不等式への招待 第５章

1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ ・不等式への招待 第４章　kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 33 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/02(木) 22:54:21 ] ｷｬｽﾌｨｰ からもう一題。（Σ計算-180) 〔問題〕 　a[1],a[2],･･･,a[n]≧0 　�納k=1,n] a[k] = S のとき 次を示せ。 (1)　�納k=1,n] a[k]^2 ≧ (1/n)S^2, (2)　�納k=1,n-1] a[k]a[k+1] ≦ (1/4)S^2, 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/06(月) 20:57:07 ] >>33　しょうがねぇなぁ… (3)　�納k=1,n-2] a[k]a[k+1]a[k+2] ≦ (S/3)^3, (4)　�納k=1,n-3] a[k]a[k+1]a[k+2]a[k+3] ≦ (S/4)^4, 　…　… 35 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/06(月) 23:51:02 ] >>33 （１）シュワルツの不等式より、 Ｓ＝�納k=1,n] 1・a[k]　≦ { �納k=1,n] 1^2 }^{1/2}・{ �納k=1,n] a[k]^2 }^{1/2} ＝ {ｎ}^{1/2}・{ �納k=1,n] a[k]^2 }^{1/2}． よって， 　　 Ｓ^2 ≦ n �納k=1,n] a[k]^2 が証明された。 36 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 03:54:32 ] 不等式の『未解決』問題集ってどこかに無いかな？ フェルマー予想やポアカレ予想のような、不等式界における大予想、大問題 というのを知りたいね。 ついでに、このスレでチャレンジしてみるのも面白そう。 不等式の大予想、２ちゃんねるスレで解ける！ みたいに… どこかの本や問題集からの問題はやる気が失せる。 37 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 03:58:53 ] 例えば、ラマヌジャン系の不思議な不等式に証明を与える（ないし、反例を与える）作業とか なんか良い文献ないかなあ 38 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 05:43:22 ] Bateman [Ramanujan Book] ha dou?? 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/09(木) 10:04:33 ] nesbitの不等式って未解決の部分があるんじゃなかったっけ 40 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 22:03:35 ] >>36 巡回和関係の不等式は見かけは簡単でも、未解決なのが結構あるそうだ。 Shapiroの巡回不等式もこの10年数年に解けたそうな。 （大関本ではまだ未解決になっている） 41 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 22:07:06 ] >>39 Nsbittの不等式の一般化が Shapiroの巡回不等式。 だから現在では解決済み。 42 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 22:18:31 ] Nesbittの不等式 www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/nesbitt.htm olympiads.mccme.ru/lktg/2010/5/5-1en.pdf 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/11(土) 15:07:40 ] >>42 思わずフルボッキしてしまった！ 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/12(日) 05:14:43 ] >>29-31 〔補題’〕a,b,c≧0 のとき　|�處 ≦ 2{s-√(3t)}t, 　等号成立は m=0 かつ x/y = 1/2 のとき。 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/12(日) 06:08:01 ] Shapiro's cyclic sum mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html なお、λ = 1/3 としたものが [初代スレ.501] にある。 46 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/25(土) 18:03:31 ] 　 47 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/30(木) 19:09:27 ] [問題] A=(a_[ij]) を複素n次正方行列とし α_1,,, α_n を A の固有値（重複度込み）とする。 このとき、次の不等式を示せ。 　　�農[k=1,,n] |α_k|^2 ≦ �農[i,j=1,,,n] |a_[ij]|^2 また等号が成立するための必要十分条件は A が正規行列（A^* A = A A^*）である。 48 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/30(木) 19:13:47 ] >>47 この不等式は「Shurの不等式」と呼ばれ線型代数の本などに載っていますが、 不等式の部分だけでも線型代数を使わない証明をして欲しいです。 