- 137 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 15:49:44.60 ]
- 補題（Bourbaki）
A を可換環とする。
A[X] を 1 変数の多項式環とする。
f ∈ A[X] をモニック（過去スレpart1の115）な多項式とする。
n = deg f とする。
A[T] を 1 変数の多項式環とする。
A-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[T] → A[X] を ψ(T) = f により定める。
ψ により A[X] は A[T]-線型環と見なされる。
このとき 1、X、．．．、X^(n-1) は A[X] の A[T]-加群としての基底である。
証明
A-線型環としての準同型 φ：A[T, X] → A[X] を φ(T) = f、φ(X) = X により定める。
>>133より Ker(φ) = (T - f(X))A[T, X]
f(X) - T ∈ A[T][X] と見て>>132を適用すると
A[T, X] は A[T]-加群として A[T] + A[T]X + ．．．+ A[T]X^(n-1) と (T - f(X))A[T, X] の直和である。
φ は全射だから任意の g ∈ A[X] に対して g = φ(h) となる h ∈ A[T, X] がある。
上記より h ∈ A[T] + A[T]X + ．．．+ A[T]X^(n-1) + Ker(φ) である。
よって、g = φ(h) ∈ ψ(A[T]) + ψ(A[T])X + ．．．+ ψ(A[T])X^(n-1)
よって、A[X] = ψ(A[T]) + ψ(A[T])X + ．．．+ ψ(A[T])X^(n-1)
1、X、．．．、X^(n-1) が ψ(A[T]) 上線型独立であることを示せば良い。
g_0、g(1)、．．．、g_(n-1) を A[T] の元として
ψ(g_0) + ψ(g_1)X + ．．．+ ψ(g_(n-1))X^(n-1) = 0 とする。
φ(g_0 + g_1X + ．．．+ g_(n-1)X^(n-1)) = ψ(g_0) + ψ(g_1)X + ．．．+ ψ(g_(n-1))X^(n-1) = 0
よって、g_0 + g_1X + ．．．+ g_(n-1)X^(n-1) ∈ Ker(φ) = (T - f(X))A[T, X]
A[T, X] は A[T]-加群として A[T] + A[T]X + ．．．+ A[T]X^(n-1) と (T - f(X))A[T, X] の直和だから
g_0 = g_1 = ．．．= g_(n-1) = 0
証明終
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