- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 185 名前：184 mailto:sage [2011/02/13(日) 02:46:47 ]
- >>183
ごめん、ａ、ｂ、ｃはｎ次元ベクトルだよね････
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 05:53:59 ]
- >>153
あまりエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9 = (22/7)^2 + 5/(21^2) > (22/7)^2,
∴ √2 + √3 > 22/7,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/49 = (1/6)(22/7)^2,
∴ 22/7 > π,
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199
東大入試作問者スレ１９
- 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 06:02:07 ]
- 〔問題〕
(14/3)√(5/11) > √2 + √3 を示してくださいです。
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 06:24:28 ]
- >>187
485 > (√484)(√486) = 22(9√6) = 99(2√6),
∴ 485/99 > 2√6,
∴ (14/3)^2･(5/11) = 980/99 > 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
- 189 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/13(日) 11:06:40 ]
- >>136
Xは正定値なので、小行列式 det(A) >0である。
とくに A は正則行列なので、行列 X は以下のように分解できる。
[A B] ＝ [ I O][A B]
[C D] [CA^{-1} I][O D-CA^{-1}B]．
両辺の行列式を取れば、
det(X) = det(A)・det(D-CA^{-1}B)
ここで X は対称行列なので C=B^t で A^{-1} も正定値行列なので、
det(D-CA^{-1}B) = det (D - B^t A^{-1}B) ≦ det(D)．
よって、
det(X) ≦ det(A)・det(D)
が示された。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 17:13:26 ]
- >>189
上手いなあ・・・
- 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 21:58:06 ]
- >>153
ちっともエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
∴ (√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/54 = (1/6)(89/9) < (1/6)(√2 + √3)^2,
∴ √2 + √3 > π,
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199
東大入試作問者スレ１９
- 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/14(月) 00:58:05 ]
- 〔補題〕
3 + 1/8 < 31^(1/3) < π < 355/113 < 22/7 < √2 + √3 < √10,
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/220-222
東大入試作問者スレ１９
・3 + 1/8 < 31^(1/3) は
(3 + 1/8)^3 = 27 +27/8 +9/64 +(1/8)^3 = 31 -(5 -9/8 -1/64)/8 < 31,
・355/113 = 3 + 16/113 < 3 + 16/112 = 3 + 1/7 = 22/7,
・22/7 < √2 + √3 は >>186
・√2 + √3 < √10 は
y = √x は上に凸: √a + √b < 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
あるいは √a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} ≦ √{2(a+b)},
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/14(月) 14:02:05 ]
- π^6 = 945ζ(6) = 945*(1+1/2^6+1/3^6+...)
> 945*(1+1/2^6+1/3^6) = 945 + 945/64 + 35/27 = 945 + (14*64+48+1)/64 + {1+ (27+5)/(27*4)} = 961 + 1/64 + 5/108
> 961 = 31^2 = ([3]√31)^6
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/15(火) 02:48:13 ]
- >>193
お見事でござる。それでは次を出さねば････
〔補題〕
31^(1/3) < 306^(1/5) < π
左側は
31^3 = 29791 < 29800,
31^5 < 29800*31*31 = 298*310*310 < 306^3, (相乗･相加平均)
ハｧハｧ
- 195 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 21:56:14 ]
- このレベルの不等式を示すのに、(1/6)π^2 = ζ(2) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/6)π^2 = ζ(2) の証明の方が遥かに難しく、証明になっとらんわｗ
ていうか、ここいつから大学入試問題スレになったんだよｗ
糞みたいな問題ばっかりで、詰まらない。
受験生は受験板でやれや
どうせ sin の無限積展開とか知らん奴は (1/6)π^2 = ζ(2) の事実を使うな！
- 196 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 21:57:24 ]
- >>191-194
巣に戻れやボケ！
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/16(水) 22:23:34 ]
- 君こそ消えたまえ！
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/16(水) 23:09:57 ]
- sin(23^23)>1/2
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 06:26:46 ]
- >>197
あんたこそスレ違い
ここは受験問題のスレじゃない！
しかも、他スレのコピペだし
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 12:29:35 ]
- 157 ：１３２人目の素数さん：2011/02/04(金) 13:51:59
>>156