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 02:32:47 ] 〔問題961〕 自然数nに対して、 　Ｉ_n = ∫[0,(2n+1)π] {x･sin(x)/[n + sin(x)^2]} dx　とおく。 　(2n+1)π/(n+1) < I_n < (2n+1)π/n　を示せ。 www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089455158/961-965 　casphy - 高校数学 −修羅の刻−【難問】 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/06(木) 23:40:15 ] a、b、c、dを正の定数とする。 不等式 s(1-a)-tb>0 -sc＋t(1-d)>0 を同時に満たす正の数s、tがあるとき、 2次方程式x^2-(a＋d)x＋(ad-bc)=0は-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつことを示せ。 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/09(日) 06:31:06 ] >>50 　f(x) = x^2 -(a+d)x +(ad-bc),　とおく。 　判別式 D = (a+d)^2 -4(ad-bc) = (a-d)^2 +4bc > 0, より、異なる2つの実数解をもつ。 　f((a+d)/2) = −(1/4)(a-d)^2 -bc < 0, また、題意より 　0 < a,d < 1, 　1-a > (t/s)b > 0, 　1-d > (s/t)c > 0, ∴　f(1) = (1-a)(1-d) -bc > 0, 　　f(a+d-1) = f(1) > 0, ∴　２実数解は a+d-1<x<(a+d)/2, および (a+d)/2<x<1 の範囲にある。 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/09(日) 14:17:45 ] www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf P352など 　二 ｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ! `‐-、 二. ｀ヽ、 ミ￣　／⌒ｼ′） 二‐/,ｨ┐|=ミ=┘　,r‐'_二ﾆ....イ ‐ニ| i＜　 ｉ　,..-=ﾆ‐''＼　 /彡}　 　 www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf 二‐ヽ ┘ ｜ 　 　 lヾ. } } / /リ ﾆ ‐'"/ 　 /　　　　|_{;)} ﾚ' /(（　　　Problem352などを見ると・・・・・ '　　/ 　 /　　 　 '"　` `ﾞ /　ｿ 　 /　　　　,　　　　　　Ｆ'′/　　 　なんていうか･･････その･･･ 　 ヽ.　　　　＼、 L`___l　　　　　 　 　＿＼ 　 　ヽ._>┘　　　　　　　　 下品なんですが･･････フフ･････ 　／了＼＿ノ 　◆（　　　　　　　　　　　　　　　　 勃起･･････しちゃいましてね･････････ 　門｜ 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 11:49:13 ] >>52 〔Problem 352.〕 a,b,c>0, abc≧1　のとき　 　a/{√(bc)+1} + b/{√(ca)+1} + c/{√(ab)+1} ≧ 3/2, 　　　　　　　　　　　　　　　(P.H.O.Pantoja による) 　 Math. Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct.-Dec. 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 11:53:48 ] >>53 　abc =k とおく。 　(左辺) = a^(3/2)/(√k + √a) + b^(3/2)/(√k + √b) + c^(3/2)/(√k + √c) 　　　　= F(a) + F(b) + F(c), ここに 　F(x) = x^(3/2)／(√k + √x) = x - √(kx) +k -(k√k)/(√k + √x), 　F '(x) = {3√(kx) + 2x}／{2(√k +√x)^2} > 0,　 (単調増加) 　F "(x) = {√k + (3/√x)}／{4(√k + √x)]^3} > 0,　(下に凸) よって 　(左辺) > 3F((a+b+c)/3)　　　(← Fは下に凸) 　　　　> 3F(k^(1/3)) 　　　　(← 相加･相乗平均) 　　　　= 3(√k)／{√k + k^(1/6)} 　　　　> 3/2,　　　　　　　　　　　　(← k≧1) 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 12:16:29 ] 〔Problem 357.〕 正の整数nに対し、次を満たす4整数 a,b,c,d が存在しないことを示せ。 　ad = bc, 　n^2 < a < b < c < d < (n+1)^2, 〔Problem 359.〕 次を満たすすべての実数(x,y,z)を求む。 　x+y+z ≧ 3, 　x^3+y^3+z^3 + x^4+y^4+z^4 ≦ 2(x^2+y^2+z^2), 　　　　　　　　　　　　　(M.Bataille による) www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf 　Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct-Dec 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/11(火) 21:32:52 ] >>55 P.359. 　x^4 + x^3 - 2x^2 = (x^2 +3x +3)(x-1)^2 + 3(x-1) ≧ 3(x-1), 等号成立は x=1 のとき。 ∴　(左辺) - (右辺) ≧ 3(x+y+z-3) ≧ 0, ∴　題意の不等式が成立するのは (x,y,z)=(1,1,1) のみ。 