- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:50:15 ]
- >>326
その、分布は存在しないという証明に
このスレで
＞ なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
＞ 確立の全事象が起こる確率は1なので、
＞ x+x+x+x+,,,,,,=1
＞ これはありえない。
このような説明がなされているけれども、
もしかしてこのスレでは、連続一様分布は存在しないという立場なの？
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:53:00 ]
- >>336
親視点 子視点そのものは不自然でもなんでもない。
この問題は子視点の話であって
親視点と混同していると違う問題になるというだけ。
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:55:10 ]
- >>344
＞ 「上限もなく、一様に金額を入れるという仮定のもので考えてるから1/2」
上限がないことそのものには問題はないと思うんだが、
なぜあえてそのような書き方にしているのだろう？
- 351 名前：240 [2010/03/16(火) 21:49:23 ]
- >>348
ja.wikipedia.org/wiki/連続一様分布
連続一様分布はもちろん存在する。しかい、上限の無い連続一様分布は存在しない。
連続一様分布U(a,b)の確率密度関数の値は1/(b-a)
上限がない、つまりb=無限大のときこれは意味をなさない。
>>350
上限が（たとえば）100円のとき、一方の金額が90円なら、
他方の金額が二倍である確率は0。
確率1/2だという（誤った）結論を導くためには、上限が無いという条件が必要。
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 22:11:05 ]
- 学がない人（俺も）でも正解にたどり着くチャンスは十分にある。
逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
学がなくて かつ 現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 22:19:19 ]
- ＞逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
逆必ずしも真ならず。
＞現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。
現実に置き換えるのは危険な行為。数学から離れて
奇妙キテレツな哲学に変化して間違いの上塗りを繰り返す
可能性が高い。
学が無ければ学を身につければよい。
- 354 名前：352 mailto:sage [2010/03/16(火) 22:31:10 ]
- 現実に置き換えてみるって言っても大したことじゃないよ。
Ｑ１ 無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か？
→上で散々言われているように不可能。よって、有限集合を考えざるをえない。
有限集合で、上限の数字と下限の数字は１枚、以外の数字は２枚の紙を用意する。
ただし、それぞれにはペアの数字も（小さい字）で書かれている。
これらの紙をルーレットに貼り付けて統計を取るとする。
Ｑ２ 十分に上限を大きくすれば、ルーレットで出た数字と、そのペアの数字の比は
1.25であるか？
→NO。単なる統計のマジックでそんな気になるだけ。ペアの数字のほうで統計
とってみればよく分かる。
Ｑ３ それでも1.25が正しい気がする。
→比の平均を考えていませんか？何かの前提がないと比の平均は無意味です。
例：ある会社に事業部が２つあり、
Ａ事業部は前年比売上110％、Ｂ事業部は前年比売上105％だった。
この会社全体の前年比売上は何か考えてみてください。
- 355 名前：326 mailto:sage [2010/03/16(火) 23:30:16 ]
- >>351
前半
そこは本質じゃないと思う
封筒の金額を(A,2A)と置く。
この時選んだ封筒の中身の期待値は
1/2 ( A + 2A ) = 3A/2
他方の封筒も同じ
つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
この命題を(1)としよう
もうこの時点で
＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。
っていうことの証明になっている。
なぜなら、
選んだ封筒の金額がc円であった時、もう一方の封筒の金額が2c円である確率をP(c)とする
このとき他方の封筒の期待値は (1 - P(c) ) * c/2 + P(c) * 2c で表される。コレを式(2)とする。
(1)は前述の通り金額に依存しない命題です。一方、式(2)は金額=cの場合の「条件付き確率」。
ここで、金額=cの条件を外して、封筒の期待値を求めるにはどうすればいいか？
選んだ封筒の期待値は 「 c * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの 」 。
同様に、他方の封筒の期待値は 「 式(2) * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの 」。 この二つは(1)より等しい。
なんで下の式も(cの出現確率)を掛けているの？って思うかも知れないが、今は行数不足で書ききれない。理解できなかったら質問してくれ。
もしP(c)が任意のcに関して1/2だとしたら、(2)は 5c/4 と書ける。よって積分の結果は明らかに等しくならない。つまりP(c)が任意のcに関して1/2になることはない。
>>336で親視点とか子視点が不自然って言ったのはこういうこと。
詳しく読んでないから違うかもしれないけど、子視点ってつまり「金額=cの場合の条件付き確率」でしょ？
金額で積分しちゃえば親視点（？）になるんだから、分かりにくい考え方だと思うけどなー。
- 356 名前：326 mailto:sage [2010/03/16(火) 23:43:22 ]
- すまん
＞つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
は語弊があるかもしれない。
どう言ったらいいか分からない。
