ガロア生誕200周年記念スレ part 6

140 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 21:03:44.99 ] 補題 A を可換環とする。 E = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n）を E における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 B = A[X_n] とする。 E = B[X_1、．．．、X_(n-1)] である。 R = B[X_1、．．．、X_(n-1)]_sym （>>64）とする。 このとき R = B[s_1、．．．、s_(n-1)] であり s_1、．．．、s_(n-1) は B 上代数的独立（>>119）である。 証明 t_k（1 ≦ k ≦ n - 1）を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。 >>139より、各 k（1 ≦ k ≦ n - 1）に対して t_k = (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、．．．、k] (-1)^(k-i) s_i (X_n)^(k-i) >>111より、R = B[t_1、．．．、t_(n - 1)] である。 上の等式より t_1、．．．、t_(n - 1) は B[s_1、．．．、s_(n-1)] に含まれる。 よって、R ⊂ B[s_1、．．．、s_(n-1)] である。 他方、s_1、．．．、s_(n-1) は R に含まれるから B[s_1、．．．、s_(n-1)] ⊂ R である。 よって、R = B[s_1、．．．、s_(n-1)] である。 （続く）

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