- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:17:18 ]
- いろんな人がいるけど
分かりやすいねえｗ
今度は積分で遊んでるｗ
生兵法は怪我の元
- 382 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:21:23 ]
- >>381
御説ごもっともですね
茶々入れるだけのレス見ると真面目に説明するのが阿呆らしくなるなあ
- 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:31:05 ]
- そう言わずに真面目に説明するといい
アホらしくても間違っててもあえて使ってみるスタンスでしょ
- 384 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:36:02 ]
- >>383
いや、俺はマジレスしつつも長文は書かないでいるんだけど
- 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:42:35 ]
- そもそも真面目な数学じゃないでしょ
付き合うならアホらしいとか言っちゃおれんでしょ
- 386 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:44:16 ]
- ちらっと書いた事があったのを思い出した
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1265293548/616
そもそもの立場がこれだから、一様分布が存在するしないであんまり議論してもなあ、って感じなんだよ
間違ったレスを見つければ、>>378程度の説明はするけどね
てか、俺は>>382で「茶々入れてないでマジレスつけろ」って言ったつもりだったんだけど、何で俺に>>383が返って来ちゃうんだろう
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:52:22 ]
- マジでないものにマジレスをつけるの？
>>367自身はまともかもしれんが
- 388 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:58:52 ]
- こういうスレはマジレスつけてなんぼのもん、と俺は思うんだけど、楽しみ方は人それぞれなのかな
>>377が寝ちゃったみたいだから、俺も寝るわ
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 04:09:04 ]
- >>388
マジレス要員も必要かもしれないな
それがどういう解釈で帰ってくるかを楽しむには
比率的に見て
基本的に我流数学を鑑賞する場だと思ってるよ
新しい道具があるとそっちに引きずられる様子とか
退屈しない変化球が次から次に飛び交うから
- 390 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/17(水) 06:20:38 ]
- >>342
サー、お金が増えれば得、減れば損です、サー。
昨日3/15からの17連勤が確定しました。
昨日までは3/26までの12連勤だったんですが
事後条件＜27、28も仕事受注＞で期待値が17になりました。
まあ、事後条件＜倒れる＞や＜4/1仕事受注＞でいくらでも変化するんですが
冗談はさておき
もしかして、親目線で、期待値分からない→期待値15000→期待値分からない（子が次をひくかどうか分からない）→期待値（語弊あり確定してるから）10000もしくは20000
こんな考え方もあり？
確率が0、1に偏った段階で期待値と言う言葉は使えないの？
話に参加したいよ・・・
- 391 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/17(水) 06:33:10 ]
-
そうそう、昨日の幾何で解く！！
も条件付けを間違ってたね。
＜必ず交換する＞と＜必ず交換しない＞は同じ形で同面積になりそう
重複部分をどう処理していいか分からんよね
あとは条件をきちんと考えれば、解け・・・ないか・・・
- 392 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:06:24 ]
- >>370
待ってる。
>>373
Q2への答えの、「マジック」ってどんなマジック？
「そんな気になるだけ」と言われても、、、どこがおかしいか指摘してくれなきゃ、、、
「統計とれば分かる」って、君はルーレットで統計取ったの？
僕もルーレット買ってこなきゃでめ？統計取らずには説明できないの？
Q3「何かの前提がないと」って、間違ってる人はその人なりに、
正しい前提のもとで計算してるつもりなんだから、おかしいところを指摘しなきゃ。
ほとんど理由を説明せづに、「君は間違いだよ」と言っているだけに見える。
そもそも、君が設定している有限ルーレットの問題設定では、いくら上限を十分大きく
とっても期待値の比がが1.25にならず、1のままだ。
二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
このことは高校生の知識で簡単に計算出来るよ。
今回ここで議論すべき問題じゃないだろ。
それと、「現実」の世界には「点」や「三角形」、「自然数」は存在しない。抽象概念は、
我々の頭の中に存在するもので、それを現実世界に投影しているに過ぎないんだよ。
そもそも>>354のどこが「現実に置き換えてみる」なんだ？
「具体例をいろいろ考えてみる」とか言ったほうが良いんじゃないかい？
- 393 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:14:17 ]
- >>367
もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの？
上限が無いような確率分布なんていくらでもあるよ。
それらをもちいるたびにこんなパラドックスが現れたら、確率論が成立しなくなっちゃうよ。
「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
このようなパラドックスが起こるんだよ。
どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
- 394 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:22:53 ]
- >>372
>>327にかいたとおりA君の性格による。
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 09:07:42 ]
- >>392