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/12(水) 21:00:00 ] １＜ｍ＜ｎ。 ０≦ａ。 ｂ＝（ｎ−ｍ）ａ／（ｎ−１）。 ｃ＝（ｍ−１）ａ／（ｎ−１）。 ａ＝ｂ＋ｃ。 ｍａ＝ｂ＋ｎｃ。 ａ／ｍ≦ｂ＋ｃ／ｎ。 　（ｘ＋ｎ（１−ｘ））（ｘ＋（１−ｘ）／ｎ）＾２ ＝（２ｎ−２（ｎ−１）ｘ）（１＋（ｎ−１）ｘ）＾２／２ｎ＾２ ≦（（２ｎ＋２）／３）＾３／２ｎ＾２ ＝４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２。 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/14(金) 00:12:11 ] >>57 〔問題〕 nを自然数、 0≦x≦1 を実数とするとき、 　{x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2 の最大値を求めよ。 hint: 　{x+n(1-x), [nx+(1-x)]/2, [nx+(1-x)]/2} の相加平均は (n+1)/3, 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/14(金) 05:00:00 ] １≦ｉ≦ｎ。 （ｉ−１）（ｉ−ｎ）≦０。 ｎ≦ｉ（ｎ＋１−ｉ）。 １／ｉ≦（ｎ＋１−ｉ）／ｎ。 　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦Σ（ｉａ（ｉ））Σ（（（ｎ＋１−ｉ）／ｎ）ａ（ｉ））＾２ ＝Σ（ｉａ（ｉ））（（（ｎ＋１）／ｎ）Σ（ａ（ｉ））−（１／ｎ）Σ（ｉａ（ｉ）））＾２ ≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/16(日) 05:00:00 ] 　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦Σ（（ｎ＋１−ｎ／ｉ）ａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ＝（（ｎ＋１）Σ（ａ（ｉ））−ｎΣ（ａ（ｉ）／ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/16(日) 08:21:59 ] >>57-58　出題元： kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287678220/238 ,368 数オリスレ２０ kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289917753/285-311 初等整数論の問題２ 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/18(火) 22:52:05 ] x > 0 、 y > 0 、 0 < p < 1 のとき、 (x+y)^p < x^p + y^p を示せ 63 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/18(火) 23:01:47 ] >>62 成り立たねーぞボケ 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 01:21:33 ] >>63 ﾆﾔﾆﾔ… 65 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 02:34:17 ] x^p+y^p-(x+y)^p x^p+t^p*x^p-(1+t)^p*x^p =x^p*(1+t^p-(1+t)^p) >0 66 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 02:41:07 ] もっとエレガントに解かんかい 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 05:52:11 ] >>62 私の粗末なコレクションを検索したところ、似たようなものがあった。 [1997早稲田大]----------------------------------------------------------- x、yを任意の正の数とし、p、qを 1/p + 1/q = 1 かつ p>1、q>1 をみたす有理数とする。 (1) (x+y)^2 ≦ px^2 + qy^2 を示せ (2) (x+y)^(1/p) < x^(1/p) + y^(1/p) を示せ ------------------------------------------------------------------------- これって、有理数という縛りは必要なのかな？ 不等式( ﾟ∀ﾟ)ﾊｧﾊｧ… 68 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 05:54:57 ] >>65がわからん 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 07:18:39 ] 俺も>>63と>>65がわからん 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 07:57:18 ] >>63 >>66 口が悪いな、直したほうがいい 71 名前： ◆LANDAUL/nY [2011/01/19(水) 09:46:33 ] y=txとおいてるのかな 1+t^p-(1+t)^p>0の証明は f(t)とおいてp<1なのでf'(t)<0だから lim_{t→∞}f(t)>0 ということかな? (x^p+y^p)^(1/p)>x+y を示す x≧yとする (x^p+y^p)^(1/p)≧(x^p+x^p)^(1/p)=2^(1/p)*x>2x=x+x≧x+y 72 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 10:07:52 ] コーシーか相加相乗しか認めんぞ 73 名前： ◆LANDAUL/nY [2011/01/19(水) 10:13:11 ] 普通に間違ってた 74 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 11:02:41 ] >>71 x^p+y^p≦2*((x+y)/2)^p (x^p+y^p)^(1/p)≦2^(p-1)*(x+y) (x^p+y^p)^(1/p)<x+y 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 22:23:25 ] 不等式に魅せられた高校生なんですけど[13]の書籍は体系だって不等式を学ぶのに有効ですか？ 