(2)の金額=cという条件を取り去る（積分して均す）と(1)と同値になるっていうことが言いたかった。
もっと明快な説明が出来るように統計学の教科書引っ張り出して統計学の言葉で証明してみるわ。
暇なときに。
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:48:07 ]
- >>343
＞もし真剣に数学をやりたいなら、もう少し考えてから発言した方が良いと思うぞ。
ここは考えない人用スレ。
数学的な準備が整ってないにもかかわらず
まず準備を整えろという忠告に従わない人が最終的に残った隔離スレ。
いくらかログを追えばすぐ分かると思うけど。
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:50:24 ]
- >>353
元の問題から乖離したことに無反省無自覚なまま
そういう奇妙キテレツな試行を次から次に考えるというのが
このスレに残った人にほぼ共通する傾向だな
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:52:30 ]
- >>358
俺のことか？
- 360 名前：352 mailto:sage [2010/03/17(水) 00:38:15 ]
- このスレはIDないから、俺って言っても分からんのか。面倒だな。
- 361 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:09:16 ]
- ちょっとまた質問、というかアンケート。
>>1とは全く別の問題で、しかも金額の確率分布が有限の問題なんだけど
次のゲームを考える。
Nは２以上の自然数とする。
賞金の組は{2500*2^n,5000*2^n}(n=1,2,3,…,N)のどれかで、どれが
選ばれるかは同様に確からしいとする。賞金の組が決まり、金額を２つの封筒に
入れる。参加者A君に、一方の封筒の中身の金額を確認させる。
(確認させる封筒をどちらにするかは、同様に確からしいとする)
A君が確認すると金額は5000円,5000*2^N以外の金額であった。
この時、A君は交換した方が良いか？
交換してもしなくても同じか？
それ以外か？
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:15:04 ]
- >>361
＞ この時、A君は交換した方が良いか？
こういう書き方すると、「A君にとって、確実にもらえる10000円を5000円に減らしてまで20000円を狙う理由があるか分からない」とか言われるよ
「交換した方が期待値が大きいか？」みたいな書き方にしとけば？
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:21:02 ]
- >>361
>5000円,5000*2^N以外の金額であった。
変な表現だな。なんかの間違いだろ。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:24:46 ]
- やっと分かった。最小と最大を除外したのか。
交換すると1.25倍になる。
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:25:28 ]
- 期待値で計算するとね。
- 366 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:35:02 ]
- >>355
君の計算をまじめに読んでないが、
計算で矛盾が生ずることを示しても無意味だよ。
他方の封筒に変えても期待値は変わらないはずなのに、
1.25倍になってしまうという矛盾（パラドックス）はなぜ起きるのか？という問いを
考えていた訳だ。
その答えとして、
>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。
さてここで、(*)を証明して見せよう。もしそのような確率分布が存在したとすると、
1.25倍の矛盾が起きてしまう。よって背理法により(*)が示せた。
この文脈においてこの証明は無意味だろ。
君のやってることも（違う計算ではあるが）同様に無意味なことだろ？多分ね。
いずれにせよ、(*)の本質は
>上限の無い連続一様分布は存在しない。
の本質と同じだよ。
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:38:20 ]
- あれ？ 1.25倍になること自体が矛盾なのか？
金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:54:26 ]
- >>367
成立しない仮定は前提にできないよ。
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:56:56 ]
- 難しい数学を考えなくても当初の命題で、
「１万円だった」が有用な情報かどうか、有用な情報ならどう役に立ったのかを
考えれば、期待値：12500 はなんかおかしいぞ？と思うのが正常な人間。
- 370 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:58:01 ]
- >>354はあまりにむちゃくちゃすぎて、
なんて突っ込みを入れれば良いのか分からんなぁ。
- 371 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:02:44 ]
- >>368
いや、金額に上限が無いというのは成立しない仮定ではないよ
金額に上限のない一様分布はありえないけど、一様分布でなくて良いならいくらでもある
- 372 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:09:44 ]
- >>362
＞「交換した方が期待値が大きいか？」みたいな書き方にしとけば？
そこはわぞと濁してあるのだけど
一応、訊き方を変える。
交換後の金額の期待値が交換前の金額の1.25倍であることは
A君が交換するかどうかの判断に
関係があると思う？
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:10:52 ]
- >>370
そうか？中学生にも分かる説明を考えたんだが。
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:12:23 ]
- >>372
さっきは条件追加してたのに、今回はそこを濁すのか？
