ガロア生誕200周年記念スレ part 6

143 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 00:25:48.38 ] 補題 A を可換環とする。 E = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 S = A[X_1、．．．、X_n]_sym （>>64）とする。 B = A[X_n] とする。 R = B[X_1、．．．、X_(n-1)]_sym とする。 このとき R は 1、X_n、．．．、(X_n)^(n-1) を S 上の基底とする S-自由加群である。 証明 s_k（1 ≦ k ≦ n）を E における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 C = A[s_1、．．．、s_(n-1)] とする。 C[X_n] = B[s_1、．．．、s_(n-1)] よって、>>140より R = C[X_n] >>138より (-1)^(n+1) s_n = X^n + Σ[k = 1、．．．、n - 1] (-1)^(n-k) s_(n-k) (X_n)^k よって、(-1)^(n+1) s_n は C[X_n] におけるモニック（過去スレpart1の115）な多項式である。 C[T] を 1 変数の多項式環とする。 C-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：C[T] → C[X_n] を ψ(T) = s_n により定める。 ψ により C[X_n] は C[T]-線型環と見なされる。 >>137より 1、X、．．．、X^(n-1) は C[X_n] の C[T]-加群としての基底である。 よって、>>142より ψ は単射である。 ψ(C[T]) = C[s_n] = A[s_1、．．．、s_n] >>111より S = A[s_1、．．．、s_n] である。 よって、1、X、．．．、X^(n-1) は R = C[X_n] の S-加群としての基底である。 証明終

---

---

[ 続きを読む ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef