.58 ID:8w0fjplA.net]: xy平面の曲線y=x^2(-1≦x≦1)をy軸の周りに一回転させてできる曲面をDとする。
Dの形に容器をつくり、容器に水を満杯になるまで注ぎ、台の上に置いて支える。
ただし台の上は水平面とし、容器の開口部の円周は台の上と平行な平面上にあるものとする。
いま容器を一方向に45°だけ傾けた。あふれ出る水の量を求めよ。
624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 20:44:48 ID:Xsyvn5Xl.net]: >>593
f(x)の平均変化率は
{f(x) - f(y)}/(x-y) = {1/(xx+1) - 1/(yy+1)}/(x-y)
　= -(x+y)/{(xx+1)(yy+1)},
ここで
(xx+1)(yy+1) = (xx +1/3 +1/3 +1/3)(1/3 +yy +1/3 +1/3)
　≧ {|x+y|/√3 +1/3 +1/3}^2
　= (1/3)(|x+y|+2/√3)^2
　≧ (8/√27)|x+y|,　　　　　　(等号は x=y=±1/√3)
だから
　｜{f(x)-f(y)}/(x-y)｜≦ (1/8)√27,

∴ f(x) はリプシッツ連続だから一様連続。
625 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/24(水) 20:45:09 ID:JT6s22tv.net]: f∈C^∞(R)、a≠0に対し、g=f(・-a)とする
この時、df/dx=gを満たすfを求め、実際にdf/dx=gを満たす事も示せ

この問題、なかなか上手くいきません
626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 20:49:33 ID:rUhlzW45.net]: >>603

> f∈C^∞(R)、a≠0に対し、g=f(・-a)とする
> この時、df/dx=gを満たすfを求め、実際にdf/dx=gを満たす事も示せ
>
> この問題、なかなか上手くいきません
導関数が平行移動、三角関数じゃ？
解き方はわからん。
627 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/24(水) 21:18:44.97 ID:JT6s22tv.net]: >>604
fが周期関数と仮定するとf(x)=Aexp(i(x-B))とおき、A、Bを決める
g(x)=Aexp(i(x-B-a)
df(x)/dx=iAexp(i(x-B))=g(x)=Aexp(i(x-B-a)
A=0又はi=exp(-ia)となる必要有
a=-π/2ならA、Bは任意で良く、つまり、f(x)=iAexp(x-B)
a≠-π/2ならA=0すなわちf=0
って所までやりましたが、この他に解が無い事をどう示すか悩み所ですね
628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 21:21:24.00 ID:NoItLLRp.net]: >>601
・∫[0,q] dt √(1-t^2) = ( arcsin(q) + q√(1-q^2) )/2
・∫[0,1]dz z^{3/2}/√(1-z) = B(5/2,1/2) = Γ(5/2)Γ(1/2)/Γ(3) = 3π/8
・∫[0,1] z*arcsin(√z) = 1/2*arcsin(1) - 1/4*∫[0,1]dz z^{3/2}/√(1-z) =
629 名前：π/4 - 1/4*3π/8 = 5π/32 ・∫[0,1]dz z^{3/2}*√(1-z) = B(5/2,3/2) = Γ(5/2)Γ(3/2)/Γ(4) = π/16 V=∫[0,1]dz { πz/2 + 2∫[0,z]dt √(z-t^2) } = ∫[0,1]dz { πz/2 + 2z∫[0,√z]dt √(1-t^2) } = π/4 + ∫[0,1]dz { z*arcsin(√z) + z^{3/2}*√(1-z) } = π/4 + 5π/32 + π/16 = 15π/32 http://o.5ch.net/1of76.png []: [ここ壊れてます]
630 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/24(水) 21:25:26.87 ID:enFnG/G5.net]: 確率が出せず困っています。
0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードを使って、4桁＋4桁の足し算をした時、答えが8888になる確率を教えていただけませんか。
631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 22:04:47.74 ID:VOVi4KlP.net]: 1/6300になった
全く自信はない
632 名前：イナ mailto:sage [2020/06/24(水) 22:30:52.82 ID:Pgq5JJdI.net]: 前>>211
>>601
最初の丼鉢がπ∫[t=0→1]tdt=π[t/2]0→1=π/2
45°傾けたとき水面が円なら3π/16だが短軸が長軸の半分と見て、
π(√3/4)(√3/8)=3π/32
∴π/2-3π/32=13π/32
自信ない。
633 名前：イナ mailto:sage [2020/06/24(水) 22:49:16.25 ID:Pgq5JJdI.net]: 前>>609補足。
>>601
丼鉢を、平面y=x-uで切った切り口が楕円でなく、円であるなら、
π∫[-1/4→0](1/2-2u)du=π[u/2-u^2]-1/4→0=π(1/8+1/16)=3π/16
半径√3/4の円を楕円と置き換え、短軸が長軸の半分√3/8であると考えた。
634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 22:54:51.67 ID:uHXQOLLh.net]: >>607
総当りでやってみた。
0123という並びも4桁の数字と考えるとすると384/1814400=1/4725
635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 23:24:54.98 ID:vyYURpQJ.net]: >>607
「10枚中8枚を使って」ではないところが悩ましいな。
十の位に4のカードと3のカードを2枚重ねて7扱いとする！みたいな使い方をしてそうだ。そうでもしないと10枚使いきれないからな。
とりあえず「10枚中8枚を使って2枚余らせる」とみなした場合を以下に書いておく。

足す2つの4桁の数をA+Bとする。AとBの千の位に0が来ないので、全事象の場合の数（分母）は9*8*8P6。
求める事象の場合の数（分子）について。まず足して18になる組み合わせがないので繰り上がりはあり得ない。つまり各位ごとに和が8になる組み合わせのみ。
千の位は(1,7)(2,6)(3,5)の3通り、百～一の位は(0,8)(1,7)(2,6)(3,5)の4通りだからA+Bの各位にどのペアが来るかのパターン数は3*3!=18通り。
そしてそのパターンごとにペアの2数をA,Bのどちらに割り振るかで2^4通りずつあるから、全部で18*2^4通りとなる。
したがって答えは(18*16)/(9*8*8P6)=1/5040

だと思うのだが、千の位が0を除いているので>>611との違いは気にならないとしても、>>608と値が異なるので大いに不安ではある。
636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 23:47:19.22 ID:uHXQOLLh.net]: 何通りあるかでなくて、確率を求めよというのが悩ましいが、

0123を4桁とみなす場合

library(gtools)
pm=permutations(10,8,v=0:9)
nrow(pm) # 10!/2=1814400
fn <- function(x){
sum(x[1:4]*10^(3:0))+sum(x[5:8]*10^(3:0))==8888
}
sum(apply(pm,1,fn)) # 384
384/1814400 # = 1/4725=0.0002116402
#--- simulation ----
sim <- function(){
x=sample(0:9,8)
sum(x[1:4]*10^(3:0))+sum(x[5:8]*10^(3:0))==8888
}
mean(replicate(1e7,sim()))

0123を4桁の数とはみなさない場合
f <- function(x){
x[1]!=0 & x[5]!=0
}
pm1=pm[apply(pm,1,f),]
nrow(pm1) # 1451520
sum(apply(pm
637 名前：1,1,fn)) # 288 288/1451520 # = 1/5040 = 0.0001984127 []: [ここ壊れてます]
638 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/24(水) 23:51:39.88 ID:v5+ynUdM.net]: 頭の良い方、教えてください。
6の目が5になっているサイコロを1個投げる時、目の出方は5通りで根元事象は{1,2,3,4,5}で合ってますよね？
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/24(水) 23:55:06.31 ID:VOVi4KlP.net]: >>612
俺が間違えてた
640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 00:02:43.73 ID:epgEAfuS.net]: >>601 別解
z = x^2 + y^2 {このグラフを 45°回転すると..}
(x+z)/√2 = {(x -z)/√2}^2 + y^2
∴ (√2*z + 1/4) = 1/2* {x- (2z+√2)/2}^2 + y^2
zでの切り口は、楕円(長径:√2, 短径:1) を √(√2*z + 1/4) 倍にスケールしたもの
よって囲む面積は (√2*z + 1/4)*π√2

V1 = ∫[0..1]dz πz = π/2
V2 = ∫[-1/(4√2)..0] dz (√2*z + 1/4)*π√2
　= (-√2/64 + 1/(16√2)) * π√2 = (-1/32 + 1/16)π = π/32
溢れる体積: V= V1-V2 = π/2 - π/32 = 15π/32
o.5ch.net/1ofa4.png
641 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/25(木) 00:03:42.17 ID:8oNyfBOb.net]: 614です。
少し訂正します。
要素は{1,2,3,4,5}で根元事象は{1,2,3,4,5,5'}で合っているでしょうか？
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 00:40:13.12 ID:pJxwPPea.net]: >>614が正しくて>>617が誤り。
この場合の根元事象は{1,2,3,4,5}で、根元事象の起こり方が同様に確からしくないだけ。
643 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/25(木) 00:49:13.71 ID:8oNyfBOb.net]: >>618
例えば確率で2の目が出る確率を考えると、1/6になると思うのですが、この場合は根元事象をどう捉えれば良いのでしょうか？
644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 01:40:44.61 ID:pJxwPPea.net]: >>619
根元事象は{1,2,3,4,5}で2が出る確率は1/6。何の問題もない。
どう捉えるかと言われても、>>618に書いたように同様に確からしくないだけの話だ。
645 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/25(木) 02:38:31.89 ID:a4EJWEDG.net]: (´・ω・｀)
別スレにも書いたのですが回答がないのでこちらにも書きます。
たまたま目にした企業の入社試験なのですが問2がわかりません。
1/2 <= 1/3 の証明のどこに穴があるかを指摘する問題なのですが、分からなくてもやもやします。

https://dotup.org/uploda/dotup.org2182228.pdf
646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 07:08:46.76 ID:ZOB3qxsf.net]: >>615
10枚から8枚選らぶ順列は10P8=1814400通りで、各々は同様に確からしい。
0123+8765= 8888は4桁の数字の和とは考えないなら、
その確率は288/1814400=1/6300なので正しいと思う。
647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 08:17:08.58 ID:ZOB3qxsf.net]: >>621
ドッグフードを食べる猫がいるかもしれないし、
犬の声はテレビの音声かもしれない。

以上
648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 08:20:13.78 ID:pJxwPPea.net]: >>621
(x)が犬である事象をX、(y)が犬である事象をY、事象Sが起こる確率をP(S)、事象Sが起こった時の事象Tの起こる条件付確率をP_S(T)と書くことにする。

まず(A)～(D)はいずれもP_(X∪Y)(X∩Y)を問うものであると解釈すべき問いである。
(1)～(3)に誤りはない。

(4)は「(D)の答えは1/2である。」ここが誤り。
P_X(X∩Y) と P_Y(X∩Y) の値が等しかったとしても、それらの値が P_(X∪Y)(X∩Y) に等しいとは限らない。
実際に P_X(X∩Y)=P(X∩Y)/P(X),P_Y(X∩Y)=P(X∩Y)/P(Y),P_(X∪Y)(X∩Y)=P(X∩Y)/P(X∪Y) を P(X∩Y)=P(X)+P(Y)-P(X∪Y) に代入してP(X∩Y)を消去すると
1=1/{P_X(X∩Y)}+1/{P_Y(X∩Y)}-1/{P_(X∪Y)(X∩Y)} となる。これに P_X(X∩Y)=1/2 , P_Y(X∩Y)=1/2 を代入すると P_(X∪Y)(X∩Y)=1/3 が得られる。

(5)は結論こそ正しいが論拠が誤りである。
P_(X∪Y)(X∩Y) と P_(X∩Y)(X∩Y) がともに1/2以上であることは「(C)の答えが(D)の答え以上である」ことの理
649 名前：由にはならない。 (C)の答えと(D)の答えはともにP_(X∪Y)(X∩Y)=1/3で等しいから「(C)の答えが(D)の答え以上である」は正しい。 (6)は正しい論理によって誤った前提から誤った結論を導いている。 ちなみに条件付確率でないと解釈するのであれば、(x)(y)がともに犬である確率は1/4であるからすべて誤りになる。 []: [ここ壊れてます]
650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 08:30:36.50 ID:ocTjJMbt.net]: >>621
数学じゃない部分が入っているように思う
その解釈はおかしいみたいな部分が有るんじゃないだろうか
ディベートに近い
651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 08:43:37 ID:pJxwPPea.net]: >>622
分母の10P8では千の位が0になる場合を含めて数えて、分子の288では千の位が0になる場合を除いて数えると、その値になると。

つまり、>>607の問いを
「0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードから8枚を並べる」という試行を行った結果、その8枚が「4桁＋4桁の足し算になり、かつ答えが8888になる」確率
と解釈するとその答えになるというわけか。

>>612は
「0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードを使って、4桁＋4桁の足し算をつくる」という試行を行った結果、「答えが8888になる」確率
を求めているから、そりゃ異なる値が出るというわけだ。

どっちの解釈が正しいかというのはこの問題が発生した状況によるだろう。何かのテストで出題されたのなら出題者（採点者）の裁量の範囲だな。
>>612の解釈の方が文章の自然な読み取り方な気はするけど、あくまでも個人的な考えだからな。
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 08:47:33 ID:ugKDGz4C.net]: >>603
f が指数関数と仮定する。
f(x) = A･exp(Bx) とおき、A, B を決める。
題意より　B = exp(-aB)

・a> -1/e, a≠0 のとき B = (1/a)W(a),
W は LambertのW函数。

・a=0 のときは B=1
653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 09:59:58.22 ID:RYmcULbD.net]: >>621
数学知らない人が、有名問題をネットから拾って数学以外の要素を足してしまったような問いだな
例えば「ドッグフード」が問題にどのような条件を付加するのか不明、他にも同様の箇所があるので、「解答不能」が正解だろう

ところでこの企業ググってみたけどブラックの匂いがプンプンするな。こんなとこ入って大丈夫か？
654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 10:16:07.31 ID:awxo0n7B.net]: 区間I=[0,2π)から無作為に実数を1つ選び、それをθとおく。
xy平面上で、直交座標で(cosθ,sinθ),(cos(θ+L),sin(θ+L))と表される2点を両端点とする、光を通さない円弧をCとする。
点(0,10)に点光源が設置されているとき、直線y=-10上にできる影の長さの期待値をLで表せ。
ただし区間Iにおいて実数は一様に分布しているものとする。
655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 11:06:53.90 ID:a4EJWEDG.net]: >>624
回答ありがとうございます。でもまだわかりません(´・ω・｀)

P_(X∪Y)(X∩Y) = 1/3 であるのは、(1)でも示されている通りに理解できます。

1匹の犬の鳴き声が聞こえた場合に、2匹とも犬である確率は1/2のように感じてしまいます。
少し例を変えると、佐藤さんが1匹の犬を連れ歩いているのを見た場合、2匹とも犬である確率（＝もう1匹も犬である確率）は、1/2でよいですよね？
656 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/25(Thu) 12:58:12 ID:9Oi/hZQR.net]: 【火星】　世回教師マイト┗ーヤとＵＦＯ　【金星】
https://lavender
657 名前：.5ch.net/test/read.cgi/mog2/1592981405/l50 sssp://o.5ch.net/1ofh3.png []: [ここ壊れてます]
658 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/25(木) 13:21:59.85 ID:kPO5oF2N.net]: 数学掲示板群 ttp://x0000.net/forum.aspx?id=1

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ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3694-0
659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 13:50:20.35 ID:pJxwPPea.net]: >>630
＞1匹の犬の鳴き声が聞こえた場合に、2匹とも犬である確率は1/2のように感じてしまいます。
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(x,y)=(犬,犬),(犬,猫),(猫,犬)の3通りなのだから(犬,犬)である確率は1/3であろう。
条件付確率としてはこうなると言っているだけで、これで納得するかどうかどう感じるのかなど知ったことではない。
それこそ>>625の言う通り数学の範疇ではない。数学板だから数学で答えているだけだ。

＞少し例を変えると、佐藤さんが1匹の犬を連れ歩いているのを見た場合、2匹とも犬である確率（＝もう1匹も犬である確率）は、1/2でよいですよね？
よくない。1匹連れているのを見かけたときの2匹とも犬である条件付確率は1/3だ。
660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 14:14:31.21 ID:ocTjJMbt.net]: >>633
それは違うんじゃないのかな？
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(x,y)=(犬,犬),(犬,猫),(猫,犬)の3通りではあるがそれらは等確率ではないのでは？
犬が2匹いると鳴き声が犬Aの場合と犬Bの場合があり得る
1匹の犬を見かけた場合も同様
ただし、2匹の行動が独立という条件があっての話であることはその通りと思う
実際には1匹が鳴くともう1匹も鳴く可能性が高まるだろうから1匹の鳴き声だけが聞こえた場合（犬、犬）である可能性は低くなったりするかも知れないし、
2匹飼っていたら2匹同時に散歩させるはずだとか室外犬と室内犬だと室外犬しか散歩させないとかややこしい話もあり得る
独立であるならこれらの場合は1/2になるんじゃないのかな
2匹とも見た人から「少なくとも1匹は犬」と聞かされたことで「少なくとも1匹は犬」を知った場合は1/3でいいと思う
661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 14:35:52.65 ID:gAVHynLj.net]: 1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(鳴犬,黙犬),(黙犬,鳴犬),(鳴犬,黙猫),(黙猫,鳴犬)の4通りだろ
662 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/25(木) 14:44:27.06 ID:JiYF8lCe.net]: >>636
> 1匹連れているのを見かけたときの
> 2匹とも犬である条件付確率は1/3だ。

これはどう考えても1/2でしょう。
663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 14:57:33 ID:ypm90GOl.net]: それが1/2に見えるのは条件付き確率が分かってない証拠。
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 15:39:33.50 ID:+j1GZSI0.net]: 円と円の内部の点Pが与えられたとき、Pを通る2直線が円と点A，Bおよび点C，Dで交わるとき
PA・PB＝PC・PD=PT^2 となる点Tはどこにとれるか？（Pが外部のときはTは接点）
665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 16:07:36.02 ID:joqgUfXO.net]: Pを通りPで2分される弦の端点
666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 16:12:01.00 ID:pJxwPPea.net]: なんだか>>633のあとに色々書きこまれているが、条件付確率として考えないのであればそりゃ色々な考えがあろうさ。

確率が1/2になるようなケースとしては、例えば
2匹のペットをそれぞれ赤い小屋と青い小屋に1匹づつ飼っているというような追加条件があって
赤い小屋のペットが犬であるとわかった場合の青い小屋の方が犬である確率
というような場合なら条件付確率としても1/2になるな。

>>630は連れている犬が2匹のうちのどちらなのかわかってないから1/3になるわけだ。
それがいくら感覚に反するからといって、条件付確率ではこうなるということに変わりはない。
667 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/25(木) 16:34:15.41 ID:3lhKYgae.net]: n*sin(2pi*n!*e) のn→∞　の極限は2pi らしいのですが
これをhttps://www.wolframalpha.com/ で求めようとするとうまっくいきません。
ウルフラムに個の極限を出させるにはどうすればいいですか。
668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 16:4 ]: [ここ壊れてます]
669 名前：2:49.52 ID:joqgUfXO.net mailto: 流石のwolfram先生でもダメなのか。
n!e-[n!e]=1/(n+1)+O(1/n^2)
までは自分で変形するしかないんだろな。 []: [ここ壊れてます]
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 17:22:22.14 ID:DYnXYcHM.net]: >>642
まで自力でいければ後は流石のwolfram大先生
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x+sin%282+pi+%2F%28x%2B1%29%29+at+x+to+infinity&lang=ja
671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 17:47:54 ID:a4EJWEDG.net]: >>640