はっきり書けよ。ズルイ奴だな。
- 375 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:26:09 ]
- >>374
正しいか正しくないかではなくて、
どう思っているかを訊きたいから、訊き方を変えただけ。
ズルイ奴であることは認める。
ところで、"さっき"ってどれのこと？
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:36:12 ]
- 金額が全部分かってる観測者を置いても変わらない。
判断が関係あるってのはオカルトだね。
- 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:57:47 ]
- >>366
No
コメントするなら、ある程度読んでからにしてくれ
と言っても、かなり読みにくいのは承知してる
明日、統計学の言葉で書き直すから待ってて。
- 378 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:07:15 ]
- >>377
俺は>>366ではないんだが、>>355は間違ってる
封筒の期待値が発散している場合を考慮していないからだ
あらかじめ言っておくが、俺は
＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。
という主張自体は正しいと思っている
ただ、>>355では証明になっていないと言いたいだけだ
- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:15:17 ]
- >>363
要するに普通のサイコロふったら０の目が出たというような
ありえないことが起こったってことじゃないか？
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:16:20 ]
- >>379
>>364
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:17:18 ]
- いろんな人がいるけど
分かりやすいねえｗ
今度は積分で遊んでるｗ
生兵法は怪我の元
- 382 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:21:23 ]
- >>381
御説ごもっともですね
茶々入れるだけのレス見ると真面目に説明するのが阿呆らしくなるなあ
- 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:31:05 ]
- そう言わずに真面目に説明するといい
アホらしくても間違っててもあえて使ってみるスタンスでしょ
- 384 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:36:02 ]
- >>383
いや、俺はマジレスしつつも長文は書かないでいるんだけど
- 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:42:35 ]
- そもそも真面目な数学じゃないでしょ
付き合うならアホらしいとか言っちゃおれんでしょ
- 386 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:44:16 ]
- ちらっと書いた事があったのを思い出した
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1265293548/616
そもそもの立場がこれだから、一様分布が存在するしないであんまり議論してもなあ、って感じなんだよ
間違ったレスを見つければ、>>378程度の説明はするけどね
てか、俺は>>382で「茶々入れてないでマジレスつけろ」って言ったつもりだったんだけど、何で俺に>>383が返って来ちゃうんだろう
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:52:22 ]
- マジでないものにマジレスをつけるの？
>>367自身はまともかもしれんが
- 388 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:58:52 ]
- こういうスレはマジレスつけてなんぼのもん、と俺は思うんだけど、楽しみ方は人それぞれなのかな
>>377が寝ちゃったみたいだから、俺も寝るわ
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 04:09:04 ]
- >>388
マジレス要員も必要かもしれないな
それがどういう解釈で帰ってくるかを楽しむには
比率的に見て
基本的に我流数学を鑑賞する場だと思ってるよ
新しい道具があるとそっちに引きずられる様子とか
退屈しない変化球が次から次に飛び交うから
- 390 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/17(水) 06:20:38 ]
- >>342
サー、お金が増えれば得、減れば損です、サー。
昨日3/15からの17連勤が確定しました。
昨日までは3/26までの12連勤だったんですが
事後条件＜27、28も仕事受注＞で期待値が17になりました。
まあ、事後条件＜倒れる＞や＜4/1仕事受注＞でいくらでも変化するんですが
冗談はさておき
もしかして、親目線で、期待値分からない→期待値15000→期待値分からない（子が次をひくかどうか分からない）→期待値（語弊あり確定してるから）10000もしくは20000
こんな考え方もあり？
確率が0、1に偏った段階で期待値と言う言葉は使えないの？
話に参加したいよ・・・
- 391 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/17(水) 06:33:10 ]
-
そうそう、昨日の幾何で解く！！
も条件付けを間違ってたね。
＜必ず交換する＞と＜必ず交換しない＞は同じ形で同面積になりそう
重複部分をどう処理していいか分からんよね
あとは条件をきちんと考えれば、解け・・・ないか・・・
- 392 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:06:24 ]
- >>370
待ってる。
>>373
Q2への答えの、「マジック」ってどんなマジック？
「そんな気になるだけ」と言われても、、、どこがおかしいか指摘してくれなきゃ、、、
