面白い問題おしえて～な十九問目

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面白い問題おしえて～な十九問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/03(木) 00:12:57.26 ]: 過去ログ
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/22(金) 23:57:24.04 ]: 半径1の円周上(この円をC1)に異なる2点P,Qをとる。C1の中心をOとする。
また2点P,Qを直径とする円(この円をC2)をかく。
線分P,Qを1:2に外分する点をRとするとき、RからC1,C2に2本の接戦が引ける。
この接線のなす角をθとするとき、cosθの最大値を求めよ。
653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 00:27:38.53 ]: >>651
xyの項で(-x)(-y)=xyつかってるじゃん
654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 00:28:33.20 ]: 7/9になった
655 名前：651 mailto:sage [2012/06/23(土) 01:04:50.18 ]: >>653
>>649に言ってくれ
656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 01:21:12.09 ]: >>649
君には、まず
-x=(-1)・x　を証明することをお勧めする。
657 名前：649 mailto:sage [2012/06/23(土) 01:39:10.60 ]: ちょっとまって。俺めっちゃ突っ込まれてる
658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 01:47:33.26 ]: つきつめた責任は取ってもらう。
659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 02:34:11.13 ]: 1x1 の実数２次元平面上に
等間隔に５つ自分の石を並べると勝ちになる実数五目並べを考える。
石の大きさはゼロで、すでに置いてある点の上ぴったりに置くことはできない。
禁じ手はない。
先手必勝パターンはあるか？
660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 07:58:47.12 ]: >>624
これの解き方は？
661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 08:45:05.54 ]: >>659
等間隔なら間に相手の石があってもいいの？
662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 09:46:19.00 ]: >>659
1.とりあえず2点を置く
21の2点を通る.直線と異なる点に点Bを置く
3.1と2で作った3角形の辺Bを伸ばして4点を等間隔に置く
4.辺Bの延長と異なる点に1点Cを置く
4.辺Bの延長上の4点と点Cとの中点に4点を置く

4の4点目をおいた時点で4点と3点の
等間隔の点列ができるから勝ちが確定する
途中で邪魔されなければ適当に勝てる
663 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/23(土) 22:59:18.01 ]: これができなきゃ算数やり直し問題

円周が15cmの円柱があり、下の面の円を0とし、上の面の円を0`とする。
そして、0X//0`Yとなるような点Xを円0上に、点Yを円0`上にとる。
点Xから時計周りに点aが毎秒3cmで移動し、
点Yから反時計周りに点bが毎秒ncmで移動している
点bが点Yを出発してから3秒後に点aが点Xから出発をすると、
それから6秒後に三回目の0a//0bとなるときnの値を求めよ。

日本語はおかしいかもしれませんがご了承ください
664 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/23(土) 23:04:20.32 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 23:15:39.51 ]: >>663
まんどくさい、ご了承くさい
666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 23:29:40.49 ]: >>662
3のあたりが何を言ってるのかよくわからんが、
2で同一直線上以外に置いた時点で、
先手とは関係なく後手が黙々と等間隔に並べた方が先行してしまうだろうよ
667 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/23(土) 23:31:26.21 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/23(土) 23:53:53.22 ]: 黒先手とする。
黒白の１手目はどこに置いても話は同じ。
黒の２手目はそこまでの２点と同一直線上に並ばないように置く。
以降黒は全て、黒の１手目と２手目を結ぶ直線上に置くようにすれば、
その直線上では常に白に対して数的優位を保てるので
まあよっぽどヘマをやらない限り勝てる。
場合分けがちょっと面倒くさいのでやらないけど
白側の手を、黒を阻止するために有効ないくつかの場所と「その他」で場合分けして
それぞれの場合の黒側の手を用意しておけば、さほど分岐も発散せずに
必勝法は構成できると予想。
669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 00:18:47.81 ]: >>663
なんでOじゃなくて0を使うの
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 00:22:55.05 ]: >>620
誰も解いてくれないので、答えだけ置いておく
(2n-3)!!
671 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 00:25:39.36 ]: 方程式2^x=x^2の異なる2つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 00:33:48.63 ]: >>670
すまん、間違い
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 00:37:09.11 ]: >>671の間違いを指摘せよ。
674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 00:37:36.98 ]: >>671
グラフ書けば終わり
675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 00:38:50.59 ]: >>673
実数解は３つある
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 00:39:39.41 ]: mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる2つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 00:39:53.78 ]: 「よろしくお願いします」がない
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 00:40:31.03 ]: mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。
679 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 00:41:12.19 ]: 方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