その理屈で言うと、
例えば、4人家族で子どもが二人いるということがわかっている家族があって、
子どもの一人が、自分の娘の同級生なので女子であることがわかっている場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/3である（男子である確率は2/3である）
ということでよろしいでしょうか？

また、8人家族で6人の子どもがいることがわかっている家族があって
上記と同様の理由でそのうち5人の子どもが女子であることがわかった場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/7 である
ということでよいでしょうか？
672 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/25(木) 18:13:02.27 ID:3lhKYgae.net]: >>643
ここまですればもはやウルフラムなくても求めれますｗ
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 18:22:49.31 ID:ocTjJMbt.net]: >>640
> >>630は連れている犬が2匹のうちのどちらなのかわかってないから1/3になる
それはおかしいよ
どちらなのかわからなくても2匹が別々の犬であることには変わりがない
674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 19:49:42 ID:gAVHynLj.net]: 量子力学の犬らしい
675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 20:48:51.12 ID:pJxwPPea.net]: >>644
それは両方とも誤り。
前半は、2人のうち同級生な方が女子とわかっているわけなので残りの一人が女子の確率は1/2。
後半も同様に、6人中我が家の子と同級生である5人が女子だとわかっているので、我が家の子と同級生でない残りの一人が女子の確率は1/2。

例えば前者で、娘2人のうち同級生の方が女子とわかっているのではなく、娘2人のうちどちらか一方が女子であることだけわかっているのなら1/3だろう。

>>646
条件付確率の考え方に基づくとどうなるか言っているだけで、それがおかしいと感じるかどうかについては知ったことではない。
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 21:03:33.27 ID:pJxwPPea.net]: どうもいつまでも納得しない人がいるようなので、もう少し丁寧に書いてみる。
まず>>621は「ペットはそれぞれ犬・猫のどちらかで、それぞれ犬である確率は50％であるとする」これが前提条件。
このような書き方をしているということは、それぞれのペットが犬であるか猫であるかを観察するという2つの試行は独立であるとみなしてよい。
独立でないとこんな条件設定はできないはずだからな。
ということで、この2つの試行の結果である(犬,犬)(犬,猫)(猫,犬)(猫,猫)の4つの根源事象の起こり方は同様に確からしく、確率はすべて1/4づつ。

2頭のうち少なくとも一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は(犬,犬)(犬,猫)(猫,犬)の3つのうち(犬,犬)である確率だから1/3
2頭のうち特定の一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は(犬,犬)(犬,猫)の2つのうち(犬,犬)である確率だから1/2

条件付確率の公式を用いて説明することもできるが、上記と同じ結論がでるだけ。
677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 21:15:17.26 ID:nD7WCD//.net]: 無限集合Sを
S={2,4,8,...,2^n,...}
と定義する。
Sから相異なる6つの要素a[k](k=1,2,...,6)を選び、2つの有理数p_1=a[3]/(a[1]+a[2])およびp_2=a[6]/(a[4]+a[5])を作る。
ただしa[1]<a[2]<...<a[6]である。
p_1+p_2が整数となるa[k]の選び方があれば、その例を1つ挙げよ。
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 21:18:56.26 ID:joqgUfXO.net]: 4/(1+2)+64/(8+16)
679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 21:25:18.77 ID:a4EJWEDG.net]: >>648

> 2人のうち同級生な方が女子とわかっているわけなので残りの一人が女子の確率は1/2。

それならば、「佐藤さんが1匹の犬を連れているのを見かけた場合」は、
佐藤さんが連れている方（娘の同級生と違って呼び名はありませんが）が犬とわかっているだけで、
残りの一匹が犬の確率は上と同じく1/2ではないでしょうか？
（すなわち、両方とも犬である確率は1/2ではないでしょうか）

> 2頭のうち少なくとも一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は...1/3

これはその通りですが、
「佐藤さんが1匹の犬を連れているのを見かけたとき」という条件と
「2頭のうち少なくとも一方が犬であるとき」という条件は違うように思います。
680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 21:33:28 ID:a4EJWEDG.net]: >>648

もう少し
681 名前：わかりやすい例を考えました。 例えば、4人家族で子どもが二人いるということがわかっている家族があって、 子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった場合、 もう一人の子どもが女子である確率は1/3でしょうか？1/2でしょうか？ []: [ここ壊れてます]
682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 21:34:09 ID:ocTjJMbt.net]: >>648
おかしいと感じると言うことを言っているんじゃないよ
(x,y)=(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）、（猫、猫）の4通りあり、
1匹を見かけてそれが犬であるのは、犬Aを見たとき、犬Bを見たとき、犬Cを見たとき、犬Dを見たときの4通りありこれらが等確率
従ってもう1匹が犬であるのは1/2だよ
683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 21:58:46.08 ID:nD7WCD//.net]: >>651
1は使用不可です
684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 22:00:54.75 ID:pJxwPPea.net]: >>652
佐藤さんが連れているのがどちらのペットかわかってないですよ。
たとえば佐藤さんがペットに赤の首輪と青の首輪をつけて区別していることがあらかじめわかっているような場合なら
赤の首輪の犬を連れて散歩をしてるのを見た場合、青いほうの犬の確率は1/2になりますね。

>>653
1/3ですね。

>>654
＞1匹を見かけてそれが犬であるのは、犬Aを見たとき、犬Bを見たとき、犬Cを見たとき、犬Dを見たときの4通りありこれらが等確率
その通りですね。連れているのが犬である確率は1/2なので、それが犬A～犬Dである確率は1/8ずつですね。
ちなみにそれとは別の話として、(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）、（猫、猫）の4通りの確率もどれも等しく1/4ずつですね。

＞従ってもう1匹が犬であるのは1/2だよ
これは誤りですね。連れているのが犬であったという条件のもとでの条件付確率については
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)である確率ですから1/3です。
685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 22:15:04 ID:ocTjJMbt.net]: >>656
いや、違うって
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)が1/2、(犬C、猫）、（猫、犬D）がそれぞれ1/4だよ
それら3つは等確率じゃない
686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 22:21:12 ID:ZOB3qxsf.net]: >>653
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）は同じ確率とすると
どちらか一人が女の子であった場合に、もう一人の子供が女の子である条件付き確率は1/3でいいと思う。
687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 22:25:04 ID:joqgUfXO.net]: >>655
8/(2+4)+128/(16+32)
688 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/06/25(Thu) 22:26:15 ID:H162hOtu.net]: 前>>610
>>601
y軸も丼鉢といっしょに45°傾け、
y=tで切った残り水の断面積はいくらになる？
半径√tの円を、中心からtの弦で切った欠円の面積だと思うんだけど。
tを0→1で足し集めて残り水の容積が出ると思うんだけど。
689 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/25(Thu) 22:28:16 ID:H9g6cohj.net]: 10枚のカードで、8888になる確率を尋ねたものです。ありがとうございました。
8枚しか使わないので2枚残ります。
そして、8人の人が順にカードをひき、その順の通りに並べて計算すると、8888になるという場合を想定しました。そうなると、0が千の位にくる場合も計算に入れないといけないのかな？と思っていました。
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 22:36:08.30 ID:pJxwPPea.net]: >>657
(犬,犬)が1/2 , (犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4 , (猫,猫)が0 ということですね。
これら4つの根元事象の確率をこのように定めるということは、つまり佐藤さんが犬を飼っていることを確認したうえで試行を行っているわけで
>>621の条件設定に反するのです。

このように確率を定める場合、1匹目のペットが犬である確率は(1/2)+(1/4)=3/4 , 2匹目も同様に3/4となり
>>621の「ペットはそれぞれ犬・猫のどちらかで、それぞれ犬である確率は50％であるとする」に反するわけです。
691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 22:45:27.49 ID:a4EJWEDG.net]: >>653 は明らかに1/2になると思ったのだが、これで意見が割れるとは・・・。

>>657 さんがわかりやすく説明しているように、
（姉、妹）が1/2
（姉、弟）（兄、妹）が1/4ずつ
だと思います。
692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 22:59:41.71 ID:joqgUfXO.net]: まぁ意見は分かれるだろ。
これで意見が割れるんだから数学の問題として成立してない。
数学の確率なんだから哲学とは違う。
意見が割れれば実験して白黒つけることになるが、逆に言えば、その段階でどんなシミュを組めばいいか微妙な段階では問題としての定式化が出来てない。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
それらの試行のうち「ある日犬を連れて散歩してるのを見かけた」というのをどう解釈するのかで、万人が一意に解釈は定まらないだろう。
この条件を「犬を連れて散歩してたんだから弾かれる試行は猫猫のみ」と考えるのは少しも奇異ではない。
やは�
693 名前：阯^えられた条件をどうシミュするかで議論が残るようなら数学の確率の問題と評価できる問題になってない。 []: [ここ壊れてます]
694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(木) 22:59:55.43 ID:a4EJWEDG.net]: >>656
「子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった場合は1/3」とのことですので、
「子どもの一人がたまたま娘の同級生で女子であることがわかった場合」も1/3ということでよいでしょうか？
（たまたまという言葉がついているので、>>648 とは異なるのでしょうか？）
695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 23:21:21 ID:a4EJWEDG.net]: >>664
議論が長くなっているので終わった方がよろしいでしょうか。すみません。
（個人的には、>>653 を1/3とする理屈にはとても不思議に感じるので心残りなのですが・・・。）
696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/25(Thu) 23:27:07 ID:joqgUfXO.net]: >>666
やりたきゃいいだろうけど、問題の根源がそもそも「どう数学的に解釈すべきか」と言う数学以前の話だから「オレはこう思う」以上の意見が出るはずもなく永遠の水掛け論に終わるのがオチ。
大体この手の議論には巻き込まれないようにするのが吉。
697 名前：イナ mailto:sage [2020/06/26(金) 01:04:32.76 ID:aMd3Zj61.net]: 前>>660
丼鉢の半分はπ/4
残り水を除いた容積と残り水の容積の比をx:1とおくと、
x=7が導ければよいことになる。
698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 01:22:33.12 ID:0h2AePdI.net]: iを虚数単位とする。
自然数nを用いて実数tがt=nまたはt=±inと表せるとき、tを複素整数と呼ぶ。
複素整数の組(x,y,z)で、x^3+y^3=z^3を満たすものは存在するか。結論と理由を述べよ。
必要ならば「x^3+y^3=z^3を満たす自然数の組(x,y,z)は存在しない」ことを証明なしに用いてよい。
699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 01:48:04 ID:/now+Nzk.net]: 自明解が死ぬほどあるやん。
非自明なら実数二つ、虚数一つとかあり得ないし。
700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 02:01:55 ID:IMq3cxhz.net]: そもそも複素整数の定義ってこれであってんの?
701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 04:16:08.26 ID:F3NztK4m.net]: 一晩考えてようやくわかった気がするわ(´・ω・｀)

(1)
まず、>>353 の答えは1/2

4人家族で子どもが二人いるという前提のみの場合は
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）
は同じ確率（1/4ずつ）だが、

(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
という条件の元では、
（姉、妹）の確率は1/2
（兄、弟）の確率は0
（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/4
になる。

なお、参考までに、条件Aではなく
(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
という条件の元では、
（姉、妹）（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/3
（兄、弟）の確率は0
になる。

(2)
元の問題の（D)だが、
「一匹の犬の鳴き声が聞こえた」という条件は、
「任意の一匹を選んだときにそれが犬だった」という条件とは異なり、
単に犬が一匹以上いるということしか言っていない。
したがって、(D)の答えは1/2ではなく1/3で、元の問題の論拠(4)が誤り。

(3)
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合は、(1)と同じく1/2。
ただし、もしも、「佐藤さんが犬を散歩させているのを見た」という条件で、
かつ、犬は散歩に連れて行くことがあるが猫を散歩に連れて行くことはない
という前提をおいてもよい場合は、(2)と同じになるので1/3になる。
702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 04:17:43.25 ID:F3NztK4m.net]: >>672

> まず、>>353 の答えは1/2

「>>653 の答えは」の誤りです。
703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 05:34:34 ID:R326Stdn.net]: nは3以上の自然数で、2の累乗ではないとする。
2を底とする対数log2_[n]を、自然数k,m、0≦a<1の実数aを用いて
log2_[n] = k + 1/(m+a)
と表すことを考える。

（1）どのようにnをとっても、a=0とはならない。その理由を簡潔に述べよ。

（2）n=11のときk,mを求め、さらに1/(p+1)≦a≦1/pを満たす自然数pを求めよ。
704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 05:35:22 ID:1uISJdvh.net]: >>672
＞(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
＞(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている

ナンセンスだな。条件Aと条件Bにどんな差があるんだよ。

条件Bで「少なくとも一人女子がいることがわかっている」ということは、誰かしら(Xとする)
705 名前：が 「少なくとも一人は女子であることを直接目撃して確かめている」わけだろ。 だったら、Xにとっては条件Aと条件Bは変わらんだろうが。それとも、 ・直接確かめたXにとっては条件Aなので 1/2 だが、 Xの情報を人づてに聞いただけの第三者にとっては条件Bで 1/3 になる とでもいうのか？ ちなみに、>>653の答えは普通に 1/3 だよ。1/2 とかありえない。 []: [ここ壊れてます]
706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 06:40:47.57 ID:F3NztK4m.net]: >>675
うーん。これでもわかりませんか。

Aさんが２つのサイコロをふった。

あなたは２つのサイコロのうちの任意の一つの目を教えてもらったところ、サイコロの目は偶数だった。
もう一つのサイコロの目が偶数である確率はいくつか？ → あなたはこれを1/3と言っていますよ。
707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 07:22:59 ID:48PsH009.net]: >>662
違うよ
根元事象の確率はそれぞれ1/4だよ
「(犬,犬)が1/2 , (犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4」というのは「見かけた1匹が犬であったとき佐藤さんが飼っているペットの内訳はどうなっているか」という条件付き確率だよ
これを使ってさらにもう一匹が犬である確率を求めると（1/2）*1+（1/4）*0+（1/4）*0=1/2

最後の値を条件付き確率で求めるなら
見かけた1匹が犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*（1/2）+（1/4）*（1/2）+（1/4）*0=1/2
見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*0+（1/4）*0+（1/4）*0=1/4
求める確率=見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率=（1/4）/（1/2）=1/2
となってやっぱり1/2
1/3ではないよ

(犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4というのをまとめて「犬2匹が1/4、犬と猫が1/2、猫2匹が1/4」としても計算できる
708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 07:32:20 ID:k8AOi6FK.net]: >>664
＞2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。

2匹のペットを選ぶ思考は確率1/3で犬犬、犬猫、猫猫を選ぶと考えもあるとは思う。

それには
順列でのペアと組合せでのペアのどちらが同様に確からしいと考える差ではないだろうか？
709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 07:32:53 ID:1uISJdvh.net]: >>676

・　Aさんは2つのサイコロを順番に振る。「あなた」は1番目と2番目のどちらのサイコロを確認してもよい。

・　Aさんは2つのサイコロを同時に振る。「あなた」は、もはや区別のつかない2つのサイコロのどちらを確認してもよい。

前者の場合は、確認しなかった方が偶数である確率は 1/2 で、後者だと 1/3 になる。
>>653は「子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった」としか言ってないので後者になり、1/3 になる。
「上の子が女子であることがわかった」なら下の子が女子の確率は 1/2 になるし、
同じく「下の子が女子であることがわかった」なら上の子が女子の確率は 1/2 になる。

他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合も後者になり、1/3 になる。
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが最初に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが次に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になるし、同じく
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが2番目に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが最初に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になる。
710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 07:36:46 ID:1uISJdvh.net]: >>677
佐藤さんの例は 1/3 としか解釈のしようがない。
>>679のように余計な条件つけると 1/2 にはできるが、
それはもともとの佐藤さんの例とは問題文が根本的に違う。
711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 07:47:19 ID:48PsH009.net]: >>675
差があるんだよ
少なくとも1人が女の子であることがどのような方法でわかったかによって変わってくる
A：どちらか片方を見た（どちらを見るのかは1/2の確率）
B：両方とも知っている人から「少なくとも1人は女の子」と聞かされた
この二つではもう1人が女の子かどうかの確率は違ってくる

思考実験してみればすぐわかる
二人の子を持つ夫婦を400組用意する
女の子と男の子が生まれる確率が1/2として確率通りに集まったとすると姉妹が100組、姉弟が100組、兄妹が100組、兄弟が100組いることになる

Aの方法で片方を見て女の子であるのは、姉妹100組から100組、姉弟100組から50組、兄妹100組から50組の計200組
このうちもう1人が女の子であるのは姉妹100組だけであるので確率は100/200=1/2

Bの方法で両方とも知っている人が「少なくとも1人は女の子」というのは、300組
このうち2人とも女の子であるのは100組なので確率は100/300=1/3
712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 07:54:00 ID:jej8YQEB.net]: サイコロ2個のうちの片方を見て奇数だったとき、
それをノーゲームにするかもう片方まで見るか？の違い
713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 07:56:47 ID:1uISJdvh.net]: >>681
Aが曖昧でダメ。

A_1：どちらか片方を見た。それが上の子なのか下の子なのかは判別がつかない。
A_2：どちらか片方を見た。しかも、それが上の子なのか下の子なのかまで判別がつく。

A_1 なら 1/3 にしかならない。A_2
714 名前：なら確かに 1/2 になる。しかし、 「 A：どちらか片方を見た（どちらを見るのかは1/2の確率）」 という書き方でA_2の意味に確定するとは全く言えない。常識的に考えても、 1人の子供を見たときにそれが女子だったとして、それが上の子なのか下の子なのかまで そのタイミングで分かるわけがない。つまり、実質的には A の書き方では A_1 の意味であるとしか 解釈できず、ゆえに A の書き方でも 1/3 とするのが妥当。A_2 の意味にしたいなら ハッキリと A_2 のように書かないとダメ。 []: [ここ壊れてます]
715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:00:56 ID:48PsH009.net]: >>679
後者でも1/2だよ
区別がつかなくても別々のサイコロ
偶数偶数が1/4、偶数奇数が1/2、奇数奇数が1/4で出る
1/2の確率で選んだどちらか片方を確認してそれが偶数であるのは（1/4）*1+（1/2）*（1/2）=1/2
片方を確認して偶数で残りも偶数であるのは（1/4）*1+(1/2)0+(1/4）*0=1/4
求める確率は(1/4)/(1/2)=1/2
716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:01:45 ID:48PsH009.net]: >>683
上か下かわからないから>>681のようになるんだけど
717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:05:27.10 ID:k8AOi6FK.net]: ベイズ的に考えてみた。

（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）の
事前確率分布が (1/4,1/4,1/4,1/4)
少なくも一人は女子というデータでの尤度は(1,0,1/2,1/2)
事後確率分布∝（1/4,0,1/8,1/8)、
総和が位置になるように規格化すると（1/4,0,1/8,1/8)/(1/4+0+1/8+1/8)=(1/2,0,1/4,1/4)
よって、二人が女子である、すなわち、（姉、妹）である確率は1/2
718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:06:51.27 ID:1uISJdvh.net]: >>685
ならない。>>681の後半部分は条件付き確率の計算の仕方がデタラメ。
「女子である」ことの確認に失敗したケースはノーゲームにしなければ