「統計とれば分かる」って、君はルーレットで統計取ったの？
僕もルーレット買ってこなきゃでめ？統計取らずには説明できないの？
Q3「何かの前提がないと」って、間違ってる人はその人なりに、
正しい前提のもとで計算してるつもりなんだから、おかしいところを指摘しなきゃ。
ほとんど理由を説明せづに、「君は間違いだよ」と言っているだけに見える。
そもそも、君が設定している有限ルーレットの問題設定では、いくら上限を十分大きく
とっても期待値の比がが1.25にならず、1のままだ。
二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
このことは高校生の知識で簡単に計算出来るよ。
今回ここで議論すべき問題じゃないだろ。
それと、「現実」の世界には「点」や「三角形」、「自然数」は存在しない。抽象概念は、
我々の頭の中に存在するもので、それを現実世界に投影しているに過ぎないんだよ。
そもそも>>354のどこが「現実に置き換えてみる」なんだ？
「具体例をいろいろ考えてみる」とか言ったほうが良いんじゃないかい？
- 393 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:14:17 ]
- >>367
もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの？
上限が無いような確率分布なんていくらでもあるよ。
それらをもちいるたびにこんなパラドックスが現れたら、確率論が成立しなくなっちゃうよ。
「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
このようなパラドックスが起こるんだよ。
どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
- 394 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:22:53 ]
- >>372
>>327にかいたとおりA君の性格による。
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 09:07:42 ]
- >>392
交換したほうが得に見えるというパラドックスの説明なら、
順番はともかく、常に両方オープンすると考えても違いはないはず。
上限下限を除くと1.25に見えるけど、全てのケースを書き出していけば、
それは錯覚だとすぐ気づく。
>二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
同意しかねる。難しく考えすぎじゃないか？面白い問題ではあるけど。
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 09:43:14 ]
- この命題を「統計でウソをつく方法」として捉えている。
難しい問題だと考えちゃうと一般の人がダマされるのも仕方ないとなっちゃう。
簡単に説明する方法はあるはず、というのが俺の考え。
どこでダマされたかを考えてもらうには、全部のケースを考えてもらうのが一番だと思う。
- 397 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 10:38:52 ]
- >全てのケースを書き出していけば、それは錯覚だとすぐ気づく。
だから有限の場合は何の不思議もないんだよね。
（なぜか、有限の場合にこだわっている人がこのスレにはいるが、、、）
有限の場合は、ほとんどの場合1.25に見えるけれど上限下限の場合も計算すれば、
結局全体では1だと気づく。不思議はどこにも無い。
しかし、無限の場合には上限や下限が無いからすべての場合について1.25に見える。
もしそれが本当だとすると、>>393のように不思議な結果になる。
なんでだろうね？ってのがこの問題な訳で。
有限の場合の説明をいくらしたところで、
>>1の問題の不思議さの説明にはなっていないの。
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 10:47:39 ]
- >>397
無限の話は終わったのかと思っていた。
話を分ける必要がありそうだね。
有限だとしても錯覚するのが一般のレベルなんで。
- 399 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 10:51:21 ]
- 上のような書き込みをすると誤解する人がいるかもしれないから、
嫌味な書き方で気分悪くするかもしれんが断っておく。
私自身は、このパラドックスについては完全に理解しており、
何の疑問点も無い。
おかしな書き込みがあるから、
それはどういう意味で言っているの？
もしそうだとしたら、こうなるんじゃないの？それはおかしいんじゃない？
と指摘しているだけ。
正しい書き込みをしているひとに対して、質問したり否定したりはしていない。
- 400 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 11:12:04 ]
- >>398
Q1を削除して、>>1とは別の有限の問題の説明をしているというなら、
君の言うことは正しい。変な指摘をしてすまなかった。
しかし、有限にした時点で>>1のパラドックスの主要部がなくなっているので、
>>1の説明をしていることにはならないよ。ＯＫ？
もちろん、有限の場合すら理解できない人に対しては君の説明はいみがある。
しかしこれは、足し算が出来ない幼稚園児に対して>>1の解説をするにあたって、
足し算の説明をしているようなものだ。
何度も言ってるが、「二つの封筒問題」は難しい問題だよ、
無限に関するパラドックス、よく知られているパラドックスはすべて、
完全に理解しているという人に対して出題しても、
えっ何でだろう？と迷うレベルの問題だよ。
通常のパラドックスや確率計算すら出来ない人にとっては、
他のパラドックスと同程度の難易度に感じるかもしれないがね。
それと、有限レベルの問題に興味ある人は、別すれを立てた方が良いのではないかな？
上で述べたとおり、>>1とは別の問題だからね。
- 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:16:07 ]
- 有限に興味があるというよりは、どこで錯覚を起こしやすいかを考えているだけ。
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:23:00 ]
- >>393