おながいします
680 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 07:30:02.23 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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681 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 11:41:40.39 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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682 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 11:53:53.01 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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683 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 12:58:06.84 ]: 方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

おながいします
684 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 13:11:22.71 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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685 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 13:15:03.67 ]: 方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

おながいします
686 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 13:16:37.04 ]: 方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)・・・①の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

①でm→∞のとき、α→-1を示せ。
687 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 13:31:36.81 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 14:04:29.07 ]: 方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)・・・①の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

①でm→∞のとき、α→-1を示せ。
689 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 14:22:30.58 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 16:47:27.11 ]: 0=1
691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 21:03:04.03 ]: カップラーメンが食べ頃になるまでの時間(s)とお湯の温度(℃)の積は一定(=180*100[s*℃])であると仮定する。
1000℃のお湯を注いだとき、食べ頃になると同時にお湯の温度が100℃になった。
お湯は1秒あたり何℃冷めたか。またカップラーメンが食べ頃になるまでの時間は何秒であったか。
但し、お湯の冷め方は常に一定で、お湯を注いだ瞬間から冷め始める。お湯を注ぐのに要する時間は無視する。
692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 21:35:19.19 ]: αβ=2,α+β=-8であるとする。

α^n+β^nをnを用いて表せ。
693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 22:23:07.90 ]: >>692
どういう答を期待してるんだろうね。
694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 22:53:19.03 ]: αとβは具体的に数値として書き表されるんだからそれを代入して終り。
695 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 22:56:39.10 ]: 方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)・・・①の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

①でm→∞のとき、α→-1を示せ。
696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 23:01:24.85 ]: 基本対称式で表せってことだろ
アルファとベータ求めたほうが早そうだけど
697 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 23:05:28.14 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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698 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/24(日) 23:11:15.64 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 23:27:24.05 ]: a_0=2、a_1=-8、a_[n]=-8a_[n-1]-2a_[n-2]（n≧2）を満たす数列a_[n]をnで表せ。
の答えがα^n+β^n　だな。
700 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/25(月) 00:05:42.21 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/25(月) 01:20:45.92 ]: >>694

　α = -4 -√14 = -7.741657
　β = -4 +√14 =　0.258343

　|β|^n < 0.258343

　α^n + β^n = [ α^n + 1/2 ]