「～～が〇〇だったときの、もう片方が××である確率」

という条件付き確率は算出できない。>>682で簡潔に指摘されているとおり。
719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:09:39.74 ID:48PsH009.net]: >>687
ノーゲームにしてあるでしょ
姉弟のうちの50組は弟を見てしまうのでノーゲーム
兄妹のうちの50組は兄を見てしまうのでノーゲーム
兄弟はどっちを見てもノーゲーム
720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:21:10.62 ID:1uISJdvh.net]: >>688
こちらが言っているノーゲームとはそういう意味ではない。

(1) 0が書かれたカードと1が書かれたカードがたくさんある山を用意する。
　　山から1枚カードを引くとき、0が出る確率も1が出る確率も等しく1/2とする。

(2) A君は山から2枚のカードを引き、手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。

(3) 表にしたカードが1なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
　　表にしたカードが0なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある数字を紙にメモする。
　　そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。

この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち 0 が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。

条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。

こちらが言ってる「ノーゲーム」とは(3)の1行目の意味。
つまり、最初に表にしたカードが1のときに、もはやデータを取ることをやめて
2枚をすぐ山に戻して(2)に戻ることを「ノーゲーム」と言っている。
721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:21:26.74 ID:k8AOi6FK.net]: 犬犬、犬猫、猫猫の
事前確率分布が (1/4,1/2,1/4)
少なくも一匹は犬というデータでの尤度は(1,1/2,0)
事後確率分布∝（1/4,1/4,0)
総和が位置になるように規格化すると（1/2,1/2,0)
よって、犬犬である確率は1/2
722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:29:18.81 ID:1uISJdvh.net]: >>689と全く同じことだが、「0」「1」ではなく「女子」「男子」の方がよかったな。

(1)「女子」と書かれたカードと「男子」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
　　山から1枚カードを引くとき、「女子」が出る確率も「男子」が出る確率も等しく1/2とする。

(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。

(3) 表にしたカードが「男子」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
　　表にしたカードが「女子」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
　　そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。

この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち「女子」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。

条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:29:49.97 ID:48PsH009.net]: >>689
それ、全然違うことを計算しているのでは？
佐藤さんのペットの問題での条件付き確率は「見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率」だよ
724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:31:55 ID:k8AOi6FK.net]: ちなみに、
犬犬、犬猫、猫猫の
事前確率分布を (1/3,1/3,1/3)とすると
少なくも一匹は犬というデータでの尤度は(1,1/2,0)
事後確率分布∝（1/3,1/6,0)
総和が位置になるように規格化すると(2/3,1/3,0)
よって、犬犬である確率は2/3
725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:35:19 ID: ]: [ここ壊れてます]
726 名前：1uISJdvh.net mailto: >>692
これが全然違うことを計算しているように見えるなら、
条件つき確率が分かってないということ。

男子・女子の例だと、「見かけた1人が女子である」という前提の上での確率なのだから、
データを取る際にも、「見かけた1人が女子である」という前提が訪れなかった場合には
データを取らずにやり直すしか解釈のしようがない。

>>>691で言えば、(3)の1行目のようになる。つまり、表にしたカードが「男子」なら、
データを取らずに2枚を山に戻して(2)に戻る(ノーゲーム)ということ。

このように、実際にシミュレーションするときも>>691の(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。 []: [ここ壊れてます]
727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:36:04 ID:48PsH009.net]: >>691
それを佐藤さんのペットの問題に戻すと、
見かけた1匹が犬でなかったときは佐藤さんに新たにペットを2匹飼ってもらうということを見かけた1匹が犬になるまで繰り返した場合に残りの1匹が犬である確率ってことになるよ
728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:36:41 ID:48PsH009.net]: >>694
条件付き確率の場合のノーゲームは条件に合わない場合は除外するってことだよ
729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:37:36 ID:1uISJdvh.net]: 全く同じことなので必要ないのだが、一応、「犬」「猫」バージョンも書いておくぞ。

(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
　　山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。

(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。

(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
　　表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
　　そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。

この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。

条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:40:11 ID:1uISJdvh.net]: >>696
だから、>>691でちゃんと、条件に合わない場合はデータを取ってないでしょ。

「見かけた1人が女子である」という前提が訪れなかった場合には、データを取っていない。
(3)の1行目のようにね。

そして、N が大きければ k/N は 1/3 に近づく。
731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:50:42.08 ID:48PsH009.net]: >>698
データをとらないだけでなくてやり直すこともせず除外するんだよ

あと>>695は間違ってた、申し訳ない
>>691をペットの問題に戻すと、
見かけた1匹が犬でなかったときは見なかったことにして犬を見るまで繰り返すってことになり、
元の問題と全然違うことをやることになる

口説くて申し訳ないがペットの問題を条件付き確率で計算する場合の計算式は、
「見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率」だよ
732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 08:54:49.91 ID:1uISJdvh.net]: >>699
＞データをとらないだけでなくてやり直すこともせず除外するんだよ

ナンセンス。それでは反復試行にならない。
>>691において、データを取らず、やり直すこともしないなら、
その時点で全ての試行が止まってしまい、それ以上データが取れなくなる。
つまり、君は次のように言っていることになる。

(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
　　山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。

(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。

(3) 表にしたカードが「猫」なら、この時点で　全　て　の　作　業　を　終　了　す　る　。
　　表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
　　そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。

これでは反復試行にならない。(3)の1行目で「猫」を引いた時点で終わってしまうからだ。

君は反復試行すら分かってないらしい。どうしようもないな。
733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 09:00:24.52 ID:48PsH009.net]: >>700
(1)(2)(3)の試行全体を反復すればいいだけだよ
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 09:04:50.46 ID:48PsH009.net]: >>700
もうちょっと正確に書くと

(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
　　山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。

(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。

(3) 表にしたカードが「猫」なら、この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る
　　表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
　　そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。

こういうことだよ
735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 09:05:07.64 ID:1uISJdvh.net]: >>701
それでは結局>>691と何も変わらないわけで、やはり 1/3 に収束するよ。
何が言いたいんだこの人は。
736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 09:07:39.79 ID:48PsH009.net]: >>703
すまない >>702に書いておいた
(3)が違う
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 09:09:51.13 ID:1uISJdvh.net]: >>702
いや、だからね、これは>>691と言ってることが全く同じでしょ。

「この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る」

と書いてあるけど、それはつまり

「2枚を山に戻して(2)に戻る」

とだけ書いてるのと一緒だからね。

一応言っておくけど、「データの総数を N として」というのはもちろん
紙にメモされた回数の全体を N としているのであって、
(3)の1行目で猫だったケースは N には含まれてないんだよ(メモの前に(2)に戻るから)。
だから、前者の書き方でも後者の書き方でも何も変わらない。

どうしても>>702の書き方でないとイヤならそれでもいいけど、
結局その>>702の試行では 1/3 に収束してしまうわけで、君としてはそれでいいのか？
738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 09:19:44.94 ID:48PsH009.net]: >>705
>>702でメモに残された(犬の数)/(犬と猫の総数)は1/2になるでしょ
(2)でカードを引いたとき、犬と犬が1/4、犬と猫が1/2、猫と猫が1/4
(3)で1枚めくって猫であるのは(1/4)*1+(1/2)*(1/2)+(1/4)*0=1/2だが記録しない
(3)で1枚めくって犬であるのは同じく1/2だが内訳は犬と犬が1/4、犬と猫が1/4なのでもう一枚めくって記録する犬と猫の数は同数になる

条件付き確率はその�
739 名前：盾ｪ起きた場合しか見ないんだよ []: [ここ壊れてます]
740 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/26(金) 09:21:35.16 ID:1uISJdvh.net]: >>706
その計算は間違っている。
>>702は実際にプログラミングでシミュレーションを組んでみれば分かる。
これは実際に 1/3 に収束する。
741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 09:23:07.10 ID:1uISJdvh.net]: こちらでも一応、ケチのつかない形の完全版の試行を記述しておく。

(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
　　山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。

(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。

(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
　　表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
　　そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。

この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
"メモが発生した回数" を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。

注意：「メモが発生した回数」を N としているので、
(3)の1行目で猫だったケースは N には含まれない。つまり、(3)の1行目は

「表にしたカードが「猫」なら、この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る」

と書いているのと全く同じ。
742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 09:25:56 ID:1uISJdvh.net]: >>702と>>708は言っていることが全く同じなので、どちらでもいいのだが、
この試行は実際にプログラミング組んで実験してみると 1/3 に収束する。

プログラミングが組めないなら、手元で人力で頑張って1000回くらい試してみればいい。
この試行が 1/2 に収束するなんてありえない。これは確実に 1/3 に収束する。
743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 09:27:07 ID:k8AOi6FK.net]: sim <- function(){ # 1が犬、0が猫に対応
pets=rbinom(2,1,p=0.5) # 0.5の確率で1がでる乱数を2個選んでpetsとする
pet=sample(pets,1,prob=c(1/2,1/2)) # petsから等確率で1個選んでpetとする。
if(pet==1){ # petが１なら
return(sum(pets)==2) # petsの総和が2か否かを返す
}else{ # そうでないなら
return(NA) # NA(Not Available)を返す
}
}
# 100万回シミュレーションして割合=確率を近似
mean(replicate(1e6,sim()),na.rm=TRUE) # NAを除いて割合を求める

結果は1/2に軍配が上がる
> mean(replicate(1e6,sim()),na.rm=TRUE) # NAを除いて割合を求める
[1] 0.4997591
744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 10:18:27.99 ID:1uISJdvh.net]: >>710
こっちでもプログラミング組んでみたら1/2になった。
むかし同じ問題で実験したときは1/3だったはずだが、なぜだ！
745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 10:27:03.86 ID:nrysIALE.net]: >>669
存在しない。
まず(x,y,z)がすべて自然数の場合は4行目の前提により存在しない。
自然数の3乗は自然数であり、純虚数の3乗は純虚数である。
(x,y,z)のうち1つが純虚数のとき、自然数２つの和または差が純虚数となりそのようなものは存在しない。
(x,y,z)のうち2つが純虚数のとき、純虚数２つの和または差が自然数となる。
純虚数の和または差が実数になるのは差が0のときだけだが、自然数の3乗は0でないのでこのようなものは存在しない。
(x,y,z)すべてが純虚数のとき、それぞれを3乗すると-in^3または+in^3の形になる。
両辺をiで割り必要ならば移行して整理すると、自然数a,b,cを用いて a^3+b^3+c^3=0 または a^3+b^3=c^3 のどちらかの形に変形できる。
いずれの場合もこれを満たす数は存在しない。

>>674
(1)a=0 とすると 2^(km+1)=n^m となる。左辺の素因数はすべて2だが右辺は2以外の素因数をもつため矛盾する。
(2)2^{1/(m+a)}=11/(2^k)であり、1＜2^{1/(m+a)}≦2 であるから k=3
このとき (11/8)^(m+a)=2 から (11/8)^m≦(11/8)^(m+a)＜(11/8)^(m+1) であるが (11/8)^2<2<(11/8)^3 のためこれを満たすのは m=2
このとき 1/a=log_(128/121)[11/8]
ここで (128/121)^5=34359738368/25937424601<11/8=1.375<4398046511104/3138428376721=(128/121)^6 であるから p=5
746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 10:38:03.49 ID:1uISJdvh.net]: (1) 2匹の全容を知っている第三者が「少なくとも1匹は犬」と小出しに教えている状況では1/3
(2)「あなた」が自分の目で片方だけ確認して犬だったという状況では1/2
　　(2匹に区別がなくランダムに片方を確認する形式でも1/2)

になるようだ。両者をプログラミングで実験すると、そうなっている。

両者に同じ出題をしながら同時並
747 名前：行でシミュレーションするところを想像してみると、 (2)の設定では、確認した動物が猫だった場合は必ず前提から外れて排除になるが、 (1)だとそういうパターンのうちもう片方が犬のものは必ず前提に乗り上げることになり、 しかもそのケースでは猫が混じっているので「両方とも犬」は起こりえないことが(出題者視点では)分かっている。 つまり、(1)の方が(2)に比べて猫が混じっている出題が通過しやすくなり、「あなた」にとって不利になる。 別の言い方をすると、(2)では「自分の目で確認して犬だった」という前提によって 猫が混じっている出題を事前にある程度排除できているので、(1)より少し有利になる。 また、(2)については、「1匹目を目で確認した」とか「2匹目を目で確認した」とかでなく 「区別がない2匹からランダムに片方を確認した」という形式でも同じ理屈が通用して、 (1)より(2)の方が有利になる。 と考えると、(1)と(2)が少なくとも同じ確率にはならないことは明確になるか。 なんにせよ、すまんかった。 []: [ここ壊れてます]
748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 11:50:28 ID:k8AOi6FK.net]: >>708
"
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
"
cards=rep(0:1,1e4) # 0：猫 1:犬のカードが1万枚

"
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
"
sim <- function(){
drawn=sample(cards,2) # 2枚のカードを引き
index=sample(2,1) # 2枚の中から1枚を
turned=drawn[index] # 表のカード
hidden=drawn[-index] # 裏のままのカード
"
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
"
if(turned==0){ # 表のカードが猫0なら
res=NA # 返り値にNA(Not Available)を
}else{　　 # そうでない（表のカードが犬1なら
res=hidden # 裏のままのカードの記載を返り値に
}
return(res)
}

"この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
メモが発生した回数を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
"
M=replicate(1e5,sim()) # １０万回繰り返して
N=sum(!is.na(M))　　　 # 返り値がNAでない（＝メモが取られた)回数をNとする
k=sum(M,na.rm=TRUE)　　# 返り値が犬1である個数を返す
k/N

実行結果は、

> k/N
[1] 0.4981091
749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 12:12:49 ID:/now+Nzk.net]: ね、水掛け論になるでしょ？ww
750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 13:31:21.50 ID:/T8TwJiQ.net]: Nを自然数の定数とする。
n≦Nにおいて不等式　0 < sin(n) < 1/n　を成立させる自然数nの個数をa[n]とおく。
同様に、n≦Nにおいて不等式　1/(n+1) < sin(n) < 1/n　を成立させる自然数nの個数をb[n]とおく。
極限l　im[N→∞] b[n]/a[n]　を求めよ。
751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 13:47:00.22 ID:vWIavpz8.net]: https://i.imgur.com/RmW5G60.png

東大院試2018
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 13:52:35.56 ID:/now+Nzk.net]: >>716
メチャメチャ
753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 14:13:29.51 ID:wF3i1P2Q.net]: 神野友亜いる？
754 名前：イナ mailto:sage [2020/06/26(金) 15:34:24.79 ID:KRtQ4T4I.net]: 前>>610
>>621
1か🤦♂1が間違ってるね。
1/3じゃない。
理由は題意。
ペットが犬である確率は50%だから、
確率は1/2
∴示された。
755 名前：イナ mailto:sage [2020/06/26(金) 15:56:29.60 ID:KRtQ4T4I.net]: 前>>720アンカー訂正。
前々>>660
756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 16:06:41.11 ID:k8AOi6FK.net]: >>621
これの問４を改題して

拳銃を一発撃ったときに、狙った相手を撃ち殺す確率は、
Ａは 1/3、Ｂは 1/2（50%）、Ｃは 1/1（100%）とします。
なお、この確率は、全員が知っているものとします。
拳銃を撃つ順番は、Ａ、Ｂ、Ｃの順番で、以降は最後の一人が生き残るまでこの順番を繰り返すものとします。
Ａ、Ｂ、Ｃは拳銃を撃つときに誰を狙っても良いこととします。ただし、一発で二人を狙うことはできません。
Ａ、Ｂ、Ｃの生き残る確率を求めなさい。

とするとどうやって解くのだろう？

シミュレーションしてみたら、A:1/2 B:1/6 C:1/3になった。

解
757 名前：析解は賢者にお任せします。 []: [ここ壊れてます]
758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 16:13:47.26 ID:k8AOi6FK.net]: >>720
ドッグフードを食べる猫やテレビから聞こえた犬の鳴き声の可能性が考慮されていないから、不合格！
759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 16:16:27.74 ID:k8AOi6FK.net]: >>722
シミュレーションのコードはここ

https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1592215787/49-50

１００万回のシミュレーション結果は

> k=1e6
> re2=replicate(k,f2())
> apply(re2,1,mean)
[1] 0.500167 0.167806 0.332027
760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 17:10:20.01 ID:mmW28Nrs.net]: >>722
狙う対象に自分を含むケースは無いのだろうか
自分が最も生存できるようにとの前提がないし
761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 17:34:08.20 ID:pucURpis.net]: >なお、この確率は、全員が知っているものとします。
これは自己生存確率が最大になるように行動する、という意味と解釈してプログラムした。
762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 17:53:24.24 ID:F3NztK4m.net]: >>715
数学的に明確な表現ならば、水掛け論になってもそこで終わらずに結論が出るというのは数学版の特徴だと思いました。

今回、以下の数学的な命題
「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合、二匹とも犬である確率は1/2である。」
を私がすぐに提示できればよかったのですが、色々な例を出して混乱を生じさせてしまいました。
しかしれそれによって私の理解が深まったところはありました。
763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 17:54:13.44 ID:F3NztK4m.net]: 「佐藤さんが一匹の犬を連れているのを見た場合に、二匹とも犬の確率は？」

上記についてですが、素直に解釈すると、
「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」
と考えることができるので1/2になると思われます。

ただし「佐藤さんが一匹の犬を散歩させているのを見た場合」というような状況で、
「犬を散歩させることはあっても猫を散歩させることはない」というような前提を置くと、
単に犬が一匹以上いるということ以上の情報はないので確率は1/3になると思われます。
（あまり確信をもって言っているわけではありませんが・・・。）
764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 17:55:06.14 ID:F3NztK4m.net]: もともとの問題（>>621）の問2ですが、
論拠1は、問題Aが数学的に明確な言葉で書かれているので正しいです。
論拠6は、論理的に正しいです。
論拠2、論拠3は、問題B、問題Cが数学的にあいまいな言葉で書かれているので、色々な解釈をとることができますが、まあ多少のことに目をつぶって自然な解釈をすると正しいと言えます。
論拠4ですが、問題Dの「佐藤さんの家から一匹の犬の鳴き声が聞こえた」というのを
(解釈4A)「ペットのうち少なくとも一匹は犬である」という意味で解釈をすると、問題Dの答えは1/3になるので、論拠4は正しくありません。
問題Dの「佐藤さんの家から一匹の犬の鳴き声が聞こえた」というのを
(解釈4B)「佐藤さんの家から一匹のペットの鳴き声が聞こえ、それが犬の鳴き声だった」という解釈をすると、「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」と同じになりますので、問題Dの答えは1/2になります。
しかし、後者の解釈をとった場合は、論拠5が正しくなくなります。
論拠5の中の場合分けの中の「一匹の犬の鳴き声が聞こえた場合」は、「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」という意味ではありません。(解釈4A)の意味に近いものになります。
したがって、
(解釈4B)をとった(D)の答え <= (C)の答え
にはなりません。

以上でどうでしょうか。
765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 18:54:22.72 ID:nrysIALE.net]: >>729
どうかと言われても、その返答を企業の面接担当がどう評価するかなどわかるわけもない。

少なくとも、数学板のスレに書き込むような数学にある程度の興味を持っている人間相手にすら全員一律に納得させるのは難しい
ということはここまでのやり取りでわかるだろう。
いわゆる人によって何が正しいかの感じ方が色々ある問題なので、あなたがそれで正しいと思うのならそれがあなたにとっての正しい解答でしょう。