交換したほうが得に見えるというパラドックスの説明なら、
順番はともかく、常に両方オープンすると考えても違いはないはず。
上限下限を除くと1.25に見えるけど、全てのケースを書き出していけば、
それは錯覚だとすぐ気づく。
>二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
同意しかねる。難しく考えすぎじゃないか？面白い問題ではあるけど。
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 09:43:14 ]
- この命題を「統計でウソをつく方法」として捉えている。
難しい問題だと考えちゃうと一般の人がダマされるのも仕方ないとなっちゃう。
簡単に説明する方法はあるはず、というのが俺の考え。
どこでダマされたかを考えてもらうには、全部のケースを考えてもらうのが一番だと思う。
- 397 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 10:38:52 ]
- >全てのケースを書き出していけば、それは錯覚だとすぐ気づく。
だから有限の場合は何の不思議もないんだよね。
（なぜか、有限の場合にこだわっている人がこのスレにはいるが、、、）
有限の場合は、ほとんどの場合1.25に見えるけれど上限下限の場合も計算すれば、
結局全体では1だと気づく。不思議はどこにも無い。
しかし、無限の場合には上限や下限が無いからすべての場合について1.25に見える。
もしそれが本当だとすると、>>393のように不思議な結果になる。
なんでだろうね？ってのがこの問題な訳で。
有限の場合の説明をいくらしたところで、
>>1の問題の不思議さの説明にはなっていないの。
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 10:47:39 ]
- >>397
無限の話は終わったのかと思っていた。
話を分ける必要がありそうだね。
有限だとしても錯覚するのが一般のレベルなんで。
- 399 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 10:51:21 ]
- 上のような書き込みをすると誤解する人がいるかもしれないから、
嫌味な書き方で気分悪くするかもしれんが断っておく。
私自身は、このパラドックスについては完全に理解しており、
何の疑問点も無い。
おかしな書き込みがあるから、
それはどういう意味で言っているの？
もしそうだとしたら、こうなるんじゃないの？それはおかしいんじゃない？
と指摘しているだけ。
正しい書き込みをしているひとに対して、質問したり否定したりはしていない。
- 400 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 11:12:04 ]
- >>398
Q1を削除して、>>1とは別の有限の問題の説明をしているというなら、
君の言うことは正しい。変な指摘をしてすまなかった。
しかし、有限にした時点で>>1のパラドックスの主要部がなくなっているので、
>>1の説明をしていることにはならないよ。ＯＫ？
もちろん、有限の場合すら理解できない人に対しては君の説明はいみがある。
しかしこれは、足し算が出来ない幼稚園児に対して>>1の解説をするにあたって、
足し算の説明をしているようなものだ。
何度も言ってるが、「二つの封筒問題」は難しい問題だよ、
無限に関するパラドックス、よく知られているパラドックスはすべて、
完全に理解しているという人に対して出題しても、
えっ何でだろう？と迷うレベルの問題だよ。
通常のパラドックスや確率計算すら出来ない人にとっては、
他のパラドックスと同程度の難易度に感じるかもしれないがね。
それと、有限レベルの問題に興味ある人は、別すれを立てた方が良いのではないかな？
上で述べたとおり、>>1とは別の問題だからね。
- 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:16:07 ]
- 有限に興味があるというよりは、どこで錯覚を起こしやすいかを考えているだけ。
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:23:00 ]
- >>393
＞「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
＞このようなパラドックスが起こるんだよ。
上限が無く一様でない確率分布で、同様のパラドックスが起きる例がある。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
の「An even harder problem」の項。
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:57:51 ]
- >>351
>>348の論では連続一様分布も存在できないと思うがどうか？
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 12:03:51 ]
- >>403
348の論を使って、連続一様分布が存在できないことを
実際に証明してごらん(348のようには行かないことが分かるだろう)。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 12:35:41 ]
- ＞ Ｑ１ 無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か？
>>354の これとかも 連続一様分布を否定しているように見える
- 406 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 12:59:26 ]
- >>393
>>402が指摘してくれたように、
＞ 「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
＞ このようなパラドックスが起こるんだよ。
＞ どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
に対しては反例がある
君も俺も上限のない一様分布は否定してるが、それでこの問題が解決する訳じゃないってことだ
＞ もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
＞ 「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
＞ て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの？
そんな事は無いよ