で計算する方が速い？
702 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/25(月) 06:25:53.37 ]: 半径rの球面上に4点A,B,C,Dがある。
四面体ABCDの各辺の長さは、AB=√3,AB=AC=AD=BC=BD=CD=2を満たしている。
このとき、rの値を求めよ。
703 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/25(月) 06:42:41.27 ]: xy平面の放物線y=x^2上の3点P,Q,Rが次の条件を満たしている。
三角形PQRは1辺の長さがaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。
704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/25(月) 07:06:44.78 ]: T大の過去問か
705 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/25(月) 07:13:05.45 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/25(月) 07:38:13.82 ]: >>702
どっかで見たこある
それも非常に最近の高校生の問題
家庭教師先だったか…
707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/25(月) 07:41:55.08 ]: >>702
AB=√3=2?
708 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/25(月) 07:52:44.43 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/25(月) 11:45:02.30 ]: >>703
AB=√3, AC=AD=BC=BD=CD=2 なら暗算で r=1 が出るから、これだな。
710 名前：709 mailto:sage [2012/06/25(月) 11:46:28.86 ]: >>702 だった
711 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/25(月) 12:34:15.64 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/25(月) 15:28:58.40 ]: 半径1の球の中に長さ2の直線を入れて正三角形を作るのは無理くない？
713 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/25(月) 15:48:03.75 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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714 名前：709 mailto:sage [2012/06/25(月) 16:10:35.03 ]: >>712
そういやそうだ、どこで間違ったかな？
715 名前：709 mailto:sage [2012/06/25(月) 16:28:15.63 ]: 暗算あきらめて r=(√13)/3
まだ間違ってるんじゃないだろうな
716 名前：709 mailto:sage [2012/06/25(月) 16:55:08.05 ]: CD の中点を H とすると ACD, BCD は正三角形だから AH＝BH＝√3
これで ABH も正三角形になり、対称性から球の中心 O は ABH 面内にあり、AB の中点を M とすると O は MH 上にある。
ACD は頂点が球面にある正三角形だから ACD の重心 G の垂線上に O がある。
G は AH＝√3 上にある重心だから GH＝(√3)/3, AG＝(2√3)/3
ABH は正三角形だから∠AHM＝∠GHO＝30°
GH と GO は垂直だから GO＝1/3
AG と GO は垂直だから r＝AO＝√( AG^2＋GO^2 )=(√13)/3
717 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/25(月) 17:09:34.21 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　単位m^2のことを平方メートルと呼ぶからおかしいんです。メートル平方と呼びたいものですね
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　単位km^2のことを平方キロメートルと呼ぶからおかしいんです。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　キロメートル平方と呼びたいものですね
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　しかし100m^2は100メートル平方になっちゃって混乱のもとですね
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　100mX100mの土地を100メートル平方だっていいますからね
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　 m^2は平方メートル。km^2は平方キロメートル
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　と呼ぶ姑息なやり方でなんとかしのいでるんですね
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
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718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/25(月) 17:33:48.20 ]: >>715-716
正解です。
問題文ミスすみません。
719 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/26(火) 01:17:08.56 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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720 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/26(火) 05:36:02.49 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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721 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/26(火) 05:50:42.68 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/05(木) 00:10:05.16 ]: 立体Vの表面上の任意の点Pについて、
Pから一番遠い点までの距離が常にKとなる立体Vは
球以外にあるだろうか。
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/05(木) 00:22:58.71 ]: ある。たとえば、マイスナーの四面体。
724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/05(木) 06:01:47.80 ]: (x+1)/y + (y+1)/x = 4 の整数解(x、y)をすべて求め、それ以外にないことを示せ
725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/07(土) 19:17:43.99 ]: >>724

　(x, y) = (1, 1) は解である。
　対称性から、x≧y としてもよい。
　(x, y) が解ならば、(x, 4x-y-1)　(4y-x-1, y) も解。

　(x, y) = (a_(n-1), a_n)　(a_n, a_(n-1))　を解とすると、
漸化式
　a_(n+1) = 4a_n - a_(n-1) -1,
　a_0 = 1
　a_1 = 2
より
　a_k = 1/2 + {(2+√3)^(n+0.5) + (2-√3)^(n+0.5)}/(2√6),

これ以外にもある鴨
726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/08(日) 06:41:20.07 ]: >>725
たぶん、そこからは(x,y)=(-5,-1)から派生する系列が出てこない。

厳密な議論をするには、
問題の条件を、x(x+1)+y(y+1)=4xy (x≠0，y≠0)
と読み替えた上で、a=x+yとおくと、
x,yがともに整数⇔a,xがともに整数　となり、
条件式を6x^2-6ax+a(a+1)=0と変形してxについて解くと
x=(3a±√(3a(a-2)))/6となることから
3a(a-2)が平方数　…というような議論をすることになりそう。

ちなみに、aが奇数となる場合に限ると、aとa-2が互いに素となることから，
(a,a-2)=(p^2,3q^2)or(3q^2,p^2)or(-p^2,-3q^2)or(-3q^2,-p^2) (ただし、p,qは奇数)
となり、p^2-3q^2=±2となるが、mod3における議論よりp^2-3q^2=-2
これは、２次体k(√3)における整数p+q√3のノルムが-2となることを意味するので、
k(√3)の単数が±(2+√3)^n (nは任意の整数) だけであることを利用すると
p+q√3=±(1+√3)(2+√3)^n，p-q√3=±(1-√3)(2-√3)^n（複号同順）となり、
ここからp,qの一般項 → aの一般項 → x,yの一般項が求まる。

aが偶数となる場合については、まだ解き切れていない。
727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/08(日) 07:12:26.57 ]: >>726 に自己レス訂正。

＞aが奇数となる場合に限ると、
とか
＞aが偶数となる場合については、まだ解き切れていない。
とか書いたが、よく考えてみるとaの偶奇で場合分けをしているのではない
ことに気付いた。
実際は、aとa-2が同じ奇素数を因数として持たないことから、
p,qを整数として、
(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
　　　or (2p^2,3q^2) or (3q^2,2p^2) or (-2p^2,-3q^2) or (-3q^2,-2p^2)
　　　or (p^2,6q^2) or (6q^2,p^2) or (-p^2,-6q^2) or (-6q^2,-p^2)
　　　or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
と考え、最初の４ケースだけをまず検討した所。
（その際の２次体での議論は問題ないはず）
728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/08(日) 14:25:20.27 ]: >>727 さらに訂正。寝ぼけてた。