企業の出題意図としては「正しい回答を出せるか」よりも「相手を納得させられる回答をできるか」を問う
766 名前：問題のように思われますので 解答に説得力があるかどうかを評価点とするのが妥当かと思いますが、その評価方法は数学の話ではないので出題者に聞いて下さい。 []: [ここ壊れてます]
767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 19:52:28.94 ID:k8AOi6FK.net]: 狙撃成功率しらないとして、相手をランダムに選んで（但し、自分自身は狙撃しない）でシミュレーションしてみたら
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1592215787/51

A、B、Cの生存確率はほぼ均一になった。

> RandomDuel(1/3,1/2,1)
[1] 0.33318 0.33410 0.33272

ちなみに狙撃成功率が全員１とすると
> RandomDuel(1,1,1)
[1] 0.00000 0.49837 0.50163
Aは必ず撃たれて死亡するという当然の結果になった。
768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 20:17:37 ID:+EkUCPkX.net]: (Case AB)A,Bだけが健在で、手番がAの場合。
この状態から、Aが勝つ確率=1/3+(2/3)(1/2)(1/3)+{(2/3)(1/2)}^2(1/3)+...=1/2
(Case BA)A,Bだけが健在で、手番がBの場合。
この状態から、Bが勝つ確率=1/2+(1/2)(2/3)(1/2)+{(1/2)(2/3)}^2(1/2)+...=3/4
(Case AC)A,Cだけが健在で、手番がAの場合。この状態から、Aが勝つ確率=1/3
(Case CA)A,Cだけが健在で、手番がCの場合。この状態から、Cが勝つ確率=1
(Case BC)B,Cだけが健在で、手番がBの場合。この状態から、Bが勝つ確率=1/2
(Case CB)B,Cだけが健在で、手番がCの場合。この状態から、Cが勝つ確率=1

(Case CAB)全員健在で、手番がCの場合
CがAを撃てば、CaseBCに移行。Bが勝つ確率=1/2なので、Cの勝つ確率は1/2
CがBを撃てば、CaseACに移行。Aが勝つ確率=1/3なので、Cの勝つ確率は2/3
従って、CはBを撃つのが妥当(※)で、Cの勝つ確率は2/3

(Case BCA)全員健在で、手番がBの場合
BがAを撃ち、当たれば、CaseCBに移行し、C必勝。Bの勝つ確率0
BがCを撃ち、当たれば、CaseABに移行し、Aの勝つ確率は1/2なので、Bの勝つ確率1/2
Bがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseCABに移行。前述の通り、CaseCABになったとき、Bの勝つ確率は0が妥当
Bの最善手は、Cを狙うことで、この時の勝つ確率は、(1/2)*(1/2)=1/4
769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 20:18:12 ID:+EkUCPkX.net]: (Case ABC)全員健在で、手番がAの場合
AがBを撃ち、当たれば、CaseCAに移行し、C必勝。Aの勝つ確率0
AがCを撃ち、当たれば、CaseBAに移行し、Bの勝つ確率は3/4なので、Aの勝つ確率1/4
Aがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseBCAに移行。
この時のBの最善手は、前述の通りCを狙うことで、
　当たれば、CaceABになり、CaseAB下でのAの勝つ確率は 1/2
　はずれれば、CaseCABになり、CaseCAB下でのAの勝つ確率は 1/3
　当たるか、はずれるかは、Bの命中率に依存するので、(1/2)(1/2+1/3)=5/12がこの時のAの勝つ確率
つまり、このゲームにおいて、Aの第一手の最善手は、わざと外すこと。

A:B:Cの勝率 = 5/12:1/4:1-(5/12+1/4) = 5/12 : 3/12 : 4/12　が妥当な勝率(比)と思われる。
770 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/06/26(金) 20:38:13 ID:KRtQ4T4I.net]: 前>>720
>>723そんな題意にないことを想定せないかんような入社試験は機能してないだら？
1で答えが出てしもて2以降に触れんのはどうだかいね？　と採否でだれかとてんびんに掛けられたら、あるいはとは思うけども。
771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 21:29:34.02 ID:48PsH009.net]: あんた三河の人だったんか
772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 22:19:46.57 ID:/now+Nzk.net]: 一手目のAの戦略がミソだな
773 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/06/26(金) 22:44:51 ID:KRtQ4T4I.net]: 前>>734
>>735そうでもないよ。
国一沿いのトイザらス行ったことはある。
774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/26(金) 23:45:57.18 ID:F3NztK4m.net]: >>733
わかりやすくて見事な解答なので何度も読み返してしまいました。
こういう説明ができるようになりたい。

私が計算したときは、Aがわざと外すに気が付かず、生き残る確率は、
B ＞ A ＞ C
の順番になってました（計算ミスしているかもしれないので詳細は省略（笑））
トップだと思っていたBは実は最下位だったのですね。
775 名前：イナ mailto:sage [2020/06/27(土) 02:24:56.12 ID:OMuVACiF.net]: 前>>737
>>601
y=x^2をy軸について回転させた容器の水のx≧0側半分、容積π/4の物体を、
平面y=xが7:1に分け�
776 名前：驍ｱとが示せれば、 (π/4)(1/8)=π/32 π/2-π/32=15π/32 []: [ここ壊れてます]
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 06:28:55.24 ID:AZV4v9kW.net]: わざと外すというのは狙撃確率が固定されているのでルール違反の気もする。狙撃手が選べるのは誰を狙うかだけが前提の気がするんだが。
コインの表の出る確率が1/2の問題に１回目は表を出しましたと言われた気がした。
778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 07:07:00.70 ID:ZrO1xjX+.net]: >>740
ルールには「順番に一発ずつ拳銃を撃って」「狙った相手を撃ち殺す確率は、...」「誰を狙っても良い」「一発で二人を狙うことはできない」と書かれているだけなので、ルール上は、わざと外す（誰も狙わずに撃つ）はOKと思われる。

この問題をAIが解けるかという観点で考えてみると、
ルールのスキマを見逃しやすい（今回の例だと「順番に誰か一人を狙って撃つ」と勘違いしてしまう）のはむしろ人間の弱みで、その点はむしろAIの方が強い。
一方で、拳銃を撃つ行為にはわざと外すという行為が可能であり、その行為には失敗がないこと、を知っている必要がありそこはAIが弱いところか。
779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 07:07:04.19 ID:AZV4v9kW.net]: >>733
(Case ABC)全員健在で、手番がAの場合
AがCを撃ち、当たれば、CaseBAに移行し、Bの勝つ確率は3/4なので、Aの勝つ確率1/4

AがCを撃ち殺す確率は1/3なので
AがCを撃ち殺したのちにBも撃ち殺して生き残る確率は1/3*1/4=1/12 -----(1)

Aがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseBCAに移行。
この時のBの最善手は、前述の通りCを狙うことで、
　当たれば、CaceABになり、CaseAB下でのAの勝つ確率は 1/2
　はずれれば、CaseCABになり、CaseCAB下でのAの勝つ確率は 1/3
　当たるか、はずれるかは、Bの命中率に依存するので、(1/2)(1/2+1/3)=5/12 -----(2)

Aの生存確率は(1)+(2)=6/12=1/2になる気がするんだが。
780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 07:10:20.02 ID:AZV4v9kW.net]: >>741
狙撃手Cにはわざと外すという選択肢がないのだが。
781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 07:31:04 ID:AZV4v9kW.net]: >>734
ドッグフードを食べていたのは、
犬でも猫でもなくて飼い主の可能性も考慮というレスを期待していたのに。イナ大先生の芸風にほころびがｗ
782 名前：イナ mailto:sage [2020/06/27(土) 10:01:57.67 ID:OMuVACiF.net]: 前>>739
>>597
5分後のＸの水面の高さは5/18
このときＹの水面の高さは、
(5/18)×6=30/18=5/3
満杯になると、
(5/3)×(15/5)=5
高さの比はＸ:Ｙ=1:5だから、
底面積の比はＸ:Ｙ=5:1
ＹをＸの中に置くとＸの底面積は4になるから、
5:4=15:12
∴12分
783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 10:59:49.17 ID:7F1KO1OI.net]: 任意の自然数kに対して、
(1/2){(m+n-1)^2+(m-n+1)}=k
を満たす自然数の組(m,n)がただ1組存在することを証明せよ。
またk=1010*2021のとき、(m,n)を求めよ。
784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 12:03:16.41 ID:rTsmeJAV.net]: ∀k∈N ∃!x,y∈N
2k = x^2+y,
x≡y (mod 2),
y∈[x^2-x+2, x^2+x]
785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 12:21:36 ID:aGX51zSu.net]: >>746
xy平面の第1象限に含まれる格子点に以下のルールで順序を与え点列とする。

(i)座標の和が小さい点が先
(ii)座標の和が等しい点同士はx座標の小さい点が先

すなわち
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),……
のように並ぶ。
この点列のk番目の座標を(m,n)とすると>>746の条件を満たす。

k=1010*2021のとき、(m,n)=(2020,1)
座標の和に関する群数列として求めるのがよいと思う。
786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 12:49:09.64 ID:VhLHRJfV.net]: 自分で思いついた問題で解答もわからない　もしかしたら有名題かもしれない

pを５以上の素数とする
正p角形のある相異なる４つの頂点を順にA,B,C,D,とし、
AとC, BとDをそれぞれ結んだときにp角形の内部にできる交点をＥとする。

先に選んだA,B,C,Dと少なくとも一つの点が異なるように相異なる４点A',B',C',D'を選びなおし
同じように対角線の交点をE'とするとき、EとE'は一致しない、は正か

また逆に正n角形において同じ操作を行い、任意のA,B,C,D,A',B',C',D'の組み合わせにおいて
E≠E' が成り立つとき、nは5以上の素数である、は正か

もし高校数学レベルでの解き方があれば方針だけでも教えてもらえると嬉しい
787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 13:16:59.91 ID:aGX51zSu.net]: >>749
5以上の素数は偶数ではないから前半は成り立つな。
後半は成り立たない。反例は正九角形くらいで十分だろう。
788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 14:01:44 ID:ZrO1xjX+.net]: >>742
その場合は、AがCを狙った場合ですので、5/12には2/3をかける必要があり、
(1/4)x(1/3) + (5/12)x(2/3) = 13/36 になります。
AがCを狙って撃つと、外した場合の勝率(5/12)よりも勝率は低くなるので、Aの第一手の最善手はわざと外すことになります。
789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 15:42:32.16 ID:AZV4v9kW.net]: >>738
自分以外の２人の狙撃成功率が高い相手を自動的に選んで狙撃するという方針、
選んだ相手を固定の確率で撃ち殺すとする（わざと外すのはなし）

Aから始めると私のシミュレーションでもA,B,Cの生存確率は
B ＞ A ＞ Cという順になった。

> apply(replicate(1e6,fn(1)),1,mean) # ABC
[1] 0.361035 0.416868 0.222097

BやCから始めてのシミュレーション結果は以下の通り

> apply(replicate(1e6,fn(2)),1,mean) # BCA
[1] 0.416438 0.249936 0.333626

> apply(replicate(1e6,fn(3)),1,mean) # CAB
[1] 0.334521 0.000000 0.665479
790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 15:48:30.16 ID:AZV4v9kW.net]: > apply(replicate(1e6,fn(2)),1,mean) # BCA
[1] 0.416438 0.249936 0.333626

ちなみにこれは>733の
> c(5/12,1/4,1/3)
[1] 0.4166667 0.2500000 0.3333333
に相当。
791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 15:53:29.63 ID:AZV4v9kW.net]: >>751
ありがとうございます。

> apply(replicate(1e6,fn(1)),1,mean) # ABC
[1] 0.361035 0.416868 0.222097

でのAの生存確率と合致しました。

> 13/36
[1] 0.3611111
792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 16:23:59.86 ID:AZV4v9kW.net]: 誤答とわかったので　>724は撤回します。

デバッグしたプログラムは

https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1592215787/57

>754を分数表示すると

ABCの順に狙撃するとして、狙撃率が高い相手を選んで与えられた確率で撃ち殺す（わざと外すのはなし）

ABCの生存確率は

13/36,15/36,8/36
793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 17:41:24.87 ID:rTsmeJAV.net]: >>750

> >>749
> 5以上の素数は偶数ではないから前半は成り立つな。

偶数でないとき、三本の対角線が内点の同一点を通らないのは示せるの？
794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 17:50:14.43 ID:T3mh9v/s.net]: >>748
確かに、条件を満足する点列の存在は示している
ただ唯一性は示されていない
唯一性を示す方法はないだろうか、ここばかりは点列による視覚的表現では無理だと思う
ところで10102021は(2020,1)になるんだな、上手い
795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 18:01:59.75 ID:aGX51zSu.net]: >>757
点列による視覚表現で示したつもりはなくて、これだけヒント（ほぼ答え）を示せばあとは自力でなんとかなるだろうと思っただけなんだけどな。全部書くと長くなるし。

ご所望の唯一性を説明しておきます。
>>748の (i)(ii)のルールに従えば、任意の異なる2つの格子点に対して必ず順序が定まる。
したがって2つの異なる格子点のうちどちらかが必ず先に来るので、同じk番目に異なる2つの格子点がくることはあり得ない。
796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 18:14:48.34 ID:rTsmeJAV.net]: >>757
>>747に!ついてるやん
797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 20:10:36.33 ID:AZV4v9kW.net]: >>597
計算しやすいように容量を90とする。
ホースAは90/18=5/分ホースBは90/15=6/分
5分後にXに5*5=25,Yに6*5=30たまっている。
Xの水位を1とすると底面積は25/1=25
Yの水位は6なので底面積は30/6=5
ドーナツの面積は25-5=20でXの20/25=4/5
ホースAなら(4/5)*18分かかるがホースBを使うため
(4/5)*18*(5/6)=12分で満タン。
798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/27(土) 20:20:44 ID:wWzRNyRw.net]: >>757
一�
799 名前：ﾓ性を示す つまり (m+n-1)^2+(m-n+1) = 2k が自然数m,nに対して成立していたとする このとき x=m+n-1, y=m-n+1 とおくと m,nが自然数であることから x≧y, x+y≧2 が得られる 置き換えにより x^2+y = 2k, つまり y = 2k-x^2 を得るから これをさっき得た2つの不等式に代入して 1 + x(x-1)/2 ≦ k ≦ x(x+1)/2 を得る f(x)=x(x-1)/2 とおくとこれは f(x) ＜ k ≦ f(x+1) と同値である 関数fは自然数zに対して f(z+1)＞f(z) を常にに満たすので f(z) ＜ k ≦ f(z+1) を満たす自然数zは一意的に存在するそれをz=wとおけば x=w がいえてよって y=2k-w^2 であるから問題の一意性が示された 解の存在性は逆をたどればほとんど明らかである その際は x,yの偶奇が常に一致していることも用いる ■ []: [ここ壊れてます]
800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 05:01:45 ID:TtBokcEN.net]: 平面上の3点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)が同一直線上にないとする。
このとき3点を通る放物線で、直線ax+by+c=0に平行な準線を持つものが存在することを示せ。
801 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/28(日) 07:23:54 ID:L5YFZupt.net]: 回転すると「指定の3点を通るx軸に平行な準線を持つ放物線はあるか？」という問題になるので、y=px^2+qx+rに指定の3点をそれぞれ代入して3元1次連立方程式を得る
この連立方程式が不能であるかどうかは3点が同一直線上にないという条件だけでは判定できない
例えば(1,2)(1,3)の2点が入ってるともう無理だね、yはxの一価関数なのだから
802 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/28(日) 07:29:09 ID:L5YFZupt.net]: ちなみに放物線が存在するかどうかはこんな感じで判定できる

(x_i^2)p+(x_i)q+r=y_i (i=1,2,3)
左辺の係数行列をA、拡大係数行列をAbと書くとするとrank[A]=rank[Ab]のとき、放物線が存在する

普通に不能かどうかを判定するだけです
とにかく準線に垂直な直線を作ってしまうような2点は通れない（放物線の定義に戻って考えればすぐに分かる）のだから、問題が間違っているよ
803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 07:56:29 ID:i2npjVvm.net]: >>740
狙撃をパスすることもできる、を加えれば狙撃手Cの成功率１との整合性はとれただろうね。
804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 07:58:14 ID:i2npjVvm.net]: >>745
15:12の15の算出はどうやる？
805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 08:38:06 ID:mgFXKfKs.net]: >>765
ルールには「順番に一発ずつ拳銃を撃って」「狙った相手を撃ち殺す確率は、Cさんは1/1」と書かれているだけなので、Cが誰も狙わずに撃つ（わざと外す）ことは、現在のルール上でも禁じられていない。

Aの立場になってみると、命がかかった勝負でルールで禁じられていないことをやって、Bから「反則だ！」と言われても、そんなこと知ったことか（こんなときにお前のマイルールを押し付けるなよ）という思いになるだろう。
806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 12:22:39 ID:gbpUfWje.net]: >>763
>例えば(1,2)(1,3)の2点が入ってるともう無理だね、yはxの一価関数なのだから

それ回転が不十分なだけで反例になってなくね？
適当に回転させれば一価にできるだろ
そもそも x = y^2 だって放物線なわけだし
807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 12:37:50 ID:cOsRqhwR.net]: 同一直線上にない3点A,B,Cと0でないベクトルnに対し、

A,B,Cを通り、準線がnと垂直なものが存在する
⇔AB、BC、CAのいずれもがnと平行でない。

でないの？
808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 12:55:31.04 ID:gbpUfWje.net]: ん？待てよ
>>762は任意の同一直線上にない3点 A, B, C と任意の直線 ax+by+c=0 に対する主張なのか？
それなら確かに>>763の指摘通りだが
「ある直線が存在して（つまり a, b, c は A, B, C に依存して決まる）」なら可能だと思うが、どっちなんだ？
>>762では直線は任意に与えるのか？
809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 18:11:21.48 ID:DrzpFm0+.net]: >>762
回転すると
　u = (bx-ay)/√(aa+bb),　　v = (ax+by)/√(aa+bb),
となる。
　準線は v = -c/√(aa+bb) に平行。　(v = 一定)

⊿ = (u1-u2)(u2-u3)(u3-u1) ≠ 0 のとき、3点A,B,Cを通る2次以下の多項式
　v = u^2･p + u･q ＋r,
が１つある。(ラグランジュ補間公式)
　p = {(u3-u2)v1 + (u1-u3)v2 + (u2-u1)v3}/⊿,
　q = {(u2u2-u3u3)v1 + (u3u3-u1u1)v2 + (u1u1-u2u2)v3}/⊿,
　r = {u2u3(u3-u2)v1 + u3u1(u1-u3)v2 + u1u2(u2-u1)v3}/⊿,

しかし A,B,C が一直線上にあれば直線(p=0)になる。
放物線となるには
　p ≠ 0,
　(u3-u2)v1 + (u1-u3)v2 + (u2-u1)v3 ≠ 0,
　(x3-x2)y1 + (x1-x3)y2 + (x2-x1)y3 ≠ 0,
810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 18:40:36 ID:eZfGjR8m.net]: nを2以上の自然数の定数とし、f(x)=x^n-axとする。
kを自然数の定数とし、|f(1/2^k)-f(0)|>1となるように実数aを定めたい。
aをnとkで表し、lim[k→∞] a をnで表せ。
811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 19:32:43.48 ID:noUWUAcc.net]: >>772
f(0)=0 , f(1/2^k)=2^(nk)-a*2^k から
a*2^k>2^(nk)+1 または a*2^k<2^(nk)-1
a>(2^k)^(n-1)+1/(2^k) または a<(2^k)^(n-1)+1/(2^k)
nを固定するとき、任意の実数aに対して十分大きなkをとると a<(2^k)^(n-1)+1/(2^k) を満たすようにできる。
したがって、lim[k→∞] が任意の値をとるように実数aを定めることができる。
812 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/28(日) 19:43:55.11 ID:LVXyGPds.net]: 全くわからない助けﾃ…

