- 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/08(日) 15:55:20.44 ]
- 答えの流れを整理
a=x+yとおくと、x=(3a±√(3a(a-2)))/6が整数より
i) (a,a-2)=(3q^2,p^2)
ii) (a,a-2)=(-p^2,-3q^2)
iii) (a,a-2)=(2p^2,6q^2)
iv) (a,a-2)=(-6q^2,-2p^2)
のいずれかとなる（p,qは整数）
i),ii)のとき，p^2-3q^2=-2より、k(√3)におけるノルム-2の整数を考え
p+√3q=±(1+√3)(2+√3)^n，p-q√3=±(1-√3)(2-√3)^n（複号同順）
iii),iv)のとき，p^2-3q^2=1より、k(√3)における単数を考え
p+√3q=±(2+√3)^n，p-q√3=±(2-√3)^n（複号同順）
ここからp,q→a→x,yの順に計算した結果をまとめると
A(k)=((3-√3)(2+√3)^k+(3+√3)(2-√3)^k)/12 と置いて
i),iii)より
(x,y)=(1/2+A(n),1/2+A(n+1)),(1/2+A(n+1),1/2+A(n)) （nは任意の整数）
ii),iv)より
(x,y)=(1/2-A(n),1/2-A(n+1)),(1/2-A(n+1),1/2-A(n)) （nは整数、n≠-1,0,1）
となる。
（なお、最後でn≠-1,0,1としたのは、x,y≠0より）
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