＞「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
＞このようなパラドックスが起こるんだよ。
上限が無く一様でない確率分布で、同様のパラドックスが起きる例がある。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
の「An even harder problem」の項。
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:57:51 ]
- >>351
>>348の論では連続一様分布も存在できないと思うがどうか？
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 12:03:51 ]
- >>403
348の論を使って、連続一様分布が存在できないことを
実際に証明してごらん(348のようには行かないことが分かるだろう)。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 12:35:41 ]
- ＞ Ｑ１ 無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か？
>>354の これとかも 連続一様分布を否定しているように見える
- 406 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 12:59:26 ]
- >>393
>>402が指摘してくれたように、
＞ 「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
＞ このようなパラドックスが起こるんだよ。
＞ どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
に対しては反例がある
君も俺も上限のない一様分布は否定してるが、それでこの問題が解決する訳じゃないってことだ
＞ もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
＞ 「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
＞ て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの？
そんな事は無いよ
1.25倍（>>402のリンク先の分布ならば1.1倍）というのは、最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ
従って、もう一度交換すれば、当然10000円の封筒が手に入る
この問題では、条件付き確率の計算をしているからこそ、1.25倍（resp. 1.1倍）になるのだと言う事を忘れてはならない
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 13:41:24 ]
- >>405
無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能と思うなら、
その具体的な方法を提示してみな。
- 408 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 13:42:56 ]
- たしかに、>>393での表現はの「初めて」というのは、そこだけ見ると誤解を招くが、
>>367の「金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる」とか
とか「一様密度分布の存在を否定してるのか？」という意見があったから、
片方だけではだめ、「上限なし」と「一様」両方の条件がそろって初めて密度関数が存在し無い。と言っているんだよ。
もちろん「上限なし」かつ「一様」の両方がそろわなくても、「上限なし」かつ「正の周期分布」という条件でも、
確率密度分布は存在しないよ。
さらに言えば、
二つの封筒問題の確率密度関数は非減衰関数。必ずしも「一様」つまり、定数関数とは限らない。
そのことは知っているよ。だから、ひとつの封筒の例つまり、上限の無い一様な確率密度の例は、
あくまでも、「二つの封筒問題」を理解する上での一つのステップ（ただし問題の本質は同じ）として上げたんだよ。
はるか昔に書いたことだが、二つの封筒の問題を考えるには、二次元の確率密度関数の計算をする必要が
あ。そういう意味でも、「二つの封筒」問題は、上限の無い一次元一様密度関数の問題よりはるかに難しいよ。
- 409 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 13:49:43 ]
- >1.25倍（>>402のリンク先の分布ならば1.1倍）というのは、
>最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ
最初の金額が10000円のときは本当に1.25倍なの？
じゃあ、最初の金額が20000円のときは何倍？
- 410 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 14:09:44 ]
- あらためて>>367に対するレスをかくよ。
「最初の封筒の金額が
10000のとき、交換すると1.25倍。
20000のときも、交換すると1.25倍。
金額がいくらであっても、交換すると1.25倍。」
これは正しくない。
金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。
「金額に上限が無い」＋アルファの条件があって初めてこういう矛盾が起こる。
＋アルファって言うのは、例えば、「一様」とか「正値周期密度」とかね。
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:39:46 ]
- あのさあ、基本的なことなんだけど、>>1を読んでどうして
選ばなかった封筒の中に5000円が入っている確率と20000円の入っている確率が
等しくならないのかがわからないんですけど、教えてくださいませんか？
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:50:05 ]
- >>407
何を勘違いしてるのか知らんが、そういう視点だと
「2つのボールから等確率(1/2ということ)で1つのボールを選ぶ」
という作業でさえ不可能だよ。偏りなく選ぶ"方法"を
どうやって具体的に提示するというのか？