ある型のコンピュータの故障率は0.001である。1000台使用した時に故障するのが2台以下である確率を求めたい。故障する台数をXとするとXは2項分布である。
(1)求める確率P(X≤2)を2項係数を用いた式で書きなさい。
(2)E(X) を求めよ。
(3)P(X ≤ 2)を(2)の値をλとするポアソン分布で近似して求めよ。（e=2.718で計算し四捨五入して小数第3位まで求めよ。）
813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 19:49:34.68 ID:DrzpFm0+.net]: >>771
の最後の2式（u^2 の係数）は ±2⊿ABC でつよん。
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 21:16:29.69 ID:DrzpFm0+.net]: >>774
(1)
　n=1000,　p=0.001　とおくと
　P(X=k) = C[n,k]･(1-p)^(n-k)･p^k
　P(X≦2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
　　= 0.367695425 + 0.368063488 + 0.184031744
　　= 0.919790657

(2)
　E(X) = Σ[k=1,n] k･P(X=k)
　= Σ[k=1,n] k･C[n,k]･(1-p)^(n-k)･p^k
　= n･p Σ[k=1,n] C[n-1,k-1] (1-p)^(n-k)･p^(k-1)
　= n･p
　= 1000・0.001
　= 1,
815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 21:32:23.05 ID:DrzpFm0+.net]: >>734
わが国のファーストレディはペット用のセサミンを飲んでたらしいよ。
(2016/02/15　衆院予算委)
それを思えば、>>744 のようなレスにも現実味があると思うよ。
816 名前：イナ mailto:sage [2020/06/28(日) 22:08:56.28 ID:8MsMdR0j.net]: 前>>745
>>766
容器Ｙは15分で満水と題意にあります。
817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 22:38:49.34 ID:wHOzB8YR.net]: 整数nを十進法表記したとき、どの桁の数も4,7,9のいずれかであり、かつ、4,7,9のいずれも少なくとも1回は現れるという。
このようなn全体からなる集合をSとしたとき、Sの要素で平方数となるものは存在するか。
818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 22:55:10.55 ID:peOK/gpr.net]: 797449
819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/28(日) 23:21:38.51 ID:RMx/sM/f.net]: こういうクソ問はなんなんだろうな
モチベーションもわからんし
820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 01:00:36.92 ID:ASlt7m8R.net]: >>778
容器Xにドーナツ状に注入するからY全部への注入時間を使っちゃだめだろ。
821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 01:15:22.41 ID:ASlt7m8R.net]: >>774
> # Rが使えるなら
> n=1000
> p=0.001
> x=0:1000
> # (1)
> pbinom(2,n,p)
[1] 0.91979065715979891
> #(2)
> sum(x*dbinom(x,n,p)/sum(dbinom(x,n,p)))
[1] 1
> #(3)
> ppois(2,1)
[1] 0.91969860292860584
822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 01:37:14.17 ID:IYp3fSBH.net]: 半径1の円Cに内接する正三角形△PQRと、C上を動く点Xを考える。
このとき自然数nの定め方によっては、a[n]=|XP|^n+|XQ|^n+|XR|^n
がnのみに依存する値をとることがある（すなわち、C上のどの位置にXがあってもa[n]の値は不変である）。
そのようなnを全て決定せよ。
823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 02:03:25 ID:ASlt7m8R.net]: >>781
総当たりプログラムの練習にして遊んでみた。

library(gtools)
library(gmp)
v=c(4,7,9)
fn <- function(n){
pm=permutations(3,n,v,rep=T)
f <- function(x){
if(all(v %in% x)){
y=as.numeric(paste0(x,collapse = ''))
if(is.whole(sqrt(y))) return(y)
}
}
unlist(apply(pm,1,f))
}
i=1
flg=is.null(fn(i))
while(flg){
flg=is.null(fn(i))
i=i+1
}
fn(i-1)

> fn(i-1)
[1] 797449
824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 05:06:03.77 ID:LuHy/Alh.net]: >>784
C上のどの位置にあっても不変ならば、Xが点PにあるときとXが弧PQの中点にあるときのa[n]は等しい
2(√3)^n=2+2^n
右辺が整数であるから、左辺が整数になるためにnは偶数である。
(2/√3)^n=2-2/(√3)^n
n≧6 のとき (2/√3)^n≧64/27＞2-2/27≧2-2/(√3)^n であるからこの等式は成り立たない。
したがって n=2 または n=4 である。

Xが弧PQ上にあるとき常にa[2]=6,a[4]=18であることを以下に示すが、弧PQ上,弧QR上にあるときも同様である。
|XP|=p ,|XQ|=q , |XR|=r とする。余弦定理から
3=p^2+q^2-2pqcos120° , 3=p^2+r^2-2prcos60°
p^2+q^2=3-pq , p^2+r^2=3+pr
差をとって (r+q)(r-q)=p(r+q)
r+q>0 だから r-q=p すなわち p+q=r
r^2=(p+q)^2=3-pq+2pq=3+pq
a[2]=p^2+q^2+r^2
=(3-pq)+(3+pq)
=6
a[4]=p^4+q^4+r^4
=(p^2+q^2)^2-2p^2q^2+(3+pq)^2
=(3-pq)^2+(3+pq)^2-2p^2q^2
=18
825 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/29(月) 09:12:57.77 ID:pLxgzLOg.net]: 関数 f(x) は
x が無理数の時、f(x) = 0
x が有理数の時、 x = n/m とし、 f(x) = 1/n をとる。

区間 0 < x < 200 で、
x が有理数の時、
f（x）の最小値とその時のxの値を答えよ。
826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 09:31:49 ID:XuyQ1NeQ.net]: >>787
最小値は存在しない:
mを1以上の整数とするとき
n=200m-1 とおけば 0＜n/m＜200 であるが
f(n/m)=1/n より f(n/m) = 1/n = 1/(200m-1)
よって, xが0＜x＜200の範囲にある有理数であっても
f(x)はいくらでも0に近い値を取ることができる
一方で f(x)=0 を満たす有理数x＞0は定義上明らかに存在しない
つまり f(x)は問題の条件下では最小値を持たないといえる
827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 12:32:22.91 ID:aQRI+ZrR.net]: >>784
プログラム解

> a=2*pi/3
> P=1+0*1i
> Q=cos(a)+1i*sin(a)
> R=cos(-a)+1i*sin(-a)
> b=seq(-pi,pi,len=100)
> X=cos(b)+1i*sin(b)
> fn <- function(n){
+ y=abs(P-X)^n+abs(Q-X)^n+abs(R-X)^n
+ if(round(min(y),1)==round(max(y),1)) print(n)
+ }
> for(i in 1:1000) fn(i)
[1] 2
[1] 4
828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/29(月) 14:43:33.97 ID:4ejNywyM.net]: >>748
　第一象限の格子点(m,n)全体の集合をKと名付けるならば、
Kの各点に一つの番号を付けて、それを一つの無限点列にすることができる。
すなわち、Kはいわゆる可算（countable, denumerable, abzaelbar）集合である。
　次の図は、このような番号付けの例を示すものである。

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　　　第4章　§50. 二重級数　p.173　の右図
829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/30(火) 04:23:26 ID:ujUIqCoe.net]: >>788
ごめんね、おじさん馬鹿だから。
ちゃんと理解して練り直してくるわ。
830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/30(火) 10:13:20 ID:ECJqkbpx.net]: >>777
2016/Feb/15　衆院予算委員会
www.youtube.com/watch?v=Cygo5zyjl6Y 04:11

(大意)
ペット用のはペットボトルに入れて区別しよう････てワケではない。
831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 00:17:34.35 ID:Auh+B/Ha.net]: 三角形の２頂点と内心と傍心の４点を通って中心が外接円上にある円の名前はこの中にあるのでしょうか？
https://mathworld.wolfram.com/topics/TriangleCircles.html
832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 03:16:36 ID:LIgN0JWi.net]: a,b,c,d,e,fを整数とする。xy平面において、曲線
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=0
が放物線または双曲線であるとき、この曲線上には無数の格子点が存在すると言えるか。
833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 10:49:26 ID:d6MZAXch.net]: >>790
高木の本の情報はどうでもいいです
834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 11:24:45 ID:jgItmxWQ.net]: >>794
いえない。
例えば、双曲線 x^2-y^2=1 上の格子点は(1,0),(-1,0)の2点だけである。
(x+y)(x-y)=1 を満たす整数の組を考えればわかるだろう。
835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 11:45:30 ID:1v4yCAZo.net]: lim[k→0] ∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx) dx
の極限と積分の順序交換をして良い理由は何でしょうか。
836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 11:58:56.84 ID:Lxt/l9fd.net]: F(x)＝∫[0,x] (sin(t)/t)dt と置くと、A ＝ lim[x→＋∞] F(x) が有限値で存在する。
特に、F(x)は[0,∞)全体で有界である。｜F(x)｜≦C (x≧0) を満たす定数Cを取っておく。

∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx
＝[F(x)exp(-kx)]_0^∞＋k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx＋Ak∫[0,∞]exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx＋A

ここで、M＞0を任意に取ると

｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜
≦k∫[0,∞]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx
＝k∫[0,M]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx＋k∫[M,∞]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx
≦(A＋C)k∫[0,M]exp(-kx)dx＋(sup[x≧M]｜F(x)－A｜)k∫[M,∞]exp(-kx)dx
≦(A＋C)kM＋(sup[x≧M]｜F(x)－A｜)

なので limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜≦ sup[x≧M]｜F(x)－A｜となる。
Mは任意だから、M→∞ とすると　limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜≦ 0
となり、つまり lim[k↓0] k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx ＝ 0 となる。よって

lim[k↓0]∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx＝A

となる。また、A＝lim[x→＋∞] F(x)＝∫[0,∞](sin(t)/t)dt (右辺は広義積分の意味)である。
よって、結果的にはこのケースでは極限と積分の順序交換が成り立っている。
837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 16:06:51.60 ID:oUd/gfq5.net]: >>796
xかyを１だけずらせば定数項が0になって問題に合う。
838 名前： mailto:sage [2020/07/01(水) 23:06:43.00 ID:2hRevtG6.net]: 前>>778
12分じゃないの？
839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/02(木) 00:03:44.92 ID:tFqlB5eM.net]: 半径Rの円C上に1点Aが固定されている。
Aを1つの頂点とし、Cに内接する正七角形をSとする。
同様にAを1つの頂点とし、Cに内接する正九角形をTとする。
領域「Sの外部　かつ　Tの内部」の面積をRで表せ。
840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/02(Thu) 01:49:26 ID:cNqxcU4E.net]: めんどいだけ
841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/02(木) 20:35:13.51 ID:ceNKIuAv.net]: >>794
fはどこにも使わないんでつか
842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 04:49:32.90 ID:T/Vo2N/T.net]: 平面にｎ本の直線を引くときに出来る有界な領域の最大個数をｎで表すとどうなるか？
平面にｎ本の直線を引くときに出来る非有界な領域の最大個数をｎで表すとどうなるか？
843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 08:15:27.89 ID:4ba1V3lf.net]: >>804
高校の教科書に載っているようなカス問題が解けないのか
今までの人生で何やってた？
844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 09:30:36 ID:YHIalzY2.net]: n本目の直線を曳くと、
　新たにできる交点のうち最外のものよりも外側の部分で仕切られた
非有界な領域が２つできる。
（ただし、すべての直線が平行な場合は１つに減る。）

・n本目が 1～(n-1)本目のどれに平行でないとき、
　新たな交点が (n-1)個でき、それらの間の(n-2)個の線分で
　仕切られた有界な領域が(n-2)個できる。

・n本目が 1～(n-1)本目のどれかに平行なとき
　平行線の数だけ交点・線分・領域の数が減る。

有界な領域の数（最大）：　　　(n-1)(n-2)/2,
非有界な領域の数（最大）：　　2n
845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 09:50:13 ID:jLhKI4Rq.net]: >>805
お前のような書き込みが一番要らんだろう
回答する気がないのに揶揄するだけだから
846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 12:18:59.25 ID:YHIalzY2.net]: >>801
半径R=1 の場合を求め、あとで RR 倍すればよい。

A(1,0)
B( 0.661337323892269, 0.703240293158150)
(cos(40), sin(40))
を頂点とする△_1

C( 0.460960990844761, 0.818927622982359)
D(-0.074276143175737, 0.941092006073824)
(cos(80), sin(80))
を頂点とする△_2

E(-0.319077014266614, 0.897927007599567)
F(-0.785024867306145, 0.526345994193652)
(cos(120), sin(120))
を頂点とする△_3

G (-cos(π/7), 0.388169314943297)
(cos(160), sin(160))
(cos(200), sin(200))
G~(-cos(π/7), -0.388169314943297)
を頂点とする台形(trapezoid)

の面積を求めてたす。
847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 12:25:59.38 ID:YHIalzY2.net]: △_1 = 0.0265805988291735　(2つ)
△_2 = 0.0268429064059905　(2つ)
△_3 = 0.0261815312905293　(2つ)
台形T = 0.0282756761401363
この7つを合計する。
　 S/RR = 2(△_1+△_2+△_3) + T = 0.1874857491915230
848 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/03(金) 13:47:50.90 ID:SEzJko/d.net]: この問題の解き方、教えて下さい！サンドウィッチの詰め方

宿題の問題は以下の通りです。
「縦12センチ(3センチ×4)、横20センチ(10センチ×2)の大きさの容器に、パン屋の店員が、縦×横=3センチ×10センチの大きさの4種類
(ツナ、タマゴ、ハム、チーズ)のサンドウィッチを各2個ずつ、計8個、隙間なく詰めるとする。このとき、サンドウィッチの詰め方は何通りあるか？

ただし、実際はたかが4種類しかないが、パッと見、もっと色んな種類が入っているように客に見せるために、
1. サンドウィッチの短い辺同士が隣り合う場合は、互いに異なる種類のサンドウィッチ同士でなければならないとし、また、
2. 各縦の列にサンドウィッチを詰める際は、4種類すべてのサンドウィッチを詰めなければならないとする。
(これら1.、2.の条件を無視した詰め方をすると、
「商品として不合格！」と店長から叱られてしまうので、詰め方としては数えられない。人生は塩辛いのである。)。
また、容器を回転して同じ配列の場合は、同じ詰め方とする
(今回は容器なので、裏返しにすると、載せることは出来ても、詰めることは出来ないので注意。店長は飽くまで、パンパンに詰めて販売したいのである。店長なりのサービス精神である。)。
ちなみに、同じ種類のサンドウィッチ同士は区別がつかないものとする。」

という宿題です。

回答宜しくお願い致します。
849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 13:53:33.56 ID:l9EAO2Py.net]: >>810
マルチポストな上に宿題丸投げとは驚いた
850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:05:04.37 ID:1bUTMl+p.net]: 6x6=36
8x8=64
10x10=100
36+64=100
これって、整数論か文字式で合理的な理由説明できる? それともただの偶然?
851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:15:17.85 ID:l9EAO2Py.net]: >>812
(6, 8, 10) はピタゴラス数だから
原始ピタゴラス数 (3, 4, 5) の2倍
ちなみに、
n^2 + (n+2)^2 = (n+4)^2
を満たす n は 6 と -2 のみ
852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:18:08.61 ID:9bCtHQa7.net]: >>812
ピタゴラス数でググれ
何を偶然と呼ぶのかが問題だけど
853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:34:16.95 ID:1bUTMl+p.net]: 中一で習うような(a+b)^2とかの式でキレイに変形してみたら当たり前だよねって説明出来るか否かかな。

>>813,814を検索してみて
ピタゴラス数を作る公式は上の式とかに似てますね。
854 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/03(金) 14:39:53.26 ID:lBvnkrP8.net]: >>815
次の等式は展開すればすぐわかる:
(d(a^2-b^2))^2 + (2dab)^2 = (d(a^2+b^2))^2

つまり X=d(a^2-b^2), Y=2dab, Z=d(a^2+b^2) とおけば
X^2 + Y^2 = Z^2 が成立している

d=2, a=2, b=1 とすれば X=6, Y=8, Z=10
つまり 6^2 + 8^2 = 10^2
855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:41:44.92 ID:1bUTMl+p.net]: 九九の対角線と、最初の三桁の自然数の間の関係が、特別美しく見えたと言う私の"感想"と。
とりあえず、三平方の定理が自然数同士で成り立つ事に合理的な理由があるのは分かりました。
聞きたかったニュアンスとしては、"偶然ではない"ように"感じ"ます。
856 名前：ID:1lEWVa2s mailto:sage [2020/07/03(金) 14:52:20.76 ID:kvB40sa8.net]: >>816
久しぶり。
857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 14:52:22.56 ID:SJNnbIMQ.net]: >>817
九九の対角線ってのは平方数だからある種の美しさはあるだろうが
最初の三桁の自然数が美しいってのは不思議な感性をしているね。
10進法が他のn進法に比べてそんなに美しいのだろうか。
858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 15:03:17.34 ID:1bUTMl+p.net]: >>816
ありがとうございます。

最初に全体4で割っておくと、
(A-B)^2+4AB=(A+B)^2
で100%中一数学ですね。

>>819
あとは、偶然って定義とかあったっけ。
859 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/03(金) 15:12:52.37 ID:SEzJko/d.net]: >>811
私は以下のように考えました。

ツナ、タマゴ、ハム、チーズをそれぞれ、簡単のため、a, b, c, dとして、
例えば、容器の左の縦列に上から順番に(a, b, c, d)と詰めるとすると、右の縦列には、上から順番に、
(b, a, d, c)、(b, c, d, a)、(b, d, a, c)、
(c, a, d, b)、(c, d, a, b)、(c, d, b, a)、
(d, a, b, c)、(d, c, a, b)、(d, c, b, a)
の9通りが考えられ、左の縦列の並べ方は、4！通りあり、それらの対称性から、各々9通りの右縦列の詰め方があるので、全部で、9×4！通りあるが、回転させて同じ詰め方が各々2通りあるので、2で割って、
(9×4！)÷2=108通り

が答えになると思ったのですが、合っているでしょうか？

何だか、色々と考えにくく、結局、泥臭い地道な解法を取ったのですが、別解として何かもっとスパッと簡単に解く方法はないでしょうか？他に別解として、どのような解法がありますでしょうか？

ご教示のほど宜しくお願い致します。
860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 15:15:29.90 ID:l9EAO2Py.net]: 5 進法で考えれば 3^2 + 4^2 = 10^2
同様に 13 進法で考えれば 5^2 + C^2 = 10^2
…
記数法や n 進法の話はともかく、自然数の組 (a, b, c) に対して
a + b = c
は全ての c ≧ 2 について a, b が存在するが
a^2 + b^2 = c^2
を満たす c は限られる（例えば c = 6 は不可能）し、
a^n + b^n = c^n (n ≧ 3) なら一つもないこと（フェルマーの最終定理）を考えれば
美しいかもしれない
861 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/03(金) 17:46:47.84 ID:zd8ES0Nb.net]: dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
のyを求めたいのですが。
もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。
862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 18:35:55.31 ID:+Y/uxVJK.net]: >>823
dの数ちゃうやん？
863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 19:04:08.44 ID:nArnrYCm.net]: どう間違えたらそうなるのか謎だ
864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 19:38:01.08 ID:pJJSArnZ.net]: nを3以上の自然数とするとき、
a^n+b^n=c^n+{2^(n-1)}*ab*cos(∠A)
を満たす自然数a,b,cおよび実数Aは存在するか。
ただしa,b,c,Aは以下の条件を満たす。