1.25倍（>>402のリンク先の分布ならば1.1倍）というのは、最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ
従って、もう一度交換すれば、当然10000円の封筒が手に入る
この問題では、条件付き確率の計算をしているからこそ、1.25倍（resp. 1.1倍）になるのだと言う事を忘れてはならない
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 13:41:24 ]
- >>405
無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能と思うなら、
その具体的な方法を提示してみな。
- 408 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 13:42:56 ]
- たしかに、>>393での表現はの「初めて」というのは、そこだけ見ると誤解を招くが、
>>367の「金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる」とか
とか「一様密度分布の存在を否定してるのか？」という意見があったから、
片方だけではだめ、「上限なし」と「一様」両方の条件がそろって初めて密度関数が存在し無い。と言っているんだよ。
もちろん「上限なし」かつ「一様」の両方がそろわなくても、「上限なし」かつ「正の周期分布」という条件でも、
確率密度分布は存在しないよ。
さらに言えば、
二つの封筒問題の確率密度関数は非減衰関数。必ずしも「一様」つまり、定数関数とは限らない。
そのことは知っているよ。だから、ひとつの封筒の例つまり、上限の無い一様な確率密度の例は、
あくまでも、「二つの封筒問題」を理解する上での一つのステップ（ただし問題の本質は同じ）として上げたんだよ。
はるか昔に書いたことだが、二つの封筒の問題を考えるには、二次元の確率密度関数の計算をする必要が
あ。そういう意味でも、「二つの封筒」問題は、上限の無い一次元一様密度関数の問題よりはるかに難しいよ。
- 409 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 13:49:43 ]
- >1.25倍（>>402のリンク先の分布ならば1.1倍）というのは、
>最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ
最初の金額が10000円のときは本当に1.25倍なの？
じゃあ、最初の金額が20000円のときは何倍？
- 410 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 14:09:44 ]
- あらためて>>367に対するレスをかくよ。
「最初の封筒の金額が
10000のとき、交換すると1.25倍。
20000のときも、交換すると1.25倍。
金額がいくらであっても、交換すると1.25倍。」
これは正しくない。
金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。
「金額に上限が無い」＋アルファの条件があって初めてこういう矛盾が起こる。
＋アルファって言うのは、例えば、「一様」とか「正値周期密度」とかね。
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:39:46 ]
- あのさあ、基本的なことなんだけど、>>1を読んでどうして
選ばなかった封筒の中に5000円が入っている確率と20000円の入っている確率が
等しくならないのかがわからないんですけど、教えてくださいませんか？
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:50:05 ]
- >>407
何を勘違いしてるのか知らんが、そういう視点だと
「2つのボールから等確率(1/2ということ)で1つのボールを選ぶ」
という作業でさえ不可能だよ。偏りなく選ぶ"方法"を
どうやって具体的に提示するというのか？
「等確率で選んでくれる便利な装置」の存在を
予め仮定しておくしかないでしょ。その装置の中身が
どういう仕組みなのか説明することは不可能でしょ。
「コインを投げて、表か裏かで判断すればいいじゃないか」
と思うかもしれないが、それは「偏りなくランダムに選べばいい」と
言っているのと同じことで、全く説明になってない。
コインをどのように投げれば、偏りなく表・裏が出るのか
説明されていないからね。
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:51:32 ]
- コインを投げる場合は、投げ方はもとより、コインの形状はどうするのか？
テーブルの形状はどうするのか？そもそも物理法則はどうなっているのか？
…こういうのを1つ1つ細かく設定しなければならない。
そして、それらの設定が済んだとして、どうしてそれらの設定のもとで
偏りなく表・裏が出るのか証明しなければならない。当然ながら、
どの設定にも「ランダムに〜」とか「適当に〜」とか「気まぐれに〜」とかの
言い回しは使ってはいけない。それは「等確率で選んでくれる便利な装置」の
存在を予め仮定していることになるから。
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 15:38:22 ]
- >>412
ひどい勘違いですね。有限ならばモデル化して統計とることは可能。
無限ではモデル化不可能。
- 415 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 15:42:13 ]
- >>410
もちろん、
＞ 金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。
は正しい。分布が与えられない限り、期待値の計算ができないからだ
そして、上限の無い一様な分布は無い
ここまでは君も俺も認めてる事だと思う
>>406でも書いたけど、一様でないが同様の現象が起こる分布が存在する
その例が>>402のリンク先で挙げられていて、この場合は1.25倍の代わりに1.1倍になる
これが、君が>>410で書いた「＋アルファ」にあたるもの
この分布は文句のつけようの無いもので、離散であり、全空間の測度が1になっている
だから、>>366で君が書いた
＞ その答えとして、
＞ >(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
＞ >もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
＞ 存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。
は正しくない