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 22:54:19 ] >>62, >>66, >>68-69, 　1-p > 0, 　x^p = x/{x^(1-p)} > x/(x+y)^(1-p), 　y^p = y/{y^(1-p)} > y/(x+y)^(1-p), 辺々たす。 (終) >>67 (1) 題意より (p-1)(q-1) = 1, 　　px^2 + qy^2 - (x+y)^2 = {x√(p-1) - y√(q-1)}^2 ≧ 0, (2) 上と同様。ただし p ⇔ 1/p 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/23(日) 06:27:07 ] >>67 (x+y)^(1/p)*(x+y)^(1/q) = (x+y)^(1/p + 1/q) = x+y = x^(1/p + 1/q) + y^(1/p + 1/q) = x^(1/p)*x^(1/q) + y^(1/p)*y^(1/q) < x^(1/p)*(x+y)^(1/q) + y^(1/p)*(x+y)^(1/q) = {x^(1/p) + y^(1/p)}*(x+y)^(1/q) 両辺を (x+y)^(1/q) で割って (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ… 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 09:21:02 ] a、b、c が三角形の３辺の長さをなしながら変化するとき、 (a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) のとりうる値の範囲を求めよ 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 11:10:19 ] >>78 　1 ≦ (a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) < 2, (右側) 　(a^2 + b^2 + c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(b-c)^2 + (1/2)(c-a)^2 ≧ 0, 　等号成立は a=b=c (正三角形) (左側) 　2(ab+bc+ca) - (a^2 + b^2 + c^2) = a(b+c-a) + b(c+a-b) + c(a+b-c) > 0, 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 11:56:40 ] >>79 すっきりした証明ですね、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ… 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 12:16:14 ] >>78 2011年度 東工大特別入試 第2問 [大学への数学2011年1月号P.P.56-57] 雑誌の模範解答は、３通り （解１） a+b+c = 2k を固定し、ab+bc+ca = t とおくと、 　(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = 4k^2/t - 2 だから、tのとりうる値を考える 三角形の成立条件から、a<k、b<k、a+b<k なので、 aを 0<a<s の範囲で固定して、k-a < b < s の範囲で、 　t = - { b - (2k-a)/2 }^2 -3a^2/4 + ka + k^2 のとりうる値の範囲を求める （解２） x=b+c-a、y=c+a-b、z=a+b-c とおくと、x、y、z>0で 　(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = (2/3){1 + 2/(1+3u)} ただし、u = (xy+yz+zx)/(x^2 + y^2 + z^2) uのとりうる値の範囲を考える （解３） a≦b≦cと設定して、cの関数とみて微分 (；´д｀) ﾊｧﾊｧ… 82 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/28(金) 19:29:45 ] 本番でa=1固定で b+c=k固定で動かした記憶 83 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/28(金) 22:46:10 ] 数学板で一番の良スレ 久しぶりに（気のせいか）上に上がってきたな sageなかったのか？ 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 23:10:08 ] >>83 お前と、82が上げたんだろうが！ 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 23:18:33 ] age、sage言ってる時点でじじいだから、頭がボケていても仕方ない。 86 名前：Fランク受験生 mailto:しらんよ [2011/01/29(土) 03:13:19 ] >>79 きれいなやりかたですね。 すこしきになるのは(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)のとりうる範囲が[1,2] の中間の値を全部とるというのはどこで証明しているのでしょうか？ 