- 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/01(水) 11:58:56.84 ID:Lxt/l9fd.net]
- F(x)＝∫[0,x] (sin(t)/t)dt と置くと、A ＝ lim[x→＋∞] F(x) が有限値で存在する。
特に、F(x)は[0,∞)全体で有界である。｜F(x)｜≦C (x≧0) を満たす定数Cを取っておく。
∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx
＝[F(x)exp(-kx)]_0^∞＋k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx＋Ak∫[0,∞]exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx＋A
ここで、M＞0を任意に取ると
｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜
≦k∫[0,∞]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx
＝k∫[0,M]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx＋k∫[M,∞]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx
≦(A＋C)k∫[0,M]exp(-kx)dx＋(sup[x≧M]｜F(x)－A｜)k∫[M,∞]exp(-kx)dx
≦(A＋C)kM＋(sup[x≧M]｜F(x)－A｜)
なので limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜≦ sup[x≧M]｜F(x)－A｜ となる。
Mは任意だから、M→∞ とすると limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜≦ 0
となり、つまり lim[k↓0] k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx ＝ 0 となる。よって
lim[k↓0]∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx＝A
となる。また、A＝lim[x→＋∞] F(x)＝∫[0,∞](sin(t)/t)dt (右辺は広義積分の意味)である。
よって、結果的に�
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