「等確率で選んでくれる便利な装置」の存在を
予め仮定しておくしかないでしょ。その装置の中身が
どういう仕組みなのか説明することは不可能でしょ。
「コインを投げて、表か裏かで判断すればいいじゃないか」
と思うかもしれないが、それは「偏りなくランダムに選べばいい」と
言っているのと同じことで、全く説明になってない。
コインをどのように投げれば、偏りなく表・裏が出るのか
説明されていないからね。
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:51:32 ]
- コインを投げる場合は、投げ方はもとより、コインの形状はどうするのか？
テーブルの形状はどうするのか？そもそも物理法則はどうなっているのか？
…こういうのを1つ1つ細かく設定しなければならない。
そして、それらの設定が済んだとして、どうしてそれらの設定のもとで
偏りなく表・裏が出るのか証明しなければならない。当然ながら、
どの設定にも「ランダムに〜」とか「適当に〜」とか「気まぐれに〜」とかの
言い回しは使ってはいけない。それは「等確率で選んでくれる便利な装置」の
存在を予め仮定していることになるから。
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 15:38:22 ]
- >>412
ひどい勘違いですね。有限ならばモデル化して統計とることは可能。
無限ではモデル化不可能。
- 415 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 15:42:13 ]
- >>410
もちろん、
＞ 金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。
は正しい。分布が与えられない限り、期待値の計算ができないからだ
そして、上限の無い一様な分布は無い
ここまでは君も俺も認めてる事だと思う
>>406でも書いたけど、一様でないが同様の現象が起こる分布が存在する
その例が>>402のリンク先で挙げられていて、この場合は1.25倍の代わりに1.1倍になる
これが、君が>>410で書いた「＋アルファ」にあたるもの
この分布は文句のつけようの無いもので、離散であり、全空間の測度が1になっている
だから、>>366で君が書いた
＞ その答えとして、
＞ >(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
＞ >もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
＞ 存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。
は正しくない
最初に選んだ封筒の金額がいくらだったとしても取り替えた場合の期待値が1を超える、という分布は現に存在するんだから……
- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:04:14 ]
- >>414
＞無限ではモデル化不可能。
どうしてそのことが、数学における一様連続分布の存在の否定に繋がるのか？
そもそも、そこで書いている「モデル化」の定義は何なのか？
・モデル化の定義は？
・その定義のもとでの、「無限ではモデル化が不可能である」ことの証明は？
・「無限ではモデル化が不可能である」ことからどうやって「一様連続分布は存在しない」ことを証明するのか？
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:08:10 ]
- >>416
空論だな。あほらしくなってきたわ。
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:09:54 ]
- 一所懸命考えて言葉遊びになってしまっている者
人が真面目に考えているのに言葉遊びに変えてしまう者
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:11:04 ]
- >>417
えっ？だって、君によれば「一様連続分布」は存在しないんでしょ？
おかしいなあ、数学では存在性が保証されてるのに。
一様連続分布が存在しないと言うのなら、そのことを「証明」してくれよ。
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:20:40 ]
- コインの形状とか言い出すレベルの低い奴の相手はしないよ。
悪いな。
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:23:54 ]
- >>420
証明できないんだね。
当たり前だよね。だって、数学では存在性が
保証されてるんだから。証明できっこないよね。
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:27:45 ]
- >>411
その通り。単なるヘリクツです。
確率分布がわからないとかぬかしているバカばかりです。
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:42:40 ]
- ある七面鳥が毎日9時に餌を与えられていた。
それは、あたたかな日にも寒い日にも雨の日にも晴れの日にも9時であることが観察された。
そこでこの七面鳥はついにそれを一般化し、餌は9時になると出てくるという法則を確立した。
そして、クリスマスの前日、9時が近くなった時、七面鳥は餌が出てくると思い喜んだが、
餌を与えられることはなく、かわりに首を切られてしまった。
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:57:35 ]
- >>399
指摘をされた受け手が受け入れる力があるとは限らないわけですが。
- 425 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 17:48:39 ]
- >>415
もしかして、君は
>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
は正しくない。つまり、(*)という確率分布は存在する。
と主張している？
- 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 19:58:41 ]
- 10000円という具体的な数字が出ているにも関わらず
あいも変わらず無限について考えるのは言葉遊び
