- 1 名前：名無しさん [2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu]
- ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18
「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。
両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。
ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21
ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。
ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。
- 302 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/19(日) 10:34:38.63 ]
- 訂正
>>292
V3=b+o*c+o^2*a, V3=b+o*a+o^2*c,
↓
V3=b+o*c+o^2*a, V6=b+o*a+o^2*c,
>>294：V2→V4
ここで、互換（b,c）を作用させると、rは変化しないので、たとえばV1*V4とすると
V1*V4＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)
=b*c*o+c^2+b^2+b*c*o^2+a*c*o^2+a*b*o^2+a*c*o+a*b*o+a^2
=a*b*o^2+b*c*o^2+a*c*o^2+a*b*o+b*c*o+a*c*o+a^2+b^2+c^2
=(a*b+b*c+a*c)*o^2+(a*b+b*c+a*c)*o+a^2+b^2+c^2
=(a*b+b*c+a*c)*(o+o^2)+a^2+b^2+c^2
=-(a*b+b*c+a*c)+a^2+b^2+c^2
などとなりますが、これK(r)になる？
>>300：V2→V4
>V1*V4＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)
えーと、正確には
（x-V1)*(x-V4)=x^2+(V1+V4)*x+V1*V4
を考えて、（x-V1)*(x-V4)は互換（b,c）で変化しないから、これが因子f'(V,r) の候補だと
それで、定数項V1*V4を計算してみたのが>>294なんだけど
- 303 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/19(日) 10:35:50.39 ]
- >>301
乙！
- 304 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/19(日) 11:24:37.31 ]
- >>302
さらに補足
V1+V4の方は簡単で
(a+o*b+o^2*c)+(a+o*c+o^2*b)
=2*a+(o+o^2)*b+(o+o^2)*c
(ここで、o+o^2=-1>>292を使うと)
=2*a-(b+c)
で、>>302
V1=a+o*b+o^2*c, V4=a+o*c+o^2*b,
V2=c+o*a+o^2*b, V5=c+o*b+o^2*a,
V3=b+o*c+o^2*a, V6=b+o*a+o^2*c,
ガロア（分解）方程式>>292：F(x)=(x-V2)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)
なので、互換（b,c）で変化しない因子の組み合わせは
上記（x-V1)*(x-V4)と、（x-V2)*(x-V6)と、（x-V3)*(x-V5)
（x-V2)*(x-V6)と、（x-V3)*(x-V5)について、同様の計算ができる
- 305 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/19(日) 11:54:03.30 ]
- >>280
これ、ガロアを読む: 倉田令二朗>>4の16節（P146）からの「根の有理式の添加によるガロア群の簡約」が参考になるね
補助方程式：{ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0
で、
根 (α-β)^2は、>>289の巡回群G（＝C3）で変わる。具体的には
(α-β)^2
(β-γ)^2
(γ-α)^2
となる
根 (α-β)^2は、>>289の互換σ1, σ2, σ3と恒等置換e
で変わらない
で、互換σ1, σ2, σ3と恒等置換eとで、対称群S3の部分集合を形成するが
部分群ではない
部分群は>>290、 { e , (12) } など位数２の部分群３つか、位数３の{ e , (123) , (132) } の一つしかない（真の部分群の意味で）
位数３の{ e , (123) , (132) } は、>>289のG。 { e , (12) } は、>>289のH。
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