最初に選んだ封筒の金額がいくらだったとしても取り替えた場合の期待値が1を超える、という分布は現に存在するんだから……
- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:04:14 ]
- >>414
＞無限ではモデル化不可能。
どうしてそのことが、数学における一様連続分布の存在の否定に繋がるのか？
そもそも、そこで書いている「モデル化」の定義は何なのか？
・モデル化の定義は？
・その定義のもとでの、「無限ではモデル化が不可能である」ことの証明は？
・「無限ではモデル化が不可能である」ことからどうやって「一様連続分布は存在しない」ことを証明するのか？
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:08:10 ]
- >>416
空論だな。あほらしくなってきたわ。
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:09:54 ]
- 一所懸命考えて言葉遊びになってしまっている者
人が真面目に考えているのに言葉遊びに変えてしまう者
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:11:04 ]
- >>417
えっ？だって、君によれば「一様連続分布」は存在しないんでしょ？
おかしいなあ、数学では存在性が保証されてるのに。
一様連続分布が存在しないと言うのなら、そのことを「証明」してくれよ。
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:20:40 ]
- コインの形状とか言い出すレベルの低い奴の相手はしないよ。
悪いな。
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:23:54 ]
- >>420
証明できないんだね。
当たり前だよね。だって、数学では存在性が
保証されてるんだから。証明できっこないよね。
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:27:45 ]
- >>411
その通り。単なるヘリクツです。
確率分布がわからないとかぬかしているバカばかりです。
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:42:40 ]
- ある七面鳥が毎日9時に餌を与えられていた。
それは、あたたかな日にも寒い日にも雨の日にも晴れの日にも9時であることが観察された。
そこでこの七面鳥はついにそれを一般化し、餌は9時になると出てくるという法則を確立した。
そして、クリスマスの前日、9時が近くなった時、七面鳥は餌が出てくると思い喜んだが、
餌を与えられることはなく、かわりに首を切られてしまった。
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:57:35 ]
- >>399
指摘をされた受け手が受け入れる力があるとは限らないわけですが。
- 425 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 17:48:39 ]
- >>415
もしかして、君は
>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
は正しくない。つまり、(*)という確率分布は存在する。
と主張している？
- 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 19:58:41 ]
- 10000円という具体的な数字が出ているにも関わらず
あいも変わらず無限について考えるのは言葉遊び
- 427 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 21:29:50 ]
- >>415
ごめん。>>378で「正しいと思ってる」って書いてたね。>>425は無視して。
じゃあ君はパラドックスの原因は何だと思っているの？
10000円のとき、他方の期待値は12500円。
同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
何度も変えれば期待値はどんどん増える。
なぜこんなおかしなことになるのだ？
私の答えはもちろん「(*)という存在しない確率分布を仮定して
計算しているから誤った結果になる。」
- 428 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 21:53:07 ]
- >>427
例えば
賞金の組が{5000*2^n,10000*4^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
とすれば、最初に確認した金額が5000円の時のみ、交換後の期待値は２倍に
5000円以外を確認した時は交換後の期待値は148/199(≒1.246)倍になる。
つまり、どの金額を確認しても、交換後の期待値の方が１倍になる。
でも、このこと自体は矛盾でもパラドクスでもなんでもない。
確率分布もちゃんと存在するものである。
あくまでも
未確認の金額の期待値は確認済みの金額(金額の期待値ではない)の２倍か約1.246倍
になるのであって、金額確認前に何回も交換したからといって、期待値がどんどん
大きくなるわけではない。中身を確認してないのに一方の金額の期待値が他方の金額の
２倍か1.246倍とすることはできない。この辺のことは240自身が書いた>>345の
ジョークに通ずるものがあるだと思うのだが…。
- 429 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 22:35:05 ]
- >>428
君の考えてることがよくわからん。
きみは、「>>425の(*)の確率分布は存在する。」と考えているの？
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:16:16 ]
- 428
>に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
ここが恣意でおかしい。
でも、そこの設定を自分が決めたせいでおかしくなる
そこを変数にすれば答えも変わる、ということを言ってるならあながち間違いではない
自分が決めたせいでおかしくなる、よって誤り、まで行ければ一段階クリア
- 431 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:19:15 ]
- >>428
１倍→１倍より大きい、と読み替えて。
その話は、封筒に入れる賞金の期待値が無限大であるというおかしな前提を利用して、