＞(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
＞　　　or (2p^2,3q^2) or (3q^2,2p^2) or (-2p^2,-3q^2) or (-3q^2,-2p^2)
＞　　　or (p^2,6q^2) or (6q^2,p^2) or (-p^2,-6q^2) or (-6q^2,-p^2)
＞　　　or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
これって、真ん中２行は間違いで、

(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
　　　or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)

だけが正解でした。すんません。

さらに、mod 3で検討して
(a,a-2) = (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (2p^2,6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
だけが残る。
729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/08(日) 15:55:20.44 ]: 答えの流れを整理

a=x+yとおくと、x=(3a±√(3a(a-2)))/6が整数より
i) (a,a-2)=(3q^2,p^2)
ii) (a,a-2)=(-p^2,-3q^2)
iii) (a,a-2)=(2p^2,6q^2)
iv) (a,a-2)=(-6q^2,-2p^2)
のいずれかとなる（p,qは整数）

i),ii)のとき，p^2-3q^2=-2より、k(√3)におけるノルム-2の整数を考え
　p+√3q=±(1+√3)(2+√3)^n，p-q√3=±(1-√3)(2-√3)^n（複号同順）
iii),iv)のとき，p^2-3q^2=1より、k(√3)における単数を考え
　p+√3q=±(2+√3)^n，p-q√3=±(2-√3)^n（複号同順）

ここからp,q→a→x,yの順に計算した結果をまとめると
A(k)=((3-√3)(2+√3)^k+(3+√3)(2-√3)^k)/12 と置いて
i),iii)より
　(x,y)=(1/2+A(n),1/2+A(n+1)),(1/2+A(n+1),1/2+A(n)) （nは任意の整数）
ii),iv)より
　(x,y)=(1/2-A(n),1/2-A(n+1)),(1/2-A(n+1),1/2-A(n)) （nは整数、n≠-1,0,1）
となる。

（なお、最後でn≠-1,0,1としたのは、x,y≠0より）
730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/08(日) 16:13:48.74 ]: >>729 補足
A(1-k)=A(k)なので、重複を除外すると、結論部分は

　(x,y)=(1/2+A(n),1/2+A(n+1)) （nは任意の整数）　または
　(x,y)=(1/2-A(n),1/2-A(n+1)) （nは整数、n≠-1,0,1）

だけ言えばよかった。
731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/09(月) 23:05:20.55 ]: >>725 の補足

与式は　
(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 + 1/2 = 4(x - 1/2)(y - 1/2),　（60ﾟ双曲線）
と表わせるから、
　(x, y) が解ならば (1-x, 1-y) (1-y, 1-x) も解。
ここから、(-5, -1) の系列が出てくる。
732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/10(火) 01:58:05.15 ]: (1)
3辺の長さが全て整数で、周長が n であるような互いに合同でない三角形の個数を f(n) とおくとき、
数列 {f(n)} から生成される母関数 F(x) = Σ[n=0 to ∞] f(n) x^n を閉じた式で表せ！

(2)
S(x、y) = Σ[2m≧n≧0、2n≧m≧0] x^m y^n （|x|<1、|y|<1）の閉じた式を求めよ！

母関数たん (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/10(火) 20:51:50.83 ]: (1)
f(n)は1≦a≦b≦c…(i)、a+b＞c…(ii)、a+b+c=nの整数解(a,b,c)の個数に等しい
(i),(ii)より、b≦c≦a+b-1]
Σ[k=0,∞]f(k)x^k
=Σ[1≦a≦b≦c , a+b＞c]x^(a+b+c)
=Σ[b≦c≦a+b-1 , 1≦a≦b]x^c*x^(a+b)
=Σ[1≦a≦b](x^(a+b)(Σ[c=b,a+b-1]x^c))
=Σ[1≦a≦b]x^(a+b)(1-x^a)x^b/(1-x)
=1/(1-x)Σ[1≦a≦b]x^(2b)(x^a-x^(2b))
=1/(1-x)Σ[1≦b](x^(2b)(Σ[a=1,b]x^a-x^(2a)))
=1/(1-x)Σ[1≦b]x^(2b)((1-x^b)x/(1-x)-(1-x^(2b)x^2/(1-x^2))
=x/((1-x)(1-x^2))Σ[1≦b](x^(2b)-x^(3b)-x^(3b+1)+x^(4b+1))
=…
=x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))
=x^3/((1-x)^3*(1+x)^2*(1+x^2)*(1+x+x^2))