（条件）a,b,cはある1つの三角形の3辺の長さとなる。その三角形を△ABCとしたとき、a=BCであり、∠A=∠BACである。
865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 21:14:35.09 ID:90y63y3Z.net]: >>810
120通り

(1)回転しても同じになるのが24通り
> x2mat(pm1[idx1[24],])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 1 2 3 4

(2)回転すると別の並べ方
> x2mat(pm1[216,])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2

(1)+(2)が216通り
(1)が24通りなので

（216-24)/2 + 24 = 120通り
866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 21:16:16.50 ID:90y63y3Z.net]: >>810
プログラムを組んで数えさせた。

library(gtools)
pm=unique(permutations(8,8,v=rep(1:4,2),set=FALSE))
x2mat <- function(x) matrix(x,ncol=4,byrow=T) # vector-> matrix
x2mat(c(2,1,3,4,1,3,4,2)) # demo
fn <- function(x){
y=x2mat(x)
all(
all(1:4 %in% y[1,]), # 1st row includes all of 1:4
all(1:4 %in% y[2,]), # 2nd row includes all of 1:4
all(apply(y,2,diff)!=0) # difference in each column is not zero
)
}
idx=which(apply(pm,1,fn))
length(idx)
x2mat(pm[idx[100],]) # demo
"
identical after rotation : 'symmetric'
1234 1234
4321 4321

different after rotatio : 'asymmeric'
2134 2431
1342 4312
"
pm1=pm[idx,]
x2mat(pm1[216,]) # demo
fn1 <- function(x){
(y=x2mat(x))
(z=matrix(c(rev(y[2,]),rev(y[1,])),ncol=4,byrow=T)) # after rotation
all(y==z)
}
idx1=which(apply(pm1,1,fn1))
x2mat(pm1[idx1[24],])

s_as=length(idx) # symmetric + asymmetric
sym =length(idx1) # symmetric

(s_as-sym)/2 + sym

> (s_as-sym)/2 + sym
[1] 120
867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 21:24:39.95 ID:90y63y3Z.net]: >>821
(a,b,c,d)　
(d,c,b,a)
だと回転させても回転前と同じになるから、こういうのを含めて２で割ると過小評価になると思う。
868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 21:50:07 ID:90y63y3Z.net]: >>801
作図だけしてみた。
https://i.imgur.com/IVC9jJk.png
869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 22:32:17.22 ID:SJNnbIMQ.net]: >>826
存在する。例えばa=b=c=2,∠A=60°
870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 22:33:22.82 ID:7lES8FSM.net]: 証明の行間って英語でどう書くのですか？
行間の英訳を検索すると行と行の間の空白部分の英訳が出てしまうのですが、日本語のニュアンスとしては、証明の詳しさ的な感じですよね
871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/03(金) 23:03:13.67 ID:90y63y3Z.net]: >>832
implicit argument でどうでしょうか？
872 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 11:44:56.83 ID:JsPC4r8O.net]: fをアッカーマン関数とする. 以下を証明せよ.
(1)x+y+1<=f(x, y).
(2)f(x,y)<f(x,y+1)<=f(x+1,y).
(3)任意のa,b∈Nに対してc∈Nが存在して任意のy∈Nに対してf(a,f(b,y))<f(c,y).
(4)原始的関数g:N^n→Nに対してc∈Nが存在してg(x_1,...,x_n)<f(c,max(x_1,...,x_n)) (ただしn=0のときmaxの値は0とする).

上記の問題の(4)のgが原始帰納法によって定義された関数である場合の証明が分かりません. どなたかよろしくお願いします.
873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 13:22:03.60 ID:bJzWIHZ7.net]: 実数xに対して、"x"はxの小数部分を表すものとする。
任意の正の数εに対して、不等式
"(3^n)/(2^m)"<ε
を成立させる自然数m,nが存在することを示せ。
874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 13:30:40.47 ID:OUWbM4MU.net]: ある集合が開集合であるかどうかは絶対的なものではなく、それを含む空間に依存するということですが、
原点を中心とする半径1の開球が開集合でなくなるような容れ物ってありますか？
875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 13:32:52.90 ID:OUWbM4MU.net]: 開球はR^3の部分集合とします。
876 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 13:34:41.79 ID:OUWbM4MU.net]: 単位開球⊂X⊂R^3で単位開球がXで開集合でなくなるようなXは存在しますか？という質問です。
877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 13:48:33.01 ID:bpBdqHUs.net]: Xの空間としての位相がR^3から自然に入れたものなら開球は(というかR^3の開集合でXに含まれるものならどんなものでも)開集合

ただしXとしてR^3とは全く関係ない位相を入れた空間と思うなら開球が開集合でなくなることはある
878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 14:02:12.96 ID:VlSg+iRT.net]: >>835
3/2^m → 0 (m → ∞) なんだから当然じゃね
n と m に自然数以外の条件ないの？
あと普通 x の小数部分は {x} か frac(x) じゃね
879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 14:13:28.20 ID:bpBdqHUs.net]: 多分、整数部分が0でない想定なんだろうけど
その場合は
3^(2^n)=(2^n)k+1
からわかる
880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 14:53:51.99 ID:8jzJFpef.net]: >>835
正数xについて常に"x"<xであるから、"(3^n)/(2^m)"<εが成り立つためには(3^n)/(2^m)<εが成り立てば十分である。
n=1とし、3/ε<2^M となるような自然数m=Mをとればよい。

>>836
いくらでもあるが簡単な例としては、R^3空間にR^3自身と空集合のみを開集合とする位相を入れればよい。密着位相というやつだな。
881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 15:04: ]: [ここ壊れてます]
882 名前：26 ID:VlSg+iRT.net mailto: >>838
例えば、 X := {x ∊ R^3 | |x| ≦ 2} とすれば（単位開球） ⊂ X ⊂ R^3 []: [ここ壊れてます]
883 名前： ここで |x| は R^3 のユークリッドノルムとする。 o(ε) := {x ∊ R^3 | ε ≦ |x| ≦ 2} に対し、 S := {o(ε) | ε ∊ R} を準開基として生成される X の開集合系を O とするとき、 位相空間 (X, O) について単位開球は開集合ではない。 []: [ここ壊れてます]
884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 15:08:28 ID:bpBdqHUs.net]: 反例のための位相なら
O(X)={Φ,X}(密着位相)で十分では
885 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 15:11:11 ID:oAKLKcEG.net]: >>824

＞＞dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
＞＞のyを求めたいのですが。
＞＞もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。

本当にこのままです。
886 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 15:32:03.11 ID:oAKLKcEG.net]: >>825
あなたが見てきたのは本に書いている解ける微分方程式です。
分からないなら、分からないで構いません。
887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 15:33:47 ID:EP1Xe6XC.net]: どちみち虹の微小量として消して計算するしかないんじゃない？

dy = (1－y^2)dx
y(x) = (e^(2 x) - e^(2 c))/(e^(2 c) + e^(2 x))
888 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 15:53:31.18 ID:VlSg+iRT.net]: とあるサイトに

「一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，
　たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」

と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:15:39.74 ID:8jzJFpef.net]: ディオフォントス方程式の整数解の一般解法は存在しないことが証明されているから未解決ではないぞ。
ある特定のディオフォントス方程式についてということなら、解けるものも解けないものも解く方法が見つかっていないものもあるだろう。
890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:22:22.24 ID:vADwUpac.net]: 次の微分方程式を解け。
dy+dx+dxdy = exp(dx)
891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:24:33.26 ID:VlSg+iRT.net]: >>848
再掲します

とあるサイトに

「 x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」

と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:29:07.54 ID:gGXiG/Hn.net]: >>833
～例えば
を削除したら文脈が変わるから再掲じゃないんではないですかね
893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:29:20.85 ID:gGXiG/Hn.net]: >>851だった
894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 16:34:24 ID:VlSg+iRT.net]: 引用の仕方が良くなかったですかね
ヒルベルトの第10問題（が否定的に解決されたこと）について書かれているサイトの文章だったので
「たとえば，～」が現在でも具体例として有効なのかどうかがわかりません
895 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/04(土) 17:55:23.51 ID:9wc4jh9T.net]: ∫dx/(1 - x^2)^(3/2) って、計算可能でしょうか？
896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 17:57:59.42 ID:VlSg+iRT.net]: >>855
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%ABdx%2F%281+-+x%5E2%29%5E%283%2F2%29&lang=ja
897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 18:28:49.31 ID:9wc4jh9T.net]: >>856
なんと、こんな便利なサイトが……！！　とても助かりました、ありがとうございます。
898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 18:48:11.54 ID:VlSg+iRT.net]: >>851
Wolfram大先生に聞いたら

https://www.wolframalpha.com/input/?i=find+integral+solution+of+x%5E3+%2B+y%5E3+%2B+z%5E3+-+3+%3D+0

と「答え」を返してきましたけど
実際はどうなんでしょうか？
899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 18:54:26.05 ID:nLP217oC.net]: >>845-846 >>850
それを微分方程式と書く本がおかしい
900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 19:03:20.56 ID:SXs5Zk63.net]: 微分形式については次から次へと俺様微分形式が湧いて出るな。
901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 19:23:29.13 ID:Fvn4+d+y.net]: き、きっと>>823は無限次元多様体上のすべての次元の微分形式からなる多元環における方程式なんだよ
え？>>850？そんなもん
902 名前：知らんな []: [ここ壊れてます]
903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/04(土) 20:46:47.74 ID:SXs5Zk63.net]: >>861
そう解釈すると一次のとこの解>>847が二次の方程式満たしそうにないから解なしだな。
904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 11:41:48.76 ID:6pnuWzuz.net]: ∫[0,∞] exp(-x^3) dx
の値は知られていますか？
-x^3の場合の記述が見つからなかったので、ここでお聞きしました。
905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 11:45:57.39 ID:b6WTgL0g.net]: 置換積分とガンマ関数で表わす
906 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 14:47:10.85 ID:6pnuWzuz.net]: xyz空間の６点A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),E(0,0,1),P(a,b,c)を頂点とするn面体Kを考える。

（１）c<0の条件のもとで、Kが凸n面体となるような実数a,b,cの範囲を求めよ。

（２）△PABの重心をG、△PECの重心をHとする。a,b,cが（１）で求めた範囲を動くとき、線分GHが通過する領域をＸとする。Ｘを平面z=t(ｃ≦t≦1)で切った切り口の面積を求めよ。切り口が1点や線分である場合、または存在しない場合の面積は0とする。

（３）Kの体積を求めよ。
907 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 17:20:29.39 ID:2QM6mHlN.net]: 定積分の問題です。

mathematicaで Integrate[Sin[ax]x/(1+x^2)^c,{x,0,∞}](ただし aは正の実数,cは実数)
とすると、

(2^(1/2-c) a^(-1/2+c) Pi^(1/2)BesselK[-3/2+c,a])/Gamma[c]（ただしｃ>1/2)
と出てきます。

これを証明したいのですが、できません。

留数を使うと思うので、そちらの文献を少しは調べてみたのですが、、、。

どなたか、上の定積分の証明をお分かりの方がいれば、
ご教示のほど、よろしくおねがいいたします。
908 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 17:55:46.16 ID:mES7tl/s.net]: >>847
御解答ありがとうございます。

おっしゃる通りです。
私の計算でもwolframの計算でもその解答です。
しかし
dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
のydxdyを無視してはいけないことに気付きました。
近似解でも良いから求められないでしょうか。
909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 18:45:55.97 ID:LpPEvrn4.net]: 有名な話で恐縮ですが、ガンマ関数と解析接続の
γ(-1)=-1/12=Σ1/n^(-1)=Σn=∞
という式はどう解釈すれば良いでしょうか。
計算していけばγ(-1)=-1/12となるのは納得できます。となるとΣ1/n^aにおいてa<0を考えたことに誤りがあるのでしょうか。
ご教示お願いいたします。
910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 18:47:02.00 ID:wQ7bH17G.net]: 何かをモデル化してその数式を導いたなら、モデル化か数式化がおかしいとしか言えない
近似も何も、モデル化や数式化が近似なのだから、その数式になるせめてもう一歩手前が分からんことにはどうにもならない
911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 18:50:15.66 ID:277VsiZx.net]: >>868
Γ(s+1)=sΓ(s)で解析接続する。
Γ(s)=Γ(s+2)/(s(s+1))
で右辺はs=-1で一位の極。
912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 19:04:31.69 ID:iV7kmL62.net]: >>864 に従って
　x^n = t　とおく。
∫[0,∞] exp(-x^n) dx
　= (1/n)∫[0,∞] t^(1/n -1) exp(-t) dt
　= (1/n)Γ(1/n)
　= Γ(1+1/n),
n=1 のとき　Γ(2) = 1,
n=2 のとき　Γ(3/2) = (√π)/2 = 0.886226925452758････
n=2.166226964260763････で最小値 0.8856031944108887
n→∞ のとき正方形（1×1）に近付く。
数学者にとっては 2x2=4 と同じくらい明らか。(Kelvin)
913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 19:44:07.30 ID:iV7kmL62.net]: >>855
(1)
∫ dx/(1 - x^2)^(3/2) = ∫{1/√(1 - x^2) + x^2 /(1 - x^2)^(3/2)} dx
　　= x/√(1-x^2),
(2)
　x = tanh(t)　とおく。
(3)
　x = sinθ とおく。
914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 22:15:33.76 ID:rpUuAKzr.net]: 有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？

n=10
p=0.005

感染源がi人である確率は nCi*pi*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n
i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i

Σ{(n-i)/i * nCi*pi*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*pi*(1-p)^(n-i) = 8.887473379

手計算は面倒なのでプログラムして計算
R0 <- function(n,p){
i=1:n
w=dbinom(i,n,p)
r0=(n-i)/i
sum(r0*w)/sum(w)
}
R0(10,0.005)

> R0(10,0.005)
[1] 8.887473379
915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 22:35:01.86 ID:rpUuAKzr.net]: （脱字修正）

有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？

n=10
p=0.005

感染源がi人である確率は nCi*p^i*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n
i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i

Σ{(n-i)/i * nCi*p^i*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*p^i*(1-p)^(n-i) = 8.887473379

手計算は面倒なのでプログラムして計算
R0 <- function(n,p){
i=1:n
w=dbinom(i,n,p)
r0=(n-i)/i
sum(r0*w)/sum(w)
}
R0(10,0.005)

> R0(10,0.005)
[1] 8.887473379
916 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 22:39:23.42 ID:zaLNiyGh.net]: f(x) のn階導函数を求めよ

(1) f(x) =1 /x(x + 1)
(2) f(x) = cos2xcos4x
917 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 22:40:55.41 ID:zaLNiyGh.net]: arctanx + arccos 2/ 3 = 0 を満たす x を求めよ.

cosarcsinx の導函数を求めよ.
918 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/05(日) 22:47:28.53 ID:zaLNiyGh.net]: f(x) =1/ 2x(x^2 −1) (x < 0)
x(e^x − 3/ 2) (x ≥ 0)のとき

(1) f′(0)を求めよ.
(2) f′(x)を求めよ.
(3) f ∈ C＾n(R)としたとき, 最大のn ∈N∪{0}を求めよ
ただし、以上のうちで定まらないものがあればその理由を述べよ
919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 23:00:59.02 ID:b6WTgL0g.net]: ただの計算問題はツマラン
920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 23:34:34.60 ID:6pnuWzuz.net]: A君が坂の途中のP地点に立っている。
A君がP地点から東に歩いたときの勾配は3/4であり、南に歩いた時の勾配は2/3であった。
この坂の勾配が最もきついのはP地点から見てどの方角か。
921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/05(日) 23:40:10.31 ID:XbdysAQ6.net]: >>875
(1)(1/x)(x+1)か1/{x(x+1)}か微妙な表記なのでスルーしておく。
(2)積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい。
>>876
(前半)これも (arccos2)/3 か arccos(2/3) か怪しい表記だが、どちらにせよ答えは x=-tan(arccos2/3)
(後半)-sin(arcsinx)/√(1-x^2)
>>877
これも (1/2)x(x^2-1) か {1/(2x)}(x^2-1) か 1/{2x(x^2-1)} か微妙な表記なのでスルーしておく。
922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 00:04:29 ID:/c2y1QbB.net]: >>879
坂の形状がわからないので、坂が平面であると勝手に決めつけて答えてみる。

東をx軸正の向き、南をy軸正の向き、上をz軸正の向き、A君の位置を原点としたxyz座標空間上で、坂平面の方程式を ax+by+cz=0 とする。
xz平面との交線が z=(3/4)x だから a=(-3/4)c 、yz平面との交線が z=(2/3)y だから b=(-2/3)c 。坂平面の方程式は 9x+8y-12z=0
この坂平面とxy平面の交線は y=-(9/8)x で、これに垂直な直線 y=(8/9)x が求める方角である。
すなわち南東方向に真東からみてarctan(8/9)の方角。
923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 00:11:26 ID:cE8uMBSB.net]: >>880
さすがにarccos2ってことは無いだろう。
arccos(2/3)だとすると>>876前半は x=-(√5)/2
924 名前：イナ mailto:sage [2020/07/06(月) 02:27:41.24 ID:EjjkoMDB.net]: 前>>800
>>865
(1)x+y+z＜1
x-y+z＜1
-x-y+z＜1
-x+y+z＜1
の領域にPがある。
∴a+b+c＜1
a-b+c＜1
-a-b+c＜1
-a+b+c＜1
(2)保留
(3)(1/3)×2×1+(1/3)×2×c=(2+2c)/3
925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 05:46:30.4 ]: [ここ壊れてます]
926 名前：8 ID:IqOckpzP.net mailto: >>882
計算機に解かせた。
> f <- function(x) atan(x) + acos(2/3)
> uniroot(f ,c(-10,10),tol=1e-15)$root
[1] -1.118034
> -sqrt(5)/2
[1] -1.118034
> []: [ここ壊れてます]
927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 06:44:49 ID:IqOckpzP.net]: >>879
library(pracma)
east=c(4,0,3)
south=c(0,-3,2)
(nv=pracma::cross(east,south)) # c(9,-8,-12) 外積=法線ベクトル
"
dot(c(x,y,z),nv)==0
9x-8y-12z=0 平面の式
z=(9x-8y)/12
fn <- function(x,y) 9*x - 8*y # 最大値でいいので/12は無視
x=cosθ, y=sinθとおいて
"
fn <- function(theta) 9*cos(theta) - 8*sin(theta)
curve(fn(x),-pi,pi)
(th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
> (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
[1] -0.726642

°で表示すると
> th*180/pi
[1] -41.63352
東から南に向かって41.6°の角度が最大の勾配
928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 06:56:57 ID:IqOckpzP.net]: >>885
勾配０の方向のθは（degree表示)

> uniroot(fn,c(-pi,0))$root*180/pi
[1] -131.6335

> uniroot(fn,c(0,pi))$root*180/pi
[1] 48.36646
929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 07:04:42 ID:IqOckpzP.net]: >>885
Wolfram先生によるとθ＝　-2arctan(8/(9+√145)のときが最大とのこと。

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=9*cos%28x%29+-+8*sin%28x%29

> -2*atan(8/(9+sqrt(145)))
[1] -0.7266423

> (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
[1] -0.726642

まあ、あってる
930 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/06(月) 09:51:08 ID:yUYT+NI/.net]: 恥ずかしながら、どう着手したらいいか分かりません...。
小学生レベルの私に解法ご教示ください。

