- 138 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 18:23:10.48 ]
- 補題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
このとき
(-1)^(n+1) s_n = X^n + Σ[k = 1、．．．、n - 1] (-1)^(n-k) s_(n-k) (X_n)^k
証明
B[U] を B 上の１変数の多項式環とする。
>>70より
(U - X_1)．．．(U - X_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] (-1)^(n-k) s_(n-k) U^k
B-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：B[U] → B を ψ(U) = X_n により定める。
ψ をこの等式の両辺に作用させると
0 = X^n + (-1)^n s_n + Σ[k = 1、．．．、n - 1] (-1)^(n-k) s_(n-k) (X_n)^k
よって、本補題の等式が得られる。
証明終