「確認した金額によっらずに交換すると期待値が増える」
という誤った結果を導くパラドックスであると思うが。
- 432 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:34:14 ]
- >>429
存在しないとは思うけど、正直わからん。
逆に質問なんだが
０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ装置は
数学的に存在すると思う？
>>428で言いたいのは、>>427の
＞じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
に対する答えが
＞「(*)という存在しない確率分布を仮定して
＞計算しているから誤った結果になる。」
では、不適ではないかという指摘。
なぜなら、>>428のような確率分布は勝手に持って来たモノではあるが
確かに存在して
5000円を確認した時のみ、他方の期待値10000円で5000円の２倍になり
10000円を確認した時、他方の期待値は約12460円
20000円を確認した時、他方の期待値は約24920円
：
A円(ただしA≠5000)を確認した時、他方の期待値は約1.246 A
どんな金額を確認しても、他方の金額は２倍か約1.246倍になり
１倍よりも大きくなる。
＞じゃあ金額見る必要もなく
変えれば期待値１倍以上。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
の答えとして
"存在しないから"は誤り。
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:36:55 ]
- >>430
そこは おかしくも何ともない。一様分布でない別の分布を設定して
議論してるだけだろ(>>1でない全く別の問題を設定して議論している、ということ)。
- 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:40:18 ]
- >>432
数学的に なのに
装置の実在を問うのかｗ
- 435 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:49:21 ]
- まず、(*)の確率分布は存在しないよ。これは間違いないよ。
>０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ装置は
装置っていう言葉使いが気になるが、存在するよ。
ランダムに時計を見れば、0:00から12:00までを等確率で指している。
この時刻の文字盤を変えてやればいいだけだ。
>>428のパラドックスに対して「存在しないから」はあやまりだよ。
しかし>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは？
- 436 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:58:15 ]
- >>430
>>1の問題文からは
金額の確率分布はわからないだろ。
(>>240の１か２か３か４か判断できない。特に３はありえなさそう)
特定の確率分布(特に今回の様なかなり意図的な分布)を仮定した時点で
>>1とは別問題になるのは当然だろう。
それなのに、一々
"この問題は>>1とは別問題なんだけど〜"と前置きしないと
わからない奴がいるのかい？
>>434
わかりにくい表現であることはあやまるが
"〜の条件を満たす写像は存在するか？"みたいな意味での
"存在"であって、実在を訊きたいわけではない。
要は"０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ"という行為を
してもいい(問題の仮定などに使っていいのか？)
>>435
＞>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは？
誤りではないが
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
に対して画一的な答えではないので、不適ではないかと言った。
また質問なんだけど
全ての実数から等確率に１つ選ぶということは数学的にしてもいい？
- 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:59:41 ]
- >>435
無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させられるかい？
そのことを説明できるかい？
- 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:11:15 ]
- >>437
Ω＝[0,1), F＝{A⊂Ω｜Aはルベーグ可測}, P＝[ルベーグ測度] として、
確率変数X：(Ω,F,P) → R をX(ω)＝ωで定義すれば、
Xは標準一様分布に従うから、XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数と解釈できる。
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:12:45 ]
- >>432
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
この問題では変えていない状態と1回変えた状態は異なるから。
もっというと変えていない状態と2回変えた状態が等しくなるという条件が含まれている。
なので期待値が2＾ｘ倍（xは初期値0でランダムウォーク）にはならない。
- 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:15:31 ]
- >>438
もっと分かりやすく言ってくれますか？
無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
だから無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができます
に見えるんだけど。
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:23:09 ]
- >>440
＞無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
違う。先に対応だけを決めておくのだ。今回はX(ω)＝ωだ。この時点ではまだ、
Xが「偏りのない選び方をする確率変数」になっているのかは不明だ。
で、この後、実際にXの分布を計算する。A∈Fに対してP_X(A)＝P(X∈A)＝P(A)＝(Aのルベーグ測度)
となるから、Xの分布P_Xはルベーグ測度(のFへの制限)に一致すると分かる。