出発地点から峠を越えて目的地に着き、すぐに来た道を通って出発地点に戻った。
行きは6時間半を要し、帰りは7時間半を要した。
出発地点から目的地までの道のりを求めよ。
ただし、峠を上るには毎時6kmで歩き、下るには毎時8kmで歩くとする。
931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 10:17:02 ID:b/qHWYwf.net]: >>888
中学生レベルなら教えられるが小学生に教えるのは難しいかな
932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 10:22:07 ID:uh4BMQna.net]: >>888
出発地点から峠までの道のりをx(km)
峠から目的地までの道のりをy(km)
と置いて式を２つ立て、そこからxとyを求め、x+yを回答する
933 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/06(月) 11:10:10 ID:EjjkoMDB.net]: 前>>883
>>888
道のりをＬkmとすると、
峠までの道のりlkmと峠から目的地までの道のり(Ｌ-l)kmについて、
行きはl/6+(Ｌ-l)/8=6.5
帰りは(Ｌ-l)/6+l/8=7.5
辺々24倍し4l+3Ｌ-3l=156
l+3Ｌ=156――?
4Ｌ-4l+3l=180
4Ｌ-l=180――?
?+?より、
7Ｌ=336
∴Ｌ=48(km)
934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 11:22:28 ID:s8I58AGk.net]: >>888
これは問題がいやらしいな。

行き帰りでコストが異なる非対称の距離の問題、
それをあえて、身近な坂道で例えて
簡単そうに見せかけている。
出題者のねちっこい性格を表している。
935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 11:28:58 ID:s8I58AGk.net]: >>888
行きの上り斜面を x km 、下り斜面を ykm とする。
（帰りは、この上りと下りを逆にすればよい）

行きに要した時間より式A、帰りに要した時間より式B

A. x/6 + y/8 = 6.5
B. x/8 + y/6 = 7.5

見やすいように両辺を 24倍して
A … 4x + 3y = 24 * 6.5
B … 3x + 4y = 24 * 7.5

ここで、（A + B）とすると
より 7x + 7y = 24 * (6.5+7.5) が得られる。

7
936 名前： * (x+y) = 24 * 14 (x + y) = 24 * 14 ÷ 7 = 48 答え 48 km []: [ここ壊れてます]
937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 11:51:46 ID:ET+hu8oz.net]: >>888
帰りのほうが長い時間かかっているので帰りのほうが上りの距離が長い
つまり峠の頂点は出発地点に近い側にある
出発地点から峠までの距離と同じ距離だけ峠から下った地点をAとすると、行きに出発地点からAまでにかかる時間と帰りにAから出発地点までにかかる時間は同じ
従って行きと帰りの差1時間は、行きにAから目的地までにかかる時間と帰りに目的地からAまでかかる時間の差
この区間は行きは下りなので時速8km、帰りは上りなので時速6km
例えば48kmをそれぞれの速さで進むと6時間と8時間かかるから2時間差（※）
だから「Aから目的地」は24km(X）ってことになる
ここを行きは3時間、帰りは4時間かけて歩いている
残りの「出発地点からA」は上りと下りが同じ距離であり、行きも帰りも3時間半
例えば上りも下りも24kmずつだとそれぞれ4時間、3時間かかるので計7時間(※）
なので「出発地点からA」上りも下りも12kmずつの計24km(Y）
よって「出発地点から目的地」はXとYを足して48km
また出発地点から峠まで12km、峠から目的地まで36kmなので検算してみると、
行きは上りに2時間下りに4.5時間で計6.5時間、帰りは上りに6時間下りに1.5時間で計7.5時間で合っている
※のところは計算しやすい数値を用いているだけ
938 名前：イナ mailto:sage [2020/07/06(月) 12:18:17.93 ID:EjjkoMDB.net]: 前>>891
小学生は作文の時間に、たとえば感想文とかを書くとき、ちょっと書ける子でも3行60文字ぐらいで詰まる。したがって答案に使う文字数もそのぐらいにしたほうがいい。
939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 13:20:23.54 ID:b/qHWYwf.net]: 現実的には48km歩いて直ちに行きと同じペースで引き返すとか無理ゲー
940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 13:43:20.61 ID:ET+hu8oz.net]: 鳥居強右衛門レベル
941 名前：875 [2020/07/06(月) 14:05:23.49 ID:/0aqWtmc.net]: 補足です
f(x) のn階導函数を求めよ

(1) f(x) =1 /{x(x+1)}
(2) f(x) = cos2xcos4x
942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 14:14:43.88 ID:uITHUiBq.net]: >>898
「n階導函数を求めよ」とかいう問題は一般項を推測できれば帰納法で証明できることが多いよね
もし一般項の推測ができないなら、具体的に f'(x), f''(x), f'''(x), f^(4)(x), … を書いてみれば
誰か推測してくれるかもよ
まさかこの程度の計算もせずに書き込んでいるわけじゃないでしょ？
943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 14:20:20.67 ID:HPDcrjtp.net]: 鳥居みゆきレヴェル
　鳥居ユキの服なんか持ってないのに･･･
944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 14:56:04 ID:HPDcrjtp.net]: >>888
本問では、峠の両側の勾配に大差ない（平均で見て）と思われる。
場所によって勾配が大きく変わる場合も

「ある場所を上るときの速さは、そこを下るときの速さの 3/4 とする」

とすれば、所要時間は求まる。
(行き)
　出 → 峠　2時間
　峠 → 目　4時間半
(帰り)
　目 → 峠　6時間
　峠 → 出　1時間半
945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 15:13:44.59 ID:cE8uMBSB.net]: >>898
(1) 1/{x(x+1)}=(1/x)-1/(x+1) と部分分数分解してから微分し始めるとよい
(2) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
946 名前：888 [2020/07/06(月) 15:47:33.22 ID:mK7KZ70L.net]: 皆さま、ご回答ありがとうございます！
理解できるよう内容確認させて頂きます！
947 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/06(月) 15:59:54.57 ID:qGWlc6nd.net]: 次の函数の3階導函数を求めよ
① cosxcos3x

②e^x sinh2x (x > 0)
948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 16:06:32.26 ID:uITHUiBq.net]: このスレにもWolfram大先生のテンプレ貼ったほうがいいんじゃね

高校数学の質問スレPart405
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592497360/1-4
949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 16:09:19.43 ID:y/W8tFYs.net]: R^nの部分距離空間Aの点aが孤立点だとします。{a}はAの開集合ですが、違和感があります。{a}が開集合であるということが何かの役に立つんですか？
950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 16:21:21.76 ID:vZuo8Rqd.net]: かつ閉集合でもあるからいいんじゃない
閉かつ開に違和感持ったらp進解析できないよ
951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 17:09:52.57 ID:FI2iVHF+.net]: >>906
{a}は開集合か？と言う問に答えられる
952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 18:16:54.23 ID:cE8uMBSB.net]: >>904
(1) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
(2) {e^(3x)-e^(-x)}/2 の形から微分していけばよい。
953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 18:55:05.17 ID:zrqa/esz.net]: （無限）連分数ですべての実数が表記できるというのは、証明は簡単ですか？
954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 21:00:06.32 ID:uITHUiBq.net]: >>910
ググれば出てくるし初等的だけど簡単ではないかも
大体こんな感じか

[ ] をガウス記号とする。
実数 x に対し、 x の連分数 α を以下の「操作」によって再帰的に定める。
操作
a_0 := [x] とする。
x - a_0 = 0 ならば、 α := a_0 として操作を終える。
x - a_0 ≠ 0 ならば、 b_1 := 1/(x - a_0) として、
a_1 := [b_1] とし、操作 A(1) を実行する。
ここで、操作 A(n) は以下のように再帰的に定める。
操作 A(n)
b_n - a_n = 0 ならば、 α := a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n)))))) として操作を終える。
b_n - a_n ≠ 0 ならば、 b_{n+1} := 1/(b_n - a_n) として、
a_{n+1} := [b_{n+1}] とし、操作 A(n+1) を実行する。

以上の操作が有限回で終わるとき、 α は有限連分数であると言う。
そうでないとき、 α は無限連分数であると言い、
α := lim[n→∞] a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n))))))
とする。

【定理】全ての実数 x に対し、 x の連分数 α が存在して、 α = x が成り立つ。
（証明の方針）
(1) x が有理数のとき、 α は有限連分数となることを示し、実際に α = x となることを示す。
(2) x が無理数のとき、 α は無限連分数となることを示し、極限値 α は収束して α = x が成り立つことを示す。
955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 22:07:54.10 ID:fgaeIocv.net]: πだとこんな感じ

> pi
[1] 3.1415926535897931

> 3+1/(7+1/(15+1/(1+
+ 1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+
+ 1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(3
+ +1/(3+1/(23+1/(1+1/(1+
+ 1/(7+1/(4+1/(35+
+ 1/(1+1/(1+1/(1+1/2)))))))))))))))))))))))
[1] 3.1415926535897931
956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 00:30:06.00 ID:yBUx0unO.net]: 手間はかかるけど証明は自明に近いな
957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 00:37:20.29 ID:gyGhnLCq.net]: 2.34567=2+(3+(4+(5+(6+7/10)/10)/10)/10)
みたいな要領で無限小数を無限連分数に表していくのは簡単なんだけど、普通はこの形を連分数とは言わないからなぁ…
分子が全部1で分母の方に連なっていく形の連分数で表そうとすると、それなりに手間がかかるのか。
958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 01:03:12 ID:UC0vv9cS.net]: Farey数列がらみの話ですな。
959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 01:31:23.54 ID:DRPGbRnk.net]: f(x)は[0,∞)で定義された実数xについての関数で、少なくとも1回は微分可能な関数とする。
g(a,x)は[0,∞)で定義された実数aおよびxについての関数で、aでもxでも少なくとも1回は微分可能な関数とする。
I(a) = ∫[0,∞] g(a,x)/f(x) dx
とするとき、I(a)が連続でないようなf(x)およびg(a,x)の例を1つ挙げよ。
960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 01:41:26 ID:UC0vv9cS.net]: f(x)=exp(2πix)
g(a,x)=1/(1/4+a^2)sinc(x/(1/4+a^2))
961 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/07(火) 02:08:51 ID:BoTxtUvK.net]: 前>>895
>>865(2)
ヒットエンドラン♪
長さ√2/3
傾き(0,1,1)
GHの単位ベクトルは(1/√2)(0,1,1)
体積の微分かな？
962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 04:45:31 ID:LT2FasoV.net]: 多様体をユークリッド空間に埋め込んで議論している本は
杉浦　解析入門2
ミルナー　微分トポロジー講義
ギルマン、ポラック　微分位相幾何
以外にありますか？
963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 05:06:33 ID:8QVuUDNk.net]: >>903
ワイの>>893 の説明が一番わかり易いから
他は無視してええぞ。

三角定規を置いて、それを山に見立てる。
左側の斜面の長さを x km、右側の斜面の長さを y km
として考えたら、一目瞭然。
964 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 06:09:38 ID:8QVuUDNk.net]: ゲームの課金ガチャを引いて、
だいたい、どういう中身が出てくるのかを
おおざっぱに紹介する動画を作ろうと思った。
しかし、何個くらい引くのがいいのか分からん。

で、それを一般化すると
以下のような問題に落とし込めたので
どなたかお願いします。その数だけのガチャを引いて紹介動画にします。

・問1.1
全5色のいずれかの色のついた球が
入った巨大な袋がある。
（袋は巨大であり、大量の数の球が入っている）
その5色が何色かは分からない。
（ e.g. 例えば、｛赤、青、緑、紫, 水色｝かもしれない)

「袋から球を1つ取り出し、その色を記録し、球を破壊する。
これを繰り返す」

全5色のうち、4色が判明したら終了とする。
4色が分かるまでに、何回の操作が必要か？
（または、何回の操作が必要だと見積もられるか？）

・問1.2
色の数を全100色にして、
100色のうち80色が判明するまで続ける。
その場合は、何回の操作が必要か？
（メモ。 80色が必要なので最低でも80回以上なのは分かるんですが…）
965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 06:14:50 ID:UC0vv9cS.net]: 5/5+5/4+5/3+5/4
100/100+100/99+‥+100/21
966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 07:54:42.82 ID:yR/EvhWJ.net]: >>921
5色がどういう割合で入っているのかわかっていないなら計算出来ないと思う
967 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 08:01:20.77 ID:xPi9MVYZ.net]: 答えを教えて欲しいです。

１．正常な硬貨を無造作に投げることを2000回続けたとき，表の出る回数の期待度数は1000であることは自明である．それでは，表の出る回数がそこから60回以上ずれる確率を求めよ．なお２項分布の正規分布近似とカイ二乗分布を使う

2.平均がμ=22.0, 分散が未知の正規母集団から大きさ５の標本の特性Ｘの値が

24.3 18.9 23.7 23.0 17.4 であった

(i) このとき, 不偏分散U2を求めよ．

(ii) F が講義資料第８回目（p.8) の式としたときＦの実現値F0を求めよ．

さらに，確率Pr {F >F0}を求めよ．
968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 08:06:22.24 ID:hqf5T3vF.net]: >>924
＞F が講義資料第８回目（p.8) の式としたとき

考える気失せる
969 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 08:11:12.21 ID:xPi9MVYZ.net]: >>925
すみません。
2の問題は無視して下さい。
970 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 08:19:21.62 ID:8QVuUDNk.net]: >>923
完全にランダムであり、同じ確率です。

割合に関しては、各色はいずれもとても大量の個数が、
同じ割合で偏りなく入っています。
大量の個数なので1万や1億個の球は誤差とします、
よって、袋の中の各色の割合は1億個取り出したとしても、
変わらないものとします。

ひょっとして、条件が不足しているのかな。
もしも条件が必要ならば、

「統計的に95%以上の確率で5色のうち4色を出すには、何回の操作が…」

と読み替えてください。
971 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 08:20:39.38 ID:8QVuUDNk.net]: >>923
>>927の条件をつければ
計算できると思います。
972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 08:22:01.48 ID:UFb6e8CE.net]: >>924
バカだろw
�
973 名前：ﾁえろ []: [ここ壊れてます]
974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 09:07:28 ID:yR/EvhWJ.net]: クーポンコレクターの亜種か
975 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 10:37:19 ID:BqvccBWc.net]: まぢ意味不
1.10個の球が袋に入っている。このうち3個が赤である。袋から1個取り出したらまた戻す。初めて赤球を取り出すまでにかかった回数をXとする。
(1)P(X=4)を求めよ
(2)確率変数Xの平均を求めよ。（公式を使う）
2.10個の球が袋に入っている。このうち6個が赤である。袋から一度に5個取り出したときの赤球の個数をXとする。Xの確率分布表を書きなさい。（例3のようにX=kのとりうる範囲に注意）
976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 11:07:50 ID:gyGhnLCq.net]: >>931
1.(1) 1~3回目が赤以外かつ4回目が赤。(7/10)^3*(3/10)
1.(2) 使うべき公式とやらが書いてないので、どんな解答を要求されているのかわかりません。
2.P(X=k)=6Ck*4C(5-k)/10C5 で k=0~5 でかけばよい。
977 名前：イナ mailto:sage [2020/07/07(火) 11:39:31.32 ID:BoTxtUvK.net]: 前>>918
>>921
七夕🎋なんで五色といえば、
赤、白、黄色、青が緑、黒か紫の５つ。
期待値の問題じゃないかな。
五色の玉が1/5ずつ袋に入っているとして1回目なにを引こうが1色わかる。
2回目2色目がわかる確率は4/5
３回目3色目がわかる確率の3/5と、
4回目4色目がわかる確率の2/5をかければどうだ。
4×3×2/5^3=24/125
2割弱か。そんなもんだろ。
978 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 11:42:01.50 ID:8QVuUDNk.net]: >>933
計算機、スプレッドシートで手計算してみる！
979 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/07(火) 12:09:13 ID:BoTxtUvK.net]: 前>>933
>>921
4(24/125)+5(24/125)(1/5+2/5+3/5)+6(24/125)(……
7ぐらいまでやればわかるかも。
980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 12:14:22 ID:LSsU1iyt.net]: 期待値なら即答されてる
981 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 12:16:41 ID:8QVuUDNk.net]: アカン、スプレッドシート？が
アホすぎて計算ができひん。

動作の軽いプログラミング言語を使った
再帰関数が必要だわ、書ける人は >>921を100色でやってみてほしい。

i 回の繰り返しで、
100色のうち、80色目の色が揃ったら停止させる。
i がいくらの時に80色目が出たか。
そのスクリプトを10周くらい回して、その平均値を教えてクレメンザ。
982 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 12:28:25 ID:8QVuUDNk.net]: >>922 が答えなの？
ありがとうございます！

計算してみました。

式 100/100+100/99+‥+100/21

= 80個の総和 = 1 + 1.01 + 1.02 + ... = 158.9.... ≒ 159

つまり、159回やったら100色のうち、80色は
確率的には判明するんですね。ありがとうございます。
ガチャを159回やります。
983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 12:34:24 ID:LSsU1iyt.net]: いや、だから期待値なら>>922が即答してるよ
期待値の計算を書き込もうと思ってスレ見てみたらすでに書かれてた

確率pで起きることは何回の試行で起きるかという期待値は1/pで与えられる
5色の場合、
1色目は何色でもいいので確率1だから1回で出る
2色目は残りの4色どれかが出る確率が4/5だから5/4回、3色目は5/3回、4色目は5/2回
合わせて1+5/4+5/3+5/2=77/12
5色全部出るまでの期待値はさらに5回
984 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 12:56:15 ID:8QVuUDNk.net]: >>922 >>939
サンクス！！

・5色のうちの4色 6.4 回
・10色のうちの8色 14 回
・50色のうちの40色 79 回
・100色のうちの80色 159回
・500色のうちの400色 803回

8割の色を出すには、色数 x 1.61 個ほど
引けばいいようです。
985 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/07(火) 12:59:13 ID:BoTxtUvK.net]: 前>>935
７回。
986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 13:07:49 ID:bx7umG9D.net]: >>921
シミュレーションしてみた。

> sim <- function(n=5,m=4){ # n色のうちm色判明�
987 名前：ﾅ終了 + record=NULL # 記録された色 + color=0 # 記録された色の種類 + count=0 # 試行回数 + while(color!=m){ # m色記録されないなら + count=count+1 # １個取り出して + record=unique(append(record,sample(n,1))) # 記録に追加して重複抹消 + color=length(record) # 記録された色の種類 + } + return(count) # 試行回数を返す + } > > mean(replicate(1e6,sim())) # 百万回繰り返して平均を求める [1] 6.414439 > []: [ここ壊れてます]
988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 13:12:25 ID:bx7umG9D.net]: >>924
１．　単に足し算して求めた
> sum(dbinom(c(0:(1000-60),1060:2000),2000,0.5))
[1] 0.0077771189019787117
989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 13:26:21 ID:bx7umG9D.net]: >>924
正規分布近似

> n=2000
> p=0.5
> mu=n*p
> sd=sqrt(n*p*(1-p))
> pnorm(1000-60,mu,sd)+pnorm(1000+60,mu,sd,lower=FALSE)
[1] 0.0072903580915356404

カイ二乗分布を使うという記述の意味がわからん。
990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 13:31:59 ID:bx7umG9D.net]: >>937
> mean(replicate(1e4,sim(100,80))) # １万回繰り返して平均を求める
[1] 158.953
991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 13:36:00 ID:bx7umG9D.net]: >>945
> n=21:100
> sum(100/n)
[1] 158.963786
わりといい線いっている。
992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 14:06:09.05 ID:bx7umG9D.net]: >>931
(1) 幾何分布なのでdgeo(4-1,3/10)
(2) p=3/10 で期待値の公式は1/p=10/3
(3)超幾何分布なので
> data.frame(X=0:5,Pr=dhyper(0:5,6,4,5))
X Pr
1 0 0.00000000000
2 1 0.02380952381
3 2 0.23809523810
4 3 0.47619047619
5 4 0.23809523810
6 5 0.02380952381
993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 14:26:47 ID:bx7umG9D.net]: >>931
百万回のシミュレーション解

bag=rep(1:0,c(3,7))
sim <- function(){
ball=0
count=0
while(ball==0){
count=count+1
ball=sample(bag,1)
}
return(count)
}
re=replicate(1e6,sim())

> mean(re==4) # (1)
[1] 0.102998
> mean(re) # (2)
[1] 3.338686
994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 14:35:25 ID:bx7umG9D.net]: >>931
２．のシミュレーション解

bag=rep(1:0,c(6,4))
sim <- function(x) sum(sample(bag,5))
re=replicate(1e6,sim())
table(re)/1e6

1 2 3 4 5
0.024026 0.237994 0.476124 0.238167 0.023689
995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 15:40:26 ID:8QVuUDNk.net]: >>941-946
みなさん、ありがとうございます。

数行でかけるんですね。
こっちはスプレッドシートを500行並べて
総和 SUM（A:B）と総乗 PRODUCT(A:B) して
>>940 の値を求めた。

1.61 ？くらいに漸近するような感じ
996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 15:43:24 ID:8QVuUDNk.net]: >>950
1.6 あたりに漸近するんだけどさ。

ln (e !) x (a/b) ! = 1.63789 に近づいていくのかな。
997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 15:51:31 ID:8QVuUDNk.net]: >>921 の問題
>>922 が一瞬で答えてくれた。

色の数n を増やして
実際に計算してみると
>>940 のようにおおむね 1.6+ あたりへ
漸近していくのが見て取れる

5色のうち4色 →
10億色のうち8億色と色数を大きくしていくと

ln (e!) x (a/b) ! = 1.63789......
に漸近するんかな？
998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 15:56:43.91 ID:8QVuUDNk.net]: >>942
すんません。
もっと大きな数
10億色のうち8億色とか 10兆色のうち8兆色で
計算していただけませんか！

おそらく、 10兆 x 1.63789 回になる
999 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/07(火) 16:04:51.88 ID:8QVuUDNk.net]: ln (e!) x (a/b) !