- 427 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 21:29:50 ]
- >>415
ごめん。>>378で「正しいと思ってる」って書いてたね。>>425は無視して。
じゃあ君はパラドックスの原因は何だと思っているの？
10000円のとき、他方の期待値は12500円。
同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
何度も変えれば期待値はどんどん増える。
なぜこんなおかしなことになるのだ？
私の答えはもちろん「(*)という存在しない確率分布を仮定して
計算しているから誤った結果になる。」
- 428 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 21:53:07 ]
- >>427
例えば
賞金の組が{5000*2^n,10000*4^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
とすれば、最初に確認した金額が5000円の時のみ、交換後の期待値は２倍に
5000円以外を確認した時は交換後の期待値は148/199(≒1.246)倍になる。
つまり、どの金額を確認しても、交換後の期待値の方が１倍になる。
でも、このこと自体は矛盾でもパラドクスでもなんでもない。
確率分布もちゃんと存在するものである。
あくまでも
未確認の金額の期待値は確認済みの金額(金額の期待値ではない)の２倍か約1.246倍
になるのであって、金額確認前に何回も交換したからといって、期待値がどんどん
大きくなるわけではない。中身を確認してないのに一方の金額の期待値が他方の金額の
２倍か1.246倍とすることはできない。この辺のことは240自身が書いた>>345の
ジョークに通ずるものがあるだと思うのだが…。
- 429 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 22:35:05 ]
- >>428
君の考えてることがよくわからん。
きみは、「>>425の(*)の確率分布は存在する。」と考えているの？
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:16:16 ]
- 428
>に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
ここが恣意でおかしい。
でも、そこの設定を自分が決めたせいでおかしくなる
そこを変数にすれば答えも変わる、ということを言ってるならあながち間違いではない
自分が決めたせいでおかしくなる、よって誤り、まで行ければ一段階クリア
- 431 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:19:15 ]
- >>428
１倍→１倍より大きい、と読み替えて。
その話は、封筒に入れる賞金の期待値が無限大であるというおかしな前提を利用して、
「確認した金額によっらずに交換すると期待値が増える」
という誤った結果を導くパラドックスであると思うが。
- 432 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:34:14 ]
- >>429
存在しないとは思うけど、正直わからん。
逆に質問なんだが
０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ装置は
数学的に存在すると思う？
>>428で言いたいのは、>>427の
＞じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
に対する答えが
＞「(*)という存在しない確率分布を仮定して
＞計算しているから誤った結果になる。」
では、不適ではないかという指摘。
なぜなら、>>428のような確率分布は勝手に持って来たモノではあるが
確かに存在して
5000円を確認した時のみ、他方の期待値10000円で5000円の２倍になり
10000円を確認した時、他方の期待値は約12460円
20000円を確認した時、他方の期待値は約24920円
：
A円(ただしA≠5000)を確認した時、他方の期待値は約1.246 A
どんな金額を確認しても、他方の金額は２倍か約1.246倍になり
１倍よりも大きくなる。
＞じゃあ金額見る必要もなく
変えれば期待値１倍以上。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
の答えとして
"存在しないから"は誤り。
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:36:55 ]
- >>430
そこは おかしくも何ともない。一様分布でない別の分布を設定して
議論してるだけだろ(>>1でない全く別の問題を設定して議論している、ということ)。
- 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:40:18 ]
- >>432
数学的に なのに
装置の実在を問うのかｗ
- 435 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:49:21 ]
- まず、(*)の確率分布は存在しないよ。これは間違いないよ。
>０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ装置は
装置っていう言葉使いが気になるが、存在するよ。
ランダムに時計を見れば、0:00から12:00までを等確率で指している。
この時刻の文字盤を変えてやればいいだけだ。
>>428のパラドックスに対して「存在しないから」はあやまりだよ。
しかし>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは？
- 436 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:58:15 ]
- >>430
>>1の問題文からは
金額の確率分布はわからないだろ。
(>>240の１か２か３か４か判断できない。特に３はありえなさそう)
特定の確率分布(特に今回の様なかなり意図的な分布)を仮定した時点で
>>1とは別問題になるのは当然だろう。
それなのに、一々
"この問題は>>1とは別問題なんだけど〜"と前置きしないと
わからない奴がいるのかい？
>>434
わかりにくい表現であることはあやまるが