つまり、Xは標準一様分布に従うということ。ここまで来て初めて、
XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数だと解釈できる。
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:31:40 ]
- >>439
わかってると思うが封筒チェンジで全く状態が変わらないと仮定した時に
ランダムウォークするのは期待値でなくて金額の倍率のべき乗部分ね。
当然交換すればするほど期待値は上がっていく。
- 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 01:09:04 ]
- >>441
ピンとこない
標準一様分布にあてはめることにしました、
だからあてはまります、と言ってるようにしか見えない
- 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 01:24:37 ]
- >>443
これがピンと来ないなら、まずは標本空間が有限集合の場合で、
偏りのない選び方をする確率変数を作ってごらん。
君の論法によれば、そういう確率変数に対しても「ピンと来ない」ことになってしまうぞ。
- 445 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:38:14 ]
- >>437
あくまでも高校までの直感的な説明。これでだめなら測度論が必要。
それと、多分知ってるとは思うが、
すべての[0,1)上の数を等しい確率で選ぶって言っても、その確率は0だよ。
通常0以上0.1以下をさす確率は1/10などと用いるのであってね。
区間の長さに比例した確率になっていることが、等しい確率確率で指すことの意味。
- 446 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:47:34 ]
- >>436
それは不可能。
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 03:00:10 ]
- >>445
無理数まで扱うとね
全ての数に等価に対応させる、というのは変に思える
その場合
limｎ→∞ 1/n のイメージで
＞確率は0だよ。
の方が納得いきやすい
- 448 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 06:48:21 ]
-
ちょっと質問なんだけど
２つの封筒を（A、B）として
aは実数とする
Aに入っている金額をa 、Bに入っている金額を2aとする
二つの封筒の中身の合計金額をX、得られる金額をYとすると。
得られる金額が多い方はY=2/3Xの直線
得られる金額が少ない方ははY=1/3Xの直線
得られる金額の期待値はY=1/2Xの直線
になるのは間違いないと思うんだけど。
質問、 aの変域を∞にすることは可能か不可能か
どうなんだろう？
このグラフを見てると1/2aなんかなかったんや！！って星野仙一風に叫びたくなる・・・
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 06:57:21 ]
- 「変域を∞」？
Ｘを限りなく大きくすることならできるだろう
定義域を負まで延長してもいい
で、何か意味があるのか
- 450 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 08:14:19 ]
- 訂正
質問、aを限りなく大きくすることは可能か？
意味
>>1の問題を解く指標にしたい、無理そうだけどこのグラフから>>1の期待値のグラフを書きたい
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 19:53:39 ]
- >>447
有理数でも同じ？
>>435
時計を「観測」する例えでいいなら有理数と考えていい？
- 452 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 21:52:36 ]
- これは高校生向けに「イメージ」を話しているだけなので、厳密に議論する話ではないが。
針がカチカチ動くデジタルではなく、スーッっと動くアナログ時計をイメージしてくれ。
数直線の上に無理数があるのと同様、
文字盤の０時と１時の間にも無数の無理数が稠密に存在するとイメージしてくれ。
時間は連続的に変化するよね？
ルート２分という時間も存在するよね？
- 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 22:12:43 ]
- >>452
無理数が稠密にって言われると余計分からなくなるけどｗ
質問の意図は有理数でよければそのほうが簡単かなと。
どうやら無理数が必要みたいですね。
＃どこかで観測した数値は有理数って書いてあるのを見た気がする。
- 454 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:02:32 ]
- 「観測」ってそういう意味で使ってたのか、、、
たしかにそういう意味では、無理数は観測できないね。
ルート２グラムのものの重さを測定したら、どんなに精密なはかりを使っても、
1.4142グラムになっちゃうしね。
時計の例は、連続的な値をとる確率変数の分布のイメージを、
直感的に説明してるだけ。数学的に厳密な話では無いから忘れてくれ。
wikiの確率分布の項でも読んだ方がちゃんと理解できるだろうから。
- 455 名前：367 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:44:41 ]
- >>427
返事が遅くなって申し訳ない
＞ 10000円のとき、他方の期待値は12500円。
＞ 同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
＞ 金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
＞ じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
＞ 何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞ なぜこんなおかしなことになるのだ？
この議論は一見正しく見えるが、実は違う
封筒を見る前の期待値を計算してみれば、発散してるのが分かるはずだ
標語的な書き方になるが、∞の1.25倍は∞なので矛盾していない
- 456 名前：367 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:49:54 ]