↑ 根拠はないけど、
電卓いじってたらこの数式が頭に浮かんだ。

全a色の球が入った巨大な袋から、
取り出して色を記録していって、b色が判明するのに必要な
試行回数の期待値。
a（およびb）が非常に大きい整数であれば、

a x {ln (e!) x (a/b) !} 回

�
1000 名前：ﾌような気がする。 []: [ここ壊れてます]
1001 名前：A欄既卒 [2020/07/07(火) 16:20:10.61 ID:8QVuUDNk.net]: 大学で「確率」とか「解析学」を
履修した理系の人たち、いませんか？

>>921 → >>922 で問題は解けて納得したけどさ。

>>940 から俺が閃いた漸近する値についてのナゾの式
（>>951 および >>952）の内容は正しいのか？

間違っているなら、「漸近する値が間違っているぞ」
という反例を挙げて欲しい。

10兆色のうちの8兆色とかで計算してさ。
1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 16:43:48 ID:bx7umG9D.net]: >>940
１０００色までやってみた。
https://i.imgur.com/CSDDMr0.png
線形回帰で係数をもとめたら 1.609356

> # n種類のガチャからm種類を集めるまでの期待値
> collector <- function(n=100,m=80,print=TRUE){
+ library(gmp)
+ x=(n-m+1):n
+ x=as.bigq(x)
+ y=sum(n/x)
+ if(print) print(y)
+ return(asNumeric(y))
+ }
> collector(5,4)
Big Rational ('bigq') :
[1] 77/12
[1] 6.416666667
> collector(100,80)
Big Rational ('bigq') :
[1] 10075468010284923492783367185945796008025/63382159299738615604121644486647548688
[1] 158.963786
> n=1:1000
> r=0.8
> y=sapply(n,function(x)collector(x,round(r*x),print=F))
> plot(n,y,bty='l',col='gray')
> lm=lm(y~n) ; lm

Call:
lm(formula = y ~ n)

Coefficients:
(Intercept) n
-1.941193 1.609356
1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 17:11:00 ID:bx7umG9D.net]: >>955
10億色のうち8億色でやってみた
> collector(1e9,8e8,F)
[1] 1609437910

１兆でやろうと思ったら
> collector(1e12,8e11,F)
Error: cannot allocate vector of size 5960.5 Gb
と怒られたｗ
1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 17:22:49 ID:wjRMaac8.net]: 内田伏一の集合と位相の問題8.7が分かりません。集合Eの巾集合をXとする。写像φ:X->Xが包含関係による順序を保つ写像であれば、Eの部分集合E_0でφ(E_0)=E_0となるものが必ず存在することを示せ。
1005 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 17:24:30 ID:wjRMaac8.net]: E_0をφ(A)⊂Aとなるような全集合の共通部分とします。するとφ(E_0)⊂E_0が成り立つことまでは分かりました。等号が成り立つのはなぜですか？
1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 17:43:00 ID:xkZAJeQx.net]: φ(A)⊂Aなら
φ(φ(A))⊂φ(A)
となりφ(A)も方程式φ(X)⊂Xを満たす集合。
しかしE_0はかな方程式を満たす最小集合
1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 17:53:41 ID:wjRMaac8.net]: ありがとうございました。
1008 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 19:09:06.17 ID:7vxztQCR.net]: >>808 の計算

正n角形Sの頂点を　S_k（cos(2kπ/n), sin(2kπ/n)）
正(n+2)角形Tの頂点を　T_k（cos(2kπ/(n+2)), sin(2kπ/(n+2))）
とおく。
　辺S_{k-1}S_k と辺T_{k-1}T_k の交点をU
　辺S_{k-1}S_k と辺T_k T_{k+1} の交点をV
とおく。

Uは辺T_{k-1}T_k 上にある。　↑u = (1-L)↑t_k + L ↑t_{k-1},
Vは辺T_k T_{k+1}上にある。　↑v = (1-m)↑t_k + m ↑t_{k+1},
U,Vは辺S_{k-1}S_k にある：
　↑u・↑s_{k-1/2} = ↑v・↑s_{k-1/2} = cos(π/n),
ここに　↑s_{k-1/2} = (↑s_{k-1} + ↑s_k)/(2cos(π/n)),
これを解いて
　L = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
　　/ {cos(2(k-1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
　m = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
　　/ {cos(2(k+1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},

△(U T_k V) = (1/2)UT_k・VT_k sin(∠UT_kV)
　= L m * (1/2)T_{k-1}T_k・T_kT_{k+1} sin(∠T_{k-1} T_k T_{k+1})
　= L m *△(T_{k-1} T_k T_{k+1}),
ここで
　T_{k-1}T_k = T_k T_{k+1} = 2sin(π/(n+2)),
　∠(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = π - 2π/(n+2),
より
　△(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = 2{sin(π/(n+2))}^2 sin(2π/(n+2)),
1009 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 19:12:12.43 ID:7vxztQCR.net]: >>808
ただし k=(n+1)/2 のときは
　台形(trapezoid) = h {2sin(π/(n+2)) + h/tan(2π/(n+2))},
　h = cos(π/(n+2)) - cos(π/n),
1010 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 19:50:07.32 ID:xkZAJeQx.net]: p(a,b)
=Σa/(a-k)
≒∫[0,b]1/(1-x/a)dx
=-alog(1-b/a)
だから
b=[4a/5]
でa→∞のとき
lim p(a,b)/a = -log(1/5) = log(5)
かな
1011 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 19:59:46.44 ID:V0zbgviH.net]: 鳩の巣原理という超自明なものから証明される命題が超自明に見えないのはなぜ？？
1012 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 20:31:00.79 ID:bx7umG9D.net]: >>965
昭和のうちは、部屋割り論法という呼称だったけどいつから鳩の巣原理に呼称が変わったんだろう？
次はどんな呼称に変わるのだろうなぁ？
1013 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 21:17:50.33 ID:YXX3xhBe.net]: 放物線C上を点Pが、D上を点Qが、それぞれ独立に動く。
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
このときPQの長さを最小とするようなP,Qの位置を述べよ。

…というような問題で、よくなんの断りもなしに
「PQが最小だから、PでのCの接線とQでのDの接線が平行でなければならない」…(A)
と書いているのを見かけます。
チャート式などの受験参考書に見られます。

(A)は前置きもなしに自明と扱って良いのでしょうか？よろしくお願いします。
1014 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 23:27:30.77 ID:gyGhnLCq.net]: >>967
このくらいなら出題者・採点者の方針次第のように思う。
論証不足として減点されても文句は言えないレベルだが、大目に見て減点なしとする採点基準の場合もあるだろうな。
自明として扱わずにきちんと論証しておいたほうが無難だとは思う。

受験参考書とのことなので大学受験あたりの話なのかと思うが、主要な大学ほどこういう微妙な判断を要する出題は避ける傾向はあるかもしれない。
ほんの些細なことでも各種予備校からのクレームは厳しいからな。

いずれにせよ、数学の学習において本に自明と書いてあることを自力できちんと論証できるようにしておくことはとても大切である。
1015 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 23:27:49.04 ID:UGF9ZM36.net]: 分からない問題はここに書いてね461
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594131967/
1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 01:39:18.47 ID:E7sQrDhL.net]: >>962-963

n 面積
-----------------------
3 1.113653769170520
5 0.397944967183052
7 0.187485749191523
9 0.105399738651839
11 0.066428110136527
13 0.045288462094167
15 0.032681482667606
31 0.006502342848450
63 0.001434131704510
127 0.000336211588037
255 0.000081395165854

n>>1　では　～ 5/n^2
1017 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/08(水) 03:28:31 ID:ODJ2yoWq.net]: 前>>941
>>967
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
y=x^2+1のP(p,p^2+1)における接線をy=2x+aとおくと、
2p+a=p^2+1
p^2-2p-a+1=0が重解を持つためにa=0,p=1
P(1,2)が判明。
PQの式はy=-(1/2)(x-1)+2
x=2y^2+2
=1-2y+2
=3-2y
=3-(�
1018 名前：�3-1) =2-√3 Q(2-√3,(√3-1)/2)が判明。 []: [ここ壊れてます]
1019 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/08(水) 04:38:30.25 ID:wpJjzlbG.net]: >>956-957
すいません、
私の思いつきは的外れでしたね、
失礼しました。
1020 名前：イナ mailto:sage [2020/07/08(水) 04:53:28.69 ID:CkzpZnuD.net]: 前>>971訂正。勇足おわび致す。かたじけない。
>>967
P(1/2,5/4)
Q(5/4,1/2)
ピタゴラスの定理より、
PQ=√(3/4)^2+(3/4)^2
=3√2/4
1021 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 07:34:45.40 ID:I3BoIViR.net]: >>967
思考停止のプログラムでの数値解

> PQ <- function(xy){
+ x=xy[1]
+ y=xy[2]
+ P=c(x,x^2+1)
+ Q=c(2*y^2+2,y)
+ sqrt(sum((P-Q)^2))
+ }
>
> opt=optim(par=c(0,0),fn=PQ,method='Nelder')
> x=opt$par[1]
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
1022 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 08:08:33.01 ID:E7sQrDhL.net]: >>966
ディリクレ(1805～1859)の死後、明治～大正時代は
「引きだし論法」だったかも。
1023 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 08:11:46.16 ID:I3BoIViR.net]: >>974
図示しないと気持ちがわるいな。

https://i.imgur.com/Sf54r6U.png

x=seq(-2,2,len=100)
plot(x,x^2+1,xlim=c(-2,5),ylim=c(-2,5),type='l',bty='l',ann=F)
y=seq(-2,2,len=100)
lines(2*y^2+2,y)
points(P[1],P[2],pch=19)
points(Q[1],Q[2],pch=19)
1024 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 08:32:40 ID:0bsbQgCs.net]: 正の実数xに対して{x}はxの小数部分を表す。aを正の無理数とする。
（1）n=1,2,...のそれぞれに対し、{na}はすべて異なることを示せ。
（2）（1）と同様にa*{na}を考えたとき、a*{ka}=a*{ma}となる相異なる自然数の組(k,m)が少なくとも1組存在する場合がある。aはどのような無理数か、考えうる全ての場合を求めよ。
1025 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/08(水) 08:37:03.05 ID:wpJjzlbG.net]: みんな頭いいな。

ここの方って中高生向けの数学オリンピックとその予選、
ああいう偏ったタイプの問題を解く自信はありますか？
ああいうのって大学以上の数学とは別ものですよね？

ちなみに、おれが学生の頃は
旧い練習問題のコピーがクラスで流行ってた。
1.5 問くらいしか解けんかったわ。余裕で予選落ちだ。
1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 09:34:26.90 ID:wuJIFs5H.net]: >>977
(1)異なる自然数k,mに対して{ka}={ma}と仮定すると ka-ma=(k-m)a が整数となるが、k-m≠0であるからこれはaが無理数であることに矛盾する。
(2)a*{ka}=a*{ma} ⇔ {ka}={ma} であるから(1)よりaがどのような無理数であってもこれを満たす相異なる自然数の組(k,m)は存在しない。
1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 10:16:11 ID:XD7Ql8W/.net]: C,Dが交わらない微分可能な関数曲線として、
PQが最小値をとるとき、PでのCの接線とQでのDの接線は平行である
ってどうやって証明できるんだろう？
1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 11:22:54.39 ID:wuJIFs5H.net]: >>980
条件設定が不十分すぎますが、>>967の話でしょうか？

動点の片方を固定したとき、固定されてないほうの接線がPQに垂直となることを示せば十分ですが
垂直でなければPQを半径とする円と交わるので円の内部の点を取れば最小ではなくなるくらいでよいのではないでしょうか。
1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 11:56:09.02 ID:M5YUn+y1.net]: X,Yを全
1030 名前：順序集合とする。順序を保つ全単射f:X->Yが存在するとき、XとYは順序同型になるか？ なりそうな気がしますがどうでしょうか？ []: [ここ壊れてます]
1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 12:44:39 ID:AhepFBJk.net]: 全順序なら自明じゃね
f が順序を反映することが言えればいいんでしょ？
任意の x, y ∈ X に対して
f (x) ≦ f (y) ならば、 X が全順序なら x ≧ y または x ≦ y だが、
もし x > y なら f が順序を保つことから f(x) ≧ f(y) となるので f(x) = f(y)
これは f の単射性の仮定に矛盾する。
1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 12:56:11 ID:I3BoIViR.net]: >>975
鳩の巣原理を知った、動物アイゴ主義者が鳩を１羽用の巣箱に押し込めるのは動物虐待といいだしそうｗ
引き出し論法というのはそういう非難がこないよい命名だな。
1033 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 12:58:19 ID:I3BoIViR.net]: >>973
赤がイナ芸人の答
https://i.imgur.com/5eWWxGA.png
1034 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 13:10:57 ID:Pt4pRb+l.net]: そういやDirichletのひきだし論法って言い方あるな。
どっかの文献でDirichletがひきだし使って説明したのかな？
1035 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 14:12:29.85 ID:wuJIFs5H.net]: >>980
さすがに>>981ではアバウトすぎた気がするので、もう少し丁寧に書いておく。

点Pは点Qを中心とした半径PQの円Oと曲線Cの共有点であるが、交点ではない（理由は後述）から接点である。
つまり点PにおけるCの接線は円Oの接線でもあるので、半径PQと垂直である。
同様に点QにおけるDの接線もPQに垂直であり、同一の直線PQに垂直な2直線は平行である。

（交点ではない理由）
円Oと曲線Cが点Pで交わると仮定すると、円Oの内部に曲線C上の点をとれることになるがこれはPQの最小性に矛盾する。
1036 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 14:45:28.68 ID:ljE/4Hhb.net]: xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
MPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
1037 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 15:06:41.16 ID:yiO6XJAl.net]: lim [t→∞] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = ∞
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = -∞
1038 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 15:31:59.19 ID:yiO6XJAl.net]: lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) = c - π
(√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) )'
= (√(t^2+c^2)+2c)/(t^2+c^2)>0
1039 名前：イナ mailto:sage [2020/07/08(水) 16:30:51.37 ID:5WH5GGpe.net]: 前>>973訂正。
>>967
P(p,p^2+1)
Q(2q^2+2,q)
PQ^2=(2q^2+2-p)^2+(p^2+1-q)^2
=......
=(2q^2-p^2)^2......
p=q√2のときPQは最小。
PQ^2=8q^4-4(√2+1)q^3+15q^2-2(1+2√2)q+5=f(q)とおき、
f'(q)=32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
この3次方程式が解ければP,Qの位置は決まると思う。
おおよそP(2/3,13/9),Q(22/9,√2/3)ら辺と考えられる。
1040 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 16:53:00.60 ID:wuJIFs5H.net]: >>988
点Mを十分遠くにとればMPをいくらでも大きくできるのでMPの最大値は存在しない。
1041 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 18:16:48.79 ID:I3BoIViR.net]: >>981
レスありがとうございました。
図示したらおっしゃることが理解できました。

https://i.imgur.com/b3RRYWW.png
1042 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 18:39:34.25 ID:I3BoIViR.net]: >>991
32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
をWolfram先生に解いてもらいました。

実数解は
q　?　0.318819191675181
だそうです
1043 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 19:08:18.21 ID:NoIq/b5Q.net]: MではなくOの間違いでした。ABの中点になっているからMだと勝手に思い込んでいまして、すみませんでした。
AP+BPはともかく、∠APBをどうやって
1044 名前：式にするかがわかりません。正弦定理を使ってsinの形にし微分計算に持ち込むことを考えましたが、大変煩雑でがうまくできません。 よろしくお願いします。 【修正】 xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。 点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。 OPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。 なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。 []: [ここ壊れてます]
1045 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/07/08(水) 20:01:55 ID:A4Rmkg0O.net]: 前>>991
>>994
q=0.318819191675181として、
P(0.45087842481,1.2329135396)
Q(2.20329135396,0.318819191675181)
PQの傾きは-0.914094347924819/1.75241292905＞-1/2
1046 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/09(Thu) 01:42:21 ID:t0ZWB8zx.net]: 一辺の長さが1の正四面体Vの重心をGとする。
また重心を含む平面で、Vとの共通部分が等脚台形となるものを考える。その2つの角をa,π-aとおく。

（1）実数aの取りうる値の範囲を求めよ。

（2）aの下限または最小値をm、上限または最大値をMとする。
平面とVとの共通部分の等脚台形について、その1つの角が(m+M)/2であるようなものの面積を求めよ。
1047 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/09(Thu) 02:32:24 ID:XFAfLnLw.net]: π/3<a<2π/3
1/4
1048 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/09(Thu) 07:39:23 ID:dYeNIQef.net]: >>996
最短じゃないみたいだよ。
> P=c(0.45087842481,1.2329135396)
> Q=c(2.20329135396,0.318819191675181)
> sqrt(sum((P-Q)^2))
[1] 1.976492

> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
1049 名前：１３２人目の素数さん [2020/07/09(Thu) 08:04:04 ID:lBO5fTHS.net]: 問 1. 定規とコンパスがある。

これで単項式、かつ、nを含む三乗根の数（3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）

問 2. 折り紙がある。

これで単項式、かつ、nを含む三乗根の数（3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
1050 名前：1001 [Over 1000 Thread .net]: このスレッドは１０００を超えました。
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