"〜の条件を満たす写像は存在するか？"みたいな意味での
"存在"であって、実在を訊きたいわけではない。
要は"０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ"という行為を
してもいい(問題の仮定などに使っていいのか？)
>>435
＞>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは？
誤りではないが
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
に対して画一的な答えではないので、不適ではないかと言った。
また質問なんだけど
全ての実数から等確率に１つ選ぶということは数学的にしてもいい？
- 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:59:41 ]
- >>435
無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させられるかい？
そのことを説明できるかい？
- 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:11:15 ]
- >>437
Ω＝[0,1), F＝{A⊂Ω｜Aはルベーグ可測}, P＝[ルベーグ測度] として、
確率変数X：(Ω,F,P) → R をX(ω)＝ωで定義すれば、
Xは標準一様分布に従うから、XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数と解釈できる。
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:12:45 ]
- >>432
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
この問題では変えていない状態と1回変えた状態は異なるから。
もっというと変えていない状態と2回変えた状態が等しくなるという条件が含まれている。
なので期待値が2＾ｘ倍（xは初期値0でランダムウォーク）にはならない。
- 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:15:31 ]
- >>438
もっと分かりやすく言ってくれますか？
無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
だから無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができます
に見えるんだけど。
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:23:09 ]
- >>440
＞無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
違う。先に対応だけを決めておくのだ。今回はX(ω)＝ωだ。この時点ではまだ、
Xが「偏りのない選び方をする確率変数」になっているのかは不明だ。
で、この後、実際にXの分布を計算する。A∈Fに対してP_X(A)＝P(X∈A)＝P(A)＝(Aのルベーグ測度)
となるから、Xの分布P_Xはルベーグ測度(のFへの制限)に一致すると分かる。
つまり、Xは標準一様分布に従うということ。ここまで来て初めて、
XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数だと解釈できる。
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:31:40 ]
- >>439
わかってると思うが封筒チェンジで全く状態が変わらないと仮定した時に
ランダムウォークするのは期待値でなくて金額の倍率のべき乗部分ね。
当然交換すればするほど期待値は上がっていく。
- 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 01:09:04 ]
- >>441
ピンとこない
標準一様分布にあてはめることにしました、
だからあてはまります、と言ってるようにしか見えない
- 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 01:24:37 ]
- >>443
これがピンと来ないなら、まずは標本空間が有限集合の場合で、
偏りのない選び方をする確率変数を作ってごらん。
君の論法によれば、そういう確率変数に対しても「ピンと来ない」ことになってしまうぞ。
- 445 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:38:14 ]
- >>437
あくまでも高校までの直感的な説明。これでだめなら測度論が必要。
それと、多分知ってるとは思うが、
すべての[0,1)上の数を等しい確率で選ぶって言っても、その確率は0だよ。
通常0以上0.1以下をさす確率は1/10などと用いるのであってね。
区間の長さに比例した確率になっていることが、等しい確率確率で指すことの意味。
- 446 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:47:34 ]
- >>436
それは不可能。
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 03:00:10 ]
- >>445
無理数まで扱うとね
全ての数に等価に対応させる、というのは変に思える
その場合
limｎ→∞ 1/n のイメージで
＞確率は0だよ。
の方が納得いきやすい
- 448 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 06:48:21 ]
-
ちょっと質問なんだけど
２つの封筒を（A、B）として
aは実数とする
Aに入っている金額をa 、Bに入っている金額を2aとする
二つの封筒の中身の合計金額をX、得られる金額をYとすると。
得られる金額が多い方はY=2/3Xの直線
得られる金額が少ない方ははY=1/3Xの直線
得られる金額の期待値はY=1/2Xの直線
になるのは間違いないと思うんだけど。
質問、 aの変域を∞にすることは可能か不可能か
どうなんだろう？
このグラフを見てると1/2aなんかなかったんや！！って星野仙一風に叫びたくなる・・・
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