- ああ、多分240氏は分かってくれると思うけど、俺は例の分布は否定しているよ
- 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 23:51:45 ]
- >>452
無理数にまで均等に対応させることはできる？
有理数の段階でそれぞれの確率→０は納得いくから
無理数に拡張する必要はないが念のため
- 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:18:12 ]
- 0以上1未満の実数を、2進数によって無限小数展開する。
有限小数については、0.1＝0.1000… のように、0が並んでいると
思って無限小数だと見なす。
無限小数の各桁について、0が選ばれる確率も1が選ばれる確率も1/2だとする。
このような選出方法を取れば、任意のx∈[0,1)について、xが選ばれる確率は
等しく0である。また、選ばれた実数が区間[a,b]⊂[0,1)に入る確率はb−aとなる。
よって、この選出方法は偏りのない選出方法だと見なせる。
0.1000…＝0.011111… のように2通りの表現方法を持つ実数があるから、
このような実数は若干選ばれやすいような感じがするが、確率を計算すると
どのみちゼロになるので、やはり等確率である。
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:49:08 ]
- 0〜1の実数を得たとしてどう正の数にもっていくのかが問題だ。
1/ｘ-1で写せばとりあえず正の数全体にはなるが均等にはならないよな。
理想分布関数は全領域の積分が1、任意の有限区間の積分が0、ｘ=0以外の任意のxでの微分が0だが。
- 460 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:15:07 ]
- >金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが
期待値が有限の場合には、（上限があろうと無かろうと）起こらない現象だよね？
私は、期待値が無限大の場合は特別だと思っていたので理解できなかったが、
やっと理解できました。
確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの？
たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
みたいなことを何の注意書きも無く書いて良いものなの？
（私は、確率論は専門で無いので、、、）
実数の四則演算に∞を加えても、「∞*2=∞」とか「∞+1=∞」とか「∞ー∞は不定」などの
規則を導入すれば矛盾しないことには同意します。
これらの計算規則（たとえば∞＋１＝∞）に対応する確率の問題を作ったとしよう。
すると、一般的な感覚とはズレた不思議な現象が起こっている。
しかし、∞を認めて規則を導入する立場からすると、「何も矛盾が起こっていない。」という結論。
一方、∞を認めない（よってx+1=xはぜったに成立しないという）立場からすると、
「∞の期待値という誤った仮定のもと計算したから、x+1=xという矛盾が起こる。」という結論。
君が前者で、私が後者。
おそらくどちらの立場をとる場合も、この不思議な現象をパラドックスと呼ぶと思う。
- 461 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:22:43 ]
- >>459
それは不可能だって上の方で書いてあるでしょ。
[0,1]での積分値をxとする。均等だから任意の自然数に対して、[n,n+1]での積分がx。
よって全積分、つまり[0,\infty)での積分はx+x+,,,,=1。しかしこのような実数xは存在しない。
- 462 名前：367 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:32:41 ]
- >>460
ああ、>>367で「普通に起こりうる」と書いたのがいけなかったのか
＞ 期待値が有限の場合には、（上限があろうと無かろうと）起こらない現象だよね？
同意します
＞ 確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの？
＞ たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
いや、そういう感じで書くのは背理法で期待値の発散を証明するときくらいじゃないかな
だからこの問題に対する俺の立場は、「よって期待値は発散している」だね（ずいぶん迂遠な証明だけど）
- 463 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 03:09:46 ]
- これで私も君も、お互いの考えをほぼ理解できたと思う。
残された見解の相違は、>>1の問題（と言っても「確率1/2なので」の部分や、これ以降の続きの部分が省略されているが）
の本質がどこにあるか？という点だと思う。
私は、この問題をただ単に「期待値無限大のパラドックス」の問題と捉えるのはどうかと思う。
「任意の金額に対して、他方が二倍となる確率が1/2というありえない仮定を信じさせること」が本質だと思う。
とは言っても前者を完全に否定している訳では無くて、後者の方が重要かな。くらいの意味だが。
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 05:08:14 ]
- 交換を続けてエスカレートしていく考え方は間違い
取りうる事象が無限まで発散すれば
確率を１におさめても
期待値が無限に発散するという意味の無限なら正しい
- 465 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/19(金) 06:38:36 ]
- そろそろ、>>1の問題に対して勝利宣言をして貰えないだろうか
例えば、
有限の場合は取り得る値の範囲が提示されていないので設問ミス
無限の場合は期待値が発散（5000と20000の間で）しているので期待値12500とするのは誤り
引いた方が得かどうかは分らない
みたいな感じで、
あとは>>463のパラドクスもしくはありえない仮定を信じさせる原因の究明で
２封筒問題は解決したことになる（のだろうか？）
そろそろ終わりが見えてきた？
私は240さんや367さんの言っていることに異論はありません（だいたい理解できた）
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 06:48:37 ]
- 勝利宣言ｗ
子供か
まあ勝利宣言と呼ぼうがどう呼ぼうが好きにするといいが
結果が出たのあとも２スレほどかかったあげく
それでも納得いかずに独立したスレだから