(2)
0≦m≦2n , 0≦n≦2m
⇔m/2≦n≦2m , 0≦m
mが偶数のとき、m=2k(k≧0)とおけて、これを満たすnはk～4k
mが奇数のとき、m=2k+1(k≧0)とおけて、これを満たすnはk+1～4k+2
S(x,y)
=Σ[0≦m≦2n , 0≦n≦2m]x^m*y^n
=Σ[k=0,∞](x^(2k)Σ[n=k,4k]y^n)+Σ[k=0,∞](x^(2k+1)Σ[n=k+1,4k+2]y^n)
=…
=(x^2*y^2+xy+1)/((1-x^2*y)(1-x*y^2))
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/11(水) 00:20:59.86 ]: >>733
正解です。神すぐる…。周長を2nに変えると…

(1)’
3辺の長さが全て整数で、周長が 2n であるような互いに合同でない三角形の個数を g(n) とおくとき、
数列 {g(n)} から生成される母関数 G(x) = Σ[n=0 to ∞] g(n) x^n を閉じた式で表せ！
735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/11(水) 12:54:20.50 ]: F(x)の式から{f(k)}が9階回帰数列であることや
f(k)が2p+3q+4r+3=kの非負整数解の個数であることが分かるな。
(∵(a,b,c)=(q+r+1,p+q+r+1,p+q+2r+1)とするとa,b,cは周長kの三角形の3辺になり,
逆に周長nの三角形の3辺a,b,cから(p,q,r)=(-a+b,a+b-c-1,-b+c)によって1組の解が定まる)

>>734
F(-x)=Σ[k=0,∞]f(k)(-x)^k より、
F(x)+F(-x)
=Σ[k=0,∞]f(k)(x^k+(-x)^k)
=Σ[k≧0,k:偶数]2f(k)x^k
=Σ[i=0,∞]2f(2i)x^(2i)
一方、
F(x)+F(-x)
=x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1^x^4))+(-x^3/((1-x^2)(1+x^3)(1-x^4)))
=2x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
以上より、
Σ[i=0,∞]f(2i)(x^2)^i = x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
f(2i)=g(i)、更にx^2を改めてxと置き換えて
Σ[i=0,∞]g(i)x^i=x^3/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))
736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/11(水) 21:48:03.16 ]: >>735
正解でござる

(1)’ a+b+c=n、a≧b≧c>0、b+c>a、をみたす整数の組(a、b、c)の個数

⇔ x=(b+c-a)/2=n-a、y=(c+a-b)/2、z=(a+b-c)/2 とおくと、
　 x+y+z=n、0<x≦y≦z<n をみたす整数の組(x、y、z)の個数

⇔ 自然数ｎの３分割数（＝ nの３分割以下ーnの２分割以下）
　母関数は 1/{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} - 1/{(1-x)(1-x^2} = x^3/{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/11(水) 22:43:27.11 ]: なるほど分割数とな。(2)は何か元ネタとかあったりする？

(2)の一般化。kは自然数。
Σ[km≧n≧0、kn≧m≧0] x^m*y^n
={1-x-y+2xy-x^k*y-x*y^k+x^k*y^2+x^2*y^k-x^(k+1)*y^2-x^2*y^(k+1)+x^(k+1)*y^(k+1)}/{(1-x)(1-y)(1-x^k*y)(1-x*y^k)}
={1-x^k*y-x*y^k+(Σ[1≦i,j≦k]x^i*y^j)}/{(1-x^k*y)(1-x*y^k)}

k→∞のとき(1-x-y+2xy)/{(1-x)(1-y)}=1+Σ[1≦i,j]x^i*y^j
m,n座標平面で直線m=kn,n=kmを引いて、条件を満たす領域を考えると見通しが良くなる。
738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/11(水) 23:02:28.70 ]: >>737
(1)(2)は、「整数の分割、P.160 から
www.sugakushobo.co.jp/903342_61_mae.html
条件を入れたら母関数を自動生成するOmegaの紹介もある