お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 14:14:52 ]
- どうして荒れるのかなぁ…
初代スレからの住人としては悲しい限り
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 14:33:46 ]
- このスレは今まで荒れることがなかったから耐性ないねｗ
スレの数が減ったために目につきやすくなったからある程度は仕方ないね。
スルーしとけばいいと思うよ。
- 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/18(金) 13:53:48 ]
- >>201
入試問題ばかりになっちまったからだろ
スレ住人が塾講師の連中ばかりになっちまったというよ。
- 204 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 22:38:59 ]
- >>198 お願いします
- 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/19(土) 21:50:20.35 ]
- >>198 >>204
www.wolframalpha.com/input/?i=Sin%5B23%5E23%5D
と言う他はない。
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 00:42:17.01 ]
- >>194
このレベルの不等式を示すのに (1/93555)π^10 = ζ(10) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/93555)π^10 = ζ(10) の事実の方が遥かに難しいから、証明になっとらんわｗ
とは思いつつ････
π^10 = 93555ζ(10)
= 93555･{1 + (1/2)^10 + ････}
> 93555･(1 + 1/1024)
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + 91
= 93646
= 306^2,
- 207 名前：206 mailto:sage [2011/02/20(日) 03:54:59.36 ]
- >>194 (訂正)
π^10 = ････
= ･････
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + ８1
= 936３6
= 306^2,
∴ 306^(1/5) < π
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 04:19:51.61 ]
- >>192
y=1/x^6 は下に凸だから
1/k^6 < ∫[k-0.5, k+0.5] 1/x^6 dx = (1/5){1/(k-0.5)^5 - 1/(k+0.5)^5},
これを使って
(1/945)π^6 = ζ(6)
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ････
< Σ[k=1,n] 1/k^6 + ∫[n+1/2,∞) 1/x^6 dx
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 + 1/5^6 + 1/6^6 + 1/(5*6.5^5) (n=6 とおく)
= 1 + (3^6 + 2^6 + 1)/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
= 1 + 794/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
< 1 + (35431020482 + 508289003 + 133244913 + 35886729)/(113^6)
= 1 + 36108441127/(113^6)
= 1 + 34122476865015/(945･113^6)
< 1 + 34122530050120/(945･113^6)
= (1/945)(355/113)^6,
∴ π < 355/133 ･･････ 密率（「隋書」）
祖沖之（429-500）
- 209 名前：208 mailto:sage [2011/02/20(日) 04:33:00.68 ]
- >>192
またまた訂正････
π < 355/1１3 ･･････ 密率
π < 22/7 ･･････ 約率
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 07:58:37.53 ]
- 222/77 < π < 22/7
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 08:02:12.86 ]
- 3555/1133 < π < 355/1１3
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 11:38:15.55 ]
- 〔問題649〕
a,b,c>0 のとき a+b+c=s とおくと
a/√(s-b) + b/√(s-c) + c/√(s-a) < (5/4)√s,
casphy - 高校数学 - 不等式スレ 330, 375-376
→ 前スレ.649
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 23:44:56.31 ]
- >>195
正n角形とその内接円・外接円を使うのは、面倒な割に、精度がいまいち････
ζ函数の方が効率がいいし･･･
他にいい方法がないかと思う今日この頃･･･
- 214 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 05:15:12.79 ]
- 今年の京大
1/2＜a[i]＜1のとき
Π(1-a[i])＞1-2Σ(a[i]/2^i)
(i=2,3,…n)
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 07:19:26.19 ]
- >>214
左辺を P[n] とおくと、
P[n] = P[n-1]･(1-a[n])
= P[n-1] - a[n]･P[n-1]
= ･････
= 1 - Σ[i=1,n] a[i]･P[i-1]
と
P[0] = 1,
P[i] < 1/(2^i) (i≧1)
から。
nyushi.yomiuri.co.jp/11/sokuho/kyoto/zenki/sugaku_ri/images/mon4_1.gif
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/253
東大入試作問者スレ１９
- 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 10:20:07.83 ]
- 〔問題〕
0 < x < π のとき 次を示せ。
(1) 1/sin(x) - 1/x > x/6,
(2) {1/sin(x)}^2 - 1/x^2 > 1/3,
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 03:57:23.98 ]
- 今年の阪大で不等式の問題が出たが、難問だったらしい
- 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 06:32:54.58 ]
- >>217
+ +
∧＿∧ +
（0ﾟ・∀・） ﾜｸﾜｸ、ﾃｶﾃｶ…
（0ﾟ∪ ∪ +
と＿_）__） +