87 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 03:49:19 ] 投稿確認 ・投稿者は、投稿に関して発生する責任が全て投稿者に帰すことを承諾します。 ・投稿者は、話題と無関係な広告の投稿に関して、 相応の費用を支払うことを承諾します ・投稿者は、投稿された内容及びこれに含まれる知的財産権、 （著作権法第21条ないし第28条に規定される権利も含む）その他の権利につき （第三者に対して再許諾する権利を含みます。）、掲示板運営者に対し、 無償で譲渡することを承諾します。ただし、投稿が別に定める削除ガイドラインに該当する場合、 投稿に関する知的財産権その他の権利、義務は一定期間投稿者に留保されます。 ・掲示板運営者は、投稿者に対して日本国内外において無償で非独占的に複製、 公衆送信、頒布及び翻訳する権利を投稿者に許諾します。 また、投稿者は掲示板運営者が指定する第三者に対して、 一切の権利（第三者に対して再許諾する権利を含みます）を許諾しないことを承諾します。 ・投稿者は、掲示板運営者あるいはその指定する者に対して、 著作者人格権を一切行使しないことを承諾します。 88 名前：79 mailto:sage [2011/01/29(土) 04:17:32 ] >>86 　(a,b,c) = (1,1,c) とし、cを (0,1] で連続的に変化させてみる。 比の値がr (1≦r<2) となるのは c=r-√{(r-1)(r+2)} のとき。 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:はは [2011/01/29(土) 04:24:56 ] f(a,b,c)＝(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)は領域a>0,b>0,c>0 において連続である。 を証明すればいいんだけど、。。。 とちゅうでギャップが無いという保証がいる。 あたりまえであるようであまり意識しないもんだね。　一応多変数だからね 90 名前：Frank mailto:はは [2011/01/29(土) 04:34:05 ] >>88 わかりました。　ありがとうございます。 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 07:43:42 ] >>87 何が言いたい？ 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 12:32:18 ] 変なのがいろいろ湧きだしたな 無能は黙ってＲＯＭってろ！ 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 16:15:09 ] >>88-89 　r = (1+1+c^2)/(1+c+c) = 1 + (3/4){(1+2c)/3 + 3/(1+2c) - 2} どう見ても連続････ 94 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 16:25:14 ] 79+88　で満点というわけか？ 平均点はいくらぐらいなの？ 95 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 17:20:31 ] 79+88のように優雅ではないが、力ごなしにやると Let define f(a,b,c)＝(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) let define ff(a,b,t)=f(a,b,(a^2+b^2-2 ab cos(t))^(1/2)) let define fff(s,t)=ff(1,s,t) for 0<t<Pi, 1>= s >=0:from symmetry and d(fff(s,t)z)/ds=(s-1){ ..positive...}==>monotone decreasing for s in [0,1] (for every t) so fff[1,t]={2+2-2cos(t)}/{1+2(2-2cos(t))^(1/2)}=(2+u^2)/(1+2u) here u=(2-2cos(t))^(1/2) g[u]=(2+u^2)/(1+2u) for 0<u<4 Easily we get 2=g[4]=g[0]>g[u]>=g[1]=1 And fff[0,t]=2 The answer is [1,2] 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 17:26:45 ] [1, 2) 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 18:24:05 ] >>88-89 　r = (1+1+c^2)/(1+c+c) = 1 + (1-c)^2 /(1+2c), でも同じだが･････ 98 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 19:12:30 ] >>81　2011年度 東工大特別入試 って普通の入試と違うの？ 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 20:04:17 ] >>98 よう知らんが、センター試験より前に試験があったようだ 100 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 20:48:59 ] うかれば東工大合格というわけ？ 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 21:09:56 ] ググレカス 102 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 21:14:02 ] [問題] A, B を実 n 次の正定値対称行列とするとき、次の不等式を示せ。 det ( (A+B)/2 ) ≧　{ detA ・det B }^{1/2} 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 22:29:52 ] >>102 こういう線形代数と微積分が合わさったような話題ってどんな本が詳しいですか？ 