(2)は 1999年 Putnum B3 の本質部分らしい
mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/putn99.html

(1)’は(1)の証明が分からずに色々考えていたときに出てきた副産物
739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/11(水) 23:42:43.95 ]: 木が２本ある。
木と木の間は約 100m。
同じ高さ(標高)のところに印をつけたいのだが、
どうすればいいだろうか。

望遠鏡や水準器など、好きな道具を使ってもいいが、
より安い道具でできた方が勝ち。
740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/11(水) 23:48:49.96 ]: >>739
地面は水平？
741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/11(水) 23:49:44.92 ]: 高さ0のとこに印を付けるのはダメなのね？
742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 00:00:26.69 ]: 傍に立って自分の腰の位置に印をつけて終わり
743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 00:03:04.60 ]: >>742
木が生えてるのが斜面だったら標高は違うでしょ
744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 00:52:34.23 ]: >>740
んな簡単な問題を出すハゲがいるかをずっと考えるの刑
745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 00:57:07.80 ]: 　　　,　ﾉ）
　　ﾉ)ノ,(ノi
　 (　　　　(ノし
┐)　∧,∧ 　ﾉ　←>>740
..|(　( ....:::::::) (
￣⊂/￣￣7 )　ヽ lヽ,,lヽ
　（/ 川口 /ﾉ　　(　　　）お父さん、2chばっかしてないで働いて！
　　￣TT￣　　　と、　　ﾞi
746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 01:12:15.58 ]: >>733

(2)
境界線上（2m=n or 2n=m）では、3|(m+n)

そこで、3|(m+n) に対して、
　{(m,n), (m+1,n+1), (m+2,n+2)} を１組と考える。
　Σ[2m≧n≧0, 2n≧m≧0] A_(m,n) = Σ[2m≧n≧0, 2n≧m≧0, 3|(m+n)] {A_(m,n)+A_(m+1,n+1)+A_(m+2,n+2)}
また、
　Σ[2m≧n≧0, 2n≧m≧0, 3|(m+n) ] B_(m,n) = Σ[i≧0] Σ[j≧0] B_(2i+j,i+2j),
でつね。

本問では A_(m,n) = x^m･y^n,
　　　　B_(m,n) = A_(m,n) + A_(m+1,n+1) + A_(m+2,n+2) = {1+xy+(xy)^2} A_(m,n),
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 01:19:42.82 ]: 木は垂直に生えているの？
748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 01:33:59.21 ]: amazon.jp/dp/B003T4C2XW タコ糸 \120
Amazon 配送料・手数料 \200
計 \320 でなんとかいきたいところ
749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 01:39:05.64 ]: >>748
仕様・ 80cm

テラワロス、ペタワロス、エクサワロス！
750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 01:40:59.13 ]: >>737

k≧2 を固定する。
境界線上（km=n or kn=m）では、(k+1)|(m+n)

そこで、(k+1)|(m+n) を満たす (m,n) に対して、
　{(m,n), (m+1,n+1), ･････, (m+k,n+k)} の(k+1)個を１組と考える。
　Σ[km≧n≧0, kn≧m≧0] A(m,n) = Σ[km≧n≧0, kn≧m≧0, (k+1)|(m+n)] {A(m,n)+A(m+1,n+1)+････+A(m+k,n+k)}
また、
　Σ[km≧n≧0, kn≧m≧0, (k+1)|(m+n) ] B(m,n) = Σ[i≧0] Σ[j≧0] B(ki+j,i+kj),
751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 02:06:49.92 ]: >>739
・木の間には障害物がない
・十分に等質とみなせる100m以上はゆうにある丈夫な紐がある
・紐に印を付ける油性ペンと水
と仮定して

・まず紐を二つ折りにして、折り返し点と、そこから等距離な目盛りをつける
・次に２つの木を、目盛りを使って、折り返し点が中央になるように結ぶ
・そして紐全体に水をぶっかける
・紐についた水滴が折り返し点付近に集まっていくなら木に結んだ２点はほぼ同じ標高

……なんかめんどうだし強風の日は使えんな。もっといい方法ないかな…
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/12(木) 02:17:51.52 ]: ゴルゴに頼んで水平に撃ち抜いてもらう
費用は交渉次第

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