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 10:19:21.16 ]
- 阪大のってこれか
nyushi.nikkei.co.jp/honshi/11/ha1-21p.pdf
- 220 名前：Fランク受験生 mailto:age [2011/03/03(木) 00:49:07.67 ]
- 内容は簡単だと思うけど計算間違いをしているかも。。。
(1)
S(a)=(1/2)(a^2+1)^(n-1)
(2)
a=4 のときｘ＝１．７６になる
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/03(木) 23:48:54.04 ]
- >>217
全然難問じゃないじゃん。
大数で言うと C*** クラス。
- 222 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/04(金) 02:52:40.02 ]
- ↑ 解いてから言え
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 08:37:16.00 ]
- 新参はまず過去レスを読んでこのスレの空気を知ってほしいね。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 08:47:21.33 ]
- 数人の自演ｽﾚだからなぁ
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 09:37:23.59 ]
-
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっとそこまでだ
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／ ←>>224
| ､ ＿ __,,／ ＼
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 10:49:02.96 ]
- その後224の行方を知る者は誰もいなかった。
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/05(土) 12:42:07.49 ]
- >>226
kotonoha.cc/no/54040
- 228 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/07(月) 21:32:08.20 ]
- もう工房の入試問題スレになっちまったな・・・orz
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/07(月) 21:46:33.46 ]
- ageんな
- 230 名前：猫は廃人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 13:50:17.70 ]
- 猫
- 231 名前：猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 19:29:40.79 ]
- 猫
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/08(火) 19:36:06.98 ]
- 猫は小便垂れ流し
- 233 名前：猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 19:40:50.01 ]
- 目的を達成スル為であれば小便でも何でも垂れ流しますワ。
猫
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/14(月) 01:35:56.47 ]
- 「不等式」大関清太
www.kyoritsu-pub.co.jp/series/kandokoro.html#zokkan
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ こ、こりゃたまらんっ！
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
- 235 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/17(木) 15:37:44.25 ]
- a,b,c,dをabcd=1を満たす正の実数とするとき,
(a-1)(3a-7)+(b-1)(3b-7)+(c-1)(3c-7)+(d-1)(3d-7)≧0
を証明せよ。
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/19(土) 01:36:36.10 ]
- >>235
(左辺) = f(log(a)) + f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)),
ここで
f(x) = (e^x - 1)(3e^x - 7) = 3(e^x - 5/3)^2 - 4/3 ≧ -4/3,
とおいた。
f "(x) = 12{e^x - (5/6)}e^x > 0, (x≧0)
ゆえ、
x≧0 では f は下に凸。
f '(0) = -4,
k = -0.64298265 = log(0.5257220384) < x < 0 では f(x) > -4x,
そこで
F(x) = f(x), x < k, 0 < x
= -4x, k ≦ x ≦ 0
とおく。(函数凸包、function convex hull)
F(x) は x ≧ k で下に凸（広義）である。
(1) a,b,c,d ≧ e^k のとき、凸不等式より
(左辺) ≧ F(log(a)) + F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 4F(log(abcd)/4) = 4F(0) = 4f(0) = 0,
(2) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが1つだけある(a)とき、凸不等式より
f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)) ≧ F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 3F(log(bcd)/3) = 3F(-log(a)/3) = 3f(-log(a)/3)
(左辺) ≧ f(log(a)) + 3f(-log(a)/3) ≧ f(k) + 3f(-k/3) = 0.21780074,
(3) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが2つ以上ある(a,b)とき
f(log(a)) ≧ f(log(b)) ≧ 2.5719306, f(log(c))≧-4/3, f(log(d))≧-4/3,
により成立。
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/22(火) 06:15:56.83 ]
- 今月は不等式が一杯載っている
Problem 365.
www.math.ust.hk/excalibur/v15_n4.pdf
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/22(火) 06:18:57.91 ]
- C950、M1862、C944など
www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/25(金) 23:48:58.94 ]
- >>237
Problem 365.