線形代数も微積分も教養でやるけど、この手の話題って面白そうだけど意外と講義や演習でもやらない気がします。 行列の先の話題としてリー群の本は多いんですけど、書いて無いですよね。 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 23:46:50 ] 微積？ 102って相加相乗の拡張ぽいけど。 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 00:13:22 ] >>103 斎藤の線形代数演習 106 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/30(日) 01:22:49 ] >>102 Q1=tx.A.x>0 Q2=tx.B. x>0　ｘはn次元ヴェクター A　または　Bのいづれかが、正定あれば、（Aとする） 適当な　T 正則マトリクス,が存在して 線形変換ｘ＝Tｙにより Q1=ty.E.ty Q2=ty.L.y　：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0 ((Q1+Q2)/2)^2=(ty((E+L)/2)y)^2 =Sigma{i}(yi^2(1+Li))^2 Q1Q2=ty.y.ty.L.y=Sigma{i}yiLi 　Sigma{i}(yi^2(1+Li))^2 >= Sigma{i}yi^2Li これから　 (Det(E+L)/2)^2>=Det(E)Det(L)　 つまり　 Det(A+B)/2>=(Det(A)Det(B))^(1/2) 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 01:41:14 ] x,y,z≧0のとき (x^3+y^3+z^3)^4≧(x^4+y^4+z^4)^3 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 04:42:21 ] >>107 x^4 =X, y^4 =Y, z^4 =Z, 3/4 =p とおくと、与式は 　X^p + Y^p + Z^p ≧ (X+Y+Z)^p, これは >>67 (2) の形だから、>>76 と同様にして示せる。 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 04:50:57 ] >>103 下らんごくごく普通の関数解析の本に、そのような話題は嫌というほど載っている。 もはやそれらは楽しいリー群(位相群)やフーリエ解析などに昇華されている。 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 05:07:33 ] >>103 ハーディー・リトルウッドの「不等式」がおすすめだ。 これがモデルになった関数解析(フーリエ解析)の本がある位だ。 111 名前：108 mailto:sage [2011/01/30(日) 05:35:42 ] >>107　(訂正) 　これは、>>62 の形だから････ 112 名前：え(⌒▽⌒)？ mailto:sage [2011/01/30(日) 10:34:05 ] y=e^x 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 00:26:04 ] 〔問題〕 A, Bを2次の実対称行列とするとき、次の不等式を示せ。 　tr(exp(A+B)) ≦ tr(exp(A))･tr(exp(B)), ただし、exp(X) = E + Σ[n=1,∞) (1/n!)X^n,　(Ｅは単位行列) (注意)　 A,Bが交換可能ならば等式になりますが、AB≠BA のときには一般に不等式になります。 この結果は一般にA,Bがn次対称行列のときにも正しいのですが、2次のときなら、腕づくで計算してもできます。 数セミ増刊「数学の問題　第２集」No.96, 日本評論社 (1978) 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 00:59:02 ] >>113 荒木不二洋 先生（元･京大、RIMS）の名作だな。 (；´д｀) ﾊｧﾊｧ… 115 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/31(月) 15:43:55 ] >>106 >適当な　T 正則マトリクス,が存在して >線形変換ｘ＝Tｙにより > >Q1=ty.E.ty >Q2=ty.L.y　：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0 A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは？ 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 16:51:00 ] >>115 > A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは？ はい。 A,B が同時対角化できるための必要十分条件は AB=BA（可換）なので、 >>106の証明は誤りです。 これが出来てしまうと>>113は等号になってしまいますから・・・ 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 17:00:47 ] >>103 一般的には、作用素環のノルム不等式と言われる分野ですかね。 もちろん、行列環だけでなくもっと一般的な物を扱っています。 一般論はコンヌなどの非可換幾何などとも関係して難しいです。 118 名前：仙石６０ [2011/01/31(月) 17:22:17 ] >>113　 AB=BA ならば Exp(A+B)=Exp(A)Exp(B) だから　Tr(Exp(A+B))=Tr(Exp(A)Exp(B))=Tr(Exp(B)Exp(A)) Tr(Exp(A)Exp(B))=<Tr(Exp(A))Tr(Exp(B)) ですか？ 　つまりTr(A.B)=<Tr(A)Tr(B) というわけですね？ 119 名前：仙石６０ [2011/01/31(月) 17:33:14 ] >>116 　>>106の証明は誤りです。 