勝利宣言がなされようが
本来の問題からかけはなれた新たにつけたした部分から生じた疑問を
同じ問題だと思って迷い続けたり
学べば済む未習得の基礎知識を我流でこねくりまわす人は
今後も出てくるんじゃないですかね
- 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 07:32:12 ]
- >>461
実数で無理なのは明らかだが、そこで議論終了しちゃうんですか。
超関数は考えないんですか。
- 468 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 07:46:05 ]
- 今、勝利宣言するのはs5179さんじゃないかい？
私は、>>240の時点で、って言うか10年以上前に勝利宣言しているつもりなのだが、、、
まぁ、>>367タイプの
「(*)の非存在をスルーして、1.25倍についても無限期待値を認める立場だから問題ないとする」
という考えは今回初めて知った。
おかげで誤解をしてしまい、長々と恥ずかしいレスを続けて申し訳なかったが、勉強になった。
そういう意味で、>>399の「完全に理解しており」というのは言いすぎだったな。
- 469 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 07:50:19 ]
- >>467
均等な場合うを考えているから考える必要があるのは定値関数のみ、超関数を考える必要はない。
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 12:10:31 ]
- 超準解析を持ち出せば、どうなるか分からん。
正の無限小εを固定して、定値関数εを考えるとか。
(超準解析で確率論を展開する試みは実際にある。でも詳しくは知らない)
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 20:05:00 ]
- 常に交換しないAさんと、常に交換するBさんがそれぞれn回チャレンジするとする。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1でないことを期待できる分布は存在しますか？
- 472 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/20(土) 09:09:31 ]
- >>468
私は
「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」
の答えまでしか認識していませんでした。
>>1 が大問１題のみのテストだったら30点ぐらいでしょう
240さんと367さんのそこに至る証明が出来ている答えとは雲泥の差があります。
>>465の例えが正しいか、間違っているかは、まだ確証はありませんが
少なくとも 「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」 より答えに近づいていると思います。
2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので、数学書などを買って久しぶりに勉強したいと思います。
240さんはずっと大学生もしくは院生（理学部数学科）と思っていました、
私と同じか年上なんですね予想外です。
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 09:14:42 ]
- ＞2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので
俺もここがきっかけで、数学じゃないけど理系の面白さを思い出したよ
本題そのものは興味深い新たなものは出てこなかったけど
そこから派生してくる正誤含めたさまざまなアイデアにいい刺激があった
- 474 名前：240 mailto:sage [2010/03/20(土) 12:52:41 ]
- >>471
期待値∞の分布で金額をいれれば、AもBも期待値∞。∞と∞の比（つまり∞÷∞）は不定。
無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。
私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
封筒には１億円入っていた。期待値∞なのにたった１億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない（差が-∞）金額しか得られない。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 13:40:25 ]
- >>474
ありがとうございます。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1.25とか1.1等の有限の値に
収束するケースがあるのかどうか知りたいです。
自分の勘ではなさそうなんだけど。
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 13:43:49 ]
- 1以外の値ということで。
- 477 名前：240 mailto:sage [2010/03/20(土) 14:17:36 ]
- 期待値有限の確率分布ではありない。
問題文のn回とか、収束とかは意味無い。一回の場合の期待値のみ考えた方が良い。
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 14:38:12 ]
- >>474
ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか
＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
この時点で破綻してるけど
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 15:34:39 ]
- 一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
- 480 名前：7 mailto:sage [2010/03/20(土) 20:35:41 ]
- >>478
封筒に金額を入れる時、金額の確率分布を
封筒を開ける前の金額の期待値が＋∞に発散してしまうような確率分布で
考える、というようなことだろ。破綻してないと思うけど？
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 00:25:17 ]
- 具体的には?
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