負でない実数 a,b,c が ab+bc+ca = 1 を満たすとき、
1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) - 1/(a+b+c) ≧ 2,
を示せ。
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/26(土) 01:40:10.75 ]
- >>239
俺もこれが面白いと思った
まだ解けぬ～
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/27(日) 23:30:24.83 ]
- >>239-240
附帯条件から考えて、a→cotα, b→cotβ, c→cotγ と置いてみる･･･
α+β+γ = π より,
(左辺) = 1/(cotα+cotβ) + 1/(cotβ+cotγ) + 1/(cotγ+cotα) - 1/(cotα+cotβ+cotγ)
= (sinα･sinβ)/sin(α+β) + (sinβ･sinγ)/sin(β+γ) + (sinγ･sinα)/sin(γ+α) - (sinα･sinβ･sinγ)/(1-cosα･cosβ･cosγ)
= (sinα･sinβ)/sinγ + (sinβ･sinγ)/sinα + (sinγ･sinα)/sinβ -2(sinα･sinβ･sinγ)/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]
= (sinα･sinβ･sinγ){(1/sinα)^2 + (1/sinβ)^2 + (1/sinγ)^2 - 2/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]}
= 2⊿･{(1/a')^2 + (1/b')^2 + (1/c')^2 -2/[(a')^2 + (b')^2 + (c')^2]}
= ････
ここに、 a'=2R･sinα, b'=2R･sinβ, c'=2R･sinγ, ⊿ = 2R^2･sinα･sinβ･sinγ,
まだ解けぬるぽ～
- 242 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/28(月) 07:26:05.27 ]
- 1/x+y+1/y+z+1/z+x-1/x+y+z
=1/x+y+z*(z/x+y+x/y+z+y/z+x)+2/x+y+z
>=1/x+y+z*(x+y+z)^2/2(xy+yz+zx)+2/x+y+z
=x+y+z/2+2/x+y+z>=2 Q.E.D.
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/28(月) 08:37:32.00 ]
- >>242
エスパー検定３級の俺には、どれが分母なのか読み取れねぇ・・・
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/28(月) 09:52:08.74 ]
- >242
2行目から3行目に何を使ったのか分からない
1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 1/(x+y+z)
= 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 3/(x+y+z) + 2/(x+y+z)
1/(x+y+z)で括る
= {1/(x+y+z)}*{(x+y+z)/(x+y) + (x+y+z)/(y+z) + (x+y+z)/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{1 + z/(x+y) + 1 + x/(y+z) + 1 + y/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
後は頼んだ>243
- 245 名前：243 mailto:sage [2011/03/28(月) 10:52:27.44 ]
- では、引き継いで頑張ってみます
3(x^2 + y^2 + z^2) - (x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ≧ 0
∴(x^2 + y^2 + z^2) ≧ (1/3)*(x+y+z)^2
z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)
＝ z^2/(zx+yz) + x^2/(xy+zx) + y^2/(yz+xy)
≧ z^2/(xy+yz+zx) + x^2/(xy+yz+zx) + y^2/(xy+yz+zx)
＝ (x^2 + y^2 + z^2)
≧ (1/3)*(x+y+z)^2
>>242の４行目から
＝ {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
≧ (x+y+z)/3 + 2/(x+y+z)
≧ 2√(2/3)
うむ、失敗したようじゃ…
- 246 名前：243 mailto:sage [2011/03/28(月) 10:56:30.96 ]
- >>245
>>242の４行目から → >>244の下から２行目から
だけど、もはやどうでもいい…
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/29(火) 02:54:50.22 ]
- >>241
鋭角△に限定しなければならぬ～
(a')^2 + (b')^2 ≧ (c')^2, etc.