実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか？ （証明を見たようなきがするのだが。。。。自信ない） A,Bがエルミートで一方が正定であれば同時対角化（Lamda,En)が可能であるというのは よく使ったような気がする。（正定の定義が違うのかな？） 120 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/31(月) 20:10:22 ] >>119 > 実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか？ 違います。 実際、AとBが同時対角化されたとします。 つまり、ある１つの直交行列 T が存在して、T^t A T, T^t B T が対角行列になる。 対角行列同士は交換可能なので、T^t A T と T^t B T は交換可能です。 つまり、 (T^t A T)・(T^t B T) = (T^t B T)・(T^t A T) が成り立ちますが、Tは直交行列なので T^t T = Eより、 T^t AB T = T^t BA T つまり，AB=BA となります。 しかし、任意の２つの正定値対称行列は交換可能とは限らないので、これは矛盾です。 121 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 20:28:27 ] 対角化の意味ですが、 　E、と　Lamda＝固有値マトリクス　のふたつを意味しているのですが。 122 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/31(月) 20:43:42 ] >>121 何を言いたいのか全く分かりません。 >>103の証明を書いた >>106は以下の事実が間違っています。 A,Bを一般の正定値対称行列に対して > Q1=tx.A.x>0 > Q2=tx.B. x>0　ｘはn次元ヴェクター > > A　または　Bのいづれかが、正定あれば、（Aとする） > 適当な　T 正則マトリクス,が存在して > 線形変換ｘ＝Tｙにより > > Q1=ty.E.ty > Q2=ty.L.y　：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0 123 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 20:46:31 ] 正定マトリクスの定義　（x*）Ax>0 for all x not zero 2個の実対称マトリクスA、Bについての2次形式 Q1=TxAx,Q2=TXBX　とする。 Aが正定ならば、適当な正則マトリクスによる線形変換ｘ＝Tyにより新変数ｙについて 2次形式がｙの各成分の2乗項だけをふくむ Q1=ty　ｙ、Q2=ty L y　L:対角まとりくす とあらわせる 証明　略 124 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 20:47:54 ] ＞何を言いたいのか全く分かりません。 チョット時間をおきませう 125 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/31(月) 22:16:26 ] >>123 その主張が間違っているんですよ。 具体的には、同じ線形変換 x=Ty で、 Q1=ty　ｙ、Q2=ty L y　 と表される（つまり、Q_1=<y,y> ）のは良いのですが、 「Lが対角行列」というのが間違いです。 これが出来るためには AB=BA でなくてはなりません。 理由は>>120です。 126 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 22:30:16 ] CLAIM: BがC^mxn ならばA:=B*B：C^nxnは準正定マトリクスである。 逆に エルミートマトリクスA:C^nxnが準正定ならば　rank(B)=m (mはAの固有地の数）なるマトリクスB:C^mxn をもちいてA=B*Bと表すことができる。 を証明せよ A*=Aが成立するようなマトリクスをエルミートマトリクスという A*はAの共役転置 127 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 22:39:06 ] Claim2 　2個の実対称マトリクス：R^nxn、B:R^nxnについての２次形式 Q1=txAx,Q2＝ｔxBx　　ｘ：R^n　ｔ:transpose A　ガ正定ならば、適当な正則マトリクスT:R^nxn　による線形変換ｘ＝Ty によって、新変数ｙについては２次形式がｙの各成分の二乗項だけをふくむ Q1=ty　ｙ、Q2=ty　L y、　L:対角マトリクス と表せる を証明せよ 128 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 22:44:10 ] ↑なお　一般にLの対角要素はBの固有地ではない。 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 23:07:07 ] 仙石６０さんよ、これ以上書くと恥晒しになるから止めとけや 130 名前：Fランク受験生 mailto:hh [2011/01/31(月) 23:18:13 ] システム制御工学で使われるマトリクス演算手法ですね。 証明を期待しています。 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:ふるいねええ [2011/01/31(月) 23:23:47 ] こんなやつは、30年ぐらい前いっぱい流行したよねえ。 恥を晒して墓までよ　気にすることは無い。 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/01(火) 00:09:59 ] 正則行列と直交行列を混同しているような… 133 名前：仙石６０ mailto:ふるいねええ [2011/02/01(火) 00:22:36 ] そうだね

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