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:07:21.35 ]
- >>238
M1852.
f∈ C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6. のとき次を示せ。
∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x) dx + 1/4,
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:38:26.07 ]
- >>248
部分積分により
(右辺) = 2[ (x - 1/2)f(x) ](x=0,1) -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x)dx + 1/4
= f(0) + f(1) + 1/4 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx
= -1/12 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx,
∫[0,1] (x - 1/2)^2 dx = [ (1/3)(x - 1/2)^3 ](x=0,1) = 1/12,
よって
(左辺) - (右辺) = ∫[0,1] {f '(x) + (x - 1/2)}^2 dx ≧ 0,
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:43:12.09 ]
- >>249
x - 1/2 という発想はどこから？
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 18:18:19.82 ]
- >>238
C925.
f ∈ Ｃ^2([0,1]) で
∫[0,1] f(x)dx = 2∫[1/4,3/4] f(x)dx,
のとき、f "(x0) =0 を満たす点 x0 ∈ (0,1) が存在することを示せ。
C932.
f : [0,1] → Ｒ は連続関数
∫[0,1] {f(x)}^3 dx = 0,
のとき、次を示せ。
∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
C944.
f ∈ Ｃ^1([0,1])
∫[0,1] f(x) dx = 0,
A ≦ f '(x) ≦ B x∈[0,1]
のとき、次を示せ。
A ≦ 12∫[0,1] x･f(x)dx ≦ B,
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 18:49:37.86 ]
- >>251
C925.
(左辺) - (右辺)
= ∫[0,1/4] f(x)dx - ∫[1/4,1/2] f(x)dx - ∫[1/2,3/4] f(x)dx + ∫[3/4,1] f(x)dx
= ∫[0,1/4] {f(x) -f(x+1/4) -f(x+1/2) +f(x+3/4)} dx
= ∫[0,1/4] g(x) dx
平均値の定理より
= (1/4)g(a) (0<a<1/4)
= (1/4){f(a) -f(a+1/4) -f(a+1/2) +f(a+3/4)}
= (1/16){f '(b) - f '(c)} (a<b<a+1/4, a+1/2<c<a+3/4)
= (1/16)(b-c)f "(x0), (b<x0<c)
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 01:51:35.18 ]
- >>239-240
しょうがねぇなぁ････
基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと
(左辺) = (s^2 +t)/(st-u) -1/s = (s^3 + u)/{s(st-u)},
(右辺) = 2/√t,
(s^3 + u)^2 - (4/t){s(st-u)}^2 = (s^3)F_1 + (s^2)(u/t)(st-4u) + u^2 ≧ 0,
ここに
F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schurの不等式)
やっと解けた。しかし、めんどくせぇなぁ･･･
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 03:44:39.82 ]
- d.hatena.ne.jp/wasabiz/20110403
なんかみつけたけん
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 08:24:10.34 ]
- >>254
よくある間違い。
１＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
ａ＝ｂ－＞０とすれば下の式は２より小さくなるから駄目。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 08:37:51.12 ]
- >>255
> １＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
言っている意味が分からないが、>>254が初歩的なミスをしていることは同意。
例えば、次のように説明すると分かりやすいかも？
>>254の主張を、グラフで視覚化してみよう！
y=x^2 と y=2x-1 において、x^2 ≧ 2x-1 が成り立つ。
等号成立条件は x=1のときで、このとき右辺は 2・1-1=1だから、x^2≧1
どう考えてもおかしいよね (・A・)ｲｸﾅｲ！
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 09:04:09.55 ]
- a=b=c=1/3^(1/2)
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
a=b=0.1,c=4.95
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=5.2018648466
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=1.3555198072
2.0207259421>=2.0207259421>=2
5.2018648466>=1.3555198072>=2
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 10:01:03.59 ]
- >>253
等号成立は0,1,1のときしかないんだよね？
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/05(火) 01:02:06.67 ]
- >>244の最後からね
{1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
={1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (xy+xz+yz)+ 2/(x+y+z)
=1/2*({1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (z(x+y)+x(y+z)+y(x+z)))+ 2/(x+y+z)
>=1/2*({1/(x+y+z)}*(x+y+z)^2+ 2/(x+y+z)
=(x+y+z)/2+ 2/(x+y+z)>=2
- 260 名前：239 mailto:sage [2011/04/05(火) 01:47:07.55 ]
- >>259 >>244
お見事でござる。
コーシー不等式 z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x) ≧ (s^2)/(2t) がミソだった。
>>258
そうでつね。
- 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/05(火) 02:01:12.29 ]
- >>242
が言いたかったことが やっと分かった。
｛［（ ）］｝をたくさん使ってくれると ありがたいです。
- 262 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2011/04/06(水) 12:00:00.55 ]
- >>248
>>250
∫＿［０，１］（（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）－ｇ（ｘ））＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＾２ｄｘ＋∫＿［０，１］２（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＿［０，１］ｇ（ｘ）＾２ｄｘ＋２（ｆ（０）ｇ（０）－ｆ（１）ｇ（１））。
（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）＝－１，（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＝ｇ（ｘ）となるｆが存在するようにｇをとるとｇ（ｘ）＝－ｘ＋１／２。
- 263 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2011/04/06(水) 12:59:59.72 ]
- >>251
Ａ＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）ｄｘ。
∫＿［０，１］（ｆ（ｘ）＾２＋３Ａｆ（ｘ）－（９／２）Ａ＾２）＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾４ｄｘ＋６Ａ∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾３ｄｘ－（２７／４）Ａ＾４。
１２∫＿［０，１］ｘｆ（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（１２ｘ－６）ｆ（ｘ）ｄｘ
＝［（６ｘ＾２－６ｘ）ｆ（ｘ）］＿０＾１－∫＿［０，１］（６ｘ＾２－６ｘ）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）ｄｘ（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ） （０＜ｓ＜１）
＝（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ）。
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/09(土) 09:02:08.28 ]
- a、b、c≧0のとき、(a^3 + b^3 + c^3)^4 ≧ (a^4 + b^4 + c^4)^3 を示せ
前にやったっけ？( ﾟ∀ﾟ)
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/09(土) 13:52:52.11 ]
- バンチで
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/10(日) 09:44:59.54 ]
- 【数学検定】数検・児童数検総合スレッド Part.4
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284438189/
の４，４５
模範解答はａ＝ｂ≧ｃの場合が抜けている。
>>107
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/10(日) 18:56:36.30 ]
- >>264 >>107
>>76 の方法でござるな････ >>111
a^4 = a^3･a ≦ a^3･(a^3 +b^3 +c^3)^(1/3),
巡回的にたすと
a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^(4/3),
a^3 = a^4 /a ≧ a^4 /(a^4 +b^4 +c^4)^(1/4),
巡回的にたすと
a^3 + b^3 + c^3 ≧ (a^4 +b^4 +c^4)^(3/4),
あるいは Max{a,b,c}=M とおいて
a^4 + b^4 + c^4 ≦ M(a^3 +b^3 +c^3),
(a^4 +b^4 +c^4)^3 ≦ (M^3)(a^3 +b^3 +c^3)^3 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^4,
>>266
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284438189/44-45
数検総合スレ４
www.suken.net/gakushu/sample/index.html → 1級 検定問題(2次)
www.suken.net/gakushu/sample/sample_img/1-5/1kyu_mondai_2ji.pdf
- 268 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/12(火) 10:48:14.35 ]
- a, b, c を実数とするとき, (a^2+b^2+c^2)^2≧3(a^3b+b^3c+c^3a)を証明せよ。
- 269 名前：じゅー [2011/04/12(火) 21:29:19.35 ]
- >>268
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - 不等式 - 517,519,523
…………
ではｷｬｽﾌｨからもう一題。
a,b,cを三角形の三辺とするとき、
a^3+b^3+c^3+3abc
≧2(ab^2+bc^2+ca^2)
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - チャレンジ問題 - 60
- 270 名前：訂正 [2011/04/12(火) 21:34:07.11 ]
- 523→522
60→59
に訂正です。
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/13(水) 21:45:47.80 ]
- >>269
|a-b|<cの両辺を２乗して変形し
a^2+b^2-c^2<2ab
ca^2+cb^2-c^3<2abc
同様に
ab^2+ac^2-a^3<2abc
bc^2+ba^2-b^3<2abc
足して
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+bc^2+ba^2<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2+3abc<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2<a^3+b^3+c^3+3abc
失敗した…
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/14(木) 08:28:54.62 ]
- 失敗かよ！
- 273 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2011/04/14(木) 18:00:00.06 ]
- ｐ＝（ｂ＋ｃ－ａ）／２。
ｑ＝（ａ＋ｃ－ｂ）／２。
ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）／２。
ａ＝ｑ＋ｒ。
ｂ＝ｐ＋ｒ。
ｃ＝ｐ＋ｑ。
ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３＋３ａｂｃ－２（ａｂ＾２＋ｂｃ＾２＋ａ＾２ｃ）
＝２（ｐｑ＾２＋ｐ＾２ｒ＋ｑｒ＾２－３ｐｑｒ）
≧０。
- 274 名前：じゅー mailto:sage [2011/04/14(木) 21:33:49.09 ]
- 正解!!
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/14(木) 21:55:29.13 ]
- ？
- 276 名前：２７１ mailto:sage [2011/04/14(木) 22:28:05.71 ]
- >>273
すげー！
このスレ見てたら、不等式に魅了されたよ
>>275
相加相乗
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/14(木) 23:26:13.93 ]
- >>273みたいなアクロバティックな変形は思いつかなかったので・・・
a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=a(a-b)(a+b-c)>a(a-b)
b^3-b^2a+abc-bc^2=b(b^2-ba+ac-c^2)=b(b-c)(b+c-a)>b(b-c)
c^3-c^2b+abc-ca^2=c(c^2-cb+ab-a^2)=c(c-a)(c+a-b)>c(c-a)
全部足して
=a^3+b^3+c^3+3abc-2(ab^2+bc^2+ca^2)>a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)
=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2≧0
よって(左辺)-(右辺)≧0
むーん
- 278 名前：277 mailto:sage [2011/04/14(木) 23:31:35.12 ]
- 符号打ち間違えた
×a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=・・・
○a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac+bc-b^2)=・・・
273はいったいどういう発想でその置換を思いついたのだろう
レベルの低いおいらにはわかんないや
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/15(金) 12:42:51.39 ]
- p,q,rはヘロンの公式に出てくる量だから、三角形という条件がある場合には、
全く新しい発想というわけではないと思う。
目的関数が、非対称なので、コーシー・シュワルツ形へ持って行くのかと思っていたが、
[3]√((p/q)(q/r)(r/p))形を通して、相加相乗形へ持って行ったのには、感心した。
- 280 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/16(土) 00:58:02.78 ]
- p>0,x[i]≧0のとき
min{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
≦(Σ[i=1→n]x[i])^p
≦max{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
- 281 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/17(日) 11:42:27.80 ]
- 流れてしまった春の学会で話そうとしていた内容をUPしておきました。
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf
- 282 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/17(日) 14:12:27.19 ]
- @273
a=x+y, b=y+z, z=x+yとおけば十分,
Σ_cyc (x^2y-xyz)≧0 Q.E.D.
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/17(日) 20:03:58.97 ]
- >>269
F_1 = (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc,
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと、
F_1 ≧ ⊿,
- 284 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/18(月) 12:55:14.00 ]
- (a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)
=(1/2){(a^2-b^2-ab++2bc-ca)^2+(b^2-c^2-bc+2ca-ab)^2+(c^2-a^2-ca+2ab-bc)^2}
- 285 名前：じゅー [2011/04/18(月) 15:27:18.36 